浙江省精誠聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

2022學(xué)年第二學(xué)期浙江省精誠聯(lián)盟3月聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，分別是平面，的法向量，則平面，交線的方向向量可以是（）A. B. C. D.2.已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的焦點到漸近線的距離是（）A.1 B. C.2 D.1或3.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長為1，且于點則（）A. B. C. D.4.若點，，則、兩點間距離的最小值為（）A.1 B. C. D.25.如圖，4個圓相交共有8個交點，現(xiàn)在4種不同的顏色供選用，給8個交點染色，要求在同一圓上的4個交點的顏色互不相同，則不同的染色方案共有（）種A.0 B.24 C.48 D.966.已知直線與拋物線交于、兩點，拋物線分別在點、處的兩條切線交于點，則點在直線上的投影的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.7.已知遞增數(shù)列前項和滿足，，設(shè)，若對任意，不等式恒成立，則的最小值為（）A.2023 B.2024 C.4045 D.80898.已知，均為正實數(shù)，不等式恒成立，則的最大值為（）A.1 B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.關(guān)于直線與圓，下列說法正確是（）A對任意實數(shù)，直線恒過定點B.直線與直線垂直C.直線與圓相切D.圓與圓相交10.已知數(shù)列的前項和為，則下列說法正確是（）A.若，則B.若，則的最大值為100C.若，則D.若，則11.已知橢圓右焦點為，直線與橢圓交于、兩點，則（）A.的周長為20 B.的面積為C.線段中點的橫坐標(biāo)為 D.線段的長度為12.已知函數(shù)的定義域為，則下列說法正確是（）A.若函數(shù)無極值，則B.若，為函數(shù)的兩個不同極值點，則C.存在，使得函數(shù)有兩個零點D.當(dāng)時，對任意，不等式恒成立非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.展開式中的常數(shù)項為______．14.習(xí)近平總書記在黨史學(xué)習(xí)教育動員大會上講話強調(diào)，“要抓好青少年學(xué)習(xí)教育，著力講好黨的故事、革命的故事、英雄的故事，厚植愛黨、愛國、愛社會主義的情感，讓紅色基因、革命薪火代代傳承.”為了深入貫徹習(xí)近平總書記的講話精神，我校積極開展黨史學(xué)習(xí)教育，舉行“學(xué)黨史，頌黨恩，跟黨走”的主題宣講.現(xiàn)安排7名教師到高中3個年級進行宣講，每個年級至少2名教師，教師甲和乙去同一個年級，教師丙不去高一年級，則不同的選派方案有______種（用數(shù)字作答）15直線與曲線相切，則______.16.已知，，則的最小值為______.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓經(jīng)過，，三點，且交直線于，兩點.（1）求圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的面積.18.在長方體中，為棱上的點，，，.（1）求點到平面的距離；（2）求二面角的余弦值.19.已知等差數(shù)列的前項為，滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若對任意，不等式恒成立，求的最小值.20.若一個學(xué)期有3次數(shù)學(xué)測試，已知甲同學(xué)每次數(shù)學(xué)測試的分?jǐn)?shù)超過90分的概率為，乙同學(xué)每次數(shù)學(xué)測試的分?jǐn)?shù)超過90分的概率為.（1）求事件：“甲同學(xué)在3次測試中恰有1次超過90分且第2次測試的分?jǐn)?shù)末超過90分”的概率；（2）若這個學(xué)期甲同學(xué)數(shù)學(xué)測試的分?jǐn)?shù)超過90分的次數(shù)為，乙同學(xué)數(shù)學(xué)測試的分?jǐn)?shù)超過90分的次數(shù)為，求隨機變量的方差.21.已知曲線，焦點，，，，是左支上任意一點（異于點)，且直線與的斜率之積為.（1）求曲線的方程；（2）直線為過點的切線，直線與直線關(guān)于直線對稱，直線與軸的交點，過點作直線的平行線與曲線交于，兩點，求面積的取值范圍.22.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.

2022學(xué)年第二學(xué)期浙江省精誠聯(lián)盟3月聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，分別是平面，的法向量，則平面，交線的方向向量可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面的交線都與兩個平面的法向量垂直求解.【詳解】因為四個選項中，只有，，所以平面，交線的方向向量可以是故選：B2.已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的焦點到漸近線的距離是（）A.1 B. C.2 D.1或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程寫出焦點、漸近線方程，利用點到直線的距離即可得解.【詳解】不妨取雙曲線的右焦點，由題可知，設(shè)雙曲線的漸近線方程為，所以右焦點到漸近線的距離，故選：B3.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長為1，且于點則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算可得，從而可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，可得，則，設(shè)，，因為，則，解得，所以，故選:D4.若點，，則、兩點間距離的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)切線方程的求解，轉(zhuǎn)化成兩條直線間的距離即可求解.【詳解】點在直線，點在上，，設(shè)的切線的切點為，令，所以在點處的切線為,此時切線與直線平行，直線與之間的距離為的最小值，故選：B5.如圖，4個圓相交共有8個交點，現(xiàn)在4種不同的顏色供選用，給8個交點染色，要求在同一圓上的4個交點的顏色互不相同，則不同的染色方案共有（）種A.0 B.24 C.48 D.96【答案】D【解析】【分析】分析出各部分可以涂色情況即可得出不同的染色方案的種數(shù).【詳解】由題意，其中一部分有四種方法，與其緊鄰的有3種方法，再相鄰的有2種，兩圓的公共部分有2種，剩余兩部分有2種，涂色示意圖如下：∴共有.故選：D.6.已知直線與拋物線交于、兩點，拋物線分別在點、處的兩條切線交于點，則點在直線上的投影的坐標(biāo)為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分別求過的切線方程，依此求出直線，再求得，設(shè)點求出投影即可.【詳解】設(shè)點，，，根據(jù)題意可知，拋物線在點處的切線斜率存在，設(shè)點處的切線方程為，與聯(lián)立，得，由，得，則，解得，故切線方程為，即拋物線在點處的切線為過點同理可得,拋物線在點處的切線為過點所以直線與是同一直線，得點點在直線上的投影的坐標(biāo)為，得，故選:B.7.已知遞增數(shù)列的前項和滿足，，設(shè)，若對任意，不等式恒成立，則的最小值為（）A.2023 B.2024 C.4045 D.8089【答案】C【解析】【分析】根據(jù)得到，故是等差數(shù)列，，利用裂項相消法得到，解得，代入計算得到答案.【詳解】，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，相減得，又，相減得，故是等差數(shù)列，，，，，，.故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：本題參考了等差數(shù)列的通項公式，裂項求和，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用兩次相減的思想得到確定等差數(shù)列是解題的關(guān)鍵.8.已知，均為正實數(shù)，不等式恒成立，則的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)恒成立轉(zhuǎn)化成求解函數(shù)的最小值，只需要滿足最小值大于等于0即可，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】又，均為正實數(shù)，所以在單增當(dāng)，，當(dāng)，∴，，當(dāng)時，，當(dāng)時，故當(dāng)時，取最小值，又，得，所以∴即：，故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.關(guān)于直線與圓，下列說法正確是（）A.對任意實數(shù)，直線恒過定點B.直線與直線垂直C.直線與圓相切D.圓與圓相交【答案】ABC【解析】分析】根據(jù)直線方程求出定點判斷A，根據(jù)斜率之積判斷B，根據(jù)圓心到直線距離判斷C，根據(jù)兩圓圓心距判斷D.【詳解】對A，直線恒過定點，正確；對B，，，直線垂直，正確；對C，圓心到直線距離，相切，正確；對D，圓心間距離，兩圓內(nèi)切，錯誤.故選：ABC10.已知數(shù)列的前項和為，則下列說法正確是（）A.若，則B.若，則的最大值為100C.若，則D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)所給與分別求判斷A，根據(jù)通項公式分析項的符號的變化可求最值判斷B，由與關(guān)系可得即可判斷C，由組合數(shù)的性質(zhì)及等比數(shù)列的求和公式可化簡判斷D.【詳解】對A，因為，而，所以，故錯誤；對B，若，則時，而當(dāng)時，，所以的最大值，故正確；對C，若，則，故正確；對D，因為，所以，則，故正確.故選：BCD11.已知橢圓的右焦點為，直線與橢圓交于、兩點，則（）A.的周長為20 B.的面積為C.線段中點的橫坐標(biāo)為 D.線段的長度為【答案】ACD【解析】【分析】利用橢圓的定義判斷A；聯(lián)立直線與橢圓方程，求出弦中點橫坐標(biāo)及弦長判斷CD；求出面積判斷B作答.【詳解】依題意，直線過橢圓的左焦點，橢圓長軸長，所以的周長，A正確；由消去y得：，設(shè)，則，，因此線段中點的橫坐標(biāo)為，C正確；線段的長度為，D正確；點到直線的距離，所以的面積為，B錯誤.故選：ACD12.已知函數(shù)的定義域為，則下列說法正確是（）A.若函數(shù)無極值，則B.若，為函數(shù)的兩個不同極值點，則C.存在，使得函數(shù)有兩個零點D.當(dāng)時，對任意，不等式恒成立【答案】BCD【解析】【分析】函數(shù)無極值，則或，求解即可判斷A；若，為函數(shù)的兩個不同極值點可得，即，代入可求出的值，可判斷B；要使得函數(shù)有兩個零點，即與有兩個交點，畫出圖象即可判斷C；當(dāng)時，對任意，不等式恒成立即證明在上恒成立即可判斷D.【詳解】對于A，若函數(shù)無極值，，，則或恒成立，則或，當(dāng)，則，解得：或，故A不正確；對于B，若，為函數(shù)的兩個不同極值點，，所以，因為，則，∴，故B正確；對于C，存在，使得函數(shù)有兩個零點，與有兩個交點，在處的切線平行于軸，過原點的切線在的左側(cè)稍微旋轉(zhuǎn)后可得兩個交點，故C正確；對于D，當(dāng)時，對任意，不等式恒成立，，，，令，對任意恒成立，在上單減，，對任意恒成立，所以，在上單減，對任意恒成立，故D正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：函數(shù)零點和方程根的問題往往利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象交點的問題，導(dǎo)數(shù)恒成立、極值問題通常構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出結(jié)論.非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.展開式中的常數(shù)項為______．【答案】##0.9375【解析】【分析】根據(jù)二項式展開公式得到，令上的指數(shù)為0，得到值，再代入回去得到常數(shù)值.【詳解】二項式的展開式的通項公式為,令,解得,則展開式的常數(shù)項為,故答案為：.14.習(xí)近平總書記在黨史學(xué)習(xí)教育動員大會上講話強調(diào)，“要抓好青少年學(xué)習(xí)教育，著力講好黨的故事、革命的故事、英雄的故事，厚植愛黨、愛國、愛社會主義的情感，讓紅色基因、革命薪火代代傳承.”為了深入貫徹習(xí)近平總書記的講話精神，我校積極開展黨史學(xué)習(xí)教育，舉行“學(xué)黨史，頌黨恩，跟黨走”的主題宣講.現(xiàn)安排7名教師到高中3個年級進行宣講，每個年級至少2名教師，教師甲和乙去同一個年級，教師丙不去高一年級，則不同的選派方案有______種（用數(shù)字作答）【答案】100【解析】【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，結(jié)合分組分配利用排列組合即可求解.【詳解】高一高二高三種數(shù)丙甲乙甲乙丙甲乙丙甲乙丙丙甲乙丙甲乙丙甲乙種類,故答案為：10015.直線與曲線相切，則______.【答案】0或4##4或0【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在處的切線方程，再由切線過定點，可求出，據(jù)此即可求出斜率的值,【詳解】直線過點設(shè)切點，所以切線方程為：，由切線過點可得，解得得，所以或故答案為：0或416.已知，，則的最小值為______.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)柯西不等式求解最小值即可.【詳解】∵∴,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，可取故答案為：9四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓經(jīng)過，，三點，且交直線于，兩點.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)圓，根據(jù)待定系數(shù)法求出圓的方程；（2）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，利用半弦長、半徑、弦心距關(guān)系得出弦長，再由點到直線距離求出高，即可得三角形面積.【小問1詳解】設(shè)圓,則∴圓【小問2詳解】因為到直線的距離為，圓心到直線的距離為，故弦長，所以.18.在長方體中，為棱上的點，，，.（1）求點到平面的距離；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）（2）0【解析】【分析】(1)以為原點，，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解.(2)根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，求出面的法向量和面的法向量，得出兩向量垂直，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】分別以，，為，，軸如圖建系，則，，，，，，，設(shè)面的法向量為則，解得，取，則，又，則點到平面的距離.【小問2詳解】由(1)知，，，，設(shè)面的法向量，面的法向量，則，，賦值解得，，因為，則二面角是直二面角，即二面角的余弦值為0.19.已知等差數(shù)列的前項為，滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若對任意，不等式恒成立，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及求和公式列出方程組求解即可；（2）根據(jù)錯位相減法求出和，即可得解.【小問1詳解】由題意，，∴.【小問2詳解】令，則，相減得，，，，所以的最小值為.20.若一個學(xué)期有3次數(shù)學(xué)測試，已知甲同學(xué)每次數(shù)學(xué)測試的分?jǐn)?shù)超過90分的概率為，乙同學(xué)每次數(shù)學(xué)測試的分?jǐn)?shù)超過90分的概率為.（1）求事件：“甲同學(xué)在3次測試中恰有1次超過90分且第2次測試的分?jǐn)?shù)末超過90分”的概率；（2）若這個學(xué)期甲同學(xué)數(shù)學(xué)測試的分?jǐn)?shù)超過90分的次數(shù)為，乙同學(xué)數(shù)學(xué)測試的分?jǐn)?shù)超過90分的次數(shù)為，求隨機變量的方差.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由相互獨立事件的乘法公式代入即可得出答案；（2）法一：記，求出的可能取值及對應(yīng)的概率，再由均值和方差公式即可求出隨機變量的方差；法二：因為隨機變量與相互獨立，則，且，，由二項分布的方差公式即可求出答案.【小問1詳解】記所求事件為事件，甲同學(xué)第次測試的分?jǐn)?shù)超過90分記事件，則，因為，，相互獨立，，，所以.【小問2詳解】記，由題意可得可能取值有，，，0，1，2，3，，，，，，，，，，所以的分布列為0123，∴，法二：因為隨機變量與相互獨立，則，∵，，∴，，∴21.已知曲線，焦點，，，，是左支上任意一點（異于點)，且直線與的斜率之積為.（1）求曲線的方程；（2）直線為過點的切線，直線與直線關(guān)于直線對稱，直線與軸的交點，過點作直線的平行線與曲線交于，兩點，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先設(shè)點根據(jù),代入求軌跡即