概率統(tǒng)計知識點

離散型隨機(jī)變量及其分布列

1.隨機(jī)變量的有關(guān)概念

⑴隨機(jī)變量:隨著試驗結(jié)果不同而①變化的變量.常用字母…表

示.

⑵離散型隨機(jī)變量:所有取值可以②一一列出的隨機(jī)變量.

2.離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)

(1)概念:若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為*|遇2,...兇,...由冰取每一個值

Xi(i=l,2,...,n)的概率P(X=xD=pi以表格的形式表示如下：

XXIX2XiXn

PP1P2PiPn

則此表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，有時也用等

式P(X=Xi)=pi,i=l,2,...,n表示X的分布列.

(2)分布列的性質(zhì)

(i)Pi?>0,i=l,2,3.....n;

n

(ii)ZPi=1.

i=l

3.常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布

(1)兩點分布

X01

p（4）1-pP

若隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱X服從兩點分布，并稱p=⑤

P(X=1)為成功概率.

(2)超幾何分布

在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X=k)=

⑥*等%_,k=0,1其中m=min{M,n},且n<N,M<N,n,M,NGN*.

CN

X01m

60z-n-01n*i

LMLN-M

p⑦-M'N-M⑧-M'N-M

-4■"CN"4

若隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式,則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

二項分布

1.條件概率

(1)定義

對于任何兩個事件A和B,在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫

做①條件概率.用符號②P(B|A)來表示.其公式為P(B|A)=③_瑞

(P(A)>0).在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個數(shù)，則P(B|A)=^.

(2)性質(zhì)

O<P(B|A)<1;

(ii)如果B和C是兩個互斥事件，那么P(BUCIA)=⑤P(B|A)+P(C|A).

2.相互獨立事件

(1)對于事件A、B,若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響,則稱⑥A、B是相互

獨立事件.

(2)若A與B相互獨立，則P(B|A)=⑦P(B),

P(AB)=P(BIA)?P(A)=⑧P(A)P(B).

(3)若A與B相互獨立,則⑨A與亙，⑩彳與B，?，與亙也都相互獨立.

(4)若P(AB)=P(A)P(B),則?A與B相互獨立.

3.獨立重復(fù)試驗與二項分布

(1)獨立重復(fù)試驗是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨立的一種

試驗，在這種試驗中每一次試驗只有?種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且

任何一次試驗中事件發(fā)生的概率都是一樣的.

(2)在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A

發(fā)生的概率為p,則P(X=k)=?Mpk(l-p)n-k(k=0,l,2，…,n)，此時稱隨機(jī)變量X服從

?二項分布.記為?X~B(n,p)，并稱p為成功概率.

離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布

1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差

若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

XXIX2XiXn

PP1P2PiPn

(1)均值:稱EX=①XlPl+X2P2+.“+Xipi+...+XnPn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)

期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的②平均水平.

n

(2)稱DX=I(々-EX)2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值

i=l

EX的平均③」程度,其算術(shù)平方根煙為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

平均數(shù)的性質(zhì)

(1)若一組數(shù)據(jù)xi,X2,...,Xn的平均數(shù)為元，則axi,ax2,...,axn的平均數(shù)為ax.

(2)若一組數(shù)據(jù)xi,X2,...,Xn的平均數(shù)為元則ax?+b,ax2+b,...,axn+b的平均數(shù)為

ax+b.

(3)若M個數(shù)的平均數(shù)是X,N個數(shù)的平均數(shù)是Y,則這(M+N)個數(shù)的平均數(shù)是

，若兩組數(shù)據(jù)x,,X2,...,xn和yi,y2,...,yn的平均數(shù)分別是M和歹，則

Xl+yi,X2+y2,.,Xn+yn的平均數(shù)是歹+歹.

2.均值與方差的性質(zhì)

(1)E(aX+b)=(4)aEX+b(a.b為實數(shù)).

(2)D(aX+b)=⑤3DL(a,b為實數(shù)).

(3)E(k)=k(k為常數(shù)).

(4)E(Xi+X2)=E(Xi)+E(X2).

(5)D(X)=E(X2)-(E(X))2.

(5)D(X)=E(X2)-(E(X))2.

(6)若Xi,X2相互獨立，則E(XIX2)=E(XI)-E(X2).

(7)D(k)=0(k為常數(shù)).

(8)若給定一組數(shù)據(jù)Xi,X2,...,Xn,其方差為S?,則axi,ax2,...,axn的方差為a2s2.

(9)若給定一組數(shù)據(jù)xi,X2,...,Xn,其方差為S?,則axi+b,ax2+b,...,axn+b的方差為

a2s2,特別地，當(dāng)a=l時，有Xl+b,X2+b,...,Xn+b的方差為s2,這說明將一組數(shù)據(jù)的每一

個數(shù)據(jù)都加上一個相同的常數(shù),方差是不變的，即不影響數(shù)據(jù)的波動性.

(10)方差的一個簡化公式是s2=；[(%：+媛+...+/)-n/]=%2-±2,此公式只要把方

差公式展開進(jìn)行重組即可證明.

3.兩點分布與二項分布的均值、方差

XX服從兩點分布X~B(n,p)

EX⑥“D為成功概率)⑦np

DX⑧p(l-p)⑨np(l-p)

4.正態(tài)曲線的特點

(1)曲線位于x軸⑩上方，與x軸不相交；

(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線?―2sL_對稱；

(3)曲線在?x=u處達(dá)到峰值?一島_；

(4)曲線與x軸之間的面積為?1;

(5)當(dāng)o一定時，曲線的位置由H確定，曲線隨著M的變化而沿x軸平移；

(6)當(dāng)日一定時，曲線的形狀由o確定，。越小,曲線越"?高瘦"，表示總體的

分布越集中:。越大.曲線越"?矮胖”，表示總體的分布越?分散.

用樣本估計總體

1.常用統(tǒng)計圖表

(1)頻率分布表的畫法：

第一步:求①極差，決定組數(shù)和組距.組距二②

第二步:③通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取

閉區(qū)間；

第三步:登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表.

(2)頻率分布直方圖:反映樣本頻率分布的直方圖.

橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示④器—，每個小矩形的面積表示樣本落在該組

內(nèi)的⑤頻率.

(3)莖葉圖的畫法：

第一步:將每個數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；

第二步:將各個數(shù)據(jù)的莖按⑥大小次序排成一列:

第三步:將各個數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的右(左)側(cè).

2.樣本的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

數(shù)字

定義與求法特點

特征

通常用于描述出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),

g一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)顯然它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視使其

無法客觀地反映總體特征

把一組數(shù)據(jù)按⑦大小順序排

列.處在⑧最中間位置的一中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分

個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平線，它不受少數(shù)極端值的影響

均數(shù))

平均數(shù)和每一個數(shù)據(jù)都有關(guān)，可以

如果有n個數(shù)據(jù)Xl,X2,...,Xn,那么這

反映樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均

普n個數(shù)的平均數(shù)又=

數(shù)數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大，故

⑨-(X1+X2+…+Xn)

平均數(shù)在估計總體時可靠性降低

(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差

⑴標(biāo)準(zhǔn)差：

s=o_值高娘乙杳屋二

(ii)方差:標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫做方差.

s2=?孑(X1-M)2+(X2-±)2+..+(Xn-M)2］，其中Xi(i=1,2,3,...,n)是?樣本數(shù)據(jù)，n

是?樣本容量一是?樣本平均數(shù).

變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例

1.兩個變量的線性相關(guān)

(1)正相關(guān)

在散點圖中.點散布在從①左下角到②右上角的區(qū)域.對于兩個變量

的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān).

(2)負(fù)相關(guān)

在散點圖中.點散布在從③左上角到④右下角的區(qū)域,對于兩個變量

的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為負(fù)相關(guān).

(3)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線

如果散點圖中點的分布從整體上看大致在⑤一條直線附近，那么就稱這

兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.

(5)回歸方程

方程，=.x+2是具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)

(xi,yi),(X2,y2),...,(Xn,yn)的回歸方程淇中展,b是待定參數(shù).

xn__n__

A1(xrx)(yry)1xtyt-nxy

k—1^1_____________1^1_________

D~n__._2，

<2(%r%)22%?-nx

i=li=l

A_A_

=⑦y-bx.

2.回歸分析

⑴回歸分析是對具有⑧相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用

方法.

(2)樣本點的中心

對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(xi,yi),(x2,y2),...,(xn,yn),±=-2Xj,y=

ni=l

1n

-2%⑨上元刃—為樣本點的中心.

ni=l

n__

1xtyt-nxy

(3)相關(guān)系數(shù)7=,i=1

J(.*加騰w宙

當(dāng)r>0時，表明兩個變量⑩正相關(guān)；

當(dāng)r<0時，表明兩個變量?負(fù)相關(guān).

r的絕對值越接近于1,表