浙江省精誠(chéng)聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

2022學(xué)年第二學(xué)期浙江省精誠(chéng)聯(lián)盟3月聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，分別是平面，的法向量，則平面，交線的方向向量可以是（）A. B. C. D.2.已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離是（）A.1 B. C.2 D.1或3.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長(zhǎng)為1，且于點(diǎn)則（）A. B. C. D.4.若點(diǎn)，，則、兩點(diǎn)間距離的最小值為（）A.1 B. C. D.25.如圖，4個(gè)圓相交共有8個(gè)交點(diǎn)，現(xiàn)在4種不同的顏色供選用，給8個(gè)交點(diǎn)染色，要求在同一圓上的4個(gè)交點(diǎn)的顏色互不相同，則不同的染色方案共有（）種A.0 B.24 C.48 D.966.已知直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，拋物線分別在點(diǎn)、處的兩條切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上的投影的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.7.已知遞增數(shù)列前項(xiàng)和滿足，，設(shè)，若對(duì)任意，不等式恒成立，則的最小值為（）A.2023 B.2024 C.4045 D.80898.已知，均為正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的最大值為（）A.1 B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于直線與圓，下列說法正確是（）A對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)B.直線與直線垂直C.直線與圓相切D.圓與圓相交10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確是（）A.若，則B.若，則的最大值為100C.若，則D.若，則11.已知橢圓右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則（）A.的周長(zhǎng)為20 B.的面積為C.線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 D.線段的長(zhǎng)度為12.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t下列說法正確是（）A.若函數(shù)無極值，則B.若，為函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，則C.存在，使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．14.習(xí)近平總書記在黨史學(xué)習(xí)教育動(dòng)員大會(huì)上講話強(qiáng)調(diào)，“要抓好青少年學(xué)習(xí)教育，著力講好黨的故事、革命的故事、英雄的故事，厚植愛黨、愛國(guó)、愛社會(huì)主義的情感，讓紅色基因、革命薪火代代傳承.”為了深入貫徹習(xí)近平總書記的講話精神，我校積極開展黨史學(xué)習(xí)教育，舉行“學(xué)黨史，頌黨恩，跟黨走”的主題宣講.現(xiàn)安排7名教師到高中3個(gè)年級(jí)進(jìn)行宣講，每個(gè)年級(jí)至少2名教師，教師甲和乙去同一個(gè)年級(jí)，教師丙不去高一年級(jí)，則不同的選派方案有______種（用數(shù)字作答）15直線與曲線相切，則______.16.已知，，則的最小值為______.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓經(jīng)過，，三點(diǎn)，且交直線于，兩點(diǎn).（1）求圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的面積.18.在長(zhǎng)方體中，為棱上的點(diǎn)，，，.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求二面角的余弦值.19.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)為，滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的最小值.20.若一個(gè)學(xué)期有3次數(shù)學(xué)測(cè)試，已知甲同學(xué)每次數(shù)學(xué)測(cè)試的分?jǐn)?shù)超過90分的概率為，乙同學(xué)每次數(shù)學(xué)測(cè)試的分?jǐn)?shù)超過90分的概率為.（1）求事件：“甲同學(xué)在3次測(cè)試中恰有1次超過90分且第2次測(cè)試的分?jǐn)?shù)末超過90分”的概率；（2）若這個(gè)學(xué)期甲同學(xué)數(shù)學(xué)測(cè)試的分?jǐn)?shù)超過90分的次數(shù)為，乙同學(xué)數(shù)學(xué)測(cè)試的分?jǐn)?shù)超過90分的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的方差.21.已知曲線，焦點(diǎn)，，，，是左支上任意一點(diǎn)（異于點(diǎn))，且直線與的斜率之積為.（1）求曲線的方程；（2）直線為過點(diǎn)的切線，直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，直線與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的平行線與曲線交于，兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.22.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.

2022學(xué)年第二學(xué)期浙江省精誠(chéng)聯(lián)盟3月聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，分別是平面，的法向量，則平面，交線的方向向量可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面的交線都與兩個(gè)平面的法向量垂直求解.【詳解】因?yàn)樗膫€(gè)選項(xiàng)中，只有，，所以平面，交線的方向向量可以是故選：B2.已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離是（）A.1 B. C.2 D.1或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程寫出焦點(diǎn)、漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離即可得解.【詳解】不妨取雙曲線的右焦點(diǎn)，由題可知，設(shè)雙曲線的漸近線方程為，所以右焦點(diǎn)到漸近線的距離，故選：B3.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長(zhǎng)為1，且于點(diǎn)則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，從而可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，可得，則，設(shè)，，因?yàn)椋瑒t，解得，所以，故選:D4.若點(diǎn)，，則、兩點(diǎn)間距離的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)切線方程的求解，轉(zhuǎn)化成兩條直線間的距離即可求解.【詳解】點(diǎn)在直線，點(diǎn)在上，，設(shè)的切線的切點(diǎn)為，令，所以在點(diǎn)處的切線為,此時(shí)切線與直線平行，直線與之間的距離為的最小值，故選：B5.如圖，4個(gè)圓相交共有8個(gè)交點(diǎn)，現(xiàn)在4種不同的顏色供選用，給8個(gè)交點(diǎn)染色，要求在同一圓上的4個(gè)交點(diǎn)的顏色互不相同，則不同的染色方案共有（）種A.0 B.24 C.48 D.96【答案】D【解析】【分析】分析出各部分可以涂色情況即可得出不同的染色方案的種數(shù).【詳解】由題意，其中一部分有四種方法，與其緊鄰的有3種方法，再相鄰的有2種，兩圓的公共部分有2種，剩余兩部分有2種，涂色示意圖如下：∴共有.故選：D.6.已知直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，拋物線分別在點(diǎn)、處的兩條切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上的投影的坐標(biāo)為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分別求過的切線方程，依此求出直線，再求得，設(shè)點(diǎn)求出投影即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，，根據(jù)題意可知，拋物線在點(diǎn)處的切線斜率存在，設(shè)點(diǎn)處的切線方程為，與聯(lián)立，得，由，得，則，解得，故切線方程為，即拋物線在點(diǎn)處的切線為過點(diǎn)同理可得,拋物線在點(diǎn)處的切線為過點(diǎn)所以直線與是同一直線，得點(diǎn)點(diǎn)在直線上的投影的坐標(biāo)為，得，故選:B.7.已知遞增數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，，設(shè)，若對(duì)任意，不等式恒成立，則的最小值為（）A.2023 B.2024 C.4045 D.8089【答案】C【解析】【分析】根據(jù)得到，故是等差數(shù)列，，利用裂項(xiàng)相消法得到，解得，代入計(jì)算得到答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，相減得，又，相減得，故是等差數(shù)列，，，，，，.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題參考了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用兩次相減的思想得到確定等差數(shù)列是解題的關(guān)鍵.8.已知，均為正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)恒成立轉(zhuǎn)化成求解函數(shù)的最小值，只需要滿足最小值大于等于0即可，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】又，均為正實(shí)數(shù)，所以在單增當(dāng)，，當(dāng)，∴，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，取最小值，又，得，所以∴即：，故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于直線與圓，下列說法正確是（）A.對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)B.直線與直線垂直C.直線與圓相切D.圓與圓相交【答案】ABC【解析】分析】根據(jù)直線方程求出定點(diǎn)判斷A，根據(jù)斜率之積判斷B，根據(jù)圓心到直線距離判斷C，根據(jù)兩圓圓心距判斷D.【詳解】對(duì)A，直線恒過定點(diǎn)，正確；對(duì)B，，，直線垂直，正確；對(duì)C，圓心到直線距離，相切，正確；對(duì)D，圓心間距離，兩圓內(nèi)切，錯(cuò)誤.故選：ABC10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確是（）A.若，則B.若，則的最大值為100C.若，則D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)所給與分別求判斷A，根據(jù)通項(xiàng)公式分析項(xiàng)的符號(hào)的變化可求最值判斷B，由與關(guān)系可得即可判斷C，由組合數(shù)的性質(zhì)及等比數(shù)列的求和公式可化簡(jiǎn)判斷D.【詳解】對(duì)A，因?yàn)?，而，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)B，若，則時(shí)，而當(dāng)時(shí)，，所以的最大值，故正確；對(duì)C，若，則，故正確；對(duì)D，因?yàn)?，所以，則，故正確.故選：BCD11.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則（）A.的周長(zhǎng)為20 B.的面積為C.線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 D.線段的長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】【分析】利用橢圓的定義判斷A；聯(lián)立直線與橢圓方程，求出弦中點(diǎn)橫坐標(biāo)及弦長(zhǎng)判斷CD；求出面積判斷B作答.【詳解】依題意，直線過橢圓的左焦點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，所以的周長(zhǎng)，A正確；由消去y得：，設(shè)，則，，因此線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，C正確；線段的長(zhǎng)度為，D正確；點(diǎn)到直線的距離，所以的面積為，B錯(cuò)誤.故選：ACD12.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則下列說法正確是（）A.若函數(shù)無極值，則B.若，為函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，則C.存在，使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立【答案】BCD【解析】【分析】函數(shù)無極值，則或，求解即可判斷A；若，為函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)可得，即，代入可求出的值，可判斷B；要使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即與有兩個(gè)交點(diǎn)，畫出圖象即可判斷C；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立即證明在上恒成立即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若函數(shù)無極值，，，則或恒成立，則或，當(dāng)，則，解得：或，故A不正確；對(duì)于B，若，為函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，，所以，因?yàn)?，則，∴，故B正確；對(duì)于C，存在，使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，在處的切線平行于軸，過原點(diǎn)的切線在的左側(cè)稍微旋轉(zhuǎn)后可得兩個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立，，，，令，對(duì)任意恒成立，在上單減，，對(duì)任意恒成立，所以，在上單減，對(duì)任意恒成立，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)和方程根的問題往往利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題，導(dǎo)數(shù)恒成立、極值問題通常構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出結(jié)論.非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】##0.9375【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開公式得到，令上的指數(shù)為0，得到值，再代入回去得到常數(shù)值.【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為,令,解得,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為,故答案為：.14.習(xí)近平總書記在黨史學(xué)習(xí)教育動(dòng)員大會(huì)上講話強(qiáng)調(diào)，“要抓好青少年學(xué)習(xí)教育，著力講好黨的故事、革命的故事、英雄的故事，厚植愛黨、愛國(guó)、愛社會(huì)主義的情感，讓紅色基因、革命薪火代代傳承.”為了深入貫徹習(xí)近平總書記的講話精神，我校積極開展黨史學(xué)習(xí)教育，舉行“學(xué)黨史，頌黨恩，跟黨走”的主題宣講.現(xiàn)安排7名教師到高中3個(gè)年級(jí)進(jìn)行宣講，每個(gè)年級(jí)至少2名教師，教師甲和乙去同一個(gè)年級(jí)，教師丙不去高一年級(jí)，則不同的選派方案有______種（用數(shù)字作答）【答案】100【解析】【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合分組分配利用排列組合即可求解.【詳解】高一高二高三種數(shù)丙甲乙甲乙丙甲乙丙甲乙丙丙甲乙丙甲乙丙甲乙種類,故答案為：10015.直線與曲線相切，則______.【答案】0或4##4或0【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在處的切線方程，再由切線過定點(diǎn)，可求出，據(jù)此即可求出斜率的值,【詳解】直線過點(diǎn)設(shè)切點(diǎn)，所以切線方程為：，由切線過點(diǎn)可得，解得得，所以或故答案為：0或416.已知，，則的最小值為______.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)柯西不等式求解最小值即可.【詳解】∵∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，可取故答案為：9四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓經(jīng)過，，三點(diǎn)，且交直線于，兩點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)圓，根據(jù)待定系數(shù)法求出圓的方程；（2）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，利用半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距關(guān)系得出弦長(zhǎng)，再由點(diǎn)到直線距離求出高，即可得三角形面積.【小問1詳解】設(shè)圓,則∴圓【小問2詳解】因?yàn)榈街本€的距離為，圓心到直線的距離為，故弦長(zhǎng)，所以.18.在長(zhǎng)方體中，為棱上的點(diǎn)，，，.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）（2）0【解析】【分析】(1)以為原點(diǎn)，，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解.(2)根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，求出面的法向量和面的法向量，得出兩向量垂直，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】分別以，，為，，軸如圖建系，則，，，，，，，設(shè)面的法向量為則，解得，取，則，又，則點(diǎn)到平面的距離.【小問2詳解】由(1)知，，，，設(shè)面的法向量，面的法向量，則，，賦值解得，，因?yàn)?，則二面角是直二面角，即二面角的余弦值為0.19.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)為，滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式列出方程組求解即可；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求出和，即可得解.【小問1詳解】由題意，，∴.【小問2詳解】令，則，相減得，，，，所以的最小值為.20.若一個(gè)學(xué)期有3次數(shù)學(xué)測(cè)試，已知甲同學(xué)每次數(shù)學(xué)測(cè)試的分?jǐn)?shù)超過90分的概率為，乙同學(xué)每次數(shù)學(xué)測(cè)試的分?jǐn)?shù)超過90分的概率為.（1）求事件：“甲同學(xué)在3次測(cè)試中恰有1次超過90分且第2次測(cè)試的分?jǐn)?shù)末超過90分”的概率；（2）若這個(gè)學(xué)期甲同學(xué)數(shù)學(xué)測(cè)試的分?jǐn)?shù)超過90分的次數(shù)為，乙同學(xué)數(shù)學(xué)測(cè)試的分?jǐn)?shù)超過90分的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的方差.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由相互獨(dú)立事件的乘法公式代入即可得出答案；（2）法一：記，求出的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，再由均值和方差公式即可求出隨機(jī)變量的方差；法二：因?yàn)殡S機(jī)變量與相互獨(dú)立，則，且，，由二項(xiàng)分布的方差公式即可求出答案.【小問1詳解】記所求事件為事件，甲同學(xué)第次測(cè)試的分?jǐn)?shù)超過90分記事件，則，因?yàn)?，，相互?dú)立，，，所以.【小問2詳解】記，由題意可得可能取值有，，，0，1，2，3，，，，，，，，，，所以的分布列為0123，∴，法二：因?yàn)殡S機(jī)變量與相互獨(dú)立，則，∵，，∴，，∴21.已知曲線，焦點(diǎn)，，，，是左支上任意一點(diǎn)（異于點(diǎn))，且直線與的斜率之積為.（1）求曲線的方程；（2）直線為過點(diǎn)的切線，直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，直線與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的平行線與曲線交于，兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先設(shè)點(diǎn)根據(jù),代入求軌跡即