《數(shù)學(xué)史概論》教案

《數(shù)學(xué)史概論》教案主講人：林壽導(dǎo)言主講人簡(jiǎn)介：林壽，寧德師專教授，漳州師院特聘教授，四川大學(xué)博士生導(dǎo)師，德國(guó)《數(shù)學(xué)文摘》和美國(guó)《數(shù)學(xué)評(píng)論》評(píng)論員。1978.4~1980.2寧德師專數(shù)學(xué)科學(xué)習(xí)；1984.9~1987.7蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)系碩士研究生；1998.9~2000.5浙江大學(xué)理學(xué)院攻讀博士學(xué)位。拓?fù)鋵W(xué)方向的科研項(xiàng)目先后20次獲得國(guó)家自然科學(xué)基金、國(guó)家優(yōu)秀專著出版基金等的資助，研究課題涉及拓?fù)淇臻g論、集合論拓?fù)?、函?shù)空間拓?fù)涞?，在?guó)內(nèi)外重要數(shù)學(xué)刊物上發(fā)表拓?fù)鋵W(xué)論文90多篇，科學(xué)出版社出版著作3部。1992年獲國(guó)務(wù)院政府特殊津貼，1995年被授予福建省優(yōu)秀專家，1997年獲第五屆中國(guó)青年科技獎(jiǎng)、曾憲梓高等師范院校教師獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)。個(gè)人主頁(yè)：/ls.asp一、數(shù)學(xué)史要學(xué)習(xí)什么？為什么要開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)史的選修課？數(shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展，及其與社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和一般文化的聯(lián)系。對(duì)于深刻認(rèn)識(shí)作為科學(xué)的數(shù)學(xué)本身，及全面了解整個(gè)人類文明的發(fā)展都具有重要的意義。龐加萊（法，1854－1912年）語(yǔ)錄：如果我們想要預(yù)見(jiàn)數(shù)學(xué)的將來(lái)，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門(mén)科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀。薩頓（美，(\o"1884"1884-\o"1956"1956年)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史倒不一定產(chǎn)生更出色的數(shù)學(xué)家，但它產(chǎn)生更溫雅的數(shù)學(xué)家，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史能豐富他們的思想，撫慰他們的心靈，并且培植他們高雅的質(zhì)量。數(shù)學(xué)史的分期：1、數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展（公元前6世紀(jì)）；2、初等數(shù)學(xué)時(shí)期（公元前6世紀(jì)－16世紀(jì)）；3、近代數(shù)學(xué)時(shí)期（17世紀(jì)－18世紀(jì)）；4、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（1820年至今）。二、教學(xué)工作安排授課形式：講解與自學(xué)相結(jié)合，分13講。第一講：數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展；第二講：古代希臘數(shù)學(xué)；第三講：中世紀(jì)的東西方數(shù)學(xué)I；第四講：中世紀(jì)的東西方數(shù)學(xué)II；第五講：文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)；第六講：牛頓時(shí)代：解析幾何與微積分的創(chuàng)立；第七講：18世紀(jì)的數(shù)學(xué)：分析時(shí)代；第八講：19世紀(jì)的代數(shù)；第九講：19世紀(jì)的幾何與分析I；第十講：19世紀(jì)的幾何與分析II；第十一講：20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀I；第十二講：20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀II；第十三講：20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀III；選講：數(shù)學(xué)論文寫(xiě)作初步。作業(yè)：每一講寫(xiě)600字左右的讀書(shū)筆記，30%記入學(xué)期總成績(jī)?？疾椋好课煌瑢W(xué)選取一名數(shù)學(xué)家，以這數(shù)學(xué)家為主題寫(xiě)一篇數(shù)學(xué)史講稿（約2000字），并把講稿內(nèi)容制作成PowerPoint文檔（約15分鐘，5－8張文檔），70%記入學(xué)期總成績(jī)。要求：講稿用A4紙單面打印，連同PowerPoint文檔于2008年6月18日（第17周星期三）上交。三、主要參考書(shū)1、[美]克萊因.古今數(shù)學(xué)思想.牛津大學(xué)出版社，1972（中譯本：北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組譯，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1979~1981，4卷本）；2、張奠宙.20世紀(jì)數(shù)學(xué)經(jīng)緯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2002；3、吳文俊主編.世界著名數(shù)學(xué)家傳記（上、下冊(cè)）.北京：科學(xué)出版社，1995；4、程民德主編.中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)家傳（5卷本）.南京：江蘇教育出版社，1994－2002；5、中國(guó)大百科全書(shū)編輯委員會(huì).中國(guó)大百科全書(shū)（數(shù)學(xué)卷）.北京：中國(guó)大百科全書(shū)出版社，1988；6、王元，嚴(yán)士健，石鐘慈，談德顏編譯.數(shù)學(xué)百科全書(shū)（5卷本）.北京：科學(xué)出版社，1994－2000；7、郭金彬，孔國(guó)平.中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想史.北京：科學(xué)出版社，2004；8、徐品方，張紅.數(shù)學(xué)符號(hào)史.北京：科學(xué)出版社，2006。第一講數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展主要內(nèi)容：數(shù)與形概念的產(chǎn)生、河谷文明與早期數(shù)學(xué)、西漢以前的中國(guó)數(shù)學(xué)。1、數(shù)與形概念的產(chǎn)生從原始的“數(shù)”到抽象的“數(shù)”概念的形成，是一個(gè)緩慢、漸進(jìn)的過(guò)程。人從生產(chǎn)活動(dòng)中認(rèn)識(shí)到了具體的數(shù)，導(dǎo)致了記數(shù)法?！扒缚蓴?shù)”表明人類記數(shù)最原始、最方便的工具是手指。如，手指計(jì)數(shù)（伊朗，1966），結(jié)繩計(jì)數(shù)（秘魯，1972）（美國(guó)自然史博物館藏有古代南美印加部落用來(lái)記事的繩結(jié)，當(dāng)時(shí)人稱之為基普），文字5000年（伊拉克，2001）（楔形數(shù)字），西安半坡遺址出土的陶器殘片。早期幾種記數(shù)系統(tǒng)，如古埃及、古巴比倫、中國(guó)甲骨文、古希臘、古印度、瑪雅（瑪雅文明誕生于熱帶叢林之中，瑪雅是一個(gè)地區(qū)、一支民族和一種文明，分布在今墨西哥的尤卡坦半島、危地馬拉、伯利茲、洪都拉斯和薩爾瓦多西部）等。世界上不同年代出現(xiàn)了五花八門(mén)的進(jìn)位制和眼花繚亂的記數(shù)符號(hào)體系，足以證明數(shù)學(xué)起源的多元性和數(shù)學(xué)符號(hào)的多樣性。2、河谷文明與早期數(shù)學(xué)2.1古代埃及的數(shù)學(xué)背景：古代埃及簡(jiǎn)況埃及文明上溯到距今6000年左右，從公元前3500年左右開(kāi)始出現(xiàn)一些小國(guó)家，公元前3000年左右開(kāi)始出現(xiàn)初步統(tǒng)一的國(guó)家。古代埃及可以分為5個(gè)大的歷史時(shí)期：早期王國(guó)時(shí)期（公元前3100－前2688年）、古王國(guó)時(shí)期（前2686－前2181年）、中王國(guó)時(shí)期（前2040－前1768年）、新王國(guó)時(shí)期（前1567－前1086年）、后期王國(guó)時(shí)期（前1085－前332年）。（1）古王國(guó)時(shí)期：前2686－前2181年。埃及進(jìn)入統(tǒng)一時(shí)代，開(kāi)始建造金字塔，是第一個(gè)繁榮而偉大的時(shí)代。（2）新王國(guó)時(shí)期：前1567－前1086年。埃及進(jìn)入極盛時(shí)期，建立了地跨亞非兩洲的大帝國(guó)。直到公元前332年亞歷山大大帝征服埃及為止。埃及人創(chuàng)造了連續(xù)3000多年的輝煌歷史，建立了國(guó)家，有了相當(dāng)發(fā)達(dá)的農(nóng)業(yè)和手工業(yè)，發(fā)明了銅器、創(chuàng)造了文字、掌握了較高的天文學(xué)和幾何學(xué)知識(shí)，建造了巍峨宏偉的神廟和金字塔。吉薩金字塔（公元前2600年）（剛果，1978），它顯示了埃及人極其精確的測(cè)量能力，其中它的邊長(zhǎng)和高度的比例約為圓周率的一半。古埃及最重要的傳世數(shù)學(xué)文獻(xiàn)：紙草書(shū)，來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)學(xué)問(wèn)題集。萊茵德紙草書(shū)（1858年為蘇格蘭收藏家萊茵德購(gòu)得，現(xiàn)藏倫敦大英博物館，主體部分由84個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題組成，其中還有歷史上第一個(gè)嘗試“化圓為化”的公式）。莫斯科紙草書(shū)（1893年由俄國(guó)貴族戈列尼雪夫購(gòu)得，現(xiàn)藏莫斯科普希金精細(xì)藝術(shù)博物館，包含了25個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題）。埃及紙草書(shū)（民主德國(guó)，1981）。數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)：記數(shù)制，基本的算術(shù)運(yùn)算，分?jǐn)?shù)運(yùn)算，一次方程，正方形、矩形、等腰梯形等圖形的面積公式，近似的圓面積，錐體體積等。公元前4世紀(jì)希臘人征服埃及以后，這一古老的數(shù)學(xué)完全被蒸蒸日上的希臘數(shù)學(xué)所取代。2.2古代巴比倫的數(shù)學(xué)背景：古代巴比倫簡(jiǎn)況兩河流域（美索不達(dá)米亞）文明上溯到距今6000年之前，幾乎和埃及人同時(shí)發(fā)明了文字“楔形文字”。（1）古巴比倫王國(guó)：公元前1894－前729年。漢穆拉比（在位前1792－前1750）統(tǒng)一了兩河流域，建成了一個(gè)強(qiáng)盛的中央集權(quán)帝國(guó)，頒布了著名的《漢穆拉比法典》。（2）亞述帝國(guó)：前8世紀(jì)－前612年，建都尼尼微（今伊拉克的摩蘇爾市）。（3）新巴比倫王國(guó)：前612－前538年。尼布甲尼撒二世（在位前604－前562年）統(tǒng)治時(shí)期達(dá)到極盛，先后兩次攻陷耶路撒冷，建成世界古代七大奇觀之一的巴比倫“空中花園”。世界古代七大奇觀指埃及金字塔、巴比倫空中花園、阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亞歷山大燈塔、羅德島太陽(yáng)神銅像，他們是分布于西亞、北非和地中海沿岸的古跡，是古代西方人眼中的全部世界，而中國(guó)的長(zhǎng)城距他們太遠(yuǎn)了。記錄者古希臘哲學(xué)家費(fèi)隆·拜占廷說(shuō)過(guò)：“心眼所見(jiàn)，永難磨滅”。公元前6世紀(jì)中葉，波斯國(guó)家逐漸興起，并于公元前538年滅亡了新巴比倫王國(guó)。了解古代美索不達(dá)米亞文明的主要文獻(xiàn)是泥版，迄今已有約50萬(wàn)塊泥版出土。蘇美爾計(jì)數(shù)泥版（文達(dá)，1982）?，F(xiàn)在泥版文書(shū)中大約有300多塊是數(shù)學(xué)文獻(xiàn)：以60進(jìn)制為主的楔形文記數(shù)系統(tǒng)，長(zhǎng)于計(jì)算，發(fā)展程序化算法的熟練技巧（開(kāi)方根），能處理三項(xiàng)二次方程，有三次方程的例子，三角形、梯形的面積公式，棱柱、方錐的體積公式。泥版楔形文，普林頓322（現(xiàn)在美國(guó)哥倫比亞大學(xué)圖書(shū)館，年代在公元前1600年以前，數(shù)論意義：整勾股數(shù)）。巴比倫泥板和彗星（不丹，1986）。2.3西漢以前的中國(guó)數(shù)學(xué)黃河壺口瀑布（中國(guó)，2002）《史記·夏本紀(jì)》大禹治水（公元前21世紀(jì)）中提到“左規(guī)矩，右準(zhǔn)繩”，表明使用了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖和測(cè)量工具，而且知道“勾三股四弦五”?？脊艑W(xué)的成就，充分說(shuō)明了中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展。1952年在陜西西安半坡村出土的，至今六七千年的陶器上刻畫(huà)的符號(hào)中，有一些符號(hào)就是表示數(shù)字的符號(hào)。在殷墟出土的商代甲骨文中，有一些是記錄數(shù)字的文字，表明中國(guó)已經(jīng)使用了完整的十進(jìn)制記數(shù)，包括從一至十，以及百、千、萬(wàn)，最大的數(shù)字為三萬(wàn)。殷墟甲骨上數(shù)學(xué)（商代，公元前1400－前1100年，1983－1984年間河南安陽(yáng)出土）。算籌（1971年陜西千陽(yáng)縣西漢墓出土）是中國(guó)古代的計(jì)算工具，它的起源大約可上溯到公元前5世紀(jì)，后來(lái)寫(xiě)在紙上便成為算籌記數(shù)法。至遲到春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代，又開(kāi)始出現(xiàn)嚴(yán)格的十進(jìn)位制籌算記數(shù)（約公元前300年）。怎樣用算籌記數(shù)呢？公元3－4世紀(jì)成書(shū)的《孫子算經(jīng)》記載說(shuō)：“凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬(wàn)百相當(dāng)。”為了避免涂改，在唐代以后，我國(guó)又創(chuàng)用了一種商業(yè)大寫(xiě)數(shù)字，又叫會(huì)計(jì)體：壹、貳、叁、肆、伍、陸、柒、捌、玖、拾、佰、仟、萬(wàn)。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的最大特點(diǎn)是建立在籌算基礎(chǔ)之上，是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)對(duì)人類文明的特殊貢獻(xiàn)，這與西方及阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)是明顯不同的。我國(guó)是世界上首先發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的國(guó)家。戰(zhàn)國(guó)時(shí)法家李悝（約公元前455－前395年）曾任魏文侯相，主持變法，我國(guó)第一部比較完整的法典《法經(jīng)》（現(xiàn)已失傳）中已應(yīng)用了負(fù)數(shù)，“衣五人終歲用千百不足四百五十”，意思是說(shuō)，5個(gè)人一年開(kāi)支1500錢(qián)，差450錢(qián)。甘肅居延海附近（今甘肅省張掖市管領(lǐng)）發(fā)現(xiàn)的漢簡(jiǎn)中有“負(fù)四筭（suàn，籌碼，同算），得七筭，相除得三筭”的句子。在2002年中國(guó)考古發(fā)現(xiàn)報(bào)告會(huì)上，介紹了繼秦始皇陵兵馬俑坑之后秦代考古的又一重大發(fā)現(xiàn)：湖南龍山里耶戰(zhàn)國(guó)－秦漢時(shí)期城址及秦代簡(jiǎn)牘。2002年7月，考古人員在湖南龍山里耶戰(zhàn)國(guó)－秦漢古城出土了36000余枚秦簡(jiǎn)，記錄的是秦始皇二十六年至三十七年（即公元前221－前210年）的秦朝歷史，其中有一份完整的“九九乘法口訣表”。在《管子》、《荀子》、《戰(zhàn)國(guó)策》等先秦典籍中，都提到過(guò)“九九”，但實(shí)物還是首次發(fā)現(xiàn)，這是我國(guó)有文字記錄最早的乘法口訣表。最后給一首數(shù)字詩(shī)，取自宋朝理學(xué)家邵康節(jié)（公元1011－1077年，中國(guó)占卜界的主要代表人物）寫(xiě)的一首詩(shī)，描繪像花園一樣美麗的地方，一幅樸實(shí)自然的鄉(xiāng)村風(fēng)俗畫(huà)，宛如一副淡雅的水墨畫(huà)：一去二三里，煙村四五家。亭臺(tái)六七座，八九十枝花。思考題1、您對(duì)《數(shù)學(xué)史》課程的期望。2、談?wù)勀睦斫猓簲?shù)學(xué)是什么?3、數(shù)學(xué)崇拜與數(shù)學(xué)忌諱。4、從數(shù)學(xué)的起源簡(jiǎn)述人類活動(dòng)對(duì)文化發(fā)展的貢獻(xiàn)。5、數(shù)的概念的發(fā)展給我們的啟示。6、探討古代埃及和古代巴比倫的數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的意義。第二講古代希臘數(shù)學(xué)主要內(nèi)容：論證數(shù)學(xué)的發(fā)端，亞歷山大學(xué)派，古希臘數(shù)學(xué)的衰落家，簡(jiǎn)述11位哲學(xué)家或科學(xué)家的數(shù)學(xué)工作。恩格斯指出：“沒(méi)有希臘的文化和羅馬帝國(guó)奠定的基礎(chǔ)，沒(méi)沒(méi)有現(xiàn)代的歐洲?！薄叭绻恢肋h(yuǎn)溯古希臘各代前輩所建立和發(fā)展的概念、方法和結(jié)果，我們就不可能理解近年來(lái)數(shù)學(xué)的目標(biāo)，也不可能理解它的成就?！薄狢laudeHugoHermannWeyl背景：古希臘的變遷古希臘地圖。希臘時(shí)期（公元前11世紀(jì)－前3世紀(jì)）：分為愛(ài)奧尼亞時(shí)期和雅典時(shí)期。愛(ài)奧尼亞時(shí)期：公元前11世紀(jì)－前6世紀(jì)，其中公元前11世紀(jì)－前9世紀(jì)希臘各部落進(jìn)入愛(ài)琴地區(qū)，公元前9－前6世紀(jì)希臘各城邦先后形成，前776年召開(kāi)了第一次奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，標(biāo)志著古希臘文明進(jìn)入了興盛時(shí)期。希波戰(zhàn)爭(zhēng)（前499－前449年）以后，雅典成為希臘的霸主。雅典時(shí)期：公元前6－前3世紀(jì)，伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭(zhēng)（前431－前404年，雅典及其同盟者與以斯巴達(dá)為首的伯羅奔尼撒同盟之間的戰(zhàn)爭(zhēng)），希臘各城邦陷入混戰(zhàn)之中。馬其頓帝國(guó)崛起：前6世紀(jì)－前323年。馬其頓位于希臘的北部，處于希臘文明的邊緣，被希臘人視為蠻族。公元前4世紀(jì)起馬其頓逐漸成為希臘北部的重要國(guó)家，正當(dāng)希臘的城邦在經(jīng)歷將近100年的內(nèi)戰(zhàn)之后都精疲力竭的時(shí)候，馬其頓的菲利普二世（公元前382－前336年）把整個(gè)希臘統(tǒng)一于其統(tǒng)治之下，前337年希臘各城邦承認(rèn)馬其頓的霸主地位。前334年，亞歷山大（公元前356－前323年）率大軍渡海東征，拉開(kāi)了征服世界的序幕。亞歷山大最大的敵人是強(qiáng)大的波斯帝國(guó)，他先后從波斯人手中奪取了敘利亞和埃及，攻下巴比倫，波斯帝國(guó)滅亡。前323年，亞歷山大病死，他龐大的帝國(guó)也隨之分裂，古希臘歷史結(jié)束。但在帝國(guó)擴(kuò)張的過(guò)程中將希臘文明傳播至東方，史稱希臘化時(shí)代。希臘化時(shí)期（公元前3世紀(jì)－公元7世紀(jì)）：分為亞歷山大時(shí)期和亞歷山大后期。亞歷山大時(shí)期：公元前323－前30年，前48－前30年凱撒、屋大維侵占埃及。亞歷山大后期：公元前30－公元640年，公元640年阿拉伯人焚毀亞歷山大城藏書(shū)。羅馬帝國(guó)：公元前27－公元395年（公元330君士坦丁大帝遷都拜占廷，現(xiàn)為土耳其的伊斯坦布爾），西羅馬帝國(guó)：公元395－公元476年（為日爾曼人所滅），東羅馬帝國(guó)：公元395－公元1453年（610年改稱拜占廷帝國(guó)，為奧斯曼土耳其人所滅）。本講分三節(jié)介紹：古典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)、亞歷山大學(xué)派時(shí)期、希臘數(shù)學(xué)的衰落。1、古典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)公元前600－前300年。1.1愛(ài)奧尼亞學(xué)派（米利都學(xué)派）：泰勒斯（公元前625－前547年），出生于愛(ài)奧尼亞的米利都城，早年經(jīng)商，被稱為“希臘哲學(xué)、科學(xué)之父”。哲學(xué)：萬(wàn)物源于水，即“水生萬(wàn)物，萬(wàn)物復(fù)歸于水”。其思想的影響是巨大的，在他的帶動(dòng)下，人們開(kāi)始擺脫神的束縛，去探索宇宙的奧秘，經(jīng)過(guò)數(shù)百年的努力，出現(xiàn)了希臘科學(xué)的繁榮。泰勒斯首創(chuàng)之功，不可磨滅。數(shù)學(xué)：創(chuàng)數(shù)學(xué)命題邏輯證明之先河，希臘幾何學(xué)的鼻祖，最早留名于世的數(shù)學(xué)家，證明了一些幾何命題，如“圓的直徑將圓分為兩個(gè)相等的部分”，“等腰三角形兩底角相等”，“兩相交直線形成的對(duì)頂角相等”，“如果一個(gè)三角形有兩角、一邊分別與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角、邊相等，那么這兩個(gè)三角形全等”，“半圓上的圓周角是直角”（泰勒斯定理），測(cè)量過(guò)金字塔的高度。預(yù)報(bào)了公元前585年的一次日食。1.2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派：畢達(dá)哥拉斯（約公元前560－前480年），出生于小亞細(xì)亞的薩摩斯島，與中國(guó)的孔子（公元前551－前479年）同時(shí)，曾師從愛(ài)奧尼亞學(xué)派，年青時(shí)曾游歷埃及和巴比倫，在薩摩斯島建立了具有宗教、哲學(xué)、科學(xué)性質(zhì)的學(xué)派，致力于哲學(xué)和數(shù)學(xué)的研究，繁榮興旺達(dá)一個(gè)世紀(jì)以上。哲學(xué)（，智力愛(ài)好）：萬(wàn)物皆為數(shù)。沒(méi)有數(shù)就既不可能表達(dá)、也不可能理解任何事物，宣稱宇宙萬(wàn)物的主宰者用數(shù)來(lái)統(tǒng)御宇宙，試圖通過(guò)揭示數(shù)的奧秘來(lái)探索宇宙永恒的真理。數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)研究抽象概念的認(rèn)識(shí)歸功于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，“μαθηματιχα”（可學(xué)到的知識(shí)），“畢達(dá)哥拉斯定理”（希臘，1955），完全數(shù)（等于除它本身以外的全部因子之和，如6，28，496，…）、親和數(shù)（一對(duì)數(shù)，其中每一個(gè)數(shù)除它本身以外的所有因子之和是另一個(gè)數(shù)，如220，284），正五角星作圖與“黃金分割”（正五角星是該學(xué)派的標(biāo)志，正五角星相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的距離與其邊長(zhǎng)之比，或簡(jiǎn)單說(shuō)正五邊形邊長(zhǎng)與其對(duì)角線之比，正好是黃金比），發(fā)現(xiàn)了“不可公度量”，困惑古希臘的數(shù)學(xué)家，出現(xiàn)的邏輯困難史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。希波戰(zhàn)爭(zhēng)以后，雅典成為希臘民主政治與經(jīng)濟(jì)文化的中心，希臘數(shù)學(xué)也隨之走向繁榮，可謂哲學(xué)盛行、學(xué)派林立、名家百出。雅典古衛(wèi)城最宏偉、最精美、最著名的建筑是為敬奉城市庇護(hù)女神雅典娜建造的“帕提農(nóng)神廟”（也稱“巴臺(tái)農(nóng)神廟”，建造于公元前447－前432年），其中應(yīng)用了一些數(shù)學(xué)原理。雅典時(shí)期：開(kāi)創(chuàng)演繹數(shù)學(xué)。擲鐵餅者（米隆，約前450年）。1.3伊利亞學(xué)派：芝諾（約公元前490－前430年），出生于意大利南部半島的伊利亞城邦，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員的學(xué)生。芝諾悖論：兩分法，運(yùn)動(dòng)不存在。再由是：位移事物在達(dá)到目的地之前必須先抵達(dá)一半處，即不可能在有限的時(shí)間內(nèi)通過(guò)無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，所以，如果它起動(dòng)了，它永遠(yuǎn)到不了終點(diǎn)，或者，它根本起動(dòng)不了。阿基里斯（荷馬史詩(shī)《依里亞特》中的希臘名將，善跑）、飛矢不動(dòng)。芝諾的功績(jī)?cè)谟诎褎?dòng)和靜的關(guān)系、無(wú)限和有限的關(guān)系、連續(xù)和離散的關(guān)系以非數(shù)學(xué)的形態(tài)提出，并進(jìn)行了辯證的考察。1.4詭辯學(xué)派（智人學(xué)派）：活躍于公元前5世紀(jì)下半葉的雅典城，代表人物均以雄辯著稱，詭辯的希臘原詞含智慧之意，故亦稱智人學(xué)派。古典幾何三大作圖問(wèn)題：三等分任意角、化圓為方、倍立方。安蒂豐（約公元前480－前411年），有關(guān)他的生平至今沒(méi)有確切的定論，只知他在雅典從事學(xué)術(shù)活動(dòng)，是智人學(xué)派的代表人物，在數(shù)學(xué)方面的突出成就是用“窮竭法”討論化圓為方問(wèn)題。他從一個(gè)圓內(nèi)接正方形出發(fā)，將邊數(shù)逐步加倍到正八邊形、正十六邊形、、持續(xù)重復(fù)這一過(guò)程，隨著圓面積的逐漸窮竭，將得到一個(gè)邊長(zhǎng)極微小的圓內(nèi)接正多邊形。安蒂豐認(rèn)為這個(gè)內(nèi)接正多邊形將與圓重合，既然通常能夠作出一個(gè)等于任何已知多邊形的正方形，那么就能作出等于一個(gè)圓的正方形。這種推理當(dāng)然沒(méi)有真正解決化圓為方問(wèn)題，但安蒂豐卻因此成為古希臘“窮竭法”的始祖。希臘人對(duì)三大作圖問(wèn)題的所有解答都無(wú)法嚴(yán)格遵守尺規(guī)作圖的限制。1855年，法國(guó)科學(xué)院拒絕再審查化圓為方問(wèn)題的解。直到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們才利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)弄清了這三大問(wèn)題實(shí)際上是不可解的。如1882年林德曼（德，1852－1939年）證明了數(shù)的超越性，從而確立了尺規(guī)化圓為方的不可能性。1.5柏拉圖學(xué)派：柏拉圖（約公元前427－前347年），出生于雅典的顯貴世家，曾師從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，哲學(xué)家蘇格拉底（公元前469－前399年）的學(xué)生。作為一名哲學(xué)家，柏拉圖對(duì)于歐洲的哲學(xué)乃至整個(gè)文化的發(fā)展，有著深遠(yuǎn)的影響，特別是他的認(rèn)識(shí)論、數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)教育思想，后人將分析法和歸謬法歸的使用歸功于柏拉圖，在古代希臘社會(huì)條件下，對(duì)于科學(xué)的形成和數(shù)學(xué)的發(fā)展，起了不可磨滅的推進(jìn)作用。代表作《理想國(guó)》。柏拉圖說(shuō)：“上帝按幾何原理行事”，“不懂幾何者免進(jìn)”，認(rèn)為打開(kāi)宇宙之迷的鑰匙是數(shù)與幾何圖形，發(fā)展了用演繹邏輯方法系統(tǒng)整理零散數(shù)學(xué)知識(shí)的思想。柏拉圖不是數(shù)學(xué)家，卻贏得了“數(shù)學(xué)家的締造者”的美稱，公元前387年以萬(wàn)貫家財(cái)在雅典創(chuàng)辦學(xué)院，講授哲學(xué)與數(shù)學(xué)，直到529年?yáng)|羅馬君王查士丁尼下令關(guān)閉所有的希臘學(xué)校才告終止。意大利文藝復(fù)興三杰之一拉斐爾?桑蒂（1483－1520年）的壁畫(huà)：雅典學(xué)院（創(chuàng)作于1509－1510年）。古希臘最著名的哲學(xué)家、科學(xué)家：亞里士多德（公元前384－前322年）（烏拉圭，1996），柏拉圖的學(xué)生。1.6亞里士多德學(xué)派（呂園學(xué)派）：出生于馬其頓的斯塔吉拉鎮(zhèn)，公元前335年建立了自己的學(xué)派，講學(xué)于雅典的呂園，又稱“呂園學(xué)派”，相傳亞里士多德還做過(guò)亞歷山大大帝的老師?！拔釔?ài)吾師，吾尤愛(ài)真理”。集古希臘哲學(xué)之大成，把古希臘哲學(xué)推向最高峰，將前人使用的數(shù)學(xué)推理規(guī)律規(guī)范化和系統(tǒng)化，創(chuàng)立了獨(dú)立的邏輯學(xué)，堪稱“邏輯學(xué)之父”，“矛盾律”、“排中律”成為數(shù)學(xué)中間接證明的核心，努力把形式邏輯的方法運(yùn)用于數(shù)學(xué)的推理上，為歐幾里得演繹幾何體系的形成奠定了方法論的基礎(chǔ)，被后人奉為演繹推理的圣經(jīng)。1207年亞里士多德的著作全部被譯成拉丁文。13世紀(jì)由托馬斯·阿奎那（意，1225－1274年）建立了經(jīng)院哲學(xué)，對(duì)亞里士多德哲學(xué)稍加篡改用來(lái)適應(yīng)基督教教義，試圖從哲學(xué)上以理性的名義來(lái)論證上帝的存在。亞歷山大帝國(guó)版圖、亞歷山大帝國(guó)解體。希臘化時(shí)期的數(shù)學(xué)（公元前300－公元600年）。亞歷山大去世后，帝國(guó)一分為三：安提柯王朝（馬其頓）、托勒密王朝（埃及）、塞琉古王朝（敘利亞）。亞歷山大燈塔（匈牙利，1980）。亞歷山大城現(xiàn)在是埃及最大的海港城市。郵票中的主圖是世界古代七大奇觀之一的亞歷山大（法羅斯）燈塔，建于托勒密王朝鼎盛時(shí)期的公元前285－前247年，建成的燈塔高達(dá)117米，1375年的一次猛烈地震，燈塔全毀，法羅斯島連同附近海岸地區(qū)慢慢沉入海底，千古奇觀從此煙消云散。世界古代七大奇觀指埃及金字塔、巴比倫空中花園、阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亞歷山大燈塔、羅德島太陽(yáng)神銅像，他們是分布于西亞、北非和地中海沿岸的古跡，那是古代西方人眼中的全部世界，而中國(guó)的長(zhǎng)城距他們太遠(yuǎn)了。記錄者古希臘哲學(xué)家費(fèi)隆·拜占廷說(shuō)過(guò)：“心眼所見(jiàn)，永難磨滅”。2、亞歷山大學(xué)派時(shí)期公元前300－前30年。托勒密（托勒密·索特爾，約前367－前283年）統(tǒng)治下的希臘埃及，定都于亞歷山大城，于公元前300年左右，開(kāi)始興建亞歷山大藝術(shù)博物館和圖書(shū)館，提倡學(xué)術(shù)，羅致人才，進(jìn)入了亞歷山大時(shí)期：希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代，先后出現(xiàn)了歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯三大數(shù)學(xué)家，他們的成就標(biāo)志了古典希臘數(shù)學(xué)的巔峰。2.1歐幾里得（公元前325－前265年）早年學(xué)習(xí)于雅典，公元前300年應(yīng)托勒密一世之請(qǐng)來(lái)到亞歷山大，成為亞歷山大學(xué)派的奠基人。用邏輯方法把幾何知識(shí)建成一座巍峨的大廈，他的公理化思想和方法歷盡滄桑而流傳千古，成為后人難以跨躍的高峰?！皫缀螣o(wú)王者之道”，后推廣為：“求知無(wú)坦途”?！对尽罚é拨应夕搔枝纽应?，意指：學(xué)科中具有廣泛應(yīng)用的最重要的定理）。13卷：第一卷：直邊形，全等、平行公理、畢達(dá)哥拉斯定理（世界最早、完整、嚴(yán)格的證明）、初等作圖法等；第二卷：幾何方法解代數(shù)問(wèn)題，求面積、體積等；第三、四卷：圓、弦、切線、圓的內(nèi)接、外切；第五、六卷：比例論與相似形；第七、八、九、十卷：數(shù)論；第十一、十二、十三卷：立體幾何，包括窮竭法，是微積分思想的來(lái)源。采用了亞里士多德對(duì)公理、公設(shè)的區(qū)分，由5條公理，5條公設(shè)，119條定義和465條命題組成，構(gòu)成了歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系。5公理：（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量減等量，差相等；（4）彼此重合的圖形是全等的；（5）整體大于部分。5公設(shè)：（1）假定從任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作一直線；（2）一條有限直線可不斷延長(zhǎng)；（3）以任意中心和直徑可以畫(huà)圓；（4）凡直角都彼此相等；（5）若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無(wú)限延長(zhǎng)，它們都在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交?！对尽肥菙?shù)學(xué)史上第一座理論豐碑，確立了數(shù)學(xué)的演繹范式，正如英國(guó)著名哲學(xué)與數(shù)學(xué)家羅素（1872－1970年）說(shuō)過(guò)：“歐幾里得的《原本》毫無(wú)疑義是古往今來(lái)最偉大的著作之一，是希臘理智最完美的紀(jì)念碑之一”。它也成為科學(xué)史上流傳最廣的著作之一，僅從1482年第一個(gè)拉丁文印刷本在威尼斯問(wèn)世以來(lái)，已出了各種文字的版本1000多個(gè)。存在缺陷，定義借助直觀，公理系統(tǒng)不完備。2.2數(shù)學(xué)之神：阿基米德（公元前287－前212年）與牛頓（英，1642－1727年）、高斯（德，1777－1855年）并列有史以來(lái)最偉大的三大數(shù)學(xué)家之一，出生于西西里島的敘拉古，曾在亞歷山大城師從歐幾里得的門(mén)生?！敖o我一個(gè)支點(diǎn)，我就可以移動(dòng)地球”。最為杰出的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是，在《圓的度量》中，發(fā)展了200年前安蒂豐的窮竭法，用于計(jì)算周長(zhǎng)、面積或體積，通過(guò)計(jì)算圓內(nèi)接和外切正96邊形的周長(zhǎng)，求得圓周率介于3?10/71和3?1/7之間（約為3.14），這是數(shù)學(xué)史上第一次給出科學(xué)求圓周率的方法，把希臘幾何學(xué)幾乎提高到西方17世紀(jì)后才得以超越的高峰。阿基米德螺線，一位應(yīng)用數(shù)學(xué)家，阿基米德之死（在保衛(wèi)敘拉古的戰(zhàn)斗中被羅馬士兵所殺）。墓碑上是阿基米德最引以為豪的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的象征圖形：球及其外切圓柱。2.3阿波羅尼奧斯（約公元前262－前190年），出生于小亞細(xì)亞的珀?duì)柤樱昵鄷r(shí)曾在亞歷山大城跟隨歐幾里得的門(mén)生學(xué)習(xí)，貢獻(xiàn)涉及幾何學(xué)和天文學(xué)，最重要的數(shù)學(xué)成就是在前人工作的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了相當(dāng)完美的圓錐曲線論，以歐幾里得嚴(yán)謹(jǐn)風(fēng)格寫(xiě)成的傳世之作《圓錐曲線》，是希臘演繹幾何的最高成就，用純幾何的手段達(dá)到了今日解析幾何的一些主要結(jié)論，確實(shí)令人驚嘆，對(duì)圓錐曲線研究所達(dá)到的高度，直到17世紀(jì)笛卡兒、帕斯卡出場(chǎng)之前，始終無(wú)人能夠超越?！秷A錐曲線》全書(shū)共8卷，含487個(gè)命題?？巳R因（美，1908－1992年）：它是這樣一座巍然屹立的豐碑，以致后代學(xué)者至少?gòu)膸缀紊蠋缀醪荒茉賹?duì)這個(gè)問(wèn)題有新的發(fā)言權(quán)。這確實(shí)可以看成是古希臘幾何的登峰造極之作。貝爾納（英，1901－1971年）：他的工作如此的完備，所以幾乎二千年后，開(kāi)普勒和牛頓可以原封不動(dòng)地搬用，來(lái)推導(dǎo)行星軌道的性質(zhì)。3、希臘數(shù)學(xué)的衰落公元180年前后的羅馬帝國(guó)版圖。公元前6世紀(jì)，在意大利半島的臺(tái)伯河畔，有一座羅馬城逐漸建立起來(lái)。公元前509年，羅馬建立了共和國(guó)。古羅馬經(jīng)過(guò)多個(gè)世紀(jì)的戰(zhàn)爭(zhēng)，時(shí)分時(shí)合多次。公元前27年，羅馬建立了元首政治，共和國(guó)宣告滅亡，從此進(jìn)入羅馬帝國(guó)時(shí)代。在公元前1世紀(jì)完全征服了希臘各國(guó)而奪得了地中海地區(qū)的霸權(quán)，建立了強(qiáng)大的羅馬帝國(guó)。1世紀(jì)時(shí)，羅馬帝國(guó)繼續(xù)擴(kuò)張，到2世紀(jì)，帝國(guó)版圖確定下來(lái)，它地跨歐、亞、非三洲，地中海成了它的內(nèi)湖。傳統(tǒng)的史學(xué)家把公元前27年到公元284年稱為早期羅馬帝國(guó)。進(jìn)入晚期羅馬帝國(guó)時(shí)期，帝國(guó)在戰(zhàn)亂中于395年由最后一個(gè)君主提奧多正式把帝國(guó)分為兩部分，西部以羅馬為首都分給了長(zhǎng)子阿卡狄（稱為西羅馬帝國(guó)），東部以君士坦丁堡（今土耳其的伊斯坦布爾）為首都分給了次子賀諾里（稱為東羅馬帝國(guó)）。476年，西羅馬帝國(guó)皇帝被日耳曼人廢掉，西羅馬帝國(guó)滅亡，西歐奴隸制社會(huì)的歷史結(jié)束了，從此進(jìn)入了封建社會(huì)時(shí)期。古羅馬斗獸場(chǎng)（建于公元70－82年）。西班牙古羅馬高架引水橋（建于公元1世紀(jì)末2世紀(jì)初）高架引水橋從遙遠(yuǎn)的雪山引水到阿爾卡薩城堡，全長(zhǎng)15公里，有166個(gè)拱門(mén)，它由2萬(wàn)多塊大石頭堆砌而成，石塊間沒(méi)有任何水泥等灰漿類物質(zhì)黏合，至今仍能堅(jiān)固完好，實(shí)在令人嘆為觀止。據(jù)說(shuō)，這座已經(jīng)1900歲引水橋的引水功能，直到1950年還在使用呢！如今它是塞哥維亞的標(biāo)志性建筑。羅馬帝國(guó)的建立，唯理的希臘文明從而被務(wù)實(shí)的羅馬文明所取代。同氣勢(shì)恢弘的羅馬建筑相比，羅馬人在數(shù)學(xué)領(lǐng)域遠(yuǎn)談不上有什么顯赫的功績(jī)。由于希臘文化的慣性影響以及羅馬統(tǒng)治者對(duì)自由研究的寬松態(tài)度，在相當(dāng)長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)亞歷山大城仍然維持學(xué)術(shù)中心的地位，產(chǎn)生了一批杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作。從公元前30年－公元600年常稱為希臘數(shù)學(xué)的“亞歷山大后期”。3.1托勒密（埃及，90－165年），在亞歷山大城工作，最重要的著作是《天文學(xué)大成》（《至大論》）13卷第一、二卷：地心體系的基本輪廓；第三卷：太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)；第四卷：月亮運(yùn)動(dòng)；第五卷：計(jì)算月地距離和日地距離；第六卷：日食和月食的計(jì)算；第七、八卷：恒星和歲差現(xiàn)象；第九－十三卷：分別討論五大行星的運(yùn)動(dòng)，本輪和均輪的組合在這里得到運(yùn)用。提出地心說(shuō)而成為整個(gè)中世紀(jì)西方天文學(xué)的經(jīng)典?！洞蟪伞分锌偨Y(jié)了在他之前的古代三角學(xué)知識(shí)，其中最有意義的貢獻(xiàn)是包含有一張正弦三角函數(shù)表，這是歷史上第一個(gè)有明確的構(gòu)造原理并流傳于世的系統(tǒng)的三角函數(shù)表。三角學(xué)的貢獻(xiàn)是亞歷山大后期幾何學(xué)最富創(chuàng)造性的成就。托勒密的本輪－均輪模型。3.2丟番圖（公元200－284年）《算術(shù)》亞歷山大后期希臘數(shù)學(xué)的一個(gè)重要特征是突破了前期以幾何學(xué)為中心的傳統(tǒng)，使算術(shù)和代數(shù)成為獨(dú)立的學(xué)科。希臘算術(shù)與代數(shù)成就的最高標(biāo)志是丟番圖的《算術(shù)》，這是一部具有東方色彩、對(duì)古典希臘幾何傳統(tǒng)最離經(jīng)叛道的算術(shù)與代數(shù)著作，其中最有名的一個(gè)不定方程：將一個(gè)已知的平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)。17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在閱讀《算術(shù)》時(shí)對(duì)該問(wèn)題給出一個(gè)邊注，引出了后來(lái)舉世矚目的“費(fèi)馬大定理”。另一重要貢獻(xiàn)是創(chuàng)用了一套縮寫(xiě)符號(hào)，一種“簡(jiǎn)寫(xiě)代數(shù)”，是真正的符號(hào)代數(shù)出現(xiàn)之前的一個(gè)重要階段。關(guān)于丟番圖的生平，知之甚少，推測(cè)大約公元250年前后活動(dòng)于亞歷山大城，知道他活了84歲。丟番圖的墓志銘：墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實(shí)地記錄了所經(jīng)歷的道路。上帝給予的童年占六分之一，又過(guò)十二分之一，兩頰長(zhǎng)胡，再過(guò)七分之一，點(diǎn)燃起結(jié)婚的蠟燭。五年之后天賜貴子，可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進(jìn)入冰冷的墓。悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ)，又過(guò)四年，他也走完了人生的旅途。這相當(dāng)于方程：1/6?x+1/12?x+1/7?x+5+1/2?x+4=x，x=84。古希臘數(shù)學(xué)的落幕?；浇淘诹_馬被奉為國(guó)教后，將希臘學(xué)術(shù)視為異端邪說(shuō)，對(duì)異教學(xué)者橫加迫害。公元415年，亞歷山大女?dāng)?shù)學(xué)家希帕蒂婭（公元370－415年）被一群聽(tīng)命于主教的基督暴徒殘酷殺害。希帕蒂婭曾注釋過(guò)阿基米德、阿波羅尼奧斯和丟番圖的著作，是歷史上第一位杰出的女?dāng)?shù)學(xué)家。希帕蒂婭的被害預(yù)示了在基督教的陰影籠罩下整個(gè)中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)的厄運(yùn)。柏拉圖學(xué)園被封閉。公元529年?yáng)|羅馬皇帝查士丁尼（527－565年）下令封閉了雅典的所有學(xué)校，包括柏拉圖公元前387年創(chuàng)立的雅典學(xué)院。亞歷山大圖書(shū)館（當(dāng)時(shí)世界上藏書(shū)最多的圖書(shū)館）三劫，希臘古代數(shù)學(xué)至此落下帷幕。第1次劫難：前47年，羅馬凱撒燒毀了亞歷山大港的艦隊(duì)，大火殃及亞歷山大圖書(shū)館，70萬(wàn)卷圖書(shū)付之一炬。第2次劫難：公元392年羅馬狄?jiàn)W多修下令拆毀塞拉皮斯希臘神廟，30多萬(wàn)件希臘文手稿被毀。第3次劫難：公元640年阿拉伯奧馬爾一世下令收繳亞歷山大城全部希臘書(shū)籍予以焚毀。附：埃及陽(yáng)歷、儒略歷、格里歷、公歷目前通行世界的公歷，是我們大家最熟悉的一種陽(yáng)歷。這部歷法浸透了人類幾千年間所創(chuàng)造的文明，是古羅馬人向埃及人學(xué)得，并隨著羅馬帝國(guó)的擴(kuò)張和基督教的興起而傳播于世界各地。由于計(jì)算尼羅河泛濫周期的需要，產(chǎn)生了古埃及的天文學(xué)和太陽(yáng)歷。埃及陽(yáng)歷：每年365天，12個(gè)月，每月30天，外加5天年終節(jié)日。天文學(xué)家索西吉斯（前90－？）建議羅馬儒略·凱撒（前100－前44年）大帝使用陽(yáng)歷，注意4年置閏一次；公元前46年制定儒略歷。儒略歷：平年365天，12個(gè)月，大月31天，小月30天，單月為大月（凱撒生日在7月），8月也定為大月（屋大維（奧古斯都，前63－公元14年，凱撒姐姐的兒子，是凱撒遺囑的第一繼承人，生日在8月），從8月開(kāi)始，單月為小，雙月為大，所欠缺的天數(shù)均從2月（不吉利的月份）里扣除，使之成為28天。閏年366天，使2月成為29天。儒略歷從公元前45年1月1日開(kāi)始實(shí)行。公元325年，羅馬教皇將儒略歷規(guī)定為教歷。公歷的紀(jì)元，就是從“耶穌降生”的那年算起的，這與基督教的興盛密切相關(guān)。問(wèn)題：一年365.25天比實(shí)際回歸年長(zhǎng)度365.2422多0.0078天，至公元1582年，已與實(shí)際天數(shù)多了10天。為了不違背宗教的規(guī)定，滿足教會(huì)對(duì)歷法的要求，羅馬教皇格里高利13世設(shè)立了改革歷法的專門(mén)委員會(huì)，比較了各種方案后，決定采用意大利醫(yī)生利里奧的方案，在400年中去掉儒略歷多出的三個(gè)閏年。格里歷：羅馬教皇格里高利13世，將1582年10月5日直接變成15日；在4年一閏的基礎(chǔ)上每逢百之年只有能被400整除的才算閏年；歷年的平均長(zhǎng)度為365.2425，更接近回歸年長(zhǎng)度（與回歸年長(zhǎng)度相差25.92秒），要過(guò)3333歷年兩者才會(huì)相差1日。由于格里歷的內(nèi)容比較簡(jiǎn)潔，便于記憶，而且精度較高，與天時(shí)符合較好，因此它逐步為各國(guó)政府所采用。公歷：格里歷先在天主教國(guó)家使用，20世紀(jì)初為全世界普遍采用，所以又叫公歷。我國(guó)于1912年開(kāi)始采用公歷，但仍用中華民國(guó)紀(jì)年，1949年中華人民共和國(guó)成立后，采用公歷紀(jì)年。思考題1、試分析芝諾悖論：飛矢不動(dòng)。2、歐幾里得《原本》對(duì)數(shù)學(xué)以及整個(gè)科學(xué)的發(fā)展有什么意義？3、簡(jiǎn)述歐幾里得《原本》的現(xiàn)代意義？4、以“化圓為方”問(wèn)題為例，說(shuō)明未解決問(wèn)題在數(shù)學(xué)中的重要性。5、體驗(yàn)阿基米德方法：通過(guò)計(jì)算半徑為1的圓內(nèi)接和外切正96邊形的周長(zhǎng)，計(jì)算圓周率的近似值，計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后3位數(shù)。6、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是怎樣引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的？他們?yōu)槭裁匆獙?duì)這次數(shù)學(xué)危機(jī)采取回避的態(tài)度？第三講：中世紀(jì)的東西方數(shù)學(xué)I中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的形成與興盛：公元前1世紀(jì)至公元14世紀(jì)。分成三個(gè)階段：《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》、劉徽與祖沖之、宋元數(shù)學(xué)，這反映了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的三次高峰，簡(jiǎn)述9位中國(guó)科學(xué)家的數(shù)學(xué)工作。1、中算發(fā)展的第一次高峰：數(shù)學(xué)體系的形成秦始皇陵兵馬俑（中國(guó)，1983），秦漢時(shí)期形成中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系。我們通過(guò)一些古典數(shù)學(xué)文獻(xiàn)說(shuō)明數(shù)學(xué)體系的形成。1983－1984年間考古學(xué)家在湖北江陵張家山出土的一批西漢初年（即呂后至文帝初年，約為公元前170年前后）的竹簡(jiǎn)，共千余支。經(jīng)初步整理，其中有歷譜、日書(shū)等多種古代珍貴的文獻(xiàn)，還有一部數(shù)學(xué)著作，據(jù)寫(xiě)在一支竹簡(jiǎn)背面的字跡辨認(rèn)，這部竹簡(jiǎn)算書(shū)的書(shū)名叫《算數(shù)書(shū)》，它是中國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)專著。經(jīng)研究，它和《九章算術(shù)》（公元1世紀(jì)）有許多相同之處，體例也是“問(wèn)題集”形式，大多數(shù)題都由問(wèn)、答、術(shù)三部分組成，而且有些概念、術(shù)語(yǔ)也與《九章算術(shù)》的一樣。《周髀算經(jīng)》（髀：量日影的標(biāo)桿）編纂于西漢末年，約公元前100年，它雖是一部天文學(xué)著作（“蓋天說(shuō)”－天圓地方；中國(guó)古代正統(tǒng)的宇宙觀是“渾天說(shuō)”－大地是懸浮于宇宙空間的圓球，“天體如彈丸，地如卵中黃”），涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)有的可以追溯到公元前11世紀(jì)（西周），其中包括兩項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)成就：勾股定理的普遍形式（中國(guó)最早關(guān)于勾股定理的書(shū)面記載），數(shù)學(xué)在天文測(cè)量中的應(yīng)用（測(cè)太陽(yáng)高或遠(yuǎn)的“陳子測(cè)日法”，陳子約公元前6、7世紀(jì)人，相似形方法）。勾股定理的普遍形式：求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，得邪至日。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作是《九章算術(shù)》（東漢，公元100年）。它不是出自一個(gè)人之手，是經(jīng)過(guò)歷代多人修訂、增補(bǔ)而成，其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些也可以追溯到周代。中國(guó)儒家的重要經(jīng)典著作《周禮》記載西周貴族子弟必學(xué)的六門(mén)課程“六藝”（禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)）中有一門(mén)是“九數(shù)”。《九章算術(shù)》是由“九數(shù)”發(fā)展而來(lái)。在秦焚書(shū)（公元前213年）之前，至少已有原始的本子。經(jīng)過(guò)西漢張蒼（約公元前256－152年，約公元前200年，西漢陽(yáng)武（今河南原陽(yáng)）人）、耿壽昌（公元前73－49年，約公元前50年）等人刪補(bǔ)，大約成書(shū)于東漢時(shí)期，至遲在公元100年。全書(shū)246個(gè)問(wèn)題，分成九章：（1）方田（土地測(cè)量），包括正方形、矩形、三角形、梯形、圓形、環(huán)形、弓形、截球體的表面積計(jì)算，另有約分、通分、四則運(yùn)算，求最大公約數(shù)等運(yùn)算法則；（2）粟米（糧食交易的比例方法）；（3）衰分（比例分配的算法），介紹依等級(jí)分配物資或按等級(jí)攤派稅收的比例分配算法；（4）少?gòu)V（開(kāi)平方和開(kāi)立方法）；（5）商功（立體形求體積法）；（6）均輸（征稅），處理行程和合理解決征稅問(wèn)題，包括復(fù)比例和連比例等比較復(fù)雜的比例分配問(wèn)題；（7）盈不足（盈虧類問(wèn)題解法及其應(yīng)用）；（8）方程（一次方程組解法和正負(fù)數(shù)）；（9）勾股（直角三角形），介紹利用構(gòu)股定理測(cè)量計(jì)算高、深、廣、遠(yuǎn)的問(wèn)題。所包含的數(shù)學(xué)成就是豐富和多方面的，主要內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)四則和比例算法、面積和體積的計(jì)算、關(guān)于勾股測(cè)量的計(jì)算等，既有算術(shù)方面的，也有代數(shù)與幾何方面的內(nèi)容。如方程第一題，其算籌式為它完整地?cái)⑹隽水?dāng)時(shí)已有的數(shù)學(xué)成就，對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，如同《原本》對(duì)西方數(shù)學(xué)發(fā)展的影響一樣深遠(yuǎn)，在長(zhǎng)達(dá)一千多年間，一直作為中國(guó)的數(shù)學(xué)教科書(shū)，并被公認(rèn)為世界數(shù)學(xué)古典名著之一?！毒耪滤阈g(shù)》標(biāo)志以籌算為基礎(chǔ)的中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系正式形成。2、中算發(fā)展的第二次高峰：數(shù)學(xué)穩(wěn)步發(fā)展三國(guó)演義（中國(guó)，1998）。從公元220年?yáng)|漢分裂，到公元581年隋朝建立，史稱魏晉南北朝。這是中國(guó)歷史上的動(dòng)蕩時(shí)期，也是思想相對(duì)活躍的時(shí)期。在長(zhǎng)期獨(dú)尊儒學(xué)之后，學(xué)術(shù)界思辨之風(fēng)再起，在數(shù)學(xué)上也興起了論證的趨勢(shì)。許多研究以注釋《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》的形式出現(xiàn)，實(shí)質(zhì)是尋求這兩部著作中一些重要結(jié)論的數(shù)學(xué)證明。這是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)獨(dú)特而豐產(chǎn)的時(shí)期，是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)穩(wěn)步發(fā)展的時(shí)期。《九章算術(shù)》注釋中最杰出的代表是劉徽和祖沖之父子。2.1劉徽（魏晉，公元3世紀(jì)）（中國(guó)，2002），淄鄉(xiāng)（今山東鄒平縣）人，布衣數(shù)學(xué)家，于263年撰《九章算術(shù)注》，不僅對(duì)《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，而且系統(tǒng)地闡述了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系與數(shù)學(xué)原理，并且多有創(chuàng)造，奠定了這位數(shù)學(xué)家在中國(guó)數(shù)學(xué)史上的不朽地位，成為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最具代表性的人物。劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是“割圓術(shù)”（圓內(nèi)接正多邊形面積無(wú)限逼近圓面積）。在劉徽之前，通常認(rèn)為“周三徑一”，即圓周率取為3。劉徽在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”，通過(guò)計(jì)算圓內(nèi)接正3072邊形的面積，求出圓周率為3927/1250（=3.1416）（阿基米德計(jì)算了圓內(nèi)接和外切正96邊形的周長(zhǎng)）。為方便計(jì)算，劉徽主張利用圓內(nèi)接正192邊形的面積求出157/50（=3.14）作為圓周率，后人常把這個(gè)值稱為“徽率”。這使劉徽成為中算史上第一位用可靠的理論來(lái)推算圓周率的數(shù)學(xué)家，并享有國(guó)際聲譽(yù)。讓我們來(lái)體會(huì)劉徽的“割圓術(shù)”。劉徽對(duì)π的估算值（密克羅尼西亞，1999）。劉徽利用極限思想求圓的面積，就極限思想而言，從現(xiàn)存中國(guó)古算著作看，在清代李善蘭及西方微積分學(xué)傳入中國(guó)之前，再?zèng)]有人超過(guò)甚至達(dá)到劉徽的水平。2000年國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)得主吳文俊院士指出：“從對(duì)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)的角度來(lái)衡量，劉徽應(yīng)該與歐幾里得、阿基米德相提并論”。劉徽的數(shù)學(xué)思想和方法，到南北朝時(shí)期被祖沖之推進(jìn)和發(fā)展。2.2祖沖之（429－500年），范陽(yáng)遒縣（今河北淶源）人，活躍于南朝的宋、齊兩代，曾做過(guò)一些小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。祖沖之：“遲疾之率，非出神怪，有形可檢，有數(shù)可推?！弊鏇_之的著作《綴術(shù)》，取得了圓周率的計(jì)算和球體體積的推導(dǎo)兩大數(shù)學(xué)成就。祖沖之關(guān)于圓周率的貢獻(xiàn)記載在《隋書(shū)》（唐，魏征主編）的《律歷志》中：“古之九數(shù)，圓周率三，圓徑率一，其術(shù)疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設(shè)新率，未臻折衷。宋末，南徐州（今江蘇鎮(zhèn)江）從事史祖沖之，更開(kāi)密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。”即，祖沖之算出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，并以355/113（=3.1415929…）為密率，22/7（=3.1428…）為約率。1913年日本數(shù)學(xué)史家三上義夫（1875－1950年）在《中國(guó)和日本的數(shù)學(xué)之發(fā)展》里主張稱355/113為祖率。祖沖之如何算出如此精密結(jié)果，《隋書(shū)·律歷志》寫(xiě)道：“所著之書(shū)，名為《綴術(shù)》，學(xué)官莫能究其深?yuàn)W，是故廢而不理”。《綴術(shù)》失傳了，沒(méi)有任何史料流傳下來(lái)。史學(xué)家認(rèn)為，祖沖之除開(kāi)繼續(xù)使用劉徽的“割圓術(shù)”“割之又割”外，并不存在有其它方法的可能性。如按劉徽的方法，繼續(xù)算至圓內(nèi)接正12288邊形和正24576邊形可得出圓周率在3.14159261與3.14159271之間。《綴術(shù)》的另一貢獻(xiàn)是祖氏原理：冪勢(shì)既同則積不容異，在西方文獻(xiàn)中稱為卡瓦列里原理，或不可分量原理，因?yàn)?635年意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（1598－1647年）獨(dú)立提出，對(duì)微積分的建立有重要影響。在數(shù)學(xué)成就方面，整個(gè)唐代卻沒(méi)有產(chǎn)生出能夠與其前的魏晉南北朝和其后的宋元時(shí)期相媲美的數(shù)學(xué)大家，主要的數(shù)學(xué)成就在于建立中國(guó)數(shù)學(xué)教育制度。為了教學(xué)需要唐初由李淳風(fēng)（604－672年）等人注釋并校訂了《算經(jīng)十書(shū)》（約656年），即《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》（劉徽）、《孫子算經(jīng)》（約成書(shū)于公元400年，內(nèi)有“物不知數(shù)”問(wèn)題）、《夏候陽(yáng)算經(jīng)》（成書(shū)于公元6、7世紀(jì)，內(nèi)有“百雞問(wèn)題”：今有雞翁一，直錢(qián)五；雞母一，直錢(qián)三；雞雛三，直錢(qián)一。凡百錢(qián)，買(mǎi)雞翁、母、雛各幾何）、《張邱建算經(jīng)》（張邱建，北魏清河（今邢臺(tái)市清河縣）人，約成書(shū)于公元466－485年間）、《綴術(shù)》（祖沖之）、《五曹算經(jīng)》（北周甄鸞（字叔遵，河北無(wú)極人）著）、《五經(jīng)算經(jīng)》（北周甄鸞著）和《緝古算經(jīng)》（約成書(shū)于626年前后，唐王孝通，內(nèi)有三次方程及其根，但沒(méi)有解題方法）。十部算經(jīng)對(duì)繼承古代數(shù)學(xué)經(jīng)典有積極的意義，顯示了漢唐千余年間中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的水平，是當(dāng)時(shí)科舉考試的必讀書(shū)（公元587年隋文帝開(kāi)創(chuàng)中國(guó)的科舉考試制度，1905年清朝廢止科舉制度）。3、中算發(fā)展的第三次高峰：數(shù)學(xué)全盛時(shí)期社會(huì)背景：公元960年，北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國(guó)（907－960年）割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)，火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟(jì)高漲的情況下得到了廣泛應(yīng)用。雕版印書(shū)的發(fā)達(dá)，特別是北宋中期，在宋仁宗慶歷年間（約1041—1048年），畢升活字印刷術(shù)的發(fā)明（平民發(fā)明家畢升總結(jié)了歷代雕版印刷的豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，制成了膠泥活字，實(shí)行排版印刷，完成了印刷史上一項(xiàng)重大的革命，關(guān)于畢升的生平事跡，人們卻一無(wú)所知，幸虧畢升創(chuàng)造活字印刷術(shù)的事跡，比較完整地記錄在北宋著名科學(xué)家沈括的名著《夢(mèng)溪筆談》里），給數(shù)學(xué)著作的保存與流傳帶來(lái)了福音。事實(shí)上，整個(gè)宋元時(shí)期（960—1368年），重新統(tǒng)一了的中國(guó)封建社會(huì)發(fā)生了一系列有利于數(shù)學(xué)發(fā)展的變化，以籌算為主要內(nèi)容的中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)達(dá)到了鼎盛時(shí)期。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以宋元數(shù)學(xué)為最高境界。這一時(shí)期涌現(xiàn)許多杰出的數(shù)學(xué)家和先進(jìn)的數(shù)學(xué)計(jì)算技術(shù)，其印刷出版、記載著中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最高成就的宋元算書(shū)，是世界文化的重要遺產(chǎn)。下面介紹宋元時(shí)期的一些計(jì)算技術(shù)。3.1賈憲三角賈憲（約公元11世紀(jì)）是北宋人，在朝中任左班殿值，約1050年完成一部叫《黃帝九章算術(shù)細(xì)草》的著作，原書(shū)丟失，但其主要內(nèi)容被楊輝的《詳解九章算法》摘錄，因能傳世。賈憲發(fā)明了“增乘開(kāi)方法”，是中算史上第一個(gè)完整、可推廣到任意次方的開(kāi)方程序，一種非常有效和高度機(jī)械化的算法。在此基礎(chǔ)上，賈憲創(chuàng)造了“開(kāi)方作法本源圖”（即“古法七乘方圖”或賈憲三角），西方人叫“帕斯卡三角”或“算術(shù)三角形”，因?yàn)榉▏?guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623－1662年）于1654年發(fā)表論文《論算術(shù)三角形，以及另外一些類似的小問(wèn)題》。算術(shù)三角形（利比里亞，1999）。3.2隙積術(shù)沈括（1030－1094年），北宋錢(qián)塘（今浙江杭州）人，北宋著名的科學(xué)家，1080年任延州（今陜西延安市）知州，因1082年的“永樂(lè)城（今寧夏銀川附近）之戰(zhàn)”敗于西夏（1032－1227年）而結(jié)束政治生涯，經(jīng)過(guò)6年的軟禁之苦后，開(kāi)始賦閑幽居生活。沈括一生論著極多，其中以《夢(mèng)溪筆談》（1093年）影響最大，內(nèi)容包括數(shù)學(xué)、天文、歷法、地理、物理、化學(xué)等領(lǐng)域，被英國(guó)著名科學(xué)史家李約瑟譽(yù)為“中國(guó)科學(xué)史的里程碑”。他對(duì)數(shù)學(xué)的主要成就有兩項(xiàng)，會(huì)圓術(shù)（解決由弦求孤的問(wèn)題）和隙積術(shù)（開(kāi)創(chuàng)研究高階等差級(jí)數(shù)之先河）。3.3天元術(shù)李冶（金、元，1192－1279年），金代真定欒城（今河北欒城）人，出生的時(shí)候，金朝（1115－1234年）正由盛而衰，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居于封龍山治學(xué)，潛心學(xué)問(wèn)。1248年撰成代數(shù)名著《測(cè)圓海鏡》，該書(shū)是首部系統(tǒng)論述“天元術(shù)”（一元高次方程）的著作，“天元術(shù)”與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法相類似，稱未知數(shù)為天元，“立天元一為某某”，相當(dāng)于“設(shè)x為某某”，可以說(shuō)是符號(hào)代數(shù)的嘗試，在數(shù)學(xué)史上具有里程碑意義。劉徽注釋《九章算術(shù)》“正負(fù)術(shù)”中云：“正算赤，負(fù)算黑”，李冶感到用筆記錄時(shí)換色的不便，便在《測(cè)圓海鏡》中用斜畫(huà)一杠表示負(fù)數(shù)?！胺e財(cái)千萬(wàn)，不如薄技在身”。李冶的天元術(shù)列方程：x^3+336x^2+4184x+2488320=0。3.4大衍術(shù)秦九韶（約1202－1261年），南宋普州安岳（今四川安岳）人，曾任和州（今安徽和縣）守，1244年，因母喪離任，回湖州（今浙江吳興）守孝三年。此間，秦九韶專心致志于研究數(shù)學(xué)，于1247年完成數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》，內(nèi)容分為九類：大衍類、天時(shí)類、田域類、測(cè)望類、賦役類、錢(qián)谷類、營(yíng)建類、軍旅類、市易類，其中有兩項(xiàng)貢獻(xiàn)使得宋代算書(shū)在中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史上占有突出的地位?！稊?shù)書(shū)九章》是我國(guó)古算中最早用圓圈Ο表示0號(hào)的著作。一是發(fā)展了一次同余組解法，創(chuàng)立了“大衍求一術(shù)”（一種解一次同余式的一般性算法程序，現(xiàn)稱中國(guó)剩余定理，所謂“求一”，通俗他說(shuō)，就是求“一個(gè)數(shù)的多少倍除以另一個(gè)數(shù)，所得的余數(shù)為一”）的一般解法。中算家對(duì)于一次同余式問(wèn)題解法最早見(jiàn)于《孫子算經(jīng)》（約公元400年）中的“物不知數(shù)問(wèn)題”（亦稱“孫子問(wèn)題”）：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？?！秾O子算經(jīng)》給出的答案是23，但其算法很簡(jiǎn)略，未說(shuō)明其理論根據(jù)。秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中明確給出了一次同余組的一般性解法。在西方，最早接觸一次同余式的是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（1170－1250年）于1202年在《算盤(pán)書(shū)》中給出了兩個(gè)一次同余問(wèn)題，但沒(méi)有一般算法，1743年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（1707－1783年）和1801年德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（1777－1855年）才對(duì)一次同余組進(jìn)行了深入研究，重新獲得與中國(guó)剩余定理相同的結(jié)果。二是總結(jié)了高次方程數(shù)值解法，將賈憲的“增乘開(kāi)方法”推廣到了高次方程的一般情形，提出了相當(dāng)完備的“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”（現(xiàn)稱秦九韶法）。在西方，直到1804年意大利數(shù)學(xué)家魯菲尼（1765－1822年）才創(chuàng)立了一種逐次近似法解決數(shù)字高次方程無(wú)理根的近似值問(wèn)題，而1819年英國(guó)數(shù)學(xué)家霍納（1786－1837年）才提出與“增乘開(kāi)方法”演算步驟相同的算法，西方稱霍納法。3.5垛積術(shù)楊輝（公元13世紀(jì)），南宋錢(qián)塘（今浙江杭州）人，曾做過(guò)地方官，足跡遍及錢(qián)塘、臺(tái)州、蘇州等地，是東南一帶有名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。楊輝的主要數(shù)學(xué)著作之一《詳解九章算法》（1261年）是為了普及《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)知識(shí)而作，它從《九章算術(shù)》的246道題中選擇了80道有代表性的題目，進(jìn)行詳解，其中主要的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是“垛積術(shù)”，這是在沈括“隙積術(shù)”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，由多面體體積公式導(dǎo)出相應(yīng)的垛積術(shù)公式。另一貢獻(xiàn)是所謂的“楊輝三角”，其實(shí)是記載了賈憲的工作。3.6四元術(shù)朱世杰（約1260－1320年），寓居燕山（今北京附近），當(dāng)時(shí)的北方，正處于天元術(shù)逐漸發(fā)展成為二元術(shù)、三元術(shù)的重要時(shí)期，朱世杰在經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期游學(xué)、講學(xué)之后，終于在1299年和1303年在揚(yáng)州刊刻了他的兩部代表作《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》。中國(guó)數(shù)學(xué)自晚唐以來(lái)不斷發(fā)展的簡(jiǎn)化籌算的趨勢(shì)有了進(jìn)一步的加強(qiáng)，日用數(shù)學(xué)和商用數(shù)學(xué)更加普及，南宋時(shí)期楊輝可以作為這一傾向的代表，而朱世杰則是這一傾向的繼承。《算學(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著，出版后不久即流傳至日本和朝鮮。就學(xué)術(shù)成就而論，《四元玉鑒》遠(yuǎn)超《算學(xué)啟蒙》，它是中國(guó)宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志，主要貢獻(xiàn)有四元術(shù)和招差術(shù)（高次內(nèi)插公式）。四元術(shù)是多元高次方程列方程和解方程的方法，未知數(shù)最多可達(dá)四個(gè)，即天元、地元、人元和物元。如《四元玉鑒》卷首“假令四草”之“四象會(huì)元”，其中四元布列意為即元?dú)猓ǔ?shù)項(xiàng)）居中，天元（未知數(shù)x）于下，地元（未知數(shù)y）于左，人元（未知數(shù)z）于右，物元（未知數(shù)u）于上，所以上述方程指“”。朱世杰的好友莫若在《四元玉鑒》的序文中說(shuō)道：《四元玉鑒》，其法以元?dú)饩又?，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，陰?yáng)升降，進(jìn)退左右，互通變化，錯(cuò)綜無(wú)窮。清代數(shù)學(xué)家羅士琳（1774—1853年）在《疇人傳·續(xù)編·朱世杰條》中說(shuō)：漢卿在宋元間，與秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可稱鼎足而三。道古正負(fù)開(kāi)方，仁卿天元如積，皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類盡量，神而明之，尤超越乎秦李之上。美國(guó)著名科學(xué)史家薩頓（1884－1956年）說(shuō)：朱世杰是漢民族，他所生存時(shí)代的，同時(shí)也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學(xué)家。3.7內(nèi)插法郭守敬（1231－1316年），順德邢臺(tái)（今河北邢臺(tái)）人，元代大天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家、水利專家和儀器制造家，曾任工部郎中、太史令、都水監(jiān)事和昭文館大學(xué)士等官職。與太史令王恂（1235－1281年，中山府（今河北定州）唐縣（今唐縣人），至元十八年（1281年），王恂喪父，去官守孝。守孝期間，因悲傷過(guò)度，不思飲食，饑餒染病而亡，享年46歲），一同吸收了前代歷法的精華，運(yùn)用宋金兩朝的數(shù)學(xué)成就（包括沈括的會(huì)圓術(shù)），使用了三次內(nèi)插公式，在1280年完成了中國(guó)古代最精密的歷法《授時(shí)歷》。設(shè)定一年為365.2425天，比地球繞太陽(yáng)一周的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間只差26秒，早于歐洲1582年開(kāi)始使用的“格里歷”300年，使用時(shí)間長(zhǎng)達(dá)363年（1281－1643年），中國(guó)古代的歷法也發(fā)展到了高峰。此外，1276年，郭守敬根據(jù)鏡成象原理發(fā)明了“景符”測(cè)影器，制造了世界聞名的簡(jiǎn)儀、高表、窺（kuí）幾、仰儀、日晷（guǐ）、渾天象等12種天文儀器，元至元十三年（l276年）建造的河南登封觀星臺(tái)留存至今。古希臘數(shù)學(xué)以幾何定理的演繹推理為特征、具有公理化模式，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以計(jì)算為中心、具有程序性和機(jī)械性的算法化模式相輝映，交替影響世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。這一時(shí)期創(chuàng)造的宋元算法，如隙積術(shù)、大衍術(shù)、開(kāi)方術(shù)、垛積術(shù)、招差術(shù)、天元術(shù)等在世界數(shù)學(xué)史上占有光輝的地位。4、中算的衰落朱世杰可以被看作是中國(guó)宋元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)性人物，是中國(guó)以籌算為主要計(jì)算工具的古代數(shù)學(xué)發(fā)展的頂峰，而《四元玉鑒》可以說(shuō)是宋元（960－1368年）數(shù)學(xué)的絕唱。14世紀(jì)中、后葉，明王朝建立以后，統(tǒng)治者奉行以八股文為特征的科舉制度，1370年明太祖朱元璋（1328－1398年）規(guī)定八股文為科舉考試的主要文體，在國(guó)家科舉考試中大幅度消減數(shù)學(xué)內(nèi)容，明初起300余年內(nèi)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究呈現(xiàn)全面衰退，致使明代大數(shù)學(xué)家看不懂宋元重要數(shù)學(xué)成就。明清兩朝（1368－1911年）共543年，不僅未能產(chǎn)生出與《數(shù)書(shū)九章》、《四元玉鑒》相媲美的數(shù)學(xué)杰作，而且在18世紀(jì)中葉“乾嘉學(xué)派”重新發(fā)掘研究以前，像“四元術(shù)”這樣一些宋元數(shù)學(xué)的精粹長(zhǎng)期失傳、無(wú)人通曉。中國(guó)與西方科學(xué)發(fā)展示意圖。思考題簡(jiǎn)述劉徽的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)。2、用數(shù)列極限證明：圓內(nèi)椄正6?2^{n}邊形的周長(zhǎng)的極限是圓周長(zhǎng)。3、《九章算術(shù)》在中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史上的地位和意義如何？4、試比較阿基米德證明體積計(jì)算公式的方法與中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的球體積計(jì)算公式的推導(dǎo)方法的異同。5、更精確地計(jì)算圓周率是否有意義？談?wù)勀睦碛伞?、分析宋元時(shí)期中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)興盛的社會(huì)條件。第四講：中世紀(jì)的東西方數(shù)學(xué)II主要內(nèi)容：印度數(shù)學(xué)、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)、中世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)，簡(jiǎn)述了10位科學(xué)家的數(shù)學(xué)工作。1、印度數(shù)學(xué)（公元5－12世紀(jì)）背景：古印度簡(jiǎn)況印度古文明的歷史可追溯到公元前3000年左右。雅利安人大約在公元前2000年紀(jì)中葉出現(xiàn)在印度西北部，逐漸向南擴(kuò)張。雅利安（梵（fàn）文，原意是“高貴的”或“土地所有者”）人入侵印度，征服了土著居民達(dá)羅毗荼人，影響逐漸擴(kuò)散到整個(gè)印度，在到達(dá)以后的第一個(gè)千年里，創(chuàng)造了書(shū)寫(xiě)和口語(yǔ)的梵文，在印度創(chuàng)立了更為持久的文明，印度土著文化從此衰微不振。吠陀教也是雅利安人創(chuàng)造的，這是印度最古老而又有文字記載的宗教?？梢哉f(shuō)，古代印度的文化便是根值于吠陀教和梵語(yǔ)之上。史前時(shí)期：公元前2300年前，公元前2500年前后，先民開(kāi)始使用文字；哈拉帕文化（1922年印度哈拉帕地區(qū)發(fā)掘發(fā)現(xiàn)）：前2300－前1750年，印度河流域出現(xiàn)早期國(guó)家；早期吠陀時(shí)代：前1500－前900年，前1500年左右，吠陀時(shí)代開(kāi)始，印度文明的中心漸次由西向東推進(jìn)到恒河流域，后雅利安人侵入印度；后期吠陀時(shí)代：前900－前600年，雅利安人的國(guó)家形成，婆羅門(mén)教形成；列國(guó)時(shí)代：前6－前4世紀(jì)，摩揭陀國(guó)在恒河流域中部稱霸，開(kāi)始走上統(tǒng)一北印度的道路，佛教產(chǎn)生；帝國(guó)時(shí)代：前4－公元4世紀(jì)，從孔雀王朝到貴霜帝國(guó)；印度歷史上曾出現(xiàn)過(guò)強(qiáng)盛的王朝，如孔雀王朝（前324－前187年）、笈多王朝（公元320－540年），但總體而言，整個(gè)古代和中世紀(jì)，富庶的南亞次大陸幾乎不斷地處于外族的侵?jǐn)_之下，如波斯帝國(guó)、馬其頓帝國(guó)、貴霜帝國(guó)的入侵及匈奴人、阿拉伯人、突厥人和蒙古人的侵占，所以古代印度文化不可避免地呈現(xiàn)出多元復(fù)雜的背景，最顯著的特色是其宗教性。印度的宗教主要是婆羅門(mén)教、印度教，梵天是婆羅門(mén)教、印度教的創(chuàng)造神。婆羅門(mén)教是印度古代宗教之一，起源于公元前2000年的吠陀教，形成于公元前7世紀(jì)。公元前6世紀(jì)－公元4世紀(jì)是婆羅門(mén)教的鼎盛時(shí)期，公元4世紀(jì)以后，由于佛教和耆（qí）那（梵文，本意“勝利者”或“征服者”）教的發(fā)展，婆羅門(mén)教開(kāi)始衰弱。公元8、9世紀(jì)，婆羅門(mén)教吸收了佛教和耆那教的一些教義，結(jié)合印度民間的信仰，經(jīng)商羯羅改革，逐漸發(fā)展成為印度教。印度教與婆羅門(mén)教沒(méi)有本質(zhì)上的區(qū)別，其教義基本相同，都信奉梵天、毗濕奴、濕婆三大神，主張善惡有報(bào)、人生輪回，輪回的形態(tài)取決于現(xiàn)世的行為，只有達(dá)到“梵我同一”方可獲得解脫，修成正果。印度數(shù)學(xué)分為河谷文化時(shí)期（約公元前3000－前1400年）、吠陀時(shí)期（約公元前10－前3世紀(jì)）、悉檀多時(shí)期（公元5－12世紀(jì)）。1.1吠陀時(shí)期（公元前10－前3世紀(jì)）《吠陀》手稿（毛里求斯，1980），《吠陀》（梵文，意為知識(shí)、光明）是印度雅利安人的作品，成書(shū)于公元前15－前5世紀(jì)，歷時(shí)1000年左右，婆羅門(mén)教的經(jīng)典，其中的《繩法經(jīng)》（前8－前2世紀(jì)）是《吠陀》中關(guān)于廟宇、祭壇的設(shè)計(jì)與測(cè)量的部分（釋迦牟尼（公元前565－公元前486年）傳揚(yáng)佛教時(shí)期，佛教是古印度的迦毗羅衛(wèi)國(guó)（今尼泊爾境內(nèi)）王子喬達(dá)摩·悉達(dá)多所創(chuàng)，因父為釋迦族，得道后被尊稱為釋迦牟尼也就是“釋迦族的圣人”的意思，門(mén)徒稱他為佛），包含幾何、代數(shù)知識(shí)，如畢達(dá)哥拉斯定理、圓周率的近似值等。阿育王（在位年代約為公元前268－前232年）是印度第一個(gè)信奉佛教的君主，阿育王石柱（尼泊爾，1996）記錄了現(xiàn)在阿拉伯?dāng)?shù)字的最早形態(tài)。公元前2世紀(jì)至公元后3世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)，可參考的資料主要是1881年發(fā)現(xiàn)的書(shū)寫(xiě)在樺樹(shù)皮上的“巴克沙利手稿”（巴克沙利當(dāng)時(shí)和古代大部分時(shí)間屬于印度，今天位于巴基斯坦西北部距離白沙瓦約80公里處的一座村莊），其數(shù)學(xué)內(nèi)容十分豐富，涉及到分?jǐn)?shù)、平方根、數(shù)列、收支與利潤(rùn)計(jì)算、比例算法、級(jí)數(shù)求和、代數(shù)方程等，出現(xiàn)了完整的十進(jìn)制數(shù)碼，其中有“?”（點(diǎn)）表示0，后來(lái)逐漸演變?yōu)楝F(xiàn)在通用的“0”，這一過(guò)程至遲于公元9世紀(jì)已完成，有公元876年的“瓜廖爾石碑”為證，這是印度數(shù)學(xué)的一大發(fā)明。印度頭等重要的天文學(xué)著作，無(wú)名氏著的《蘇利耶歷數(shù)全書(shū)》（梵文，意思是太陽(yáng)的知識(shí)，相傳為太陽(yáng)神蘇利耶所著）大約是公元5世紀(jì)所寫(xiě)（1860年被譯為英文）。印度數(shù)學(xué)從這個(gè)時(shí)期開(kāi)始對(duì)天文學(xué)比對(duì)宗教更有用。1.2“悉檀多”時(shí)期（公元5世紀(jì)－12世紀(jì)）悉檀多是梵文，佛教術(shù)語(yǔ)，為“宗”或“體系”之意，意譯為“歷數(shù)書(shū)”。這是印度數(shù)學(xué)的繁榮鼎盛時(shí)期，是以計(jì)算為中心的實(shí)用數(shù)學(xué)的時(shí)代，數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)主要是算術(shù)與代數(shù)，出現(xiàn)了一些著名的數(shù)學(xué)家。1.2.1阿耶波多（公元476－約550年）在印度的科學(xué)史上有重要的影響的人物，“阿耶波多號(hào)”人造衛(wèi)星（印度，1975）。最早的印度數(shù)學(xué)家，499年天文學(xué)著作《阿耶波多歷數(shù)書(shū)》（圣使天文書(shū)）傳世（相當(dāng)于祖沖之《綴術(shù)》的年代），最突出之處在于對(duì)希臘三角學(xué)的改進(jìn),制作正弦表（sine一詞由阿耶波多稱為半弦的jiva演化而來(lái)），和一次不定方程的解法。阿耶波多獲得了π的近似值3.1416（與劉徽所得的近似值相當(dāng)），建立了丟番圖方程求解的“庫(kù)塔卡”（原意為“粉碎”）法。1.2.2婆羅摩笈多（598－約665年）印度古天文臺(tái)：烏賈因天文臺(tái)。在這段時(shí)間（中國(guó)的隋唐時(shí)期），整個(gè)世界（無(wú)論東方還是西方）都沒(méi)有產(chǎn)生一個(gè)大數(shù)學(xué)家。婆羅摩笈多出生在印度的7大宗教圣城之一的烏賈因，并在這里長(zhǎng)大。婆多摩笈多成年以后，一直在故鄉(xiāng)烏賈因天文臺(tái)工作，在望遠(yuǎn)鏡出現(xiàn)之前，它可謂是東方最古老的天文臺(tái)之一。628年發(fā)表天文學(xué)著作《婆羅摩修正體系》（宇宙的開(kāi)端），這是一部有21章的天文學(xué)著作，其中第12、18章講的是數(shù)學(xué)，分?jǐn)?shù)成就十分可貴，比較完整地?cái)⑹隽肆愕倪\(yùn)算法則，丟番圖方程求解的“瓦格布拉蒂”法，即現(xiàn)在所謂的佩爾（英，1611－1685年）方程的一種解法。1.2.3婆什迦羅Ⅱ（1114－1188年）印度的第二顆人造衛(wèi)星“婆什迦羅號(hào)”（1979）。印度古代和中世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家婆什迦羅，出生于印度南方的比德?tīng)?，成年后?lái)到烏賈因天文臺(tái)工作，成為婆多摩笈多的繼承者，后來(lái)還做了這家天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)。古印度數(shù)學(xué)最高成就《天文系統(tǒng)之冠》（1150年，中國(guó)的南宋時(shí)期），其中有兩部婆什迦羅的重要數(shù)學(xué)著作《算法本源》、《莉拉沃蒂》。《算法本源》主要探討代數(shù)問(wèn)題?！独蚶值佟罚ㄔ狻懊利悺保囊粋€(gè)印度教信徒的祈禱開(kāi)始展開(kāi)，講的是算術(shù)問(wèn)題，流傳著一個(gè)浪漫的故事?！独蚶值佟分械囊粋€(gè)算術(shù)問(wèn)題：帶著微笑眼睛的美麗少女，請(qǐng)你告訴我，按照你的理解的正確反演法，什么數(shù)乘以3，加上這個(gè)乘積的3/4，然后除以7，減去此商的1/3，自乘，減去52，取平方根，加上8，除以10，得2？根據(jù)反演法，從2這個(gè)數(shù)開(kāi)始回推，于是（2?10－8）^2＝144，144＋52＝196，＝14，14?（3/2）?7?（4/7）/3=28，答案是28。由于印度屢被其他民族征服，使印度古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)受外來(lái)文化影響較深，但印度數(shù)學(xué)始終保持東方數(shù)學(xué)以計(jì)算為中心的實(shí)用化特點(diǎn)。現(xiàn)代初等算術(shù)運(yùn)算方法的發(fā)展，起始于印度，可能在大約10、11世紀(jì)，它被阿拉伯人采用，后來(lái)傳到歐洲，在那里，它們被改造成現(xiàn)在的形式。這些工作受到15世紀(jì)歐洲算術(shù)家們的充分注意。與算術(shù)和代數(shù)相比，印度人在幾何方面的工作則顯得薄弱。此外，印度人用詩(shī)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)，他們的著作含糊而神秘（雖然發(fā)明了零號(hào)），且多半是經(jīng)驗(yàn)的，很少給出推導(dǎo)和證明。2、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)（公元8－15世紀(jì)）背景：阿拉伯簡(jiǎn)況阿拉伯帝國(guó)的興盛被認(rèn)為是人類歷史上最精彩的插曲之一，這當(dāng)然與先知穆罕默德（公元570－632年）的傳奇經(jīng)歷有關(guān)。穆罕默德570年出生在阿拉伯半島西南部的麥加。麥加當(dāng)時(shí)是一個(gè)遠(yuǎn)離商業(yè)、藝術(shù)和文化中心的落后地區(qū)，穆罕默德在極其艱苦的條件下長(zhǎng)大成人。25歲那年，由于他娶了一位富商的遺孀，經(jīng)濟(jì)狀況才得到改善。直到40歲前后，穆罕默德的生命才有了奇妙的變化。穆罕默德領(lǐng)悟到有且只有一個(gè)全能的神主宰世界，并確信真主安拉選擇了他作為使者，在人間傳教。穆罕默德610年在麥加創(chuàng)立了伊斯蘭教，至632年一個(gè)以伊斯蘭教為共同信仰、政教合一，統(tǒng)一的阿拉伯國(guó)家出現(xiàn)于阿拉伯半島。這就是伊斯蘭教的來(lái)歷，它在阿拉伯語(yǔ)里的意思是“順從”，其信徒叫穆斯林（信仰安拉、服從先知的人）。四大哈里發(fā)時(shí)期（632－661年）：632年穆罕默德逝世后，他的最初四個(gè)繼任者，哈里發(fā)為阿拉伯文的音譯，意為真主使者的“繼承人”。以“圣戰(zhàn)”為名進(jìn)行大規(guī)模的武力擴(kuò)張，為阿拉伯帝國(guó)的建立奠定了基礎(chǔ)。大約在650年，依據(jù)穆罕默德和他的信徒所講的啟示輯錄而成的《古蘭經(jīng)》（伊斯蘭教的最根本經(jīng)典，伊斯蘭教義的最高準(zhǔn)則和綱領(lǐng)，伊斯蘭教法的立法依據(jù)，由先知穆罕默德從610－632年歷時(shí)22年的傳教過(guò)程中陸續(xù)頒布的）問(wèn)世，被穆斯林認(rèn)為是上天的啟示?！妒ビ?xùn)》（穆罕默德闡釋《古蘭經(jīng)》和實(shí)踐伊斯蘭教理的言行錄）中說(shuō)：學(xué)問(wèn)雖遠(yuǎn)在中國(guó)，亦當(dāng)求之。倭（wō）馬亞王朝時(shí)期（661－750年）：主要支持者是敘利亞和埃及的大貴族，因此他們把首都遷至大馬士革，遵奉伊斯蘭教的遜尼派（正統(tǒng)派），崇尚白色，中國(guó)史籍稱“白衣大食”。倭馬亞王朝發(fā)動(dòng)大規(guī)模的對(duì)外戰(zhàn)爭(zhēng)，版圖東起印度西部，西至西班牙，北抵里海和中亞，南達(dá)北非，成為地跨亞、非、歐三大洲的龐大帝國(guó)。迄今為止，這可能是人類歷史上最大的帝國(guó)。倭馬亞王朝的不斷擴(kuò)張和森嚴(yán)的等級(jí)統(tǒng)治逐漸激起了尖銳的階級(jí)矛盾。各教派和各族人民的反抗斗爭(zhēng)不斷發(fā)生。在今天的伊朗一帶崛起了一個(gè)新的教派——阿拔斯派。他們利用東方各地人民起義的力量推翻了倭馬亞王朝的統(tǒng)治，750年，盛極一時(shí)的“白衣大食”滅亡了。阿拔斯王朝時(shí)期（750－1258年）：阿拉伯帝國(guó)第二個(gè)封建王朝，因其旗幟尚黑，中國(guó)史籍稱“黑衣大食”。750年，由阿拉伯貴族艾布·阿拔斯（750－754年在位）創(chuàng)建，故名。755年阿拉伯帝國(guó)分裂為兩個(gè)獨(dú)立王國(guó)，東部王國(guó)阿拔斯王朝762年遷都巴格達(dá)，750－842年是帝國(guó)的極盛時(shí)代，哈里發(fā)哈龍?蘭希（公元786－808年統(tǒng)治巴格達(dá)）因《天方夜譚》（又名《一千零一夜》）而為人們所熟知，巴格達(dá)成為阿拉伯人創(chuàng)建的“一座舉世無(wú)雙的城市”，國(guó)際貿(mào)易與文化中心之一，創(chuàng)造出光輝燦爛的阿拉伯文化。阿拔斯王朝前期（750－850年）的100年是阿拉伯文化的飛速發(fā)展時(shí)期，同時(shí)也是譯述活動(dòng)的繁榮時(shí)期，希臘語(yǔ)占首位，其次是古敘利亞語(yǔ)、波斯語(yǔ)、梵語(yǔ)、希伯來(lái)語(yǔ)和奈伯特語(yǔ)，許多重要的學(xué)術(shù)著作在政府的規(guī)劃下有組織、有領(lǐng)導(dǎo)地被譯成阿拉伯文，史稱“百年翻譯運(yùn)動(dòng)”。9世紀(jì)中葉后，王朝進(jìn)入分裂和衰落時(shí)代，1258年蒙古軍隊(duì)攻陷巴格達(dá)。麥加城大清真寺：伊斯蘭教第一圣寺。阿拉伯人之所以重視天文學(xué)，是因?yàn)樗麄冃枰榔矶\的準(zhǔn)確時(shí)間（每天5次），使廣大帝國(guó)內(nèi)的臣民在祈禱時(shí)能夠明辨方向（面朝麥加）。可以說(shuō)，阿拉伯人對(duì)數(shù)學(xué)的需要主要是通過(guò)天文學(xué)和占星術(shù)（根據(jù)天象來(lái)預(yù)卜人間事務(wù)的一種方術(shù)）等。伊斯坦布爾的天文學(xué)家（1971）。9－15世紀(jì)阿拉伯科學(xué)繁榮了600年，創(chuàng)立了文化中心巴格達(dá)（波斯語(yǔ)，“神賜的禮物”）。公元830年，哈里發(fā)麥蒙（公元809－833年統(tǒng)治巴格達(dá)）下令在巴格達(dá)建造了智慧宮，這里面有巨大的圖書(shū)館、觀象臺(tái)、研究院，是一個(gè)集圖書(shū)館、科學(xué)院和翻譯局于一體的聯(lián)合機(jī)構(gòu)，掀起了著名的翻譯運(yùn)動(dòng)，包括《原本》、《圓錐曲線》和《天文學(xué)大成》等在內(nèi)的希臘天文、數(shù)學(xué)經(jīng)典先后被譯成了阿拉伯文。無(wú)論從哪方面來(lái)看，它都是公元前3世紀(jì)亞歷山大圖書(shū)館建立以來(lái)最重要的學(xué)術(shù)機(jī)關(guān)。很快，它就成為世界的學(xué)術(shù)中心，形成后人所謂的“巴格達(dá)學(xué)派”，研究的內(nèi)容包括哲學(xué)、醫(yī)學(xué)、動(dòng)物學(xué)、植物學(xué)、天文學(xué)、數(shù)學(xué)、機(jī)械、建筑、伊斯蘭教教義或阿拉伯語(yǔ)語(yǔ)法學(xué)，等等。阿拉伯科學(xué)（突尼斯，1980）。在世界文明史上，阿拉伯人在保存和傳播希臘、印度甚至中國(guó)的文化，最終為近代歐洲的文藝復(fù)興準(zhǔn)備學(xué)術(shù)前提方面作出了巨大貢獻(xiàn)。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，消化希臘數(shù)學(xué)，吸收印度數(shù)學(xué)，對(duì)文藝復(fù)興后歐洲數(shù)學(xué)的進(jìn)步有深刻的影響。最突出的事實(shí)：值得贊美的是他們充當(dāng)了世界上的大量精神財(cái)富的保存者，在黑暗時(shí)代過(guò)去之后，這些精神財(cái)富得以傳給歐洲人。2.1早期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)（8世紀(jì)中葉－9世紀(jì)）阿爾·花拉子米（783－850年）（蘇聯(lián)，1983），生于波斯北部花拉子模地區(qū)（今烏茲別克境內(nèi)），813年來(lái)到巴格達(dá)，后成為智慧宮的領(lǐng)頭學(xué)者。820年出版《還原與對(duì)消概要》，以其邏輯嚴(yán)密、系統(tǒng)性強(qiáng)、通俗易懂和聯(lián)系實(shí)際等特點(diǎn)被奉為“代數(shù)教科書(shū)的鼻祖”，1140年被羅伯特（英）譯成拉丁文傳入歐洲，成為歐洲延用幾個(gè)世紀(jì)標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)學(xué)教科書(shū)，這也使得花拉子米成為中世紀(jì)對(duì)歐洲數(shù)學(xué)影響最大的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家，這對(duì)東方數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)十分罕見(jiàn)。阿拉伯語(yǔ)的“al-jabr”意為還原，即移項(xiàng)，傳入歐洲后，到14世紀(jì)演變?yōu)槔≌Z(yǔ)“algebra”，就成了今天英文的“algebra”（代數(shù)），因此花拉子米的上述著作通常稱為《代數(shù)學(xué)》?？梢哉f(shuō)，正如埃及人發(fā)明了幾何學(xué)，阿拉伯人命名了代數(shù)學(xué)?！洞鷶?shù)學(xué)》所討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題本身并不比丟番圖或婆羅摩笈多的問(wèn)題簡(jiǎn)單，但它探討了一般性解法，因而遠(yuǎn)比希臘人和印度人的著作更接近于近代初等代數(shù)。《代數(shù)學(xué)》中關(guān)于三項(xiàng)二次方程的求解。花拉子米的另一本書(shū)《印度計(jì)算法》，系統(tǒng)介紹了印度數(shù)碼和十進(jìn)制記數(shù)法，12世紀(jì)，這本書(shū)便傳入歐洲并廣為傳播（其拉丁文手稿現(xiàn)存于劍橋大學(xué)圖書(shū)館），所以歐洲一直稱這種數(shù)碼為阿拉伯?dāng)?shù)碼。976年的西班牙數(shù)碼。印度－阿拉伯?dāng)?shù)碼用較少的符號(hào)，最方便地表示一切數(shù)和運(yùn)算，給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來(lái)很大的方便，是一一項(xiàng)卓越的偉大貢獻(xiàn)。它傳入歐洲以后，加快了歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展，許多數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家對(duì)這套集體智慧的發(fā)現(xiàn)贊美不絕。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯（1749－1827年）寫(xiě)道：“用十個(gè)記號(hào)來(lái)表示一切的數(shù)，每個(gè)記號(hào)不但有絕對(duì)的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個(gè)深遠(yuǎn)而又重要的思想，它今天看來(lái)如此簡(jiǎn)單，以至我們忽視了它的真正偉績(jī)，簡(jiǎn)直無(wú)法估計(jì)它的奇妙程度。而當(dāng)我們想到它竟逃過(guò)古代希臘最偉大的阿基米德和阿波羅尼奧斯兩位天才思想的關(guān)注時(shí)，我們更感到這成就的偉大了?！庇《龋⒗?dāng)?shù)碼13世紀(jì)傳入我國(guó)，是元朝伊斯蘭教徒從當(dāng)時(shí)西方帶進(jìn)來(lái)的一套阿拉伯?dāng)?shù)碼，中國(guó)人沒(méi)有采用它。公元16世紀(jì)，西洋歷算書(shū)大量輸入我國(guó)，原著上的印度－阿拉伯?dāng)?shù)字，我國(guó)一律用中國(guó)數(shù)碼一、二、三等改譯出來(lái)。光緒十一年（公元1885年）上海出版了一本用上?？谝糇g出的西算啟蒙書(shū)，書(shū)中正式出現(xiàn)了印度－阿拉伯?dāng)?shù)字通用原型。1892年，美國(guó)傳教士狄考文（W.M.Calvin,1836－1908年）和清代鄒立文合譯《筆算數(shù)學(xué)》一書(shū)，首次正式采用了印度－阿拉伯?dāng)?shù)字，數(shù)字是按書(shū)籍直寫(xiě)的。直到1902－1905年，中國(guó)數(shù)學(xué)教科書(shū)或數(shù)學(xué)用表才普遍使用印度－阿拉伯?dāng)?shù)字，并且一律與西洋算書(shū)一樣橫排。阿拉伯的三角學(xué)。阿爾·巴塔尼（858－929年），出生于哈蘭（今土耳其東南部），對(duì)希臘三角學(xué)系統(tǒng)化的工作，最重要的著作《歷數(shù)書(shū)》（或《天文論著》、《星的科學(xué)》）中發(fā)現(xiàn)地球軌道是一個(gè)經(jīng)常變動(dòng)的橢圓，創(chuàng)立了系統(tǒng)的三角學(xué)術(shù)語(yǔ)，哥白尼、第谷、開(kāi)普勒、伽利略等人都利用和參考了它的成果，對(duì)中世紀(jì)歐洲影響最大的天文學(xué)家。2.2中期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)（10－12世紀(jì)）奧馬·海雅姆（1048－1131