模型12、行星模型 （解析版）

模型12、行星模型【模型特點】衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律

2.極地衛(wèi)星、近地衛(wèi)星

(1)極地衛(wèi)星運行時每圈都經過南北兩極，由于地球自轉，極地衛(wèi)星可以實現全球覆蓋.近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9km/s.

繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星的最大線速度和最小周期:

(3)兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球心.

深化拓展:衛(wèi)星的、、、是相互聯(lián)系的，如果一個量發(fā)生變化，其他量也隨之發(fā)生變化;這些量與衛(wèi)星的質量無關，它們由軌道半徑和中心天體的質量共同決定.衛(wèi)星的能量與軌道半徑的關系:同一顆衛(wèi)星，軌道半徑越大，動能越小，勢能越大，機械能越大.

3.同步衛(wèi)星(通信衛(wèi)星均為同步衛(wèi)星)

“同步”的含義就是和地球保持相對靜止(又叫靜止軌道衛(wèi)星)

(1)周期等于地球自轉周期，既T=24h

(2)軌道半徑是唯一確定的，離地面的高度為地

(3)該軌道必須在地球赤道的正上方

(4)衛(wèi)星的運轉方向必須是由西向東【模型解題】衛(wèi)星變軌問題分析

當衛(wèi)星由于某種原因速度突然改變時(開啟或關閉發(fā)動機或空氣阻力作用),萬有引力不再等于向心力，衛(wèi)星將變軌運行:

(1)當衛(wèi)星的速度突然增大時，，即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變大，當衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定運行時由可知其運行速度比原軌道時減小.

(2)當衛(wèi)星的速度突然減小時，;即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，當衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定運行時由可知其運行速度比原軌道時增大.

衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用這一原理.雙星系統(tǒng)模型問題的分析與計算

宇宙中往往會有相距較近，質量可以相比的兩顆星球，它們離其它星球都較遠，因此其它星球對它們的萬有引力可以忽略不計。在這種情況下，它們將圍繞它們連線上的某一固定點做同周期的勻速圓周運動。這種結構叫做雙星。

[特點]

(1)各自需要的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即，

(2)兩顆星的周期及角速度都相同，即,

(3)兩顆星的半徑與它們之間的距離關系為:

(4)兩顆星到圓心的距離、與星體質量成反比，即

(5)雙星的運動周期(6)雙星的總質量公式

△雙星系統(tǒng)問題的誤區(qū)

(1)不能區(qū)分星體間距與軌道半徑:萬有引力定律中的r為兩星體間距離，向心力公式中的r為所研究星球做圓周運動的軌道半徑.

(2)找不準物理現象的對應規(guī)律.【模型訓練】【例1】某人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，其軌道半徑為月球繞地球運動半徑的，設月球繞地球運動的周期為27天，則此衛(wèi)星的運行周期為（）A．天 B．天 C．1天 D．9天【答案】C【詳解】由于，，由開普勒第三定律可得則故選C。變式1.1已知地球半徑為R，同步衛(wèi)星到地心的距離約為6.6R，某人造衛(wèi)星在離地球表面的距離為1.2R的軌道上做勻速圓周運動，則該衛(wèi)星運動的周期約為（

）A．0.5天 B．0.2天 C．5.2天 D．9天【答案】B【詳解】根據開普勒第三定律，人造衛(wèi)星的周期代入數據解得故選B。變式1.2我國的第一顆衛(wèi)星“東方紅一號”于1970年4月24日在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心由長征一號運載火箭送入工作軌道（近地點距地球表面的距離、遠地點距地球表面的距離），它開創(chuàng)了中國航天史的新紀元。1984年，“東方紅二號”衛(wèi)星發(fā)射成功，這是一顆地球同步衛(wèi)星，距離地心大約。已知地球半徑為，可以估算“東方紅一號”衛(wèi)星的周期約為（）A．80分鐘 B．102分鐘 C．114分鐘 D．120分鐘【答案】C【詳解】設“東方紅一號”衛(wèi)星周期為，其半長軸為“東方紅二號”衛(wèi)星周期，工作軌道半徑，根據開普勒第三定律，可得代入數據解得

分鐘ABD錯誤，C正確。故選C?！纠?】2021年4月28日，國際行星防御大會召開，我國代表介紹了正在論證的小行星探測任務。關于行星運動規(guī)律下列說法正確的是（）A．第谷根據多年的觀測總結揭示了行星的運動規(guī)律，為萬有引力定律的發(fā)現奠定了基礎B．牛頓發(fā)現萬有引力定律后，開普勒整理牛頓的觀測數據后，發(fā)現了行星運動的規(guī)律C．開普勒第三定律表達式為月亮圍繞地球運動的k值與人造衛(wèi)星圍繞地球運動的k值相同D．行星繞太陽運動時、線速度方向時刻在變，大小始終不變【答案】C【詳解】AB．開普勒根據第谷多年的觀測總結揭示了行星的運動規(guī)律，為萬有引力定律的發(fā)現奠定了基礎，故AB錯誤；C．開普勒第三定律中的k值只與中心天體有關，故C正確；D．行星繞太陽運動時、軌道是橢圓，所以線速度方向時刻在變，大小也在改變，故D錯誤。故選C。變式2.1關于開普勒行星運動定律，下列說法中正確的是（）A．開普勒通過自己的長期觀測，記錄了大量數據，通過對數據的研究總結出了行星運動定律B．根據開普勒第一定律，行星圍繞太陽運動的軌道是橢圓，太陽處于橢圓的一個焦點上C．根據開普勒第二定律，行星繞太陽運動時，線速度大小始終不變D．根據開普勒第三定律，所有行星軌道的半長軸的二次方跟公轉周期的三次方的比值都相等【答案】B【詳解】A．第谷進行了長期觀測，記錄了大量數據，開普勒通過對數據研究總結出了開普勒行星運動定律，故A錯誤；B．根據開普勒第一定律，行星圍繞太陽運動的軌道是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上，故B正確；C．由開普勒第二定律可知，太陽行星連線相同時間內掃過的面積相等，行星繞太陽在橢圓軌道上運動時，線速度大小在變化，越靠近太陽，線速度越大，反之，則越小，故C錯誤；D．所有行星的軌道半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等，故D錯誤。故選B。變式2.2人類對太陽系中行星運動規(guī)律的探索過程中，曾有擅長觀測的科學家通過長期觀測記錄了各行星環(huán)繞太陽運動（公轉）的大量數據，在此基礎上有位擅長數學推理的科學家，認為行星公轉軌道應該是橢圓，然后通過數學推理，發(fā)現了行星運動三大定律，揭示了行星運動的規(guī)律。觀測記錄行星公轉的大量數據以及發(fā)現行星運動三大定律的科學家分別是（

）A．托勒密、第谷 B．第谷、開普勒 C．哥白尼、托勒密 D．哥白尼、開普勒【答案】B【詳解】第谷通過長期觀測記錄了各行星環(huán)繞太陽運動（公轉）的大量數據，開普勒認為行星公轉軌道應該是橢圓，然后通過數學推理，發(fā)現了行星運動三定律。故選B。【例3】在利用探測器探測石油的過程中，遇到空腔或者其他物質時，引力會發(fā)生變化，引起該區(qū)域重力加速度的大小和方向發(fā)生微小的變化，以此來探尋石油區(qū)域的位置。簡化模型如圖所示，一個質量均勻分布的半徑為R的球體對球外質點P的萬有引力為F，如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體，且，則原球體剩余部分對質點P的萬有引力變?yōu)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】C【詳解】設質點與原球體球心相距l(xiāng)，萬有引力為F，則在球體中央挖去半徑為r的一部分球體后，質點與原球體剩余部分之間的萬有引力故選C。變式3.1如圖所示，一個質量均勻分布的半徑為R的球體對球外質點P的萬有引力為F。如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體，且r=，則原球體剩余部分對質點P的萬有引力大小變?yōu)椋ǎ〢． B． C． D．F【答案】C【詳解】設原球體的質量為M，質點P的質量為m0，球心與質點P的距離為L。根據知，挖去部分的小球的質量沒挖去前，原球體對質點P的引力挖去的部分對質點P的引力則剩余部分對質點P的引力故選C。變式3.2有一質量為、半徑為、密度均勻的球體，在距離球心為的地方有一質量為的質點?，F將中挖去半徑為的球體，如圖所示，則剩余部分對m的萬有引力大小為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】挖去之前球體與質點之間的萬有引力為挖去部分的小球體與質點之間的萬有引力為由于球體密度均勻，則有剩余部分與m之間的萬有引力大小為解得故選A?！纠?】2023年9月5日傍晚5點30分左右，一顆命名為“合肥高新一號”的衛(wèi)星，從海上發(fā)射基地飛向太空，成為中國低軌衛(wèi)星物聯(lián)網的一部分。假設此衛(wèi)星在赤道平面內繞地球做圓周運動，離地面高度等于地球半徑R，運行方向與地球自轉方向相同。已知地球自轉周期為，地球兩極處重力加速度為g，萬有引力常量用G表示。下列說法正確的是（

）A．地球的平均密度為B．衛(wèi)星做圓周運動的周期為C．赤道表面的重力加速度為D．若赤道上有一衛(wèi)星測控站，忽略衛(wèi)星信號傳輸時間，衛(wèi)星與測控站能連續(xù)通信的最長時間為【答案】D【詳解】A．中周期T為貼近地面運行衛(wèi)星的周期，而非地球自轉周期為，故A錯誤；B．設地球質量為M，衛(wèi)星A的質量為m，根據萬有引力提供向心力，有解得故B錯誤；C．兩極處有赤道處有解得故C錯誤；D．如圖所示，衛(wèi)星的通訊信號視為沿直線傳播，由于地球遮擋，使衛(wèi)星A和地面測控站B不能一直保持直接通訊，設無遮擋時間為t，則它們轉過的角度之差最多為時就不能通訊，解得故D正確。故選D。變式4.12021年2月，執(zhí)行我國火星探測任務的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后進入運行周期為T的橢圓形停泊軌道（如圖所示），近火點A到火星中心O的距離為a，已知火星的半徑為R，在火星上以v?的速度豎直上拋物體，經過t時間后物體回到原處，萬有引力常量為G，忽略火星自轉。以下說法正確的是（）A．火星的質量為B．火星的密度為C．火星的第一宇宙速度為D．遠火點B到火星中心O的距離為【答案】D【詳解】A．由題意知，火星表面的加速度為設火星的質量為M，火星表面質量為m的物體在火星表面物體受到的萬有引力等于物體的重力，故解得若用T，則應用橢圓的半長軸，不應用R代入公式，故A錯誤；B．根據密度的計算公式解得故B錯誤；C．第一宇宙速度為故C錯誤；D．設質量為m1的衛(wèi)星繞火星表面做勻速圓周運動的周期為T1，由萬有引力提供向心力有解得在火星表面物體受到的萬有引力等于物體的重力，故設遠火點B到火星中心O的距離為b，則由開普勒第三定律可得解得故D正確。故選D。變式4.2地球資源衛(wèi)星“04星”繞地球做勻速圓周運動的角速度為，地球相對“04星”的張角為，如圖所示。引力常量為G，則地球的密度為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】“04星”繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，有設地球半徑為R，則由題圖知又聯(lián)立解得故選A?！纠?】在劉慈欣的科幻小說《帶上她的眼睛》里演繹了這樣一個故事：“落日六號”地層飛船深入地球內部進行探險，在航行中失事后下沉到船上只剩下一名年輕的女領航員，她只能在封閉的地心度過余生。已知地球可視為半徑為R、質量分布均勻的球體，且均勻球殼對殼內質點的引力為零。若地球表面的重力加速度為g，當“落日六號”位于地面以下深0.5R處時，該處的重力加速度大小為（

）A．0.25g B．0.5g C．0.75g D．g【答案】B【詳解】在地球表面有設地球的密度為ρ，則地球的總質量為地面以下深0.5R處地球的質量為地面以下深0.5R處有位于地面以下深0.5R處時，該處的重力加速度大小為故選B。變式5.1已知“祝融號”火星車在地球表面受到的重力大小為G1，在火星表面受到的重力大小為G2；地球與火星均可視為質量分布均勻的球體，其半徑分別為R1、R2。若不考慮自轉的影響且火星車的質量不變，則地球與火星的密度之比為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在星球表面，萬有引力近似等于重力，有又聯(lián)立解得故選B。變式5.2中子星是除黑洞外密度最大的星體，恒星演化到末期，經由重力崩潰發(fā)生超新星爆炸之后，可能成為的少數終點之一，其密度比地球上任何物質密度大相當多倍。設某中子星的質量是太陽的50倍，自轉周期是0.01s，半徑是地球繞太陽運動的軌道半徑的倍，已知地球繞太陽做勻速圓周運動的軌道半徑為1.5×108km，太陽質量為2.0×1030kg，則該中子星赤道表面的重力加速度大小為（）A．3×1011m/s2 B．2.4×1011m/s2 C．1.2×1011m/s2 D．6×1010m/s2【答案】B【詳解】在該中子星赤道表面有地球繞太陽做勻速圓周運動，根據萬有引力等于向心力有根據常識可得根據題意有聯(lián)立可得，該中子星兩極表面的重力加速度大小約為故選B?！纠?】中科院紫金山天文臺在2023年1月9日首次發(fā)現了一顆新彗星，目前，該彗星正朝著近日點運動，明年有望成為肉眼可見的大彗星。如圖所示，Ⅱ為該彗星繞太陽運行的橢圓軌道，Ⅰ為某行星繞太陽做勻速圓周運動的軌道，兩軌道相切于B點。A為彗星運動的遠日點，B為彗星運動的近日點。下列說法正確的是（

）A．彗星運行到A點的速度小于行星運行到B點的速度B．彗星運行到A點的速度大于彗星運行到B點的速度C．彗星運行的周期小于行星運行的周期D．彗星運行到B點的加速度大于行星運行到B點的加速度【答案】A【詳解】AB．A為彗星運動的遠日點，B為彗星運動的近日點。則彗星運行到A點的速度小于行星運行到B點的速度，A正確，B錯誤；C．根據開普勒第三定律彗星運動軌道的半長軸大于行星運動半徑，則彗星運行的周期大于行星運行的周期，C錯誤；D．根據得彗星運行到B點的加速度等于行星運行到B點的加速度，D錯誤。故選A。變式6.12021年2月，“天問一號”探測器成功被火星捕獲，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星，實現“繞、著、巡”目標的第一步。如圖，為“天問一號”被火星捕獲的簡易圖，其中1為橢圓軌道，2為圓軌道。則下列說法正確的是（）A．“天問一號”在軌道2運行的周期大于在軌道1運行的周期B．“天問一號”沿軌道1運行時在P點的加速度大于在Q點的加速度C．“天問一號”由軌道1進入軌道2，在Q點的噴氣方向與速度方向相反D．“天問一號”在軌道1由Q點向P點運動的過程中，速度減小【答案】D【詳解】A．由開普勒第三定律可知，由于軌道1的半長軸大于軌道2的半徑，所以“天問一號”在軌道2運行的周期小于在軌道1運行的周期，A錯誤；B．由得“天問一號”在P的加速度小于在Q的加速度，B錯誤；C．“天問一號”由軌道1進入軌道2，“天問一號”做向心運動，因此在Q點制動減速，則在Q點的噴氣方向應與速度方向相同，C錯誤；D．若“天問一號”在軌道1由Q點向P點運動的過程中，速度減小，D正確。故選D。變式6.2如圖所示為“天問一號”探測器圍繞火星多次變軌的簡化圖景。軌道I、III為橢圓，軌道II為圓，O點是這三個軌道的相切點，O、Q分別是遠火星點和近火星點，O、P、Q三點連線經過火星中心，已知火星的半徑為R，，探測器在軌道II上經過O點時的速度為v。下列說法正確的是（）A．在多次變軌過程中，探測器與火星中心的連線經過相等時間掃過的面積都相等B．探測器在軌道II上運動時，經過O點的加速度等于C．探測器在軌道I上運動時，經過O點的速度小于vD．探測器在軌道II和III上運動的周期之比是【答案】B【詳解】A．根據開普勒第二定律，在同一軌道上探測器與火星中心的連線經過相等時間掃過的面積都相等，在不同軌道上，不具備上述關系，故在多次變軌過程中，探測器與火星中心的連線經過相等時間掃過的面積不相等，故A錯誤；B．根據幾何關系，探測器在軌道II上運動時的軌道半徑為根據牛頓第二定律經過O點的加速度等于故B正確；C．根據變軌原理，探測器在軌道II上需點火加速變軌到軌道I上，故探測器在軌道I上運動時，經過O點的速度大于v，故C錯誤；D．根據開普勒第三定律探測器在軌道II和III上運動的周期之比是故D錯誤。故選B。【例7】如圖所示，2022年7月15日，由清華大學天文系某教授牽頭的國際團隊近日宣布在宇宙中發(fā)現了兩個罕見的恒星系統(tǒng)。該系統(tǒng)均由兩顆互相繞行的中央恒星組成，被氣體和塵埃盤包圍。且該盤與中央恒星的軌道成一定角度，呈現出“霧繞雙星”的奇幻效果。若其中一個系統(tǒng)簡化模型如圖所示，質量不等的恒星A和B繞兩者連線上某一定點O做勻速圓周運動，由天文觀察測得其運動周期為T，恒星A到O點的距離為，恒星A和B間的距離為r，已知引力常量為G。則恒星A的質量為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據題意，取恒星B為研究對象，恒星B繞O點做勻速圓周運動，設恒星A、B的質量分別為和，由萬有引力定律及牛頓第二定律得解得又有則恒星A的質量為故選D。變式7.1中國天眼FAST已發(fā)現約500顆脈沖星，成為世界上發(fā)現脈沖星效率最高的設備，如在球狀星團M92第一次探測到“紅背蜘蛛”脈沖雙星。如圖，距離為L的A、B雙星繞它們連線上的某點O在二者萬有引力作用下做勻速圓周運動，運動周期為T，萬有引力常量為G，則雙星總質量為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】雙星A、B之間的萬有引力提供向心力，有其中聯(lián)立解得故選C。變式7.2如圖甲所示，河外星系中兩黑洞A、B的質量分別為和，它們以連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動。為研究方便簡化為如圖所示的示意圖，黑洞A和黑洞B均可看成球體，，且黑洞A的半徑大于黑洞B的半徑，下列說法正確的是（）A．黑洞A的向心力大于黑洞B的向心力B．若兩黑洞間的距離一定，把黑洞A上的物質移到黑洞B上，它們運行的角速度變大C．若兩黑洞間的距離一定，把黑洞A上的物質移到黑洞B上，A運行的線速度變大D．人類把宇航器發(fā)射到距黑洞A較近的區(qū)域進行探索，發(fā)射速度不大于第三宇宙速度【答案】C【詳解】A．兩黑洞靠兩者之間的萬有引力充當向心力，可知黑洞A的向心力等于黑洞B的向心力，選項A錯誤；B．兩黑洞轉動的角速度相等，根據解得若兩黑洞間的距離一定，把黑洞A上的物質移到黑洞B上，它們運行的角速度不變，選項B錯誤；C．若兩黑洞間的距離一定，把黑洞A上的物質移到黑洞B上，則M1變小，L1變大，根據v=ωr可知，A運行的線速度變大，選項C正確；D．人類要把宇航器發(fā)射到黑洞A或B較近的區(qū)域進行探索，則必須脫離太陽系，則發(fā)射速度一定大于第三宇宙速度，即大于16.7km/s,選項D錯誤。故選C?！纠?】“鵲橋”衛(wèi)星是地球與位于月球背面的“嫦娥四號”月球探測器實現信號傳輸的中繼站。如圖，L是地月連線上的一個“拉格朗日點”，處在該點的物體會與月球一起繞地球同步公轉。已知在地月引力共同作用下，“鵲橋”衛(wèi)星在軌道平面與地月連線垂直的“Halo軌道”上繞L做勻速圓周運動，同時隨月球一起繞地球同步公轉。結合圖中所給的觀測數據，下列說法正確的是（）A．“鵲橋”衛(wèi)星繞地球公轉的向心加速度小于月球公轉的向心加速度B．根據觀測數據能計算出地球、月球和“鵲橋”衛(wèi)星的質量C．根據觀測數據能計算出“鵲橋”衛(wèi)星在“Halo軌道”上的運動周期D．若將“鵲橋”衛(wèi)星直接發(fā)射到L點，能量消耗最小，能更好地為地-月通信提供支持【答案】C【詳解】A．“鵲橋”衛(wèi)星的周期等于月球公轉的周期，則它們有相同的角速度，根據可知，該衛(wèi)星的加速度大于月球公轉的加速度，故A錯誤；B．已知“鵲橋”衛(wèi)星位于“拉格朗日L2”點時，在地月引力共同作用下具有跟月球繞地球公轉相同的周期，則對“鵲橋”衛(wèi)星（式中α為衛(wèi)星和地球連線與x軸的夾角；β為衛(wèi)星和月球連線與x軸的夾角；）兩邊消掉m衛(wèi)，則可求月球質量，不能求解鵲橋質量。根據可求解地球的質量。B錯誤；C．根據可求解鵲橋繞L2運轉的周期，C正確；D．若將“鵲橋”衛(wèi)星直接發(fā)射到L點，幾乎不消耗能量，但由幾何關系可知，通訊范圍較小，并不能更好地為地-月通信提供支持，故D錯誤。故選C。變式8.1如圖所示，地球和月球組成雙星系統(tǒng)，它們共同繞某點O轉動且角速度相同。L1、L2、L