2022北京西城區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

2022北京西城高二（上）期末數(shù)學(xué)2022.1本試卷共5150分。考試時長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共分）一、選擇題共10小題，每小題分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知直線l的一個方向向量為a=，則直線l的傾斜角為（A）（C）（B）（D）（2）在空間直角坐標(biāo)系中，點(1,5,2)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點為（A）(?1,5,2)（C）(1,5,?2)（B）(1,?5,2)（D）(1,?5,?2)（3）拋物線x（A）x=?1（C）y=?12=2py的焦點坐標(biāo)為，則其準(zhǔn)線方程為（B）x=1（D）y=1（4）圓1:x（A）外離2+y2=1與圓2:(x?2)2+y2=9的位置關(guān)系為（B）外切（C）相交（D）內(nèi)切（5）在（A）?5（C）5(x?2)5的展開式中，x4的系數(shù)為（B）?10（D）10（6）?ABCD1，==AA1=2CC所成角的大小為1111111（A）（C）（B）（D）x2y2x2y2（7）已知橢圓1:+=1，雙曲線C2:?=1，其中ab0．若C1與C的焦距之比為1:3，則C2a2b2a2b22的漸近線方程為（A）2x5y=0（B）5x2y=02xy=0（D）（C）x2y=0（8）將431個11/9（A）48種（C）24種（B）36種（D）種（9F在x過FAAF為直徑的圓（A）必過原點（B）必與x軸相切（C）必與y軸相切（D（10）如圖，某市規(guī)劃在兩條道路邊沿,之間建造一個半橢圓形狀的主題公園，其中BB為橢圓的短12=3kmBB=2km=．為使軸，為橢圓的半長軸．已知，，12盡可能大，其取值應(yīng)為（精確到0.1km）（A）（B）（C）（D）2.9km2.8km2.7km2.6km第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。(1,0)___（11）圓心為且過原點的圓的方程是．（12）已知直線1:axy10，++=l:x+ay+1=0．若l⊥l，則實數(shù)a=___．122（13）在正三棱柱ABC中，?=1=2，則直線AA與所成角的大小為___；11111直線AA到平面CC的距離為___．111x2?y2=1F,F|PF|?|PF|=___12（14P；若12123P___．（15ABCD?BDAA1,CC1M,N．給出11111下列四個結(jié)論：①四邊形1MBN一定是平行四邊形；②四邊形1MBN可能是正方形；③四邊形1為菱形時，其面積最??；④四邊形1為矩形時，其面積最大．其中所有正確結(jié)論的序號是_______．2/9三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題10分）從2位女生，4位男生中選出3人參加垃圾分類宣傳活動．（Ⅰ）共有多少種不同的選擇方法？（Ⅱ）如果至少有1位女生入選，共有多少種不同的選擇方法？（17）（本小題15分）如圖，在長方體?ABCD中，3，==AA1=2，點E在上，且．=11111（Ⅰ）求直線AE與BC所成角的余弦值；11（Ⅱ）求二面角1??D的余弦值．（18）（本小題15分）x22y223已知橢圓C:+=1(ab0)的一個頂點為P，且離心率為．a(chǎn)b2（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱl:y=x+mCA,B兩點，且|PA|=|PB|m（19）（本小題15分）設(shè)A,B為兩定點，=2，曲線C是到點A的距離與到點B的距離之比為定值(0)的點組成的集合．（Ⅰ）判斷的中點是否在曲線C上；（Ⅱ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程，并討論曲線C的形狀．3/9（20）（本小題15分）如圖，在四棱錐P?中，⊥平面，底面為平行四邊形，=，==2．點M在上，且⊥平面．（Ⅰ）證明：ACBD；⊥（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求點M到平面的距離．（21）（本小題15分）x2已知橢圓C:+y2=1，過點P0)的直線l交橢圓C于M,N兩點．4（Ⅰ）證明：||≥3；1k2（Ⅱ）已知兩點A(A．記直線AM的斜率為k，直線AN的斜率為k，求的值．?1211224/92022北京西城高二（上）期末數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40（1）D（6）A（2）C（7）A（3）C（8）B（4）D（9）C（5）B（10）B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25（11）(x?2+y2=1（12）011(?,?)(,+)（13）45（14）23322（15）①③④注：（13）、（14）題第一空3分，第二空2分；（15）題少解給3分，有錯解不給分。三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共分）解：（Ⅰ）從2位女生，4位男生中選出3人參加垃圾分類宣傳活動，6=．………5分選擇方法數(shù)為4=4，………8分（Ⅱ）沒有女生入選的選擇方法數(shù)為所以至少有1位女生入選的選擇方法數(shù)為20416．………10分?=（17）（共分）解：（Ⅰ）以D為原點，,DC,DD1的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．………1分則A(2,0,2)，E(2,0)，B(2,0)，C0)，C(0,2)．11所以AE=?2)，=(2)．………4分11105所以cosAE,BC=．………7分11|AE||BC|11所以直線AE與所成角的余弦值為．115（Ⅱ）因為=(0)．設(shè)平面1的法向量為m=(x,y,z)，則m?y2z2x+2y=0.=即………9分mEC=令y=2，則x=2,z=1．于是m=(2,．………11分顯然2)是平面=的一個法向量．………分15/9m13因為cosDD1,m==，………15分|DD1||m|1所以二面角1??D的余弦值為．3（18）（共分）解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c．b=1,c由題意得3=,………3分a2a2=b2+c2,解得a=2．………4分x2所以橢圓C的方程為y=x+m,+y2=1．………5分4（Ⅱ）由得5x2+8+4(m?=0．………7分2x2+y=124由=m)2?454(m2?0，解得?5m5．………8分8m設(shè)(x,y)，B(x,y)，則x2+=?．………9分112215設(shè)線段的中點為D，1+x24mm則xD==?，y=x+m=．………11分DD255“|PA|=|PB|”等價于“⊥”．………12分m1?5所以=1．………14分4m55解得m=?，符合題意．………15分353所以m=?．（19）（共分）解：（Ⅰ）設(shè)的中點為O，則=1．………2分所以當(dāng)=1時，點O在曲線C上；………3分當(dāng)1時，點O不在曲線C上．………4分（Ⅱ）以點A,B所在的直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．所以(1,0),B0)．………6分||設(shè)曲線C上任意一點為P(x,y)，由題意知=．………7分||6/9(x+(x?22+y+y22所以=．………8分整理得?2)x2+?2)y2++)x+?………112)x+?2)=0．………10分經(jīng)檢驗，曲線C的方程為?222)y2++)x+?)=0．22當(dāng)=1時，曲線C的方程化為x0．=分所以曲線C的形狀是直線．………12分1+2242當(dāng)1時，曲線C的方程化為(x+)2+y2=．………14分21??2)1+所以曲線C的形狀是以(?1?221?,0)為圓心,為半徑的圓．………15分2（20）（共分）解：（Ⅰ）因為⊥平面，所以PBAC．因為⊥平面，………2⊥………1分所以．⊥分所以平面⊥．分………3所以．⊥………4分（Ⅱ）取AB中點N，連接DN．由（Ⅰ）得四邊形ABCD為菱形，所以AB=AD．因為=，所以DNDC．………5分⊥因為DP,DN,兩兩互相垂直，以D為原點，,DC,的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．………6分則D(0,0,0)，(3,?0)，B(3,0)，P2)．所以PB=(?2)．設(shè)==(,,)，其中0所以=+=(?3+,2?2)．………8分≤≤．1………7分因為平面⊥，所以PBAM，即⊥．分=0………9所以+)+(4?=0．3434==………10解得，即．分371（Ⅲ）由（Ⅱ）得=(?,,)．………11分4427/9因為=(3,?0)，2)．=設(shè)平面的法向量為m=(x,y,z)，則=mDA即mDP=z=0.令x=1，則y=3，于是m=3,0)．………分|AMm|33所以點M到平面的距離為（21）（共分）=．………15分|m|43333解：（Ⅰ）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，MN?)，或M?N)．2222此時||=3．………1分②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y=k(x?．y=k(x?由x2得+4k2)x2?8k2x+4k2?4=0．………3分+y=24設(shè)M(x,yN(x,y)，11222k+x+x=,12214k4k?4則………5分2xx=.21214k+所以|MN|=(x?x)2+(y?y)21212=1+k2(x+x)?4122124k4+4k1+4k2+1=．………7分2設(shè)m=1+4k2，則m≥1．m?2+16m2+10m+32mm所以||===3．………8分mmm綜上||≥3．3333（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時，MN?)，或M?N)，22221k213此時都有=．………9分1+y2?直線AM的斜率為k=，直線AN的斜率為k=．………11分112212221y(x?12法一：=k2y(x+2)21(x?x?2)=12………12分(x?x+2)218/9xx?2(x+x)+x+2=12122………13分xx?(x+x)+3x?212122(4k2?4)?28k2++4k2)2++4k2)=(4k2?4)?8k++4k22)2?+4k2)+2k)++4k+2k22)2)21==．………15分2)++4k231k2y21