長春市第八十七中學2024屆數學高一第二學期期末教學質量檢測模擬試題含解析

長春市第八十七中學2024屆數學高一第二學期期末教學質量檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，已知，那么一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形2．將一邊長為2的正方形沿對角線折起，若頂點落在同一個球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．3．某城市為了解游客人數的變化規(guī)律，提高旅游服務質量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數據，繪制了如圖所示的折線圖.根據該折線圖，下列結論錯誤的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)4．在中，，，，則（）A． B．或 C．或 D．5．下列函數的最小值為的是（）A． B．C． D．6．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c依次成等差數列，，，依次成等比數列，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．鈍角三角形 D．直角邊不相等的直角三角形7．下列結論正確的是（）A． B．若，則C．當且時， D．8．若實數x，y滿足條件，目標函數，則z的最大值為()A． B．1 C．2 D．09．下列命題中正確的是（）A．第一象限角必是銳角； B．相等的角終邊必相同；C．終邊相同的角相等； D．不相等的角其終邊必不相同.10．公比為2的等比數列{}的各項都是正數，且=16，則=()A．1 B．2 C．4 D．8二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．展開式中，各項系數之和為，則展開式中的常數項為__________．12．若是等差數列，首項，，，則使前項和最大的自然數是________.13．正方體中，異面直線和所成角的余弦值是________.14．5人排成一行合影，甲和乙不相鄰的排法有______種．（用數字回答）15．已知實數滿足，則的最大值為_______．16．如圖,圓錐型容器內盛有水,水深,水面直徑放入一個鐵球后,水恰好把鐵球淹沒,則該鐵球的體積為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等差數列滿足，，其前項和為.（1）求的通項公式及；（2）令，求數列的前項和，并求的值.18．化簡.19．已知向量，，且，.（1）求函數和的解析式；（2）求函數的遞增區(qū)間；（3）若函數的最小值為，求λ值.20．“中國人均讀書本（包括網絡文學和教科書），比韓國的本、法國的本、日本的本、猶太人的本少得多，是世界上人均讀書最少的國家”，這個論斷被各種媒體反復引用.出現這樣統(tǒng)計結果無疑是令人尷尬的，而且和其他國家相比，我國國民的閱讀量如此之低，也和我國是傳統(tǒng)的文明古國、禮儀之邦的地位不相符.某小區(qū)為了提高小區(qū)內人員的讀書興趣，特舉辦讀書活動，準備進一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站，由于不同年齡段需看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現對小區(qū)內看書人員進行年齡調查，隨機抽取了一天名讀書者進行調查，將他們的年齡分成段：，，，，，后得到如圖所示的頻率分布直方圖.問：（1）估計在這名讀書者中年齡分布在的人數；（2）求這名讀書者年齡的平均數和中位數；（3）若從年齡在的讀書者中任取名，求這兩名讀書者年齡在的人數恰為的概率.21．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且．（1）求A；（2）求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

先化簡sinAcosB＝sinC=，即得三角形形狀.【題目詳解】由sinAcosB＝sinC得所以sinBcosA=0,因為A,B∈（0，π），所以sinB＞0，所以cosA=0,所以A=,所以三角形是直角三角形.故答案為A【題目點撥】本題主要考查三角恒等變換和三角函數的圖像性質，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.2、D【解題分析】

令正方形對角線與的交點為，如圖所示：由正方形中，,則，那么,將正方形沿對角線折起，如圖所示：則點為三棱錐的外接球的球心，且半徑為，故外接球的表面積為.故選：D【題目點撥】本題考查了多面體的外接球問題以及球的表面積公式，屬于基礎題.3、A【解題分析】

觀察折線圖可知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，且折線圖呈現增長趨勢，高峰都出現在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月波動性更小.【題目詳解】對于選項A，由圖易知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯；對于選項B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對于選項C，D，由圖可知顯然正確.故選A.【題目點撥】本題考查折線圖，考查考生的識圖能力，屬于基礎題.4、B【解題分析】

利用正弦定理求出，然后利用三角形的內角和定理可求出.【題目詳解】由正弦定理得，得，，，則或.當時，由三角形的內角和定理得；當時，由三角形的內角和定理得.因此，或.故選B.【題目點撥】本題考查利用正弦定理和三角形的內角和定理求角，解題時要注意大邊對大角定理來判斷出角的大小關系，考查計算能力，屬于基礎題.5、C【解題分析】分析：利用基本不等式的性質即可判斷出正誤，注意“一正二定三相等”的使用法則．詳解：A.時顯然不滿足條件；B.其最小值大于1．D.令因此不正確．故選C.點睛：本題考查基本不等式，考查通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法．6、A【解題分析】

根據a，b，c依次成等差數列，，，依次成等比數列，利用等差、等比中項的性質可知，根據基本不等式求得a=c，判斷出a=b=c，推出結果．【題目詳解】由a，b，c依次成等差數列，有2b=a+c(1)由，，成等比數列,有(2)，由(1)(2)得，又根據，當a=c時等號成立，∴可得a=c，∴，綜上可得a=b=c，所以△ABC為等邊三角形.故選：A.【題目點撥】本題考查三角形的形狀判斷，結合等差、等比數列性質及基本不等式關系可得三邊關系，從而求解，考查綜合分析能力，屬于中等題.7、D【解題分析】

利用不等式的性質進行分析，對錯誤的命題可以舉反例說明．【題目詳解】當時，A不正確；，則，B錯誤；當時，，，C錯誤；由不等式的性質正確．故選：D.【題目點撥】本題考查不等式的性質，掌握不等式性質是解題關鍵．可通過反例說明命題錯誤．8、C【解題分析】

畫出可行域和目標函數，根據平移得到最大值.【題目詳解】若實數x，y滿足條件，目標函數如圖：當時函數取最大值為故答案選C【題目點撥】求線性目標函數的最值:當時，直線過可行域且在軸上截距最大時，值最大，在軸截距最小時，z值最??；當時，直線過可行域且在軸上截距最大時，值最小，在軸上截距最小時，值最大.9、B【解題分析】

根據終邊相同的角和象限角的定義，舉反例或直接進行判斷可得最后結果.【題目詳解】是第一象限角，但不是銳角，故A錯誤；與終邊相同，但他們不相等，故C錯誤；與不相等，但他們的終邊相同，故D錯誤；因為角的始邊在x軸的非負半軸上，則相等的角終邊必相同，故B正確.故選：B【題目點撥】本題考查了終邊相同的角和象限角的定義，利用定義舉出反例進行判斷是解決本題的關鍵.10、A【解題分析】試題分析：在等比數列中，由知，，故選A．考點：等比數列的性質．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】令，則，即，因為的展開式的通項為，所以展開式中常數項為，即常數項為.點睛：本題考查二項式定理；求二項展開式的各項系數的和往往利用賦值法（常賦值為）,還要注意整體賦值，且要注意展開式各項系數和二項式系數的區(qū)別.12、【解題分析】

由已知條件推導出，，由此能求出使前項和成立的最大自然數的值．【題目詳解】解：等差數列，首項，，，，．如若不然，，則，而，得，矛盾，故不可能．使前項和成立的最大自然數為．故答案為：．【題目點撥】本題考查等差數列的前項和取最大值時的值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列的通項公式的合理運用．13、【解題分析】

由，可得異面直線和所成的角，利用直角三角形的性質可得結果.【題目詳解】因為，所以異面直線和所成角，設正方體的棱長為，則直角三角形中，，，故答案為.【題目點撥】本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題題.求異面直線所成的角的角，先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因為異面直線所成的角是直角或銳角，所以最后結果一定要取絕對值.14、72【解題分析】

先對其中3個人進行全排列有種，再對甲和乙進行插空有種，利用乘法原理得到排法總數為.【題目詳解】先對其中3個人進行全排列有種，再對甲和乙進行插空有種，利用乘法原理得到排法總數為種，故答案為72【題目點撥】本題考查排列、組合計數原理的應用，考查基本運算能力.15、【解題分析】

根據約束條件，畫出可行域，目標函數可以看成是可行域內的點和的連線的斜率，從而找到最大值時的最優(yōu)解，得到最大值.【題目詳解】根據約束條件可以畫出可行域，如下圖陰影部分所示，目標函數可以看成是可行域內的點和的連線的斜率，因此可得，當在點時，斜率最大聯(lián)立，得即所以此時斜率為，故答案為.【題目點撥】本題考查簡單線性規(guī)劃問題，求目標函數為分式的形式，關鍵是要對分式形式的轉化，屬于中檔題.16、【解題分析】

通過將圖形轉化為平面圖形，然后利用放球前后體積等量關系求得球的體積.【題目詳解】作出相關圖形，顯然,因此，因此放球前，球O與邊相切于點M，故，則，所以，,所以放球后，而，而，解得.【題目點撥】本題主要考查圓錐體積與球體積的相關計算，建立體積等量關系是解決本題的關鍵，意在考查學生的劃歸能力，計算能力和分析能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2），【解題分析】

（1）利用等差數列的通項公式及前n項的和公式可得答案；（2）利用“裂項求和”法可得答案.【題目詳解】解：（1）設等差數列的公差為，由，得，又，解得.所以.所以.（2）由，得.設的前項和為，則.【題目點撥】本題主要考查等差數列的通項公式及前n項的和，及數列求和的“裂項相消法”，屬于中檔題.18、【解題分析】

利用誘導公式進行化簡，即可得到答案.【題目詳解】原式.【題目點撥】本題考查誘導公式的應用，考查運算求解能力，求解時注意奇變偶不變，符號看象限這一口訣的應用.19、（1），（2）遞增區(qū)間為，（3）【解題分析】

（1）根據向量的數量積坐標運算，以及模長的求解公式，即可求得兩個函數的解析式；（2）由（1）可得，整理化簡后，將其轉化為余弦型三角函數，再求單調區(qū)間即可；（3）求得的解析式，用換元法，將函數轉化為二次函數，討論二次函數的最小值，從而求得參數的值.【題目詳解】（1），.（2）令，得的遞增區(qū)間為，.（3）∵，∴..當時，時，取最小值為－1，這與題設矛盾.當時，時，取最小值，因此，，解得.當時，時，取最小值，由，解得，與題設矛盾.綜上所述，.【題目點撥】本題主要考查余弦型三角函數的單調區(qū)間的求解，含的二次型函數的最值問題，涉及向量數量積的運算，模長的求解，以及二次函數動軸定區(qū)間問題，屬綜合基礎題.20、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

(1)識別頻率直方圖，注意其縱軸的意義；(2)在頻率直方圖中平均數是每組數據的組中值乘以頻率，中位數是排在最中間的數;(3)求出古典概型中的基本事情總數和具體事件數，利用比值求解.【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖知，年齡在的頻率為所以，名讀書者年齡分布在的人數為人.（2）名讀書者年齡的平均數為：設中位數為，解之得，即名讀書者年齡的中位數為歲.（3）年齡在的讀書者有人，記為，；年齡在的讀數者有人，記為，，，從上述人中選出人，共有如下基本事件：,共有基本事件數為個,記選取的兩名讀者中恰好有一人年齡在中為事件，則事件包含的基本事件數為個:故.【題目點撥】本題考查識別頻率直方圖和樣本的數字特征，屬于基礎題.21、（1）；（2）【解題分析】

（1）由題目條件a=1，可以將（1+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC中的1換成a，達