小學(xué)三年級華羅庚學(xué)校數(shù)學(xué)課本(奧數(shù))doc

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華羅庚學(xué)校數(shù)學(xué)課本：三年級下 冊第一講 速算與巧算〔一〕第二講 速算與巧算〔二〕第三講 上樓梯問題第四講 植樹與方陣問題第五講 找?guī)缀螆D形的規(guī)律第六講 找簡單數(shù)列的規(guī)律第七講 填算式〔一〕第八講 填算式〔二〕第九講 數(shù)字謎〔一〕第十講 數(shù)字謎〔二〕第十一講 巧填算符〔一〕第十二講 巧填算符〔二〕第十三講 火柴棍游戲〔一〕第十四講 火柴棍游戲〔二〕第十五講 綜合練習(xí)題

第一講 從數(shù)表中找規(guī)律第二講 從哥尼斯堡七橋問題談起第三講 多筆畫及應(yīng)用問題第四講 最短路線問題第五講 歸一問題第六講 平均數(shù)問題第七講 和倍問題第八講 差倍問題第九講 和差問題第十講 年齡問題第十一講 雞兔同籠問題第十二講 盈虧問題第十三講 巧求周長第十四講 從數(shù)的二進(jìn)制談起第十五講 綜合練習(xí)上 冊第一講 速算與巧算〔一〕一、加法中的巧算1.什么叫“補(bǔ)數(shù)〞？兩個數(shù)相加，假設(shè)能恰好湊成整十、整百、整千、整萬…，就把其中的一個數(shù)叫做另一個數(shù)的“補(bǔ)數(shù)〞。如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。又如：11+89=100，33＋67=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100，在上面算式中，1叫9的“補(bǔ)數(shù)〞；89叫11的“補(bǔ)數(shù)〞，11也叫89的“補(bǔ)數(shù)〞.也就是說兩個數(shù)互為“補(bǔ)數(shù)〞。對于一個較大的數(shù)，如何能很快地算出它的“補(bǔ)數(shù)〞來呢？一般來說，可以這樣“湊〞數(shù)：從最高位湊起，使各位數(shù)字相加得9，到最后個位數(shù)字相加得10。如：87655→12345，46802→53198，87362→12638，…下面講利用“補(bǔ)數(shù)〞巧算加法，通常稱為“湊整法〞。2.互補(bǔ)數(shù)先加。例1巧算下面各題：①36+87+6499+136＋101③1361＋972＋639＋28解：①式=〔36＋64〕＋87=100＋87=187②式=〔99＋101〕＋136=200+136=336③式=〔1361＋639〕＋〔972＋28〕=2000+1000=30003.拆出補(bǔ)數(shù)來先加。例2①188＋873②548＋9969898＋203解：①式=〔188+12〕+〔873-12〕〔熟練之后，此步可略〕＝200+861=1061②式=〔548-4〕＋〔996＋4〕=544+1000=1544③式=〔9898＋102〕＋〔203-102〕=10000+101=101014.豎式運算中互補(bǔ)數(shù)先加。如：二、減法中的巧算1.把幾個互為“補(bǔ)數(shù)〞的減數(shù)先加起來，再從被減數(shù)中減去。

例3300-73-27②1000-90-80-20-10解：①式=300-〔73＋27〕＝300-100=200②式=1000-〔90＋80＋20＋10〕＝1000-200＝8002.先減去那些與被減數(shù)有相同尾數(shù)的減數(shù)。例44723-〔723＋189〕②2356-159-256解：①式=4723-723-189＝4000-189=3811②式=2356-256-159＝2100-159=19413.利用“補(bǔ)數(shù)〞把接近整十、整百、整千…的數(shù)先變整，再運算〔注意把多加的數(shù)再減去，把多減的數(shù)再加上〕。例5①506-397②323-189③467＋997④987-178-222-390解：①式=500＋6-400+3〔把多減的3再加上〕=109②式=323-200+11〔把多減的11再加上〕=123+11＝134③式=467＋1000-3〔把多加的3再減去〕＝1464④式=987-〔178＋222〕-390＝987-400-400+10=197三、加減混合式的巧算1.去括號和添括號的法那么在只有加減運算的算式里，如果括號前面是“＋〞號，那么不管去掉括號或添上括號，括號里面的運算符號都不變；如果括號前面是“-〞號，那么不管去掉括號或添上括號，括號里面的運算符號都要改變，“+〞變“-〞，“-〞變“+〞，即：a＋〔b＋c＋d〕＝a＋b＋c＋da-〔b＋a＋d〕＝a-b-c-da-〔b-c〕＝a-b+c例6①100＋〔10＋20＋30〕②100-〔10＋20+3O〕③100-〔30-10〕解：①式=100＋10＋20＋30=160②式=100-10-20-30=40③式=100-30＋10＝80例7計算下面各題：①100＋10＋20＋30②100-10-20-30③100-30＋10解：①式=100＋〔10+20+30〕=100＋60=160②式=100-〔10＋20+30〕＝100-60=40③式=100-〔30-10〕=100-20=802.帶符號“搬家〞例8計算325＋46-125＋54解：原式=325-125＋46+54＝〔325-125〕+〔46＋54〕=200+100＝300注意：每個數(shù)前面的運算符號是這個數(shù)的符號.如+46，-125，+54.而325前面雖然沒有符號，應(yīng)看作是+325。3.兩個數(shù)相同而符號相反的數(shù)可以直接“抵消〞掉例9計算9+2-9＋3解：原式=9-9＋2+3=54.找“基準(zhǔn)數(shù)〞法幾個比擬接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時，選這個整數(shù)為“基準(zhǔn)數(shù)〞。例10計算78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85＝640習(xí)題一一、直接寫出計算結(jié)果：①1000-547②100000-85426③④78053000000-78053二、用簡便方法求和：①536+〔541+464〕+459②588＋264＋148③8996＋3458＋7546④567+558+562＋555＋563三、用簡便方法求差：①1870-280-520②4995-〔995-480〕③4250-294＋94④1272-995四、用簡便方法計算以下各題：①478-128+122-72②464-545＋99+345③537-〔543-163〕-57④947+〔372-447〕-572五、巧算以下各題：①996＋599-402②7443＋2485＋567＋245③2000-1347-253+1593④3675-〔11+13+15＋17＋19〕習(xí)題一解答一、直接寫出計算結(jié)果：①1000-547＝453②100000-85426=14574③＝④78053000000-78053＝78052921947此題主要是練習(xí)直接寫出“補(bǔ)數(shù)〞的方法：從最高位寫起，其各位數(shù)字用“湊九〞而得，最后個位湊10而得。

二、用簡便方法求和：①536＋〔541＋464〕＋459＝〔536+464〕+〔541＋459〕=2000②588＋264＋148=588+〔12+252〕+148＝〔588＋12〕+〔252＋148〕＝600+400=1000③8996＋3458＋7546=〔8996＋4〕＋〔3454＋7546〕=9000+11000〔把3458分成4和=9000+110003454〕＝20000④567＋558+562＋555＋563＝560×5+〔7-2+2-5+3〕〔以560為基準(zhǔn)數(shù)〕＝2800+5＝2805三、用簡便方法求差：①1870-280-520＝1870-〔280+520〕=1870-800＝1070②4995-〔995-480〕=4995-995+480=4000+480=4480③4250-294＋94=4250-〔294-94〕=4250-200=4050④1272-995=1272-1000+5=277四、用簡便方法計算加減混合運算：①478-128＋122-72=〔478+122〕-〔128＋72〕＝600-200＝400②464-545＋99＋345＝464-〔545-345〕+100-1=464-200＋100-1＝363③537-〔543-163〕-57＝537-543＋163-57=〔537＋163〕-〔543+57〕=700-600=100④947＋〔372-447〕-572=947+372-447-572=〔947-447〕-〔572-372〕=500-200=300五、巧算以下各題：①996＋599-402=1193②7443＋2485＋567＋245=10740③2000-1347-253＋1593=1993④3675-〔11+13+15+17+19〕=3600第二講 速算與巧算〔二〕一、乘法中的巧算1.兩數(shù)的乘積是整十、整百、整千的，要先乘.為此，要牢記下面這三個特殊的等式：5×2=1025×4=100125×8=1000例1計算①123×4×25②125×2×8×25×5×4解：①式=123×〔4×25〕=123×100＝12300②式=〔125×8〕×〔25×4〕×〔5×2〕=1000×100×10=10000002.分解因數(shù)，湊整先乘。例2計算①24×25②56×125③125×5×32×5解：①式=6×〔4×25〕=6×100=600②式=7×8×125=7×〔8×125〕=7×1000=7000③式=125×5×4×8×5=〔125×8〕×〔5×5×4〕=1000×100=1000003.應(yīng)用乘法分配律。例3 計算①175×34＋175×66②67×12+67×35＋67×52+6解：①式=175×〔34+66〕=175×100=17500②式=67×〔12＋35＋52＋1〕＝67×100＝6700〔原式中最后一項67可看成67×1〕例4 計算①123×101②123×99解：①式=123×〔100＋1〕=123×100＋123＝12300＋123=12423②式=123×〔100-1〕=12300-123=121774.幾種特殊因數(shù)的巧算。例5一個數(shù)×10，數(shù)后添0；一個數(shù)×100，數(shù)后添00；一個數(shù)×1000，數(shù)后添000；以此類推。如：15×10=15015×100=150015×1000＝15000例6一個數(shù)×9，數(shù)后添0，再減此數(shù)；一個數(shù)×99，數(shù)后添00，再減此數(shù)；一個數(shù)×999，數(shù)后添000，再減此數(shù)；…以此類推。如：12×9＝120-12＝10812×99＝1200－12＝118812×999＝12000-12=11988例7一個偶數(shù)乘以5，可以除以2添上0。

如：6×5＝3016×5＝80116×5=580。例8一個數(shù)乘以11，“兩頭一拉，中間相加〞。如2222×11＝244422456×11＝27016例9一個偶數(shù)乘以15，“加半添0〞.24×15＝〔24+12〕×10＝360因為24×15＝24×〔10+5〕＝24×〔10＋10÷2〕=24×10+24×10÷2〔乘法分配律〕＝24×10+24÷2×10〔帶符號搬家〕＝〔24+24÷2〕×10〔乘法分配律〕例10個位為5的兩位數(shù)的自乘：十位數(shù)字×〔十位數(shù)字加1〕×100+25如15×15=1×〔1+1〕×100+25=22525×25=2×〔2+1〕×100+25=62535×35=3×〔3+1〕×100+25=122545×45=4×〔4+1〕×100+25=202555×55=5×〔5+1〕×100+25=302565×65＝6×〔6+1〕×100+25=422575×75=7×〔7+1〕×100+25＝562585×85=8×〔8+1〕×100+25=722595×95＝9×〔9+1〕×100＋25＝9025還有一些其他特殊因數(shù)相乘的簡便算法，有興趣的同學(xué)可參看《算得快》一書。二、除法及乘除混合運算中的巧算1.在除法中，利用商不變的性質(zhì)巧算商不變的性質(zhì)是：被除數(shù)和除數(shù)同時乘以或除以相同的數(shù)〔零除外〕，商不變.利用這個性質(zhì)巧算，使除數(shù)變?yōu)檎⒄?、整千的?shù)，再除。例11計算①110÷53300÷25③44000÷125解：①110÷5=〔110×2〕÷〔5×2〕＝220÷10=22②3300÷25＝〔3300×4〕÷〔25×4〕＝13200÷100＝132③44000÷125=〔44000×8〕÷〔125×8〕＝352000÷1000＝3522.在乘除混合運算中，乘數(shù)和除數(shù)都可以帶符號“搬家〞。例12864×27÷54＝864÷54×27=16×27=4323.當(dāng)n個數(shù)都除以同一個數(shù)后再加減時，可以將它們先加減之后再除以這個數(shù)。例1313÷9＋5÷9②21÷5-6÷5③2090÷24-482÷24④187÷12-63÷12-52÷12解：①13÷9+5÷9=〔13＋5〕÷9=18÷9＝2②21÷5-6÷5＝〔21-6〕÷5＝15÷5=3③2090÷24-482÷24＝〔2090-482〕÷24＝1608÷24＝67④187÷12-63÷12-52÷12＝〔187-63-52〕÷12＝72÷12=64.在乘除混合運算中“去括號〞或添“括號〞的方法：如果“括號〞前面是乘號，去掉“括號〞后，原“括號〞內(nèi)的符號不變；如果“括號〞前面是除號，去掉“括號〞后，原“括號〞內(nèi)的乘號變成除號，原除號就要變成乘號，添括號的方法與去括號類似。即a×〔b÷c〕=a×b÷c從左往右看是去括號，a÷〔b×c〕＝a÷b÷c 從右往左看是添括號。a÷〔b÷c〕＝a÷b×c例141320×500÷250②4000÷125÷8③5600÷〔28÷6〕④372÷162×54⑤2997×729÷〔81×81〕解：①1320×500÷250＝1320×〔500÷250〕=1320×2＝2640②4000÷125÷8＝4000÷〔125×8〕＝4000÷1000＝4③5600÷〔28÷6〕=5600÷28×6=200×6=1200④372÷162×54=372÷〔162÷54〕＝372÷3＝124⑤2997×729÷〔81×81〕＝2997×729÷81÷81＝〔2997÷81〕×〔729÷81〕＝37×9＝333習(xí)題二一、用簡便方法求積：①17×100

②1112×5③23×9④23×99⑤12345×11⑥56789×11⑦36×15二、速算以下各題：①123×25×4②456×2×125×25×5×4×8③25×32×125三、巧算以下各題：①15000÷125÷15②1200÷25÷4③27000÷〔125×3〕④360×40÷60四、巧算以下各題：①11÷3＋4÷3②19÷5-9÷5③234×11+234×88習(xí)題二解答一、用簡便方法求積：①17×100=1700②1112×5＝5560③23×9=230-23=207④23×99=2300-23=2277⑤12345×11=135795⑥56789×11=624679⑦36×15=〔36+18〕×10＝540二、速算以下各題：①123×25×4=123×〔25×4〕＝12300②456×2×125×25×5×4×8=456×〔2×5〕×〔25×4〕×〔125×8〕=456000000③25×32×125＝〔25×4〕×〔125×8〕=100000三、巧算以下各題：①15000÷125÷15＝15000÷15÷125=8②1200÷25÷4=1200÷〔25×4〕=12③27000÷〔125×3〕＝27000÷3÷125＝9×〔1000÷125〕=9×8=72④360×40÷60＝360÷60×40＝240四、巧算以下各題：①11÷3+4÷3=〔11＋4〕÷3＝5②19÷5-9÷5＝〔19-9〕÷5=2③234×11＋234×88=234×〔11+88〕＝234×99＝234×100-234=23166第三講 上樓梯問題有這樣一道題目：如果每上一層樓梯需要1分鐘，那么從一層上到四層需要多少分鐘？如果你的答案是4分鐘，那么你就錯了.正確的答案應(yīng)該是3分鐘。為什么是3分鐘而不是4分鐘呢？原來從一層上到四層，只要上三層樓梯，而不是四層樓梯。下面我們來看幾個類似的問題。例1裁縫有一段16米長的呢子，每天剪去2米，第幾天剪去最后一段？分析 如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2個2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，還剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3個2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，還剩6米，第二天再剪2米，還剩4米，這樣第三天即可剪去最后一段，8米里有4個2米，用3天，……我們可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：所用的天數(shù)比2米的個數(shù)少1.因此，只要看16米里有幾個2米，問題就可以解決了。解：16米中包含2米的個數(shù)：16÷2=8〔個〕剪去最后一段所用的天數(shù)：8-1=7〔天〕答：第七天就可以剪去最后一段。例2一根木料在24秒內(nèi)被切成了4段，用同樣的速度切成5段，需要多少秒？可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：切的次數(shù)總比切的段數(shù)少1.因此，在24秒內(nèi)切了4段，實際只切了3次，這樣我們就可以求出切一次所用的時間了，又由于用同樣的速度切成5段；實際上切了4次，這樣切成5段所用的時間就可以求出來了。解：切一次所用的時間：24÷〔4-1〕=8〔秒〕切5段所用的時間：8×〔5-1〕=32〔秒〕答：用同樣的速度切成5段，要用32秒。例3三年級同學(xué)120人排成4路縱隊，也就是4個人一排，排成了許多排，現(xiàn)在知道每相鄰兩排之間相隔1米，這支隊伍長多少米？解：因為每4人一排，所以共有：120÷4=30〔排〕30排中間共有29個間隔，所以隊伍長：1×29=29〔米〕答：這支隊伍長29米。例4時鐘4點鐘敲4下，12秒鐘敲完，那么6點鐘敲6下，幾秒鐘敲完？分析 如果盲目地計算：12÷4=3〔秒〕，3×6=18〔秒〕，認(rèn)為敲6下需要18秒鐘就錯了.請看以下圖：時鐘敲4下，其間有3個間隔，每個間隔是：12÷3=4〔秒〕；時鐘敲6下，其間共有5個間隔，所用時間為：4×5=20〔秒〕。解：每次間隔時間為：12÷〔4-1〕=4〔秒〕敲6下共用的時間為：4×〔6-1〕＝20〔秒〕答：時鐘敲6下共用20秒。例5.某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，電梯停開，如從1層走到4層需要48秒，請問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？

分析 要求還需要多少秒才能到達(dá)，必須先求出上一層樓梯需要幾秒，還要知道從4樓走到8樓共走幾層樓梯.上一層樓梯需要：48÷〔4-1〕=16〔秒〕，從4樓走到8樓共走8-4=4〔層〕樓梯。到這里問題就可以解決了。解：上一層樓梯需要：48÷〔4-1〕=16〔秒〕從4樓走到8樓共走：8-4=4〔層〕樓梯還需要的時間：16×4=64〔秒〕答：還需要64秒才能到達(dá)8層。例6晶晶上樓，從1樓走到3樓需要走36級臺階，如果各層樓之間的臺階數(shù)相同，那么晶晶從第1層走到第6層需要走多少級臺階？分析 要求晶晶從第1層走到第6層需要走多少級臺階，必須先求出每一層樓梯有多少臺階，還要知道從一層走到6層需要走幾層樓梯。從1樓到3樓有3-1=2層樓梯，那么每一層樓梯有36÷2=18〔級〕臺階，而從1層走到6層需要走6-1=5〔層〕樓梯，這樣問題就可以迎刃而解了。解：每一層樓梯有：36÷〔3-1〕＝18〔級臺階〕晶晶從1層走到6層需要走：18×〔6-1〕=90〔級〕臺階。答：晶晶從第1層走到第6層需要走90級臺階。注：例1～例4所表達(dá)的問題雖然不是上樓梯，但它和上樓梯有許多相似之處，請同學(xué)們自己去體會.爬樓梯問題的解題規(guī)律是：所走的臺階數(shù)=每層樓梯的臺階數(shù)×〔所到達(dá)的層數(shù)減起點的層數(shù)〕。習(xí)題三1.一根木料截成3段要6分鐘，如果每截一次的時間相等，那么截7段要幾分鐘？2.有一幢樓房高17層，相鄰兩層之間都有17級臺階，某人從1層走到11層，一共要登多少級臺階？3.從1樓走到4樓共要走48級臺階，如果每上一層樓的臺階數(shù)都相同，那么從1樓到6樓共要走多少級臺階？4.一座樓房每上1層要走16級臺階，到小英家要走64級臺階，小英家住在幾樓？5.一列火車共20節(jié)，每節(jié)長5米，每兩節(jié)之間相距1米，這列火車以每分鐘20米的速度通過81米長的隧道，需要幾分鐘？6.時鐘3點鐘敲3下，6秒鐘敲完，12點鐘敲12下，幾秒鐘敲完？7.某人到高層建筑的10層去，他從1層走到5層用了100秒，如果用同樣的速度走到10層，還需要多少秒？8.A、B二人比賽爬樓梯，A跑到4層樓時，B恰好跑到3層樓，照這樣計算，A跑到16層樓時，B跑到幾層樓？9.鐵路旁每隔50米有一根電線桿，某旅客為了計算火車的速度，測量出從第一根電線桿起到經(jīng)過第37根電線桿共用了2分鐘，火車的速度是每秒多少米？習(xí)題三解答1.解：每截一次需要：6÷〔3-1〕=3〔分鐘〕，截成7段要3×〔7-1〕=18〔分鐘〕答：截成7段要18分鐘。2.解：從1層走到11層共走：11-1=10〔個〕樓梯，從1層走到11層一共要走：17×10=170〔級〕臺階。答：從1層走到11層，一共要登170級臺階。3.解：每一層樓梯的臺階數(shù)為：48÷〔4-1〕=16〔級〕，從1樓到6樓共走：6-1=5〔個〕樓梯，從1樓到6樓共走：16×5=80〔級〕臺階。答：從1樓到6樓共走80級臺階。4.解：到小英家共經(jīng)過的樓梯層數(shù)為：64÷16=4〔層〕，小英家住在：4＋1=5〔樓〕答：小英家住在樓的第5層。5.解：火車的總長度為：5×20+1×〔20-1〕=119〔米〕，火車所行的總路程：119＋81=200〔米〕，所需要的時間：200÷20=10〔分鐘〕答：需要10分鐘。6.解：每個間隔需要：6÷〔3-1〕=3〔秒〕，12點鐘敲12下，需要3×〔12-1〕=33〔秒〕答：33秒鐘敲完。7.解：每上一層樓梯需要：100÷〔5-1〕=25〔秒〕，還需要的時間：25×〔10-5〕=125〔秒〕答：從5樓再走到10樓還需要125秒。8.由A上到4層樓時，B上到3層樓知，A上3層樓梯，B上2層樓梯。那么，A上到16層時共上了15層樓梯，因此B上2×5=10個樓梯，所以B上到10＋1=11〔層〕。答：A上到第16層時，B上到第11層樓。9.解：火車2分鐘共行：50×〔37-1〕=1800〔米〕2分鐘=120秒火車的速度：1800÷120=15〔米/秒〕答：火車每秒行15米。第四講 植樹與方陣問題一、植樹問題要想了解植樹中的數(shù)學(xué)并學(xué)會怎樣解決植樹問題，首先要牢記三要素：①總路線長.②間距〔棵距〕長.③棵數(shù).只要知道這三個要素中任意兩個要素.就可以求出第三個。關(guān)于植樹的路線，有封閉與不封閉兩種路線。1.不封閉路線例：如圖① 假設(shè)題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，那么棵數(shù)比段數(shù)多1.如上圖把總長平均分成5段，但植樹棵數(shù)是6棵。全長、棵數(shù)、株距三者之間的關(guān)系是：棵數(shù)=段數(shù)+1=全長÷株距+1全長=株距×〔棵數(shù)-1〕株距=全長÷〔棵數(shù)-1〕② 如果題目中要求在路線的一端植樹，那么棵數(shù)就比在兩端植樹時的棵數(shù)少1，即棵數(shù)與段數(shù)相等.全長、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：全長=株距×棵數(shù)；棵數(shù)=全長÷株距；株距=全長÷棵數(shù)。

③ 如果植樹路線的兩端都不植樹，那么棵數(shù)就比②中還少1棵?？脭?shù)=段數(shù)-1=全長÷株距-1.如右圖所示.段數(shù)為5段，植樹棵數(shù)為4棵。株距=全長÷〔棵數(shù)+1〕。2.封閉的植樹路線例如：在圓、正方形、長方形、閉合曲線等上面植樹，因為頭尾兩端重合在一起，所以種樹的棵數(shù)等于分成的段數(shù)。如右圖所示。棵數(shù)=段數(shù)=周長÷株距.二、方陣問題學(xué)生排隊，士兵列隊，橫著排叫做行，豎著排叫做列.如果行數(shù)與列數(shù)都相等，那么正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊，也叫做方陣〔亦叫乘方問題〕。方陣的根本特點是：① 方陣不管在哪一層，每邊上的人〔或物〕數(shù)量都相同.每向里一層，每邊上的人數(shù)就少2。② 每邊人〔或物〕數(shù)和四周人〔或物〕數(shù)的關(guān)系：四周人〔或物〕數(shù)=[每邊人〔或物〕數(shù)-1]×4；每邊人〔或物〕數(shù)=四周人〔或物〕數(shù)÷4＋1。③ 中實方陣總?cè)恕不蛭铩硵?shù)=每邊人〔或物〕數(shù)×每邊人〔或物〕數(shù)。例1有一條公路長900米，在公路的一側(cè)從頭到尾每隔10米栽一根電線桿，可栽多少根電線桿？分析 要以兩棵電線桿之間的距離作為分段標(biāo)準(zhǔn).公路全長可分成假設(shè)干段.由于公路的兩端都要求栽桿，所以電線桿的根數(shù)比分成的段數(shù)多1。解：以10米為一段，公路全長可以分成900÷10＝90〔段〕共需電線桿根數(shù)：90+1=91〔根〕答：可栽電線桿91根。例2馬路的一邊每相隔9米栽有一棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到501棵樹.問汽車每小時走多少千米？分析 張軍5分鐘看到501棵樹意味著在馬路的兩端都植樹了；只要求出這段路的長度就容易求出汽車速度.解：5分鐘汽車共走了：9×〔501-1〕=4500〔米〕，汽車每分鐘走：4500÷5=900〔米〕，汽車每小時走：900×60=54000〔米〕=54〔千米〕列綜合式：9×〔501-1〕÷5×60÷1000=54〔千米〕答：汽車每小時行54千米。例3某校五年級學(xué)生排成一個方陣，最外一層的人數(shù)為60人.問方陣外層每邊有多少人？這個方陣共有五年級學(xué)生多少人？分析 根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求了。解：方陣最外層每邊人數(shù)：60÷4＋1=16〔人〕整個方陣共有學(xué)生人數(shù)：16×16=256〔人〕答：方陣最外層每邊有16人，此方陣中共有256人。例4晶晶用圍棋子擺成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個.晶晶擺這個方陣共用圍棋子多少個？分析 方陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少2個.知道最外面一層每邊放14個，就可以求第二層及第三層每邊個數(shù).知道各層每邊的個數(shù)，就可以求出各層總數(shù)。解：最外邊一層棋子個數(shù)：〔14-1〕×4=52〔個〕第二層棋子個數(shù)：〔14-2-1〕×4=44〔個〕第三層棋子個數(shù)：〔14-2×2-1〕×4=36〔個〕.擺這個方陣共用棋子：52+44＋36＝132〔個〕還可以這樣想：中空方陣總個數(shù)=〔每邊個數(shù)一層數(shù)〕×層數(shù)×4進(jìn)行計算。解：〔14-3〕×3×4=132〔個〕答：擺這個方陣共需132個圍棋子。例5一個圓形花壇，周長是180米.每隔6米種一棵芍藥花，每相鄰的兩棵芍藥花之間均勻地栽兩棵月季花.問可栽多少棵芍藥？多少棵月季？兩棵月季之間的株距是多少米？分析 ①在圓形花壇上栽花，是封閉路線問題，其株數(shù)=段數(shù).由于相鄰的兩棵芍藥花之間等距的栽有兩棵月季，那么每6米之中共有3棵花，且月季花棵數(shù)是芍藥的2倍。解：共可栽芍藥花：180÷6＝30〔棵〕共種月季花：2×30＝60〔棵〕兩種花共：30+60=90〔棵〕兩棵花之間距離：180÷90=2〔米〕相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花，所以月季花的株距是2米或4米。答：種芍藥花30棵，月季花60棵，兩棵月季花之間距離為2米或4米。例6一個街心花園如右圖所示.它由四個大小相等的等邊三角形組成.從每個小三角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有9棵花.問大三角形邊上栽有多少棵花？整個花園中共栽多少棵花？分析 ①從條件中可以知道大三角形的邊長是小三角形邊長的2倍.又知道每個小三角形的邊上均勻栽9株，那么大三角形邊上栽的棵數(shù)為9×2-1=17〔棵〕。

② 又知道這個大三角形三個頂點上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以大三角形三條邊上共栽花〔17-1〕×3=48〔棵〕。③.再看圖中畫斜線的小三角形三個頂點正好在大三角形的邊上.在計算大三角形栽花棵數(shù)時已經(jīng)計算過一次，所以小三角形每條邊上栽花棵數(shù)為9-2=7〔棵〕解：大三角形三條邊上共栽花：〔9×2-1-1〕×3=48〔棵〕中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：〔9-2〕×3=21〔棵〕整個花壇共栽花：48+21=69〔棵〕答：大三角形邊上共栽花48棵，整個花壇共栽花69棵。習(xí)題四1.一個圓形池塘，它的周長是150米，每隔3米栽種一棵樹.問：共需樹苗多少株？2.有一正方形操場，每邊都栽種17棵樹，四個角各種1棵，共種樹多少棵？3.在一條路上按相等的距離植樹.甲乙二人同時從路的一端的某一棵樹出發(fā).當(dāng)甲走到從自己這邊數(shù)的第22棵樹時，乙剛走到從乙那邊數(shù)的第10棵樹.乙每分鐘走36米.問：甲每分鐘走多少米？4.在一根長100厘米的木棍上，從左向右每隔6厘米點一個紅點.從右向左每隔5厘米點一個紅點，在兩個紅點之間長為4厘米的間距有幾段？習(xí)題四解答1.提示：由于是封閉路線栽樹，所以棵數(shù)=段數(shù)，150÷3=50〔棵〕。2.提示：在正方形操場邊上栽樹.正方形邊長都相等，四個角上栽的樹是相鄰的兩條邊公有的一棵，所以每邊栽樹的棵數(shù)為17-1=16〔棵〕，共栽：〔17-1〕×4=64〔棵〕答：共栽樹64棵。3.解：甲走到第22棵樹時走過了22-1＝21〔個〕棵距.同樣乙走過了10-1＝9〔個〕棵距.乙走到第10棵樹，所用的時間為〔9×棵距÷36〕，這個時間也是甲走過21個棵距的時間，甲的速度為：21×棵距÷〔9×棵距÷36〕=84米/分。答：甲的速度是每分鐘84米。4.根據(jù)條件，從左至右每隔6厘米點一紅點，不難算出共有17個點〔包括起點，終點〕并余4厘米。②100厘米長的棒從右到左共點21個點，可分為20段，而最后一點與端點重合，相當(dāng)于從左到右以5厘米的間距畫點.在5與6的公倍數(shù)30中，不難看出有2個4厘米的小段；同樣在第二個和第三個30厘米中也各有2個，剩下的10厘米只有一個4厘米的小段，所以在100厘米的木棍上只能有2×3+1=7〔段〕4厘米長的間距.第五講 找?guī)缀螆D形的規(guī)律找規(guī)律是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的手段，而規(guī)律的找尋既需要敏銳的觀察力，又需要嚴(yán)密的邏輯推理能力.為培養(yǎng)這方面的能力，本講將從幾何圖形的問題入手，逐步分析應(yīng)從哪些方面來觀察思考。因此，學(xué)習(xí)本講的知識有助于養(yǎng)成全面地、由淺入深、由簡到繁觀察思考問題的良好習(xí)慣，可以逐步掌握通過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律并利用規(guī)律來解決問題的方法。下面就來看幾個例子。例1按順序觀察圖5—1與圖5—2中圖形的變化，想一想，按圖形的變化規(guī)律，在帶“？〞的空格處應(yīng)畫什么樣的圖形？分析 觀察中，注意到圖5—1中每行三角形的個數(shù)依次減少，而正方形的個數(shù)依次增多，且三角形的個數(shù)按4、3、X、1的順序變化.顯然X應(yīng)等于2；圖5—2中黑點的個數(shù)從左到右逐次增多，且每一格〔第一格除外〕比前面的一格多兩個點.事實上，此題中幾何圖形的變化僅表現(xiàn)在數(shù)量關(guān)系上，是一種較為根本的、簡單的變化模式。解：在圖5—1的“？〞處應(yīng)是三角形△，在圖5—2的“？〞處應(yīng)是例2請觀察右圖中已有的幾個圖形，并按規(guī)律填出空白處的圖形。分析 首先可以看出圖形的第一行、第二列都是由一個圓、一個三角形和一個正方形所組成的；其次，在所給出的圖形中，我們發(fā)現(xiàn)各行、各列均沒有重復(fù)的圖形，而且所給出的圖形中，只有圓、三角形和正方形三種圖形.由此，我們知道這個圖的特點是：① 僅由圓、三角形、正方形組成；② 各行各列中，都只有一個圓、一個三角形和一個正方形。因此，根據(jù)不重不漏的原那么，在第二行的空格中應(yīng)填一個三角形，而第三行的空格中應(yīng)填一個正方形。解略。例3按順序觀察以下圖中圖形的變化規(guī)律，并在“？〞處填上合適的圖形.分析 顯然，圖〔a〕、圖〔b〕中都是圓，而圖〔c〕中卻不是圓；同時，圖〔a〕、〔c〕中都有3個圖形，而〔b〕中只有兩個.由此可知：圖〔a〕到〔b〕的變化規(guī)律對應(yīng)于圖〔c〕到〔d〕的變化規(guī)律.再注意到圖〔a〕到圖〔b〕中圖形在繁

簡、多少、位置幾方面的變化，就容易得到圖〔d〕中的圖形了。解：在上圖的“？〞處應(yīng)填如以下圖形.例4以下圖中的圖形是按一定規(guī)律排列的，請仔細(xì)觀察，并在“？〞處填上適當(dāng)?shù)膱D形.分析 此題中，首先可以注意到每個圖形都由大、小兩局部組成，而且，大、小圖形都是由正方形、三角形和圓形組成，圖中的任意兩個圖形均不相同.因此，我們不妨試著把大、小圖形分開來考慮，再一次觀察后我們可以發(fā)現(xiàn)：對于大圖形來說，每行每列的圖形決不重復(fù)。因此，每行每列都只有一個大正方形，一個大三角形和一個大圓，對于小圖形也是如此，這樣，“？〞處的圖形就不難得出。解：圖中，〔b〕、〔f〕、〔h〕處的圖形分別應(yīng)填下面的圖甲、圖乙、圖丙.小結(jié)：對于較復(fù)雜的圖形來說，有時候需要把圖形分開幾局部來單獨考慮其變化規(guī)律，從而把復(fù)雜問題簡單化。例5觀察以下各組圖的變化規(guī)律，并在“？〞處畫出相關(guān)的圖形.分析 我們先來看這樣兩個圖：〔甲〕圖與〔乙〕圖中，點A、B、C、D的順序和距離都沒有改變，只是每個點的位置發(fā)生了變化，如：甲圖中，A在左方；而乙圖中，A在上方，……我們把這樣一種位置的變化稱為圖形的旋轉(zhuǎn)，乙圖可以看作是甲圖90°〔或一格〕?，F(xiàn)在我們再回到題目上來，容易看出：例5題中按〔a〕、〔b〕、〔c〕、〔d〕、〔e〕、〔f〕、〔g〕、〔h〕、〔i〕順序排列的9個圖形，它們的變化規(guī)律是：每一個圖形〔a除外〕都是由其前一個圖形逆時針旋轉(zhuǎn)90°而得到的.甲乙丙丁四個圖形變化規(guī)律也類似。解：圖〔i〕處的圖形應(yīng)是下面左圖，丁圖處的圖形應(yīng)是下面右圖注意：因為圖形是由旋轉(zhuǎn)而得到的，所以其中三角形、菱形的方向隨旋轉(zhuǎn)而變化，作圖的時候要注意到這一點。旋轉(zhuǎn)是數(shù)學(xué)中的重要概念，掌握好這個概念，可以提高觀察能力，加快解題速度，對于許多問題的解決，也有事半而功倍的效果。下面再來看幾個例子：例6仔細(xì)觀察以下圖中圖形的變化規(guī)律，并在“？〞處填入適宜的圖形.分析 顯然，圖〔a〕、〔b〕的變化規(guī)律對應(yīng)于圖〔c〕的變化規(guī)律；圖〔d〕、〔e〕的變化規(guī)律也對應(yīng)于圖〔f〕的變化規(guī)律，我們先來觀察〔a〕、〔b〕兩組圖形，發(fā)現(xiàn)在形狀、位置方面都發(fā)生了變化，即把圓變?yōu)樗囊话搿雸A，把三角形也變?yōu)樗囊话搿苯侨切?；同時，變化后圖形的位置相當(dāng)于把原圖形沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°而得到.因此，我們很容易地就把圖〔c〕中的直角梯形復(fù)原為等腰梯形并通過逆時針旋轉(zhuǎn)而得到圖〔c〕“？〞處的圖形。

當(dāng)我們從左到右來觀察圖〔d〕、〔e〕的變化規(guī)律時，我們發(fā)現(xiàn)，圖〔d〕、〔e〕的變化規(guī)律有與圖〔a〕、〔b〕相同的一面，即都是把一個圖形變?yōu)樽陨淼囊话?，但也有與圖〔a〕、〔b〕不同的一面，即圖〔d〕、〔e〕中右半局部的圖形無法通過旋轉(zhuǎn)原圖來得到，只能通過上下翻轉(zhuǎn)而獲得.這樣，我們就得到了這些圖形的變化規(guī)律。解：圖〔c〕中“？〞處的圖形應(yīng)是下面甲圖，圖〔f〕中“？〞處的圖形應(yīng)是乙圖.小結(jié)：此題是一道較為復(fù)雜的題，觀察的出發(fā)點主要有3點：① 形狀變化；② 位置變化；③ 顏色變化。例7四個小動物排座位，一開始，小鼠坐在第1號位子上，小猴坐在第2號，小兔坐在第3號，小貓坐在第4號.以后它們不停地交換位子，第一次上下兩排交換.第二次是在第一次交換后左右兩列交換，第三次再上下兩排交換，第四次再左右兩列交換…這樣一直換下去.問：第十次交換位子后，小兔坐在第幾號位子上？〔參看以下圖〕分析 這是“華羅庚金杯〞第二屆初賽的一道試題，如果有充裕的時間，我們當(dāng)然可以把十次變化的圖都畫出來，從而得到答案.10并不是一個很大的數(shù)字，因此這樣的方法雖然麻煩，卻也是行之有效的.然而，在初賽中，此題的思考時間只有30秒，不可能一步步把圖畫出來，這就要求我們仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，找出規(guī)律再做題。方法1：因為題目中問的只是第十次交換位子后，小兔的位子是幾.因此，我們只需考慮小兔的位子變化規(guī)律，小兔剛開始時在3號位子，記為③，那么次交換座位，小兔的座位按順時針方向轉(zhuǎn)動一格，每四次交換座位后，小兔又回到原處，知道了這個規(guī)律，就不難得出答案.即10次后，小兔到了第2號位子。方法2：受方法一的啟示，我們可以思考，其他小動物的變化規(guī)律怎樣？四個小動物的整體變化規(guī)律又怎樣呢？事實上，當(dāng)我們仔細(xì)觀察示意圖時會發(fā)現(xiàn)，開始的圖沿順時針方向旋轉(zhuǎn)兩格〔即180°〕時，恰得到第二次交換位子后的圖，由此可以知道，每一次上下交換后再一次左右交換的結(jié)果就相當(dāng)于把原圖沿順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，第十次交換位子后，相當(dāng)于是這些小動物沿順時針方向轉(zhuǎn)了4圈半，這樣，我們就得到了小兔的位子及它們的整體變化規(guī)律.但其中需注意一點的是：單獨一次上下〔或左右〕的交換與旋轉(zhuǎn)90°得到的結(jié)果是不同的.小貓、小鼠的位子變化規(guī)律是沿逆時針方向，而小猴的位子變化規(guī)律與小兔相似。解：第十次交換位子后，小兔到了2號位子。例8將A、B、C、D、E、F六個字母分別寫在正方體的六個面上，從下面三種不同擺法中判斷這個正方體中，哪些字母分別寫在相對的面上。分析 此題所給的是一組立體幾何圖形.但是，我們注意到：由于圖〔a〕、〔b〕、〔c〕都是同一個正方體的不同擺法，所以，〔a〕、〔b〕、〔c〕可以通過旋轉(zhuǎn)來互相轉(zhuǎn)化，這三個圖形中，字母C所在的一面始終不改變位置.因此，這三個圖形的轉(zhuǎn)化只能是前后轉(zhuǎn)動.把圖〔a〕向后翻轉(zhuǎn)一次〔90°〕得圖〔b〕，由此可知，字母A的對面是D，把圖〔a〕向前翻轉(zhuǎn)一次〔90°〕得圖〔c〕，所以，字母B的對面是字母E，最后得出只有字母C、F相對。解：正方體中，相對的字母分別是A—D、B—E、C—F。總結(jié)：一般地說，在觀察圖形變化的規(guī)律時，應(yīng)抓住以下幾點來考慮問題：1.圖形數(shù)量的變化；2.圖形形狀的變化；3.圖形大小的變化；4.圖形顏色的變化；5.圖形位置的變化；6.圖形繁簡的變化等。對較復(fù)雜的圖形，也可分成幾局部來分別考慮.總而言之，只要全面觀察，勤于思考，就一定能抓住規(guī)律、解決問題。習(xí)題五1.順序觀察下面圖形，并按其變化規(guī)律在“？〞處填上適宜的圖形。2.一個正方體的小木塊，1與6、2與5、3與4分別是相對面，如照以下圖那樣放置，并按圖中箭頭指示的方向翻動，那么木塊翻動到第5格時，木塊正上方那一面的數(shù)字是多少？

習(xí)題五解答1.解：①圖〔a〕到〔b〕的規(guī)律也就是圖〔c〕到〔d〕的規(guī)律，所以①中“？〞處應(yīng)填的是以下圖。②圖〔a〕和〔c〕的規(guī)律就是圖〔b〕到〔d〕的規(guī)律，也即把原圖沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°.因此②中“？〞處的圖形是下圖.③圖〔c〕處的圖形應(yīng)是以下圖。④把圖形分為頂部、中部和底局部別考慮，④中“？〞處的圖形應(yīng)是以下圖.2.答.是3.第六講 找簡單數(shù)列的規(guī)律日常生活中，我們經(jīng)常接觸到許多按一定順序排列的數(shù)，如：自然數(shù)：1，2，3，4，5，6，7，… 〔1〕年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996〔2〕某年級各班的學(xué)生人數(shù)〔按班級順序一、二、三、四、五班排列〕45，45，44，46，45 〔3〕像上面的這些例子，按一定次序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項，其中第1個數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項，第2個數(shù)稱為第2項，…，第n個數(shù)就稱為第n項.如數(shù)列〔3〕中，第1項是45，第2項也是45，第3項是44，第4項是46，第5項45。根據(jù)數(shù)列中項的個數(shù)分類，我們把項數(shù)有限的數(shù)列〔即有有窮多個項的數(shù)列〕稱為有窮數(shù)列，把項數(shù)無限的數(shù)列〔即有無窮多個項的數(shù)列〕稱為無窮數(shù)列，上面的幾個例子中，〔2〕〔3〕是有窮數(shù)列，〔1〕是無窮數(shù)列。研究數(shù)列的目的是為了發(fā)現(xiàn)其中的內(nèi)在規(guī)律性，以作為解決問題的依據(jù)，本講將從簡單數(shù)列出發(fā)，來找出數(shù)列的規(guī)律。例1觀察下面的數(shù)列，找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律，在括號中填上適宜的數(shù).①2，5，8，11，〔〕，17，20。②19，17，15，13，〔〕，9，7。③1，3，9，27，〔〕，243。④64，32，16，8，〔〕，2。⑤1，1，2，3，5，8，〔〕，21，34…⑥1，3，4，7，11，18，〔〕，47…⑦1，3，6，10，〔〕，21，28，36，〔〕.⑧1，2，6，24，120，〔〕，5040。⑨1，1，3，7，13，〔〕，31。⑩1，3，7，15，31，〔〕，127，255。(11)1，4，9，16，25，〔〕，49，64。(12)0，3，8，15，24，〔〕，48，63。(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，〔〕.(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，〔〕.分析與解答①不難發(fā)現(xiàn)，從第2項開始，每一項減去它前面一項所得的差都等于3.因此，括號中應(yīng)填的數(shù)是14，即：11＋3=14。② 同①考慮，可以看出，每相鄰兩項的差是一定值2.所以，括號中應(yīng)填11，即：13—2=11。不妨把①與②聯(lián)系起來繼續(xù)觀察，容易看出：數(shù)列①中，隨項數(shù)的增大，每一項的數(shù)值也相應(yīng)增大，即數(shù)列①是遞增的；數(shù)列②中，隨項數(shù)的增大，每一項的值卻依次減小，即數(shù)列②是遞減的.但是除了上述的不同點之外，這兩個數(shù)列卻有一個共同的性質(zhì)：即相鄰兩項的差都是一個定值.我們把類似①②這樣的數(shù)列，稱為等差數(shù)列.③1，3，9，27，〔〕，243。此數(shù)列中，從相鄰兩項的差是看不出規(guī)律的，但是，從第2項開始，每一項都是其前面一項的3倍.即：3=1×3，9=3×3，27=9×3.因此，括號中應(yīng)填81，即81=27×3，代入后，243也符合規(guī)律，即243＝81×3。④64，32，16，8，〔〕，2與③類似，此題中，從第1項開始，每一項為哪一項其后面一項的2倍，即：因此，括號中填4，代入后符合規(guī)律。綜合③④考慮，數(shù)列③是遞增的數(shù)列，數(shù)列④是遞減的數(shù)列，但它們卻有一個共同的特點：每列數(shù)中，相鄰兩項的商都相等.像③④這樣的數(shù)列，我們把它稱為等比數(shù)列。⑤1，1，2，3，5，8，〔 〕，21，34…首先可以看出，這個數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.現(xiàn)在我們不妨看看相鄰項之間是否還有別的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)，從第3項開始，每一項等于它前面兩項的和.即2=1+1，

3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括號中應(yīng)填的數(shù)是13，即13=5+8，21=8+13，34=13+21。這個以1，1分別為第1、第2項，以后各項都等于其前兩項之和的無窮數(shù)列，就是數(shù)學(xué)上有名的斐波那契數(shù)列，它來源于一個有趣的問題：如果一對成熟的兔子一個月能生一對小兔，小兔一個月后就長成了大兔子，于是，下一個月也能生一對小兔子，這樣下去，假定一切情況均理想的話，每一對兔子都是一公一母，兔子的數(shù)目將按一定的規(guī)律迅速增長，按順序記錄每個月中所有兔子的數(shù)目〔以對為單位，一月記一次〕，就得到了一個數(shù)列，這個數(shù)列就是數(shù)列⑤的原型，因此，數(shù)列⑤又稱為兔子數(shù)列，這些在高年級遞推方法中我們還要作詳細(xì)介紹。⑥1，3，4，7，11，18，〔 〕，47…在學(xué)習(xí)了數(shù)列⑤的前提下，數(shù)列⑥的規(guī)律就顯而易見了，從第3項開始，每一項都等于其前兩項的和.因此，括號中應(yīng)填的是29，即29=11＋18。數(shù)列⑥不同于數(shù)列⑤的原因是：數(shù)列⑥的第2項為3，而數(shù)列⑤為1，數(shù)列⑥稱為魯卡斯數(shù)列。⑦1，3，6，10，〔 〕，21，28，36，〔 〕。方法1：繼續(xù)考察相鄰項之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：因此，可以猜測，這個數(shù)列的規(guī)律為：每一項等于它的項數(shù)與其前一項的和，那么，第5項為15，即15=10+5，最后一項即第9項為45，即45＝36＋9.代入驗算，正確。方法2：其實，這一列數(shù)有如下的規(guī)律：第1項：1=1第2項：3=1＋2第3項：6=1+2+3第4項：10=1+2+3+4第5項：〔 〕第6項：21=1+2+3+4+5+6第7項：28=1+2+3+4+5+6+7第8項；36=1+2+3+4+5+6+7+8第9項：〔 〕即這個數(shù)列的規(guī)律是：每一項都等于從1開始，以其項數(shù)為最大數(shù)的n個連續(xù)自然數(shù)的和.因此，第五項為15，即：15=1+2+3+4+5；第九項為45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。⑧1，2，6，24，120，〔 〕，5040。方法1：這個數(shù)列不同于上面的數(shù)列，相鄰項相加減后，看不出任何規(guī)律.考慮到等比數(shù)列，我們不妨研究相鄰項的商，顯然：所以，這個數(shù)列的規(guī)律是：除第1項以外的每一項都等于其項數(shù)與其前一項的乘積.因此，括號中的數(shù)為第6項720，即720=120×6。方法2：受⑦的影響，可以考慮連續(xù)自然數(shù)，顯然：第1項1=1第2項2=1×2第3項6=1×2×3第4項24=1×2×3×4第5項120=1×2×3×4×5第6項 〔 〕第7項5040=1×2×3×4×5×6×7所以，第6項應(yīng)為1×2×3×4×5×6=720⑨1，1，3，7，13，〔 〕，31與⑦類似：可以猜測，數(shù)列⑨的規(guī)律是該項=前項+2×〔項數(shù)-2〕〔第1項除外〕，那么，括號中應(yīng)填21，代入驗證，符合規(guī)律。⑩1，3，7，15，31，〔 〕，127，255。那么：因此，括號中的數(shù)應(yīng)填為63。小結(jié)：尋找數(shù)列的規(guī)律，通常從兩個方面來考慮：①尋找各項與項數(shù)間的關(guān)系；②考慮相鄰項之間的關(guān)系.然后，再歸納總結(jié)出一般的規(guī)律。事實上，數(shù)列⑦或數(shù)列⑧的兩種方法，就是分別從以上兩個不同的角度來考慮問題的.但有時候，從兩個角度的綜合考慮會更有利于問題的解決.因此，仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，會使我們的學(xué)習(xí)更上一層樓。在⑩題中，1=2-13=22-17=23-1

15=24-131=25-1127=27-1255=28-1所以，括號中為26-1即63?！?1〕1，4，9，16，25，〔 〕，49，64.1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，49=7×7，64=8×8，即每項都等于自身項數(shù)與項數(shù)的乘積，所以括號中的數(shù)是36。此題各項只與項數(shù)有關(guān)，如果從相鄰項關(guān)系來考慮問題，勢必要走彎路。(12)0，3，8，15，24，〔 〕，48，63。仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)數(shù)列(12)的每一項加上1正好等于數(shù)列(11)，因此，本數(shù)列的規(guī)律是項=項數(shù)×項數(shù)-1.所以，括號中填35，即35=6×6-1。(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，〔 〕。前面的方法均不適用于這個數(shù)列，在觀察的過程中，可以發(fā)現(xiàn)，本數(shù)列中的某些數(shù)是很有規(guī)律的，如1，2，3，4，5，而它們恰好是第1項、第3項、第5項、第7項和第9項，所以不妨把數(shù)列分為奇數(shù)項〔即第1，3，5，7，9項〕和偶數(shù)項〔即第2，4，6，8項〕來考慮，把數(shù)列按奇數(shù)和偶數(shù)項重新分組排列如下：奇數(shù)項：1，2，3，4，5偶數(shù)項：2，4，8，16可以看出，奇數(shù)項構(gòu)成一等差數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成一等比數(shù)列.因此，括號中的數(shù)，即第10項應(yīng)為32〔32=16×2〕。(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，〔 〕。同上考慮，把數(shù)列分為奇、偶項：偶數(shù)項：2，4，6，8，10奇數(shù)項：1，3，9，27，〔 〕.所以，偶數(shù)項為等差數(shù)列，奇數(shù)項為等比數(shù)列，括號中應(yīng)填81〔81=27×3〕。像(13)(14)這樣的數(shù)列，每個數(shù)列中都含有兩個系列，這兩個系列的規(guī)律各不相同，類似這樣的數(shù)列，稱為雙系列數(shù)列或雙重數(shù)列。例2下面數(shù)列的每一項由3個數(shù)組成的數(shù)組表示，它們依次是：〔1，3，5〕，〔2，6，10〕，〔3，9，15〕…問：第100個數(shù)組內(nèi)3個數(shù)的和是多少？方法1：注意觀察，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)組的第1個分量依次是：1，2，3…構(gòu)成等差數(shù)列，所以第100個數(shù)組中的第1個數(shù)為100；這些數(shù)組的第2個分量3，6，9…也構(gòu)成等差數(shù)列，且3=3×1，6=3×2，9=3×3，所以第100個數(shù)組中的第2個數(shù)為3×100=300；同理，第3個分量為5×100=500，所以，第100個數(shù)組內(nèi)三個數(shù)的和為100+300+500=900。方法2：因為題目中問的只是和，所以可以不去求組里的三個數(shù)而直接求和，考察各組的三個數(shù)之和。第1組：1+3+5=9，第2組：2+6+10=18第3組：3+9+15=27…，由于9=9×1，18=9×2，27=9×3，所以9，18，27…構(gòu)成一等差數(shù)列，第100項為9×100=900，即第100個數(shù)組內(nèi)三個數(shù)的和為900。例3按以下圖分割三角形，即：①把三角形等分為四個相同的小三角形〔如圖〔b〕〕；②把①中的小三角形〔尖朝下的除外〕都等分為四個更小的三角形〔如圖〔C〕〕…繼續(xù)下去，將會得到一系列的圖，依次把這些圖中不重疊的三角形的個數(shù)記下來，成為一個數(shù)列：1，4，13，40…請你繼續(xù)按分割的步驟，以便得到數(shù)列的前5項.然后，仔細(xì)觀察數(shù)列，從中找出規(guī)律，并依照規(guī)律得出數(shù)列的第10項，即第9項分割后所得的圖中不重疊的小三角形的個數(shù).分析與解答第4次分割后的圖形如左圖：因此，數(shù)列的第5項為121。這個數(shù)列的規(guī)律如下：第1項1第2項4=1+3第3項13=4+3×3第4項40=13+3×3×3第5項121=40+3×3×3×3或者寫為：第1項1=1第2項4=1+31第3項13=1＋3＋32第4項40=1＋3＋32＋33第5項121=1＋3＋32+33＋34因此，第10項也即第9次分割后得到的不重疊的三角形的個數(shù)是29524。例4在下面各題的五個數(shù)中，選出與其他四個數(shù)規(guī)律不同的數(shù)，并把它劃掉，再從括號中選一個適宜的數(shù)替換。①42，20，18，48，24〔21，54，45，10〕②15，75，60，45，27〔50，70，30，9〕③42，126，168，63，882〔27，210，33，25〕解：①中，42、18、48、24都是6的倍數(shù)，只有20不是，所以，劃掉20，用54代替。②15、75、60、45都是15的整數(shù)倍數(shù)，而27不是，用30來替換27。③同上分析，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)中，42、126、128、882都是42的整數(shù)倍，而63卻不是.因此，用210來代替63。習(xí)題六按一定的規(guī)律在括號中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：1.1，2，3，4，5，〔 〕，7…2.100，95，90，85，80，〔 〕，703.1，2，4，8，16，〔 〕，64

5.2，1，3，4，7，〔 〕，18，29，476.1，2，5，10，17，〔 〕，37，507.1，8，27，64，125，〔 〕，3438.1，9，2，8，3，〔 〕，4，6，5，5習(xí)題六解答1.等差數(shù)列，括號處填6。2.等差數(shù)列，括號處填75。3.等比數(shù)列，括號處填32。5.相鄰兩項的和等于下一項，括號處填11。6.后項-前項=前項的項數(shù)×2-1，括號處填26。7.立方數(shù)列，即每一項等于其項數(shù)乘以項數(shù)再乘以項數(shù)，括號處填216。8.雙重數(shù)列，括號處填7.第七講 填算式〔一〕在這一講中介紹填算式的未知數(shù)的方法.我們將根據(jù)算式中給定的運算關(guān)系或數(shù)量關(guān)系，利用運算法那么和推理的方法把待定的數(shù)字確定出來.研究和解決這一類問題對學(xué)生觀察能力、分析和解決問題的能力，以及聯(lián)想、試探、歸納等思維能力的培養(yǎng)有重要的作用。例1在下面算式的空格中，各填入一個適宜的數(shù)字，使算式成立.分析 這是一個三位數(shù)加上一個四位數(shù)，其和為五位數(shù)，因此和的首位數(shù)字為1，進(jìn)一步分析，由于百位最多向千位進(jìn)1，所以第二個加數(shù)的千位數(shù)問題得解.例2在下面算式的空格內(nèi)各填入一個適宜的數(shù)字，使算式成立。分析 這是一個四位數(shù)加上一個四位數(shù)，其和仍為四位數(shù).先從個位入手，解：此題有以下兩解。例3用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個數(shù)字組成下面的加法算式，每個數(shù)字只許用一次，現(xiàn)已寫出三個數(shù)字，請把這個算式補(bǔ)齊.分析 由于三位數(shù)加三位數(shù)，其和為四位數(shù)，所以和的首位數(shù)字為1，第一個加數(shù)的百位數(shù)字為9或7。如果第一個加數(shù)的百位數(shù)字為9，那么和的百位數(shù)字為1或2，而1和2都已用過，所以第一個加數(shù)的百位數(shù)字不為9。如果第一個加數(shù)的百位數(shù)字為7，那么和的百位數(shù)字必為0，且十位必向百位進(jìn)1.現(xiàn)在還剩下9，6，5，3這四個數(shù)字，這里只有一個偶數(shù)，如果放在第二個加數(shù)〔或和〕的個位，那么和〔或第二個加數(shù)〕的個位也必為偶的十位數(shù)字為6，和的十位數(shù)字為5。解：例4在下面算式的空格內(nèi)填上適宜的數(shù)字，使算式成立。分析 由于被減數(shù)是三位數(shù)，減數(shù)是兩位數(shù)，差是一位數(shù)，所以被減數(shù)的首位數(shù)字為1，且十位必向百位借1，由于差是一位數(shù)，所以個位必向十位借1.因此，被減數(shù)的個位數(shù)字為0，被減數(shù)的十位數(shù)字也為0。解：例5在下面算式的空格內(nèi)各填入一個適宜的數(shù)字，使算式成立。分析 這是一個四位數(shù)減去一個四位數(shù)，差仍為四位數(shù).先看個位，由于解：

例6在下面算式的空格內(nèi)各填入一個適宜的數(shù)字，使算式成立.分析 這是一道加減混合的填算式題，為了便于分析，可以把加法、減法分開考慮：觀察這兩個算式，減法算式空格內(nèi)的數(shù)字容易填。①減法算式由于被減數(shù)是四位數(shù)，減數(shù)是三位數(shù)，差為一位數(shù)，所以被減數(shù)為1000，減數(shù)為999，因此，加法算式的和就了。②加法算式解：習(xí)題七1.在下面的加法算式的空格內(nèi)各填入一個適宜的數(shù)字，使算式成立.2.在下面減法算式的空格內(nèi)各填入一個適宜的數(shù)字，使算式成立.3.在下面的算式中，每個方框代表一個數(shù)字，問每個算式中所有方框中的數(shù)字的總和各是多少？4.在下面算式的空格內(nèi)各入一個適宜的數(shù)字，使算式成立.習(xí)題七解答由于前四種解中第一個加數(shù)的十位與第三個加數(shù)的十位可互換，所以共有9種解法。

2．共六個解。3.此題主要從各數(shù)位上的進(jìn)位情況加以分析，而不必把每個空格所代表的數(shù)字求出來。①由于個位相加的和為9，十位相加的和為14，所以所有方框中的數(shù)字總和為9＋14=23。②由于個位相加的和為13，十位相加的和為18，百位相加的和為18，所以所有方框中的數(shù)字總和為13+18+18=49。4．第八講 填算式〔二〕上一講介紹了在加、減法算式中，根據(jù)幾個數(shù)字之間的關(guān)系、運算法那么和邏輯推理的方法，如何進(jìn)行推斷，從而確定未知數(shù)的分析思考方法.在乘、除法算式中，與加減法算式中的分析方法類似，下面通過幾個例題來說明這類問題的解決方法。例1在右面算式的方框中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使算式成立。所以乘數(shù)的十位數(shù)字為8或9，經(jīng)試驗，乘數(shù)的十位數(shù)字為8。被乘數(shù)和乘數(shù)確定了，其他方框中的數(shù)字也就容易確定了。解：例2媽媽叫小燕上街買白菜，鄰居張老師也叫小燕順便代買一些.小燕買回來就開始算帳，她列的豎式有以下三個，除三式中寫明的數(shù)字和運算符號外，其余的由于不小心都被擦掉了.請你根據(jù)三個殘缺的算式把方框中原來的數(shù)字重新填上。兩家買白菜數(shù)量〔斤〕：小燕家買菜用錢〔分〕：張老師家買菜用錢〔分〕：分析 解決問題的關(guān)鍵在于算式①，由于算式①是兩個一位數(shù)相加，且和的個位為7，因此這兩個加數(shù)為8和9。算式②與③的被乘數(shù)應(yīng)為白菜的單價，考慮這個兩位數(shù)乘以8的積為兩位數(shù)，所以這個兩位數(shù)應(yīng)小于13，再考慮這個兩位數(shù)乘以9的積為三位數(shù)，所以這個兩位數(shù)應(yīng)大于11.因此這個兩位數(shù)為12。例3在下面算式的空格內(nèi)各填入一個適宜的數(shù)字，使算式成立。

解：例4下式中，“□〞表示被擦掉的數(shù)字，那么這十三個被擦掉的數(shù)字的和是多少？9乘以1～9中的哪個數(shù)字都不可能出現(xiàn)個位為0，進(jìn)而被乘數(shù)的個位數(shù)字不為9，只能為4，那么乘數(shù)的十位數(shù)字必為5.與乘數(shù)的個位數(shù)字6相乘的積的十位數(shù)字為0，考慮3×6=18，8×6=48，的積的十位數(shù)字為7，所以被乘數(shù)的十位數(shù)字為3.再由于被千位數(shù)字為1.因而問題得到解決。解：∴1+3+4+5+7+4+6+1+6+9＋1＋0+4=51。例5某存車處有假設(shè)干輛自行車.車的輛數(shù)與車輪總數(shù)都是三位數(shù)，且組成這兩個三位數(shù)六個數(shù)字是2、3、4、5、6、7，那么存車處有多少輛自行車？分析 此題仍屬于填算式問題，因為車輛數(shù)乘以2就是車輪總數(shù)，所以此題可轉(zhuǎn)化為把2、3、4、5、6、7分別填在下面的方框中，每個數(shù)字使用一次，使算式成立.此題的關(guān)鍵在于確定被乘數(shù)——即自行車的輛數(shù)。因為一個三位數(shù)乘以2的積仍為三位數(shù)，所以被乘數(shù)的首位數(shù)字可以為2、3或4。①假設(shè)被乘數(shù)的首位數(shù)字為2，那么積的首位數(shù)字為4或5?！瞚〕假設(shè)積的首位數(shù)字為4，那么積的個位數(shù)字必為6，由此可知，被乘數(shù)的個位數(shù)字為3. 這時只乘下5和7這兩個數(shù)字，不管怎樣填，都不可能使算式成立?！瞚i〕假設(shè)積的首位數(shù)字為5，說明乘數(shù)2與被乘數(shù)的十位數(shù)字相乘后必須向百位進(jìn)1，所以被乘數(shù)的十位數(shù)字可以為6或7。假設(shè)被乘數(shù)的十位數(shù)字為6，那么積的個位數(shù)字為4，那么被乘數(shù)的個位數(shù)字便為7，積的十位數(shù)字為3.得到問題的一個解：假設(shè)被乘數(shù)的十位數(shù)字為7，那么積的個位數(shù)字為4或6，但由于2和7都已被使用，所以積的個位數(shù)字不可能為4，因而只能為6.由此推出被乘數(shù)的個位數(shù)字為3，那么積的十位數(shù)字為4.得到問題的另一解：②假設(shè)被乘數(shù)的首位數(shù)字為3，那么積的首位數(shù)字為6或7?！瞚〕假設(shè)積的首位數(shù)字為6，那么積的個位數(shù)字只能為4，那么被乘數(shù)的個位數(shù)字為2或7。假設(shè)被乘數(shù)的個位數(shù)字為2，那么還剩下5和7這兩個數(shù)字，不管怎樣填，都不可能使算式成立。假設(shè)被乘數(shù)的個位數(shù)字為7，那么這時剩下2和5這兩個數(shù)字，那么被乘數(shù)的十位數(shù)字為2，積的十位數(shù)字為5.得到問題的第三個解 ：〔ii〕假設(shè)積的首位數(shù)字為7，那么被乘數(shù)的十位數(shù)字為5或6。假設(shè)被乘數(shù)的十位數(shù)字為5，那么積的十位數(shù)字只能為0或1，與矛盾，所以被乘數(shù)的十位數(shù)字不為5。假設(shè)被乘數(shù)的十位數(shù)字為6，那么積的個位數(shù)字必為4，因而被乘數(shù)的個位數(shù)字為2，此時5已無法使算式成立，因此被乘數(shù)的十位數(shù)字也不為6。③由于2、3、4、5、6、7這六個數(shù)字中，最大的為7，因而被乘數(shù)的首位數(shù)字不可能為4。解：因為所以存車處有267輛、273輛或327輛自行車。習(xí)題八1.在以下乘法算式的空格內(nèi)各填入一個適宜的數(shù)字，使算式成立。

2.在以下除法算式的空格內(nèi)各填入一個適宜的數(shù)字，使算式成立.3.某數(shù)的個位數(shù)字為2，假設(shè)把2換到此數(shù)的首位，那么此數(shù)增加一倍，問原來這個數(shù)最小是多少？4.一個四位數(shù)被一位數(shù)A除得〔1〕式，被另一個一位數(shù)B除得〔2〕式，求這個四位數(shù)。5.在右面的“□〞內(nèi)填入1～8〔每個數(shù)字必須用一次〕，使算式成立.習(xí)題八解答1.③共有十三個解.④共有四個解。2.

共六個解。3.原數(shù)最小是。4.當(dāng)A=3，B=2時，這個四位數(shù)為1014，當(dāng)A=9，B=5時，這個四位數(shù)為1035。5.有兩個解。第九講 數(shù)字謎〔一〕數(shù)字謎是一種有趣的數(shù)學(xué)問題.它的特點是給出運算式子，但式中某些數(shù)字是用字母或漢字來代表的，要求我們進(jìn)行恰當(dāng)?shù)呐袛嗪屯评?，從而確定這些字母或漢字所代表的數(shù)字.這一講我們主要研究加、減法的數(shù)字謎。例1右面算式中每一個漢字代表一個數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字.當(dāng)它們各代表什么數(shù)字時算式成立？分析 由于是三位數(shù)加上三位數(shù)，其和為四位數(shù)，所以“真〞=1.由于十位最多向百位進(jìn)1，因而百位上的“是〞=0，“好〞=8或9。①假設(shè)“好〞=8，個位上因為8+8＝16，所以“啊〞=6，十位上，由于6＋0＋1=7≠8，所以“好〞≠8。②假設(shè)“好〞=9，個位上因為9＋9=18，所以“啊〞=8，十位上，8＋0＋1=9，百位上，9＋1=10，因而問題得解。真=1，是=0，好=9，啊=8例2下面的字母各代表什么數(shù)字，算式才能成立？分析 由于四位數(shù)加上四位數(shù)其和為五位數(shù)，所以可確定和的首位數(shù)字E＝1.又因為個位上D＋D＝D，所以D=0.此時算式為：下面分兩種情況進(jìn)行討論：①假設(shè)百位沒有向千位進(jìn)位，那么由千位可確定A=9，由十位可確定C=8，由百位可確定B=4.因此得到問題的一個解：②假設(shè)百位向千位進(jìn)1，那么由千位可確定A=8，由十位可確定C＝7，百位上不管B為什么樣的整數(shù)，B+B和的個位都不可能為7，因此此時不成立。解：A=9，B=4，C=8，D=0，E=1.例3在下面的減法算式中，每一個字母代表一個數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字，那么D＋G=？分析 由于是五位數(shù)減去四位數(shù)，差為三位數(shù)，所以可確定A=1，B=0，E=9.此時算式為：分成兩種情況進(jìn)行討論：①假設(shè)個位沒有向十位借1，那么由十位可確定F=9，但這與E=9矛盾。②假設(shè)個位向十位借1，那么由十位可確定F=8，百位上可確定C=7.這時只剩下2、3、4、5、6五個數(shù)字，由個位可確定出：解：因為所以D＋G=2＋4=6或D＋G=3＋5=8或D＋G=4＋6=10例4右面的算式中不同的漢字表示不同的數(shù)字，相同的漢字表示相同的數(shù)字.如果巧+解+數(shù)+字+謎=30，那么“巧解數(shù)字謎〞所代表的五位數(shù)是多少？分析 觀察算式的個位，由于謎+謎+謎+謎+謎和的個位還是“謎〞，所以“謎〞＝0或5。

①假設(shè)“謎〞=0，那么巧+解+數(shù)+字=30，因為9+8＋7＋6=30，那么“巧〞、“解〞、“數(shù)〞、“字〞這四個漢字必是9、8、7、6這四個數(shù)字.而十位上，9＋9＋9＋9=36，36的個位不為9，8+8+8＋8=32，32的個位不為8，7＋7＋7＋7=28，28的個位不為7，6＋6＋6＋6+=24，24的個位不為6，因而得出“字〞≠9、8、7、6，矛盾，因此“謎〞≠0。②假設(shè)“謎〞=5，那么巧+解+數(shù)+字=25.觀察這個算式的十位，由于字+字+字+字+2和的個位還是“字〞，所以“字〞=6，那么巧+解+數(shù)=19.再看算式的百位，由于數(shù)+數(shù)+數(shù)+2和的個位還是“數(shù)〞，因而“數(shù)〞=4或9，假設(shè)“數(shù)〞=4，那么“解〞＝9.因而“巧〞=19-4-9＝6，“賽〞=5，與“謎〞=5重復(fù)，因此“數(shù)〞≠4，所以“數(shù)〞=9，那么“巧〞+“解〞＝10.最后看算式的千位，由于“解〞+“解〞+2和的個位還是“解〞，所以“解〞＝8，那么“巧〞=2，因此“賽〞＝1.問題得解。因此，“巧解數(shù)字謎〞所代表的五位數(shù)為28965。例5英文“HALLEY〞表示“哈雷〞，“COMET〞表示“彗星〞，“EARTH〞表示地球.在下面的算式中，每個字母均表示0～9中的某個數(shù)字，且相同的字母表示相同的數(shù)字，不同的字母表示不同的數(shù)字.這些字母各代表什么數(shù)字時，算式成立？分析 因為是一個六位數(shù)減去一個五位數(shù)，其差為五位數(shù)，所以可確定被減數(shù)的首位數(shù)字H＝1.假設(shè)個位沒有向十位借1，那么十位上E-E=0，有T=0，那么個位上，Y-0＝1，得Y＝1，與H=1矛盾，所以個位要向十位借1，于是十位必向百位借1，那么十位上，10＋E-1-E＝9，那么T=9，因此，由個位可確定Y＝0.此時算式為：①假設(shè)百位不向千位借位，那么有R＋M＋1=L，這時剩下數(shù)字2、3、4、5、6、7、8，因為2＋3＋1=6，所以L最小為6。假設(shè)L=6，那么〔R，M〕=〔2，3〕〔表示R、M為2、3這兩個數(shù)字，其中R可能為2，也可能為3，M也同樣〕.這時還剩下4、5、7、8這四個數(shù)字，由千位上有O+A=6，而在4、5、7、8這四個數(shù)字中，不管哪兩個數(shù)字相加，和都不可能為6，因此L≠6.假設(shè)L＝7，那么M＋R=6，于是〔M，R〕＝〔2，4〕，還剩下3、5、6、8這四個數(shù)字.由千位上O＋A=7，而在3、5、6、8這四個數(shù)字中，不管哪兩個數(shù)字相加，和都不可能為7，因此L≠7。假設(shè)L=8，那么M＋R＝7，〔M，R〕=〔2，5〕或〔M，R〕＝〔3，4〕。假設(shè)〔M，R〕=〔2，5〕，那么還剩下3、4、6、7這四個數(shù)字。由千位可確定O＋A=8，而在3、4、6、7這四個數(shù)字中，不論哪兩個數(shù)字相加，和都不可能為8，因此〔M，R〕≠〔2，5〕。假設(shè)〔M，R〕＝〔3，4〕，那么還剩下2、5、6、7這四個數(shù)字。由千位可確定O＋A=8，而2＋6=8，所以〔O，A〕＝〔2，6〕，最后剩下5和7.因為5＋7＝12，所以可確定A＝2，O=6，那么〔C，E〕＝〔5，7〕.由于C與E可對換，M與R可對換，所以得到問題的四個解：解：②假設(shè)百位向千位借1，那么M＋R＝L＋9.還剩下2、3、4、5、6、7、8。假設(shè)L＝2，那么〔M，R〕＝〔3，8〕或〔M，R〕=〔4，7〕或〔M，R〕＝〔5，6〕.由千位得O+A＝11，那么必有C＋E=11，而萬位上C＋E＝9+A，由此可得A=2，與L＝2矛盾.所以L≠2。假設(shè)L＝3，那么M＋R＝12，〔M，R〕=〔4，8〕或〔M，R〕＝〔5，7〕.由千位得O＋A＝12，這時還剩下2、6這兩個數(shù)字.由萬位得C+E=9＋A，即2＋6=9＋A，A無解.所以L≠3。假設(shè)L＝4，那么M＋R＝13，〔M，R〕＝〔5，8〕或〔M，R〕＝〔6，7〕.由千位得O＋A=13，這時還剩下2和3這兩個數(shù)字.由萬位得C+E＝A+9，即2＋3＝A＋9，A無解.所以L≠4。假設(shè)L=5，那么M＋R＝14，〔M，R〕=〔6，8〕.由千位得O＋A＝14，而在剩下的2、3、4、7這四個數(shù)中，任意兩個數(shù)字的和都不等于14.所以L≠5。假設(shè)L=6，那么M＋R=15，〔M，R〕=〔7，8〕.由千位得O＋A＝5，那么〔O，A〕=〔2，3〕.這時還剩下4和5這兩個數(shù)字，由萬位得C+E＝10+A，即4＋5=10＋A，A無解.所以L≠6。因為M＋R的和最大為15，所以L最大取6。解：

共以上四個解。通過以上幾個例題我們不難看出，認(rèn)真分析算式中隱含的數(shù)量關(guān)系，選擇有特征的局部作為解題的突破口，作出局部的判斷是解數(shù)字謎的關(guān)鍵.其次，在采用試驗法的同時，常借助估值的方法，對某些數(shù)位上的數(shù)字進(jìn)行合理的估計，逐步排除一些不可能的取值，縮小所求數(shù)字的取值范圍，這樣可以加快解題的速度。習(xí)題九1.下面各題中的字母都代表一個數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，問它們各代表什么數(shù)字時，算式成立？2.下面各題中的每一個漢字都代表一個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字，當(dāng)它們各代表什么數(shù)字時，算式成立？3.4.將一個各數(shù)位數(shù)字都不相同的四位數(shù)的數(shù)字順序顛倒過來，得到一個新的四位數(shù)，如果新數(shù)比原數(shù)大7902，那么所有符合這樣條件的原四位數(shù)共有多少個？并把所有符合條件的原四位數(shù)都找出來？習(xí)題九解答1．A=9，B=8A=9，B=8C=7，D=1C=6，D=1E=4，F(xiàn)=0E=