遼寧省沈陽市皇姑區(qū)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年度九年級（上）期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)學(xué)科（本試卷共23道題滿分120分考試時(shí)間120分鐘）第一部分選擇題（共30分）一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．如圖所示物體的左視圖是(

)A． B． C． D．2．如圖，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，則S四邊形BEDC：S△ABC的值為（）A．1：4 B．3：4 C．2：3 D．1：23．如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OA交于點(diǎn)B，再以B為圓心，BO長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，畫射線OC，則sin∠AOC的值為（）A． B． C． D．4．如圖，矩形的對角線相交于點(diǎn)，若，則四邊形的周長為（

）A．2 B．4 C．6 D．85．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一個(gè)根，則此方程的另一個(gè)根是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，則以下說法錯(cuò)誤的是A． B．，隨的增大而減小C．圖象也經(jīng)過點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，7．如圖是小明在“綜合與實(shí)踐”課中“制作視力表”的相關(guān)內(nèi)容：當(dāng)測試距離為3m時(shí)，視力表中最大的“E”字高度為45mm，則當(dāng)測試距離為5m時(shí)，視力表中最大的“E”字高度為（）A．120mm B．30mm C．75mm D．27mm8．小明熱愛研究鳥類，每年定期去北京各個(gè)濕地公園觀鳥．從他的觀鳥記錄年度總結(jié)中摘取部分?jǐn)?shù)據(jù)如下圖，若設(shè)小明從2020年到2022年觀測鳥類種類數(shù)量的年平均增長率為，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．9．如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，M是邊AD上一點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥OM，交CD于點(diǎn)N．若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為（

）A．1 B． C．2 D．10．如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．圖象的對稱軸是直線第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．如圖，和是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，已知，與的相似比為，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

12．如圖，E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn)，且CE=AC，AE交CD于點(diǎn)F，則∠E=13．如圖，矩形紙片，點(diǎn)分別在上，把紙片沿折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為，直線交邊于點(diǎn)，則的值為．14．某商場購進(jìn)一批單價(jià)為20元的日用商品.如果以單價(jià)30元銷售，那么半月內(nèi)可銷售出400件.根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高銷售單價(jià)會導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件，當(dāng)銷售單價(jià)是元時(shí)，才能在半月內(nèi)獲得最大利潤.15．如圖，中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一個(gè)動點(diǎn)，以為對稱軸折疊得到，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長為．

三、解答題（本題共8小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）16．計(jì)算(1)計(jì)算：；(2)解方程：．17．京劇臉譜是京劇藝術(shù)獨(dú)特的表現(xiàn)形式．京劇表演中，經(jīng)常用臉譜象征人物的性格，品質(zhì)，甚至角色和命運(yùn)．如紅臉代表忠心耿直，黑臉代表強(qiáng)悍勇猛．現(xiàn)有三張不透明的卡片，其中兩張卡片的正面圖案為“紅臉”，另外一張卡片的正面圖案為“黑臉”，卡片除正面圖案不同外，其余均相同，將這三張卡片背面向上洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，記錄圖案后放回，重新洗勻后再從中隨機(jī)抽取一張．請用畫樹狀圖或列表的方法，求抽出的兩張卡片上的圖案都是“紅臉”的概率．（圖案為“紅臉”的兩張卡片分別記為A1、A2，圖案為“黑臉”的卡片記為B）18．如圖，為一盛路燈的燈桿，該路燈的燈泡位于燈桿上，小紅和小穎都站在路燈的同側(cè)，小穎在路燈燈泡的照射下的影子末端位于點(diǎn)處．已知，在同一條直線上，且．(1)請?jiān)趫D中畫出路燈燈泡的位置，并畫出小紅在燈泡的照射下的影子（不必寫出畫法）；(2)經(jīng)測量米，米，小紅的身高為1.6米，請你求出路燈燈泡距地面的高度的長．19．社區(qū)利用一塊矩形空地建了一個(gè)小型的惠民停車場，其布局如圖所示.已知停車場的長為52米，寬為28米，陰影部分設(shè)計(jì)為停車位，要鋪花磚，其余部分是等寬的通道．已知鋪花磚的面積為640平方米．求通道的寬是多少米？20．?dāng)?shù)學(xué)活動小組欲測量山坡上一棵大樹CD的高度，如圖，于點(diǎn)E，在A處測得大樹底端C的仰角為，沿水平地面前進(jìn)30米到達(dá)B處，測得大樹頂端D的仰角為，測得山坡坡角（圖中各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)）．(1)求斜坡BC的長；(2)求這棵大樹CD的高度（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin≈，cos≈，tan≈，≈1.73）21．如圖，中，，邊在軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過斜邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求反比例函數(shù)的解析式；(2)若，求直線的解析式．22．問題情境

數(shù)學(xué)活動課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動，老師給出如下問題：在中，，，垂足為，且，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），連接，過點(diǎn)作交線段于點(diǎn)．各小組在探究過程中提出了以下問題：(1)“智慧小組”提出問題：如圖①，求證：．請你寫出證明過程；(2)“奮進(jìn)小組”受到探究過程的啟發(fā)，提出問題：如圖②，若，，，求的面積．請你寫出解答過程；(3)“善思小組”學(xué)以致用提出問題：若，，交線段于點(diǎn)，連接，且與相似，求的長．請你利用答題卡中的備用圖補(bǔ)全圖形，并寫出解答過程．23．問題提出：四邊形是正方形，是射線上的動點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上，且，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，設(shè)，四邊形的面積為（可等于0）．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)過程中，發(fā)現(xiàn)是關(guān)于的二次函數(shù)，并繪制成如圖②所示的圖象，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)且頂點(diǎn)為，請根據(jù)圖象信息，回答下列問題：①正方形的邊長為___________（直接填空）；②求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)如圖③，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上運(yùn)動時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(3)若在射線上從下至上依次存在不同位置的兩個(gè)點(diǎn)，對應(yīng)的四邊形的面積與四邊形的面積相等，當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積．

參考答案與解析

1．B【分析】根據(jù)左視圖是從左邊得到的圖形進(jìn)行解答即可.【詳解】從左邊看，為一個(gè)長方形，中間有兩條橫線，如下圖所示：，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從左邊看到的視圖，要注意長方形被橫向分成三部分．2．B【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，∴，∴S四邊形BEDC：S△ABC＝，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方解答．3．D【分析】根據(jù)作圖的方法得出△OBC是等邊三角形，進(jìn)而利用特殊角的三角函數(shù)值求出答案．【詳解】解：連接BC，由題意可得：OB=OC=BC，則△OBC是等邊三角形，故sin∠AOC=sin60°=．故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值以及基本作圖方法，正確得出△OBC是等邊三角形是解題關(guān)鍵．4．D【分析】此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，證得四邊形是菱形是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∴四邊形是菱形，∴四邊形的周長為：，故選D．5．B【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【詳解】設(shè)x2+x+m＝0另一個(gè)根是α，∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．6．D【分析】將點(diǎn)代入到函數(shù)解析式，求出k，得到反比例函數(shù)解析式，可判斷選項(xiàng)A是否正確；根據(jù)函數(shù)圖像判斷選項(xiàng)B；將點(diǎn)B坐標(biāo)代入到函數(shù)解析式，查看點(diǎn)B是否在函數(shù)圖像上，判斷選項(xiàng)C；將代入到函數(shù)解析式，求出函數(shù)值，再結(jié)合函數(shù)圖像判斷選項(xiàng)D即可．【詳解】解：將點(diǎn)代入反比例函數(shù)的解析式，可得，解得，∴該反比例函數(shù)解析式為，故A正確；由函數(shù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故B正確；將代入到函數(shù)解析式，解得，∴圖象也經(jīng)過點(diǎn)B，故C正確；當(dāng)時(shí)，可解得，由圖像可知反比例函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)均為y隨x的增大而減小，所以當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)與圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)及圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題關(guān)鍵．7．C【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)列比例式，代入可得結(jié)論．【詳解】解：由題意得：CB∥DF，∴△ADF∽△ABC，∴，∵AD=3m，AB=5m，DE=45mm，∴，∴BC=75（mm），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，比較簡單；根據(jù)生活常識，墻與地面垂直，則兩張視力表平行，根據(jù)平行相似或平行線分線段成比例定理列比例式，可以計(jì)算出結(jié)果．8．D【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)2020年到2022年觀測鳥類種類數(shù)量的關(guān)系，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)小明從2020年到2022年觀測鳥類種類數(shù)量的年平均增長率為，由題意，得：；故選D．9．C【分析】先證明，再證明四邊形MOND的面積等于，的面積，繼而解得正方形的面積，據(jù)此解題．【詳解】解：在正方形ABCD中，對角線BD⊥AC，又四邊形MOND的面積是1，正方形ABCD的面積是4，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．10．D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求解.【詳解】由圖象可知圖象與y軸交點(diǎn)位于y軸正半軸，故c>0.A選項(xiàng)錯(cuò)誤；函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以＞0，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；觀察圖象可知x＝－1時(shí)y=a－b＋c＞0，所以a－b＋c＞0，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)圖象與x軸交點(diǎn)可知，對稱軸是（1,0）.（5,0）兩點(diǎn)的中垂線，，x＝3即為函數(shù)對稱軸，D選項(xiàng)正確；故選D【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖像.11．【分析】根據(jù)坐標(biāo)，相似比，點(diǎn)的位置確定坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵與的相似比為，，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)F．

∵，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)系中的位似，三角形相似的判定與性質(zhì)，熟練掌握坐標(biāo)與位似比的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．22.5°【分析】由于正方形的對角線平分一組對角，那么∠ACB=45°，即∠ACE=135°，在等腰△CAE中，已知了頂角的度數(shù)，即可由三角形內(nèi)角和定理求得∠E的度數(shù)．【詳解】解：正方形對角線平分直角，故∠ACD=45°，已知DC⊥CE，則∠ACE=∠135°，又∵CE=AC，∴∠E==22.5°．故答案為：22.5°．【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形兩底角相等的應(yīng)用，以及正方形中邊角性質(zhì)的應(yīng)用．13．【分析】本題考查翻折變換，矩形性質(zhì)以及相似三角形判定與性質(zhì)，本題通過翻折變換推出進(jìn)而利用角進(jìn)行轉(zhuǎn)化求出是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)O，如圖所示：由折疊與對應(yīng)易知：，∵，，∴，即，又∵，∴，∴，故答案為：．14．35.【詳解】試題分析：設(shè)銷售單價(jià)為x元，銷售利潤為y元．根據(jù)題意得：y=（x-20）[400-20（x-30）]=（x-20）（1000-20x）=-20x2+1400x-20000，當(dāng)x=時(shí)，可獲得利潤最大.考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用.15．1或【分析】根據(jù)勾股定理可求出AC，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得BD=AD=CD，進(jìn)而可得∠DBC=∠C，由于∠E=∠C≠90°，故分兩種情況：當(dāng)∠DME=90°時(shí)，如圖1，解Rt△DME可求出DM，進(jìn)而可得BM，然后解Rt△BMF即可求出BF；當(dāng)∠MDE=90°時(shí)，如圖2，解Rt△DME可求出DM，進(jìn)而可得BM，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠BFM=∠MDE=90°，再解Rt△BMF即可求出BF，從而可得答案．【詳解】解：中，∵，，，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴BD=AD=CD=，∴∠DBC=∠C，由于∠E=∠C≠90°，故分兩種情況：當(dāng)∠DME=90°時(shí)，如圖1，∵以為對稱軸折疊得到，∴∠E=∠C，DE=DC=5，∴，∴BM=BD－DM=2，∴；

當(dāng)∠MDE=90°時(shí)，如圖2，，∴，∵∠DBC=∠C=∠E，∠BMF=∠EMD，∴∠BFM=∠MDE=90°，∴；綜上，的長為1或．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及解直角三角形等知識，屬于?？碱}型，正確分類、熟練掌握相關(guān)知識、靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想是解題的關(guān)鍵．16．(1)2(2)【分析】此題考查了因式分解法求一元二次方程，含特殊角的三角函數(shù)的值的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的求解方法以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則．（1）根據(jù)負(fù)整指數(shù)冪，零指數(shù)次冪，絕對值以及特殊角的三角函數(shù)值，求解即可；（2）利用配方法法求解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：；（2）解得：，．17．【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，求出所有的情況數(shù)和兩次抽取的卡片上都是“紅臉”的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【詳解】畫樹狀圖為：由樹狀圖可知，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有9種，其中兩次抽取的卡片上都是“紅臉”的結(jié)果有4種，所以P(兩張都是“紅臉”)，答：抽出的兩張卡片上的圖案都是“紅臉”的概率是．【點(diǎn)睛】本題考查了概率的求法．用到的知識點(diǎn)為數(shù)狀圖和概率，概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出樹狀圖．18．(1)圖見解析(2)的長為米【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．（1）連接并延長，交于點(diǎn)，連接并延長交與點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；（2）證明，列出比例式進(jìn)行求解即可．解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)．【詳解】（1）解：連接并延長，交于點(diǎn)，連接并延長交與點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)即為所求，如圖：（2）∵，∴，∴，∴，∴米；答：的長為米．19．通道的寬為6米．【分析】設(shè)通道的寬為x米，利用平移的性質(zhì)可得鋪花磚部分組成一個(gè)邊長為米，米的矩形，再根據(jù)矩形的面積公式列出方程，解答檢驗(yàn)即可．【詳解】解：設(shè)通道的寬為x米，根據(jù)題意結(jié)合平移的性質(zhì)可得：解得：x=34（舍去）或x=6，答：通道的寬為6米；【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，平移的性質(zhì)，掌握利用一元二次方程解決面積問題是解題的關(guān)鍵．20．(1)斜坡BC的長為30米(2)這棵大樹CD的高度約為20米【分析】（1）根據(jù)題意可得：，AB=30米，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可求出，從而得出AB=BC=30米，即可得出答案．（2）在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CE，BE的長，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE的長，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：由題意得，AB＝30米，∵是的一個(gè)外角，∴，∴，∴AB＝BC＝30米，∴斜坡BC的長為30米；（2）解：在中，，BC＝30米，∴（米），∴（米），在中，，∴DE=BEtan(米)，∴DC＝DE﹣CE＝（米），∴這棵大樹CD的高度約為20米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中仰角俯角問題，坡度坡角問題，解題關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義并正確運(yùn)用．21．(1)(2)【分析】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意表示出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，根據(jù)的面積得到，代入反比例函數(shù)表達(dá)式，即可求得k值；（2）由（1）得到M，N的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出的解析式．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，∴，∵的面積為12，∴，解得：，又∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）解：∵，∴，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為，又∵反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，∴，又∵，解得：，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，則：，解得：，∴直線的解析式為．22．(1)證明見解答過程；(2)的面積為；(3)的長為或4．【分析】（1）由，，得，又，，知，故；（2）設(shè)交于，由；，可得，設(shè)，則，可得，即可解得，，求出；；由三角形面積公式可得；（3）與相似，只需或，①當(dāng)時(shí)，，求出，證明，得，，，故，，設(shè)，則，由；有，解得的長為；②當(dāng)時(shí)，可證，，故是的垂直平分線，．【詳解】（1）證明：，，，，，，；（2）解：設(shè)交于，如圖：

由（1）知；，，，設(shè)，則，在中，，，解得，，，，；；；的面積為