5.7三角函數(shù)的應用 （原卷版）

：三角函數(shù)的應用【考點梳理】考點一：三角函數(shù)的應用1．三角函數(shù)模型的作用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預測未來等方面發(fā)揮重要作用．2．用函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟收集數(shù)據(jù)→畫散點圖→選擇函數(shù)模型→求解函數(shù)模型→檢驗．考點二：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中參數(shù)的物理意義【題型歸納】題型一：三角函數(shù)在物理中的應用1．（2023下·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期中）如圖，一根絕對剛性且長度不變、質(zhì)量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動．若線長為lcm，沙漏擺動時離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是，取，如果沙漏從離開平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，則線長約為（

）cm．（精確到0.1cm）2．（2023上·廣東·高一統(tǒng)考期末）如圖，一個質(zhì)點在半徑為2的圓O上以點P為起始點，沿逆時針方向運動，每轉(zhuǎn)一圈．則該質(zhì)點到x軸的距離y關(guān)于時間t的函數(shù)解析式是（

）A．B．C． D．3．（2020·高一課時練習）在圖中，點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運動到距離平衡位置最遠處時開始計時．則物體對平衡位置的位移x（單位：cm）和時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B．C． D．題型二：三角函數(shù)在生活中的應用4．（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）時鐘花原產(chǎn)于南美洲熱帶，我國云南部分地區(qū)有引進栽培．時鐘花的花開花謝非常有規(guī)律，其開花時間與氣溫密切相關(guān)，開花時所需氣溫約為20℃，氣溫上升到約30℃開始閉合，在花期內(nèi)，時鐘花每天開閉一次．某景區(qū)種有時鐘花，該景區(qū)6時～16時的氣溫（℃）隨時間（時）的變化趨勢近似滿足函數(shù)，則在6時～16時中，賞花的最佳時段大致為（

）A．7.3時～11.3時 5．（2023下·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）筒車在古代是進行灌溉引水的工具，亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利的筒車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時60秒，經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點，設點的坐標為，其縱坐標滿足，則函數(shù)的解析式是（

）A． B．C． D．6．（2023下·黑龍江大慶·高一鐵人中學校考期中）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用圖明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理圖假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉(zhuǎn)輪的中心到水面的距離為，筒車的半徑為，筒車轉(zhuǎn)動的角速度為，如圖所示，盛水桶視為質(zhì)點的初始位置距水面的距離為，則后盛水桶到水面的距離近似為（

）A． B． C． D．題型三：幾何下的三角函數(shù)模型7．（2023下·湖北黃岡·高一校聯(lián)考期中）我國古代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為，大正方形的面積為，小正方形的面積為，若，則的值為（

）A． B． C． D．8．（2023上·河北保定·高三統(tǒng)考期末）如圖，點P為射線與以原點O為圓心的單位圓的交點，一動點在圓O上以點P為起始點，沿逆時針方向運動，每2秒轉(zhuǎn)一圈．則該動點橫坐標關(guān)于運動時間t的函數(shù)的解析式是（

）A．B．C． D．9．（2022上·江蘇常州·高一校考期末）王之渙《登鸛雀樓》：白日依山盡，黃河入海流，欲窮千里目，更上一層樓.詩句不僅刻畫了祖國的壯麗河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得遠"的哲理，因此成為千古名句，我們從數(shù)學角度來思考：欲窮千里目，需上幾層樓？把地球看作球體，地球半徑R=6371km，如圖，設O為地球球心，人的初始位置為點M，點N是人登高后的位置(人的高度忽略不計)，按每層樓高3m計算，“欲窮千里目”即弧的長度為500km，則需要登上樓的層數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．5800 B．6000 C．6600 D．7000題型四：三角函數(shù)新定義10．（2021上·四川巴中·高一校聯(lián)考期末）定義運算，如果的圖像的一條對稱軸為滿足等式，則取最小值時，函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．11．（2021上·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）我們學過用角度制與弧度制度量角，最近，有學者提出用“面度制”度量角，因為在半徑不同的同心圓中，同樣的圓心角所對扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種用面度作為單位來度量角的單位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度數(shù)為，則角的余弦值為（

）A． B． C． D．12．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（Day）．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學中的“割圓術(shù)”相似．數(shù)學家阿爾·卡西的方法是：當正整數(shù)充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達式是（

）．A． B．C． D．題型五：三角函數(shù)的應用13．（2023·全國·高一課堂例題）已知摩天輪的半徑為60m，其中心距離地面70m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每30min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點的起始位置在最低點處．(1)試確定在時刻時，點離地面的高度；(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，點距離地面超過100m的時間有多長？14．（2023·全國·高一課堂例題）一半徑為3m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘逆時針轉(zhuǎn)動4圈，且當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間.(1)將點P距離水面的高度z（單位：m）表示為時間t（單位：s）的函數(shù)；(2)點P第一次到達最高點大約要多長時間？（參考數(shù)據(jù)：，，第二問精確到）15．（2023上·高一課時練習）潮汐是發(fā)生在沿海地區(qū)的一種自然現(xiàn)象，其形成是由于海水受日月的引力作用，潮是指海水在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象，一般來說，早潮叫潮，晚潮叫汐．某觀測站通過長時間的觀測，發(fā)現(xiàn)潮汐的漲落規(guī)律和函數(shù)圖象基本一致且周期為，其中x為時間，為水深．當時，海水上漲至最高，最高為5米．(1)求函數(shù)的解析式，并作出函數(shù)在上的簡圖；(2)求海水持續(xù)上漲的時間區(qū)間．【雙基達標】單選題16．（2023上·高一課時練習）車流量被定義為單位時間內(nèi)通過某路段的車輛數(shù)，若上班高峰期某十字路口的車流量F（單位：輛/分鐘）與時間t（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系式為，則車流量增加的時間段是（）A． B．C． D．17．（2023·全國·高三專題練習）如圖，某港口某天從到的水深（單位：m）與時間（單位：h）之間的關(guān)系可用函數(shù)近似刻畫，據(jù)此可估計當天的水深為（

）A． B．4mC． D．18．（2023下·陜西西安·高一?？计谥校┕糯鷶?shù)學家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學著作，也為地圖學提供了數(shù)學基礎，現(xiàn)根據(jù)劉徽的《重差》測景一個球體建筑物的高度，已知點A是球體建筑物與水平地面的接觸點（切點），地面上B，C兩點與點A在一條直線上，且在點A的同側(cè)，若在B，C處分別測得球體建筑物的最大仰角為60°和30°，且，則該球體建筑物的高度約為（）A．100m B． C． D．19．（2023下·河南·高三校聯(lián)考階段練習）如圖為函數(shù)，的圖象，則函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間上交點的個數(shù)為（

）A．9個 B．8個 C．7個 D．5個20．（2023下·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）據(jù)長期觀察，某學校周邊早上6時到晚上18時之間的車流量y（單位：量）與時間t（單位：）滿足如下函數(shù)關(guān)系式：（為常數(shù)，）.已知早上8：30（即）時的車流量為500量，則下午15：30（即）時的車流量約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．441量 B．159量 C．473量 D．127量21．（2023下·廣東韶關(guān)·高一統(tǒng)考期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，明代科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車的半徑為4，筒車的軸心到水面的距離為2，筒車每分鐘按逆時針轉(zhuǎn)動3圈.規(guī)定：盛水筒M對應的點P從水中浮現(xiàn)（即時的位置）時開始計算時間，設盛水筒M從運動到點P時所用時間為t（單位：），且此時點P距離水面的高度為h（單位：）.若以筒車的軸心為坐標原點，過點的水平直線為x軸建立平面直角坐標系xOy（如圖2），則h與t的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B．C． D．22．（2023·全國·高一隨堂練習）一個單擺如圖所示，小球偏離鉛垂線方向的角為，α與擺動時間t（單位：s）之間的函數(shù)解析式為．求：(1)最初時α的值；(2)單擺擺動的頻率；(3)經(jīng)過多長時間單擺完成5次完整擺動？，周期為3s，且物體向右運動到距平衡位置最遠處時開始計時.求：(1)物體對平衡位置的位移x（單位：）和時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系；(2)該物體在時的位置.【高分突破】一、單選題24．（2023下·北京東城·高一統(tǒng)考期末）如圖，質(zhì)點在以坐標原點為圓心，半徑為1的圓上逆時針作勻速圓周運動，的角速度大小為，起點為射線與的交點．則當時，動點的縱坐標關(guān)于（單位：）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．25．（2023下·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．現(xiàn)有一個筒車按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)動6圈，如圖，將該筒車抽象為圓，筒車上的盛水桶抽象為圓上的點，已知圓的半徑為，圓心距離水面，且當圓上點從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間．根據(jù)如圖所示的直角坐標系，將點到水面的距離（單位：，在水面下，為負數(shù)）表示為時間（單位：）的函數(shù)，當時，點到水面的距離為（

）A． B． C． D．26．（2023·湖北·黃岡中學校聯(lián)考模擬預測）用數(shù)學的眼光觀察世界，神奇的彩虹角約為．如圖，眼睛與彩虹之間可以抽象為一個圓錐，設AO是眼睛與彩虹中心的連線，AP是眼睛與彩虹最高點的連線，則稱為彩虹角．若平面ABC為水平面，BC為彩虹面與水平面的交線，為BC的中點，米，米，則彩虹（）的長度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．米 B．米 C．米 D．米27．（2023下·北京·高一北京市第一六六中學?？计谥校┤鐖D，已知某地一天從6時至14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)（其中，，），那么12時溫度的近似值（精確到1℃）是（

）A．25℃ B．26℃ C．27℃ D．28℃28．（2023下·浙江·高一校聯(lián)考期中）有一直角轉(zhuǎn)彎的走廊（兩側(cè)與頂部都封閉），已知走廊的寬度與高度都是3米，現(xiàn)有不能彎折的硬管需要通過走廊，設不計硬管粗細可通過的最大極限長度為l米．為了方便搬運，規(guī)定允許通過此走廊的硬管的最大實際長度為米，則m的值是（

）A． B． C． D．29．（2023下·湖北黃岡·高一校聯(lián)考期中）2023年是農(nóng)歷癸卯兔年，在中國傳統(tǒng)文化中，兔被視為一種祥瑞之物，寓意福壽安康．故宮博物院就收藏著這樣一副蘊含“吉祥團圓”美好愿景的名畫——《梧桐雙兔圖》，該絹本設色畫縱約176cm，橫約95cm，其掛在墻壁上的最低點B離地面205cm．小南眼睛距地面的距離為150cm，為使觀賞視角最大，小南離墻距離S應為（

）A．11cm B．8cm C．11cm D．44cm二、多選題30．（2023上·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學?？奸_學考試）如圖（1），筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中仍得到使用.如圖（2），一個筒車按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)，筒車上的某個盛水筒到水面的距離為(單位：m)(在水下則為負數(shù))、與時間(單位：s)之間的關(guān)系是，則下列說法正確的是（

）A．筒車的半徑為3m，旋轉(zhuǎn)一周用時60sB．筒車的軸心距離水面的高度為C．盛水筒出水后至少經(jīng)過20s才可以達到最高點D．時，盛水筒處于向上運動狀態(tài)31．（2023上·湖北武漢·高二統(tǒng)考開學考試）摩天輪常被當作一個城市的地標性建筑，如武漢東湖的“東湖之眼”摩天輪，如圖所示，某摩天輪最高點離地面高度55米，轉(zhuǎn)盤直徑為50米，設置若干個座艙，游客從離地面最近的位置進艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)分鐘，當時，游客隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠處.以下關(guān)于摩天輪的說法中，正確的為（

）A．摩天輪離地面最近的距離為5米B．若旋轉(zhuǎn)分鐘后，游客距離地面的高度為米，則C．存在，，使得游客在該時刻距離地面的高度均為20米D．若在，時刻游客距離地面的高度相等，則的最小值為2032．（2023上·湖南株洲·高三株洲二中?？奸_學考試）如圖（1）是一段依據(jù)正弦曲線設計安裝的過山車軌道.建立平面直角坐標系如圖（2），（單位：m）表示在時間時，過山車到達最高點，時，過山車到達最低點.設，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為12B．C．時，過山車距離地平面40mD．一個周期內(nèi)過山車距離地平面低于20m的時間是4s33．（2023上·高一課時練習）動點在圓上繞坐標原點沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周．已知時間時，點A的坐標是，則當時，動點A的縱坐標y關(guān)于t（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．34．（2023下·福建漳州·高一校聯(lián)考期中）一半徑為米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面做勻速轉(zhuǎn)動，每秒轉(zhuǎn)動一圈，如果當水輪上點從水面浮現(xiàn)時（圖中點位置）開始計時，則下列判斷正確的有（

）A．點第一次到達最高點需要秒B．點第一次到達最低點需要秒C．在水輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有秒的時間，點在水面的下方D．當水輪轉(zhuǎn)動秒時，點距離水面的高度是米35．（2023下·河北衡水·高一河北武邑中學?？计谀┲袊钤绲奶煳挠^測儀器叫“圭表”，最早裝置圭表的觀測臺是西周初年在陽城建立的周公測景（影）臺．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的桿子，太陽光照射在“表”上，便在“圭”上成影，到了漢代，使用圭表有了規(guī)范．規(guī)定“表”為八尺長（1尺＝10寸）．用圭表測量太陽照射在竹竿上的影長，可以判斷季節(jié)的變化．也能用于丈量土地，同一日內(nèi)，南北兩地的日影長短倘使差一寸，它們的距離就相差一千里，所謂“影差一寸，地差千里”，記“表”的頂部為A．太陽光線通過頂部A投影到“圭”上的點為B，已知甲、乙兩地之間的距離約為20千里．若同一日內(nèi)，甲地中直線AB與地面所成的角為，且，則甲地日影長是乙地日影長的（

）A． B． C． D．三、填空題36．（2023上·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）如圖點為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為，周期為，且物體向左運動到平衡位置開始計時，則物體對平衡位置的位移和時間之間的函數(shù)關(guān)系式為．37．（2023下·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校聯(lián)考期中）一半徑為3.6米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面1.8米．已知水輪按逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，每60秒轉(zhuǎn)動一圈，如果當水輪上點從水面浮現(xiàn)時（圖中點位置）開始計時，則P點離開水面的高度h關(guān)于時間t的函數(shù)解析式為．38．（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）如圖，一個筒車按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，每分鐘轉(zhuǎn)5圈，若從盛水筒P剛出水面開始計時，則盛水筒到水面的距離y（單位：m）（水面下則y為負數(shù)）與時間t（單位：s）之間的關(guān)系式為，盛水筒至少經(jīng)過s能到達距離水面的位置．39．（2023下·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中學校考階段練習）如圖是一個半徑為2米的水車，水車圓心距離水面1米.水車按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每12秒轉(zhuǎn)一圈，當水車上點從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間，設水車所在平面與水面的交線為，以過點且平行于的直線為軸，以過點且與水面垂直的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，設點距離水面的高度（單位：米）關(guān)于時間（單位：秒）的函數(shù)為，則.40．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知某彈簧振子的位移（單位：cm）與時間（單位：s）滿足，初始時將彈簧振子下壓至后松開，經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)彈簧振子每10s往復振動5次，則在第45s時，彈簧振子的位移是cm.P（視為質(zhì)點）從水中浮現(xiàn)（圖中點A）時開始記時.建立如圖平面直角坐標系，將P到水面距離表示為時間的函數(shù)，則.四、解答題42．（2023·全國·高一課堂例題）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋.下面給出了某港口在某天幾個時刻的水深.時刻水深/m時刻水深/m時刻水深/m0:009:0018:003:0012:0021:06:0015:0