小學三年級奧數(shù)講義定義新運算

定義新運算一、知識要點定義新運算是指運用某種特殊符號來表示特定的意義，從而解答某些算式的一種運算。解答定義新運算，關鍵是要正確地理解新定義的算式含義，然后嚴格按照新定義的計算程序，將數(shù)值代入，轉化為常規(guī)的四那么運算算式進行計算。定義新運算是一種人為的、臨時性的運算形式，它使用的是一些特殊的運算符號，如：*、△、⊙等，這是與四那么運算中的“＋、－、×、÷〞不同的。新定義的算式中有括號的，要先算括號里面的。但它在沒有轉化前，是不適合于各種運算定律的。二、精講精練【例題1】假設a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*〔5*4〕。13*5=〔13+5〕+〔13-5〕=18+8=265*4=〔5+4〕13*5=〔13+5〕+〔13-5〕=18+8=265*4=〔5+4〕+〔5-4〕=1013*〔5*4〕=13*10=〔13+10〕+〔13-10〕=26練習1：1.將新運算“*〞定義為：a*b=(a+b)×(a-b).。求27*9。2.設a*b=a2+2b，那么求10*6和5*〔2*8〕。3△(4△6)＝3△【4×6－〔4+6〕÷2】＝3△19＝4×19－〔3+193△(4△6)＝3△【4×6－〔4+6〕÷2】＝3△19＝4×19－〔3+19〕÷2＝76－11＝65【例題2】設p、q是兩個數(shù)，規(guī)定：p△q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△6)?！舅悸穼Ш健扛鶕x先算4△6。在這里“△〞是新的運算符號。練習2：1．設p、q是兩個數(shù)，規(guī)定p△q＝4×q－〔p+q〕÷2，求5△〔6△4〕。2．設p、q是兩個數(shù)，規(guī)定p△q＝p2+〔p－q〕×2。求30△〔5△3〕。3．設M、N是兩個數(shù)，規(guī)定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。【例題3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________?！舅悸穼Ш健拷涍^觀察，可以發(fā)現(xiàn)此題的新運算“*〞被定義為。因此7*4=7+77+777+7777=8638210*2=210+210210=2104207*4=7+77+777+7777=8638210*2=210+210210=210420練習3：1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么4*4=________。2．規(guī)定，那么8*5=________。3．如果2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那么〔6*3〕÷〔2*6〕=________。A=〔1/⑥－1/⑦A=〔1/⑥－1/⑦〕÷1/⑦=〔1/⑥－1/⑦〕×⑦=⑦/⑥－1=〔6×7×8〕/〔5×6×7〕－1=1又3/5－1=3/5【思路導航】這題的新運算被定義為：@=〔a－1〕×a×〔a＋1〕，據此，可以求出1/⑥－1/⑦=1/〔5×6×7〕－1/〔6×7×8〕，這里的分母都比擬大，不易直接求出結果。根據1/⑥－1/⑦=1/⑦×A，可得出A=(1/⑥－1/⑦)÷1/⑦=〔1/⑥－1/⑦〕×⑦=⑦/⑥－1。即練習4：1．規(guī)定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……如果1/⑧－1/⑨＝1/⑨×A，那么A=________。2．規(guī)定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，……如果1/⑩+1/⑾＝1/⑾×□，那么□＝________。3．如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x※3＝54中，x＝________。4⊙1＝4×4-2×1+1/2×4×1＝16x⊙16＝4x－2×16+1/2×x×16＝12x－3212x－32=3412x=66x＝5.5【例題5】4⊙1＝4×4-2×1+1/2×4×1＝16x⊙16＝4x－2×16+1/2×x×16＝12x－3212x－32=3412x=66x＝5.5【思路導航】先求出小括號中的4⊙1=4×4-2×1+1/2×4×1＝16，再根據x⊙16＝4x－2×16+1/2×x×16=12x－32，然后解方程12x－32=34，求出x的值。列算式為練習5：1．設a⊙b=3a－2b，x⊙〔4⊙1〕＝7求x。2．對兩個整數(shù)a和b定義新運算“△〞：a△b=，求6△4+9△8。3．對任意兩個整數(shù)x和y定于新運算，“*〞：x*y＝〔其中m是一個確定的整數(shù)〕。如果1*2＝1，那么3*12＝________。簡便運算一、知識要點前面我們介紹了運用定律和性質以及數(shù)的特點進行巧算和簡算的一些方法，下面再向同學們介紹怎樣用拆分法〔也叫裂項法、拆項法〕進行分數(shù)的簡便運算。運用拆分法解題主要是使拆開后的一些分數(shù)互相抵消，到達簡化運算的目的。一般地，形如EQ\F(1,a×(a+1))的分數(shù)可以拆成EQ\F(1,a)－EQ\F(1,a+1)；形如EQ\F(1,a×〔a+n〕)的分數(shù)可以拆成EQ\F(1,n)×〔EQ\F(1,a)－EQ\F(1,a+n)〕，形如EQ\F(a+b,a×b)的分數(shù)可以拆成EQ\F(1,a)+EQ\F(1,b)等等。同學們可以結合例題思考其中的規(guī)律。二、精講精練【例題1】計算：EQ\F(1,1×2)+EQ\F(1,2×3)+EQ\F(1,3×4)+…..+EQ\F(1,99×100)原式＝〔1－EQ\F(1,2)〕+〔EQ\F(1,2)－EQ\F(1,3)〕+〔EQ\F(1,3)－EQ\F(1,4)〕+…..+〔EQ\F(1,99)－EQ\F(1,100)〕＝1－EQ\F(1,2)+EQ\F(1,2)－EQ\F(1,3)+EQ\F(1,3)－EQ\F(1,4)+…..+EQ\F(1,99)－EQ\F(1,100)＝1－EQ\F(1,100)＝EQ\F(99,100)練習1計算下面各題：1.EQ\F(1,4×5)+EQ\F(1,5×6)+EQ\F(1,6×7)+…..+EQ\F(1,39×40)2.EQ\F(1,10×11)+EQ\F(1,11×12)+EQ\F(1,12×13)+EQ\F(1,13×14)+EQ\F(1,14×15)3.EQ\F(1,2)+EQ\F(1,6)+EQ\F(1,12)+EQ\F(1,20)+EQ\F(1,30)+EQ\F(1,42)4.1－EQ\F(1,6)+EQ\F(1,42)+EQ\F(1,56)+EQ\F(1,72)【例題2】計算：EQ\F(1,2×4)+EQ\F(1,4×6)+EQ\F(1,6×8)+…..+EQ\F(1,48×50)原式＝〔EQ\F(2,2×4)+EQ\F(2,4×6)+EQ\F(2,6×8)+…..+EQ\F(2,48×50)〕×EQ\F(1,2)＝【〔EQ\F(1,2)－EQ\F(1,4)〕+〔EQ\F(1,4)－EQ\F(1,6)〕+〔EQ\F(1,6)－EQ\F(1,8)〕…..+〔EQ\F(1,48)－EQ\F(1,50)〕】×EQ\F(1,2)＝【EQ\F(1,2)－EQ\F(1,50)】×EQ\F(1,2)＝EQ\F(6,25)練習2計算下面各題：EQ\F(1,3×5)+EQ\F(1,5×7)+EQ\F(1,7×9)+…..+EQ\F(1,97×99)2.EQ\F(1,1×4)+EQ\F(1,4×7)+EQ\F(1,7×10)+…..+EQ\F(1,97×100)3.EQ\F(1,1×5)+EQ\F(1,5×9)+EQ\F(1,9×13)+…..+EQ\F(1,33×37)4.EQ\F(1,4)+EQ\F(1,28)+EQ\F(1,70)+EQ\F(1,130)+EQ\F(1,208)【例題3】計算：1EQ\F(1,3)－EQ\F(7,12)+EQ\F(9,20)－EQ\F(11,30)+EQ\F(13,42)－EQ\F(15,56)原式＝1EQ\F(1,3)－〔EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)〕+〔EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)〕－〔EQ\F(1,5)+EQ\F(1,6)〕+〔EQ\F(1,6)+EQ\F(1,7)〕－〔EQ\F(1,7)+EQ\F(1,8)〕＝1EQ\F(1,3)－EQ\F(1,3)－EQ\F(1,4)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)－EQ\F(1,5)－EQ\F(1,6)+EQ\F(1,6)+EQ\F(1,7)－EQ\F(1,7)－EQ\F(1,8)＝1－EQ\F(1,8)＝EQ\F(7,8)練習3計算下面各題：1.1EQ\F(1,2)+EQ\F(5,6)－EQ\F(7,12)+EQ\F(9,20)－EQ\F(11,30)2.1EQ\F(1,4)－EQ\F(9,20)+EQ\F(11,30)－EQ\F(13,42)+EQ\F(15,56)3.EQ\F(1998,1×2)+EQ\F(1998,2×3)+EQ\F(1998,3×4)+EQ\F(1998,4×5)+EQ\F(1998,5×6)4.6×EQ\F(7,12)－EQ\F(9,20)×6+EQ\F(11,30)×6【例題4】計算：EQ\F(1,2)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,8)+EQ\F(1,16)+EQ\F(1,32)+EQ\F(1,64)原式＝〔EQ\F(1,2)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,8)+EQ\F(1,16)+EQ\F(1,32)+EQ\F(1,64)+EQ\F(1,64)〕－EQ\F(1,64)＝1－EQ\F(1,64)＝EQ\F(63,64)練習4計算下面各題：1.EQ\F(1,2)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,8)+………+EQ\F(1,256)2.EQ\F(2,3)+EQ\F(2,9)+EQ\F(2,27)+EQ\F(2,81)+EQ\F(2,243)3.9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6【例題5】計算：〔1+EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)〕×〔EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)〕－〔1+EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)〕×〔EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)〕設1+EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)＝aEQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)＝b原式＝a×〔b+EQ\F(1,5)〕－〔a+EQ\F(1,5)〕×b＝ab+EQ\F(1,5)a－ab－EQ\F(1,5)b＝EQ\F(1,5)〔a－b〕＝EQ\F(1,5)練習51.〔EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)〕×〔EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)+EQ\F(1,6)〕－〔EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)+EQ\F(1,6)〕×〔EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)〕2.〔EQ\F(1,8)+EQ\F(1,9)+EQ\F(1,10)+EQ\F(1,11)〕×〔EQ\F(1,9)+EQ\F(1,10)+EQ\F(1,11)+EQ\F(1,12)〕－〔EQ\F(1,8)+EQ\F(1,9)+EQ\F(1,10)+EQ\F(1,11)+EQ\F(1,12)〕×〔EQ\F(1,9)+EQ\F(1,10)+EQ\F(1,11)〕〔1+EQ\F(1,1999)+EQ\F(1,2000)+EQ\F(1,2001)〕×〔EQ\F(1,1999)+EQ\F(1,2000)+EQ\F(1,2001)+EQ\F(1,2002)〕－〔1+EQ\F(1,1999)+EQ\F(1,2000)+EQ\F(1,2001)+EQ\F(1,2002)〕×〔EQ\F(1,1999)+EQ\F(1,2000)+EQ\F(1,2001)〕設數(shù)法解題一、知識要點在小學數(shù)學競賽中，常常會遇到一些看起來缺少條件的題目，按常規(guī)解法似乎無解，但仔細分析就會發(fā)現(xiàn)，題目中缺少的條件對于答案并無影響，這時就可以采用“設數(shù)代入法〞，即對題目中“缺少〞的條件，隨便假設一個數(shù)代入〔當然假設的這個數(shù)要盡量的方便計算〕，然后求出解答。二、精講精練【例題1】如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝〔〕個△。解：由第一個等式可以設△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5，再代入第三式左邊是12，所以右邊括號內應填4。說明：此題如果不用設數(shù)代入法，直接用圖形互相代換，顯然要多費周折。練習1：1．△＝○○□□，△○＝□□，☆＝□□□，問△□☆＝〔〕個○。2．五個人比擬身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙比丁高10厘米，丁比戊矮5厘米，甲與戊誰高，高幾厘米？3．甲、乙、丙三個倉庫原有同樣多的貨，從甲倉庫運60噸到乙倉庫，從乙倉庫運45噸到丙倉庫，從丙倉庫運55噸到甲倉庫，這時三個倉庫的貨哪個最多？哪個最少？最多的比最少的多多少噸？【例題2】足球門票15元一張，降價后觀眾增加一倍，收入增加1/5，問一張門票降價多少元？【思路導航】初看似乎缺少觀眾人數(shù)這個條件，實際上觀眾人數(shù)于答案無關，我們可以隨便假設一個觀眾數(shù)。為了方便，假設原來只有一個觀眾，收入為15元，那么降價后有兩個觀眾，收入為15×〔1+1/5〕＝18元，那么降價后每張票價為18÷2＝9元，每張票降價15－9＝6元。即：15－15×〔1+1/5〕÷2＝6〔元〕答：每張票降價6元。說明：如果設原來有a名觀眾，那么每張票降價：15－15a×〔1+1/5〕÷2a＝6〔元〕練習2：1．某班一次考試，平均分為70分，其中3/4及格，及格的同學平均分為80分，那么不及格的同學平均分是多少分？2．游泳池里參加游泳的學生中，小學生占30％，又來了一批學生后，學生總數(shù)增加了20％，小學生占學生總數(shù)的40％，小學生增加百分之幾？3．五年級三個班的人數(shù)相等。一班的男生人數(shù)和二班的女生人數(shù)相等，三班的男生是全部男生的2/5，全部女生人數(shù)占全年級人數(shù)的幾分之幾？【例題3】小王在一個小山坡來回運動。先從山下跑上山，每分鐘跑200米，再從原路下山，每分鐘跑240米，又從原路上山，每分鐘跑150米，再從原路下山，每分鐘跑200米，求小王的平均速度?！舅悸穼Ш健款}中四個速度的最小公倍數(shù)是1200，設一個單程是1200米。那么〔1〕四個單程的和：1200×4＝4800〔米〕〔2〕四個單程的時間分別是；1200÷200＝6〔分〕1200÷240＝5〔分〕1200÷150＝8〔分〕1200÷200＝6〔分〕〔3〕小王的平均速度為：4800÷〔6+5+8+6〕＝192〔米〕答：小王的平均速度是每分鐘192米。練習3：1．小華上山的速度是每小時3千米，下山的速度是每小時6千米，求上山后又沿原路下山的平均速度。2．張師傅騎自行車往返A、B兩地。去時每小時行15千米，返回時因逆風，每小時只行10千米，張師傅往返途中的平均速度是每小時多少千米？3．小王騎摩托車往返A、B兩地。平均速度為每小時48千米，如果他去時每小時行42千米，那么他返回時的平均速度是每小時行多少千米？【例題4】某幼兒園中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多1/5，女孩平均身高比男孩高10％，這個班男孩平均身高是多少？【思路導航】題中沒有男、女孩的人數(shù)，我們可以假設女孩有5人，那么男孩有6人?！?〕總身高：115×【5+5×〔1+1/5〕】＝1265〔厘米〕〔2〕由于女孩平均身高是男孩的〔1+10％〕，所以5個女孩的身高相當于5×〔1+10％〕＝5.5個男孩的身高，因此男孩的平均身高為：1265÷【〔1+10％〕×5+6】＝110〔厘米〕答：這個班男孩平均身高是110厘米。練習4：1．某班男生人數(shù)是女生的2/3，男生平均身高為138厘米，全班平均身高為132厘米。問：女生平均身高是多少厘米？2．某班男生人數(shù)是女生的4/5，女生的平均身高比男生高15％，全班的平均身高是130厘米，求男、女生的平均身高各是多少？3．一個長方形每邊增加10％，那么它的周長增加百分之幾？它的面積增加百分之幾？【例題5】狗跑5步的時間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現(xiàn)在狗已跑出30米，馬開始追它。問狗再跑多遠，馬可以追到它？【思路導航】馬跑一步的距離不知道，跑3步的時間也不知道，可取具體數(shù)值，并不影響解題結果。設馬跑一步為7，那么狗跑一步為4，再設馬跑3步的時間為1，那么狗跑5步的時間為1，推知狗的速度為20，馬的速度為21。那么，20×【30÷〔21－20〕】＝600〔米〕練習5：1．獵狗前面26步遠的地方有一野兔，獵狗追之。兔跑8步的時間狗只跑5步，但兔跑9步的距離僅等于狗跑4步的距離。問兔跑幾步后，被狗抓獲？2．獵人帶獵狗去捕獵，發(fā)現(xiàn)兔子剛跑出40米，獵狗去追兔子。獵狗跑2步的時間兔子跑3步，獵狗跑4步的距離與兔子跑7步的距離相等，求兔再跑多遠，獵狗可以追到它？3．狗和兔同時從A地跑向B地，狗跑3步的距離等于兔跑5步的距離，而狗跑2步的時間等于兔跑3步的時間，狗跑600步到達B地，這時兔還要跑多少步才能到達B地？假設法解題一、知識要點假設法解體的思考方法是先通過假設來改變題目的條件，然后再和條件配合推算。有些題目用假設法思考，能找到巧妙的解答思路。運用假設法時，可以假設數(shù)量增加或減少，從而與條件產生聯(lián)系；也可以假設某個量的分率與另一個量的分率一樣，再根據乘法分配律求出這個分率對應的和，最后依據它與實際條件的矛盾求解。二、精講精練【例題1】甲、乙兩數(shù)之和是185，甲數(shù)的1/4與乙數(shù)的1/5的和是42，求兩數(shù)各是多少？【思路導航】假設將題中“甲數(shù)的1/4〞、“乙數(shù)的1/5〞與“和為42〞同時擴大4倍，那么變成了“甲數(shù)與乙數(shù)的4/5的和為168〞，再用185減去168就是乙數(shù)的1/5。解：乙：〔185－42×4〕÷〔1－1/5×4〕＝85答：甲數(shù)是100，乙數(shù)是85。練習1：1．甲、乙兩人共有錢150元，甲的1/2與乙的1/10的錢數(shù)和是35元，求甲、乙兩人各有多少元錢？2．甲、乙兩個消防隊共有338人。抽調甲隊人數(shù)的1/7，乙隊人數(shù)的1/3，共抽調78人，甲、乙兩個消防隊原來各有多少人？3．海洋化肥廠方案第二季度生產一批化肥，四月份完成總數(shù)的1/3多50噸，五月份完成總數(shù)的2/5少70噸，還有420噸沒完成，第二季度原方案生產多少噸？【例題2】彩色電視機和黑白電視機共250臺。如果彩色電視機賣出1/9，那么比黑白電視機多5臺。問：兩種電視機原來各有多少臺？【思路導航】從圖中可以看出：假設黑白電視機增加5臺，就和彩色電視機賣出1/9后剩下的一樣多。黑白電視機增加5臺后，相當于彩色電視機的〔1－1/9〕＝8/9。〔250+5〕÷〔1+1－1/9〕＝135〔臺〕250－125＝115〔臺〕答：彩色電視機原有135臺，黑白電視機原有115臺。練習2：1．姐妹倆養(yǎng)兔120只，如果姐姐賣掉1/7，還比妹妹多10只，姐姐和妹妹各養(yǎng)了多少只兔？2．學校有籃球和足球共21個，籃球借出1/3后，比足球少1個，原來籃球和足球各有多少個？3．小明甲養(yǎng)的雞和鴨共有100只，如果將雞賣掉1/20，還比鴨多17只，小明家原來養(yǎng)的雞和鴨各有多少只？【例題3】師傅與徒弟兩人共加工零件105個，師傅加工零件個數(shù)的3/8與徒弟加工零件個數(shù)的4/7的和為49個，師、徒各加工零件多少個？【思路導航】假設師、徒兩人都完成了4/7，一個能完成〔105×4/7〕＝60個，和實際相差〔60－49〕＝11個，這11個就是師傅完成將零件的3/8與完成加工零件的4/7相差的個數(shù)。這樣就可以求出師傅加工了【11÷〔4/7－3/8〕】＝56個。即：師傅：〔105×4/7－49〕÷〔4/7－3/8〕＝56〔個〕徒弟：105－56＝49〔個〕答：師傅加工了56個，徒弟加工了49個。練習3：1．某商店有彩色電視機和黑白電視機共136臺，賣出彩色電視機的2/5和黑白電視機的3/7，共賣出57臺。問：原來彩色電視機和黑白電視機各有多少臺？2．甲、乙兩個消防隊共有336人，抽調甲隊人數(shù)的5/7、乙隊人數(shù)的3/7，共抽調188人參加滅火。問：甲、乙兩個消防隊原來各有多少人？3．學校買來足球和排球共64個，從中借出排球個數(shù)的1/4和足球個數(shù)的1/3后，還剩下46個，買來排球和足球各是多少個？【例題4】甲、乙兩數(shù)的和是300，甲數(shù)的2/5比乙數(shù)的1/4多55，甲、乙兩數(shù)各是多少？【思路導航】甲數(shù)的2/5與乙數(shù)的2/5的和就是甲、乙兩數(shù)的2/5，是300×2/5＝120，因為甲數(shù)的2/5比乙數(shù)的1/4多55，所以從120中減去55所得的差就可以看成是乙數(shù)的1/4與乙數(shù)的2/5的和。乙：〔300×2/5－55〕÷〔2/5+1/4〕＝100甲：300－100＝200答：甲數(shù)是200，乙數(shù)是100。練習4：1．畜牧場有綿羊、山羊共800只，山羊的2/5比綿羊的1/2多50只，這個畜牧場有山羊、綿羊各多少只？2．師傅和徒弟共加工零件840個，師傅加工零件的個數(shù)的5/8比徒弟加工零件個數(shù)的2/3多60個，師傅和徒弟各加工零件多少個？3．某校六年級甲、乙兩個班共種100棵樹，乙班種的1/10比甲班種的1/3少16棵，兩個班各種多少棵？【例題5】育紅小學上學期共有學生750人，本學期男學生增加1/6，女學生減少1/5，共有710人，本學期男、女學生各有多少人？【思路導航】假設本學期女學生不是減少1/5，而是增加1/6，半學期應該有750×〔1+1/6〕＝875人，比實際多875－710＝165人，這165人是假設女學生也增加1/6多出的人數(shù)，而實際女學生減少1/5，所以，這165人對應著女學生的〔1/5+1/6〕＝11/30。上學期女生：【750×〔1+1/6〕－710】÷〔1/5+1/6〕＝450〔人〕本學期女生：450×〔1－1/5〕＝360〔人〕本學期男生：710－360＝350〔人〕答：本學期男學生有350人，女學生有360人。練習5：1．金放在水里稱，重量減輕1/19，銀放在水里稱，重量減少1/10，一塊重770克的金銀合金，放在水里稱是720克，這塊合金含金、銀各多少克？2．某中學去年共招新生475人，今年共招新生640人，其中初中招的新生比去年增加48％，高中招的新生比去年增加20％，今年初、高中各招收新生多少人？3．袋子里原有紅球和黃球共119個。將紅球增加3/8，黃球減少2/5后，紅球與黃球的總數(shù)變?yōu)?21個。原來袋子里有紅球和黃球各多少個？第13講代數(shù)法解題一、知識要點有一些數(shù)量關系比擬復雜的分數(shù)應用題，用算術方法解答比擬繁、難，甚至無法列式算式，這時我們可根據題中的等量關系列方程解答。二、精講精練【例題1】某車間生產甲、乙兩種零件，生產的甲種零件比乙種零件多12個，乙種零件全部合格，甲種零件只有4/5合格，兩種零件合格的共有42個，兩種零件個生產了多少個？【思路導航】本體用算術方法解有一定難度，可以根據兩種零件合格的一共有42個，列方程求解。解：設生產乙種零件x個，那么生產甲種零件〔x+12〕個?！瞲+12〕×4/5+x＝42x＝1818+12＝30〔個〕答：甲種零件生產了30個，乙種零件生產了18個。練習1：1．某校參加數(shù)學競賽的女生比男生多28人，男生全部得優(yōu)，女生的3/4得優(yōu)，男、女生得優(yōu)的一共有42人，男、女生參賽的各有多少人？2．有兩盒球，第一盒比第二盒多15個，第二盒中全部是紅球，第一盒中的2/5是紅球，紅球一共有69個，兩盒球共有多少個？3．六年級甲班比乙班少4人，甲班有1/3的人、乙班有1/4的人參加課外數(shù)學組，兩個班參加課外數(shù)學組的共有29人，甲、乙兩班共有多少人？【例題2】閱覽室看書的學生中，男生比女生多10人，后來男生減少1/4，女生減少1/6，剩下的男、女生人數(shù)相等，原來一共有多少名學生在閱覽室看書？【思路導航】根據剩下的男、女人數(shù)相等的題意來列方程求解。解：設女生有x人，那么男生有〔x+10〕人〔1－1/6〕x＝〔x+10〕×〔1－1/4〕x＝9090+90+10＝190人答：原來一共有190名學生在閱覽室看書。練習2：1．某小學去年參加無線電小組的同學比參加航模小組的同學多5人。今年參加無線電小組的同學減少1/5，參加航模小組的人數(shù)減少1/10，這樣，兩個組的同學一樣多。去年兩個小組各有多少人？2．原來甲、乙兩個書架上共有圖書900本，將甲書架上的書增加5/8，乙書架上的書增加3/10，這樣，兩個書架上的書就一樣多。原來甲、乙兩個書架各有圖書多少本？3．某車間昨天生產的甲種零件比乙種零件多700個。今天生產的甲種零件比昨天少1/10，生產的乙種零件比昨天增加3/20，兩種零件共生產了2065個。昨天兩種零件共生產了多少個？【例題3】甲、乙兩校共有22人參加競賽，甲校參加人數(shù)的1/5比乙校參加人數(shù)的1/4少1人，甲、乙兩校各有多少人參加？【思路導航】這題中的等量關系是：甲×1/5＝乙×1/4－1解：設甲校有x人參加，那么乙校有〔22－x〕人參加。1/5x＝〔22－x〕×1/4－1x＝1022－10＝12〔人〕答：甲校有10人參加，乙校有12人參加。練習3：1．學校圖書館買來文藝書和連環(huán)畫共126本，文藝書的比連環(huán)畫的少7本，圖書館買來的文藝書和連環(huán)畫各是多少本？2．某小有學生465人，其中女生的比男生的少20人，男、女生各有多少人？3．王師傅和李師傅共加工零件62個，王師傅加工零件個數(shù)的比李師傅的少2個，兩人各加工了多少個？【例題4】甲書架上的書是乙書架上的5/6，兩個書架上各借出154本后，甲書架上的書是乙書架上的4/7，甲、乙兩書架上原有書各多少本？【思路導航】這道題的等量關系是；甲書架上剩下的書等于乙書架上剩下的4/7。解：設乙書架上原有x本，那么甲書架上原有5/6x本。〔x－154〕×4/7＝5/6x－154x＝252252×5/6＝210〔本〕答：甲書架上原有210本，乙書架上原有252本。練習4：1．兒子今年的年齡是父親的1/6，4年后兒子的年齡是父親的1/4，父親今年多少歲？2．某校六年級男生是女生人數(shù)的2/3，后來轉進2名男生，轉走3名女生，這時男生人數(shù)是女生的3/4。原來男、女生各有多少人？3．第一車間人數(shù)的3/5等于第二車間人數(shù)的9/10，第一車間比第二車間多50人。兩個車間各有多少人？【例題5】一個班女同學比男同學的2/3多4人，如果男生減少3人，女生增加4人，男、女生人數(shù)正好相等。這個班男、女生各有多少人？【思路導航】抓住“如果男生減少3人，女生增加4人，男、女生人數(shù)正好相等〞這個等量關系列方程。解：設男生有x人，那么女生有〔2/3x+4〕人。x－3＝2/3x+4+4x＝332/3×33+4＝26〔人〕答：這個班男生有33人，女生有26人。練習5：1．某學校的男教師比女教師的3/8多8人。如果女教師減少4人，男教師增加8人，男、女教師人數(shù)正好相等。這個學校男、女教師各有多少人？2．某無線電廠有兩個倉庫。第一倉庫儲存的電視機是第二倉庫的3倍。如果從第一倉庫取出30臺，存入第二倉庫，那么第二倉庫就是第一倉庫的4/9。兩個倉庫原來各有電視機多少臺？3．某工廠第一車間的人數(shù)比第二車間的人數(shù)的4/5少30人。如果從第二車間調10人到第一車間，那么第一車間的人數(shù)就是第二車間的3/4。求原來每個車間的人數(shù)。面積計算〔一〕一、知識要點計算平面圖形的面積時，有些問題乍一看，在條件與所求問題之間找不到任何聯(lián)系，會使你感到無從下手。這時，如果我們能認真觀察圖形，分析、研究條件，并加以深化，再運用我們已有的根本幾何知識，適當添加輔助線，搭一座連通條件與所求問題的小“橋〞，就會使你順利到達目的。有些平面圖形的面積計算必須借助于圖形本身的特征，添加一些輔助線，運用平移旋轉、剪拼組合等方法，對圖形進行恰當合理的變形，再經過分析推導，方能尋求出解題的途徑。二、精講精練【例題1】如圖，三角形ABC的面積為8平方厘米，AE＝ED，BD=2/3BC，求陰影局部的面積?！舅悸穼Ш健筷幱熬植繛閮蓚€三角形，但三角形AEF的面積無法直接計算。由于AE=ED,連接DF，可知S△AEF=S△EDF〔等底等高〕，采用移補的方法，將所求陰影局部轉化為求三角形BDF的面積。因為BD=2/3BC，所以S△BDF＝2S△DCF。又因為AE＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。因此，S△ABC＝5S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5＝1.6〔平方厘米〕，那么陰影局部的面積為1.6×2＝3.2〔平方厘米〕。練習1：1．如圖，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。求陰影局部的面積。2．如下圖，AE=ED，DC＝1/3BD，S△ABC＝21平方厘米。求陰影局部的面積。3．如下圖，DE＝1/2AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米。求三角形ABC的面積?！纠}2】兩條對角線把梯形ABCD分割成四個三角形，如下圖，兩個三角形的面積，求另兩個三角形的面積各是多少？【思路導航】S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；從S△ABD與S△ACD相等〔等底等高〕可知：S△ABO等于6，而△ABO與△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。所以△AOD的面積為6÷2＝3。因為S△ABD與S△ACD等底等高所以S△ABO＝6因為S△BOC是S△DOC的2倍所以△ABO是△AOD的2倍所以△AOD＝6÷2＝3。答：△AOD的面積是3。練習2：1．兩條對角線把梯形ABCD分割成四個三角形，〔如下圖〕，兩個三角形的面積，求另兩個三角形的面積是多少？2．AO＝1/3OC，求梯形ABCD的面積〔如下圖〕。3．三角形AOB的面積為15平方厘米，線段OB的長度為OD的3倍。求梯形ABCD的面積?！踩缦聢D〕?！纠}3】四邊形ABCD的對角線BD被E、F兩點三等分，且四邊形AECF的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積〔如下圖〕?！舅悸穼Ш健坑捎贓、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它們的面積相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面積也相等。由此可知，三角形ABD的面積是三角形AEF面積的3倍，三角形BCD的面積是三角形CEF面積的3倍，從而得出四邊形ABCD的面積是四邊形AECF面積的3倍。15×3＝45〔平方厘米〕答：四邊形ABCD的面積為45平方厘米。練習3：1．四邊形ABCD的對角線BD被E、F、G三點四等分，且四邊形AECG的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積〔如圖〕。2．四邊形ABCD的對角線被E、F、G三點四等分，且陰影局部面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積〔如下圖〕。3．如下圖，求陰影局部的面積〔ABCD為正方形〕?！纠}4】如下圖，BO＝2DO，陰影局部的面積是4平方厘米。那么，梯形ABCD的面積是多少平方厘米？【思路導航】因為BO＝