2024屆四省名校數(shù)學高一下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆四省名校數(shù)學高一下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若某程序框圖如圖所示,則該程序運行后輸出的值是（）A．3 B．4 C．5 D．62．若數(shù)列的前n項的和，那么這個數(shù)列的通項公式為()A． B．C． D．3．某同學使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時,錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為15,那么由此求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差是()A．3.5 B．3 C．-0.5 D．-34．如下圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，則異面直線PA與BC所成角的余弦值為（）A． B． C． D．5．已知正數(shù)滿足，則的最小值是（）A．9 B．10 C．11 D．126．設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則與滿足的關(guān)系是（）A． B．C． D．7．在正方體中為底面的中心，為的中點，則異面直線與所成角的正弦值為（）A． B． C． D．8．在中，，點是內(nèi)（包括邊界）的一動點，且，則的最大值是（）A． B． C． D．9．在正六邊形ABCDEF中，點P為CE上的任意一點，若，則（）A．2 B． C．3 D．不確定10．已知圓柱的側(cè)面展開圖是一個邊長為的正方形，則這個圓柱的體積是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．一個等腰三角形的頂點，一底角頂點，另一頂點的軌跡方程是___12．函數(shù)的值域是________．13．在正方體中，是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為__________.14．若函數(shù)，的最大值為，則的值是________.15．若，且，則__________．16．已知圓錐如圖所示，底面半徑為，母線長為，則此圓錐的外接球的表面積為___．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知點，求的邊上的中線所在的直線方程．18．已知直線與平行.（1）求實數(shù)的值：（2）設(shè)直線過點，它被直線，所截的線段的中點在直線上，求的方程.19．已知函數(shù)的最小正周期是．(1)求ω的值；(2)求函數(shù)f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．20．在銳角中，角,,所對的邊分別為，，.已知,.（1）求的值；（2）若,求的面積.21．如圖．在四棱錐中，，，平面ABCD，且．，，M、N分別為棱PC，PB的中點.（1）證明：A，D，M，N四點共面，且平面ADMN；（2）求直線BD與平面ADMN所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.【題目詳解】根據(jù)程序框圖依次計算得到結(jié)束故答案為C【題目點撥】本題考查了程序框圖，意在考查學生對于程序框圖的理解能力和計算能力.2、D【解題分析】試題分析：根據(jù)前n項和與其通項公式的關(guān)系式，an=當n≥2時，an=Sn-Sn-1=（3n-2）-（3n-1-2）=2?3n-1．當n=1時，a1=1，不滿足上式；所以an=，故答案為an=，選D.考點：本題主要考查數(shù)列的求和公式，解題時要根據(jù)實際情況注意公式的靈活運用，屬于中檔題點評：解決該試題的關(guān)鍵是借助公式an=，將前n項和與其通項公式聯(lián)系起來得到其通項公式的值．3、D【解題分析】

因為錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為15,所以此時求出的數(shù)比實際的數(shù)差是,因此平均數(shù)之間的差是.故答案為D4、B【解題分析】

作出異面直線PA與BC所成角，結(jié)合三角形的知識可求.【題目詳解】取的中點，連接，如圖，因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以；所以或其補角是異面直線PA與BC所成角；設(shè)，則,；因為，所以；因為平面ABCD，所以,在三角形中，.故選：B.【題目點撥】本題主要考查異面直線所成角的求解，作出異面直線所成角，結(jié)合三角形知識可求.側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).5、A【解題分析】

利用基本不等式可得，然后解出即可．【題目詳解】解：正數(shù)，滿足，∴，，，當且僅當時取等號，的最小值為9，故選：A．【題目點撥】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用和一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】

將函數(shù)化為一個常數(shù)函數(shù)與一個奇函數(shù)的和，再利用奇函數(shù)的對稱性可得答案.【題目詳解】因為，令，則，所以為奇函數(shù)，所以，所以，故選：B【題目點撥】本題考查了兩角差的余弦公式，考查了奇函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于中檔題.7、B【解題分析】

取BC中點為M，連接OM，EM找出異面直線夾角為，在三角形中利用邊角關(guān)系得到答案.【題目詳解】取BC中點為M，連接OM，EM在正方體中為底面的中心，為的中點易知：異面直線與所成角為設(shè)正方體邊長為2，在中：故答案選B【題目點撥】本題考查了立體幾何里異面直線的夾角，通過平行找到對應(yīng)的角是解題的關(guān)鍵.8、B【解題分析】

根據(jù)分析得出點的軌跡為線段，結(jié)合圖形即可得到的最大值.【題目詳解】如圖：取，，，點是內(nèi)（包括邊界）的一動點，且，根據(jù)平行四邊形法則，點的軌跡為線段，則的最大值是，在中，，，，，故選：B【題目點撥】此題考查利用向量方法解決平面幾何中的線段長度最值問題，數(shù)形結(jié)合處理可以避免純粹的計算，降低難度.9、C【解題分析】

延長交于點，延長交于點，可推出，，所以有，然后利用平面向量共線的推論即可求出【題目詳解】如圖，延長交于點，延長交于點設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為則在中有，，所以，所以有，同理可得因為所以因為三點共線，所以有，即故選：C【題目點撥】遇到三點共線時，要聯(lián)想到平面向量共線的推論：三點共線，若，則.10、A【解題分析】

由已知易得圓柱的高為，底面圓周長為，求出半徑進而求得底面圓半徑即可求出圓柱體積。【題目詳解】底面圓周長，，所以故選：A【題目點撥】此題考查圓柱的側(cè)面展開為長方形，長為底面圓周長，寬為圓柱高，屬于簡單題目。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

設(shè)出點C的坐標，利用|AB|＝|AC|，建立方程，根據(jù)A，B，C三點構(gòu)成三角形，則三點不共線且B，C不重合，即可求得結(jié)論．【題目詳解】設(shè)點的坐標為，則由得，化簡得.∵A，B，C三點構(gòu)成三角形∴三點不共線且B，C不重合因此頂點的軌跡方程為.故答案為【題目點撥】本題考查軌跡方程，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、【解題分析】

求出函數(shù)在上的值域，根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系即可求解.【題目詳解】因為函數(shù)，當時是單調(diào)減函數(shù)當時，；當時，所以在上的值域為根據(jù)反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域可得函數(shù)的值域為故答案為：【題目點撥】本題求一個反三角函數(shù)的值域，著重考查了余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)和反函數(shù)的性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

假設(shè)正方體棱長，根據(jù)//，得到異面直線與所成角，計算，可得結(jié)果.【題目詳解】假設(shè)正方體棱長為1，因為//，所以異面直線與所成角即與所成角則角為如圖，所以故答案為：【題目點撥】本題考查異面直線所成的角，屬基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

利用兩角差的正弦公式化簡函數(shù)的解析式為，由的范圍可得的范圍，根據(jù)最大值可得的值.【題目詳解】∵函數(shù)＝2（）＝，∵，∴∈[，]，又∵的最大值為，所以的最大值為，即=，解得.故答案為【題目點撥】本題主要考查兩角差的正弦公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域和最值，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】根據(jù)三角函數(shù)恒等式，將代入得到，又因為，故得到故答案為。16、【解題分析】

根據(jù)圓錐的底面和外接球的截面性質(zhì)可得外接球的球心在上，再根據(jù)勾股定理可得求的半徑．【題目詳解】由圓錐的底面和外接球的截面性質(zhì)可得外接球的球心在上，設(shè)球心為，球的半徑為，則，圓，因為,所以，所以，，則有.解得，則.【題目點撥】本題主要考查了幾何體的外接球，關(guān)鍵是會找到球心求出半徑，通常結(jié)合勾股定理求．屬于難題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】

設(shè)邊的中點,則由中點公式可得：,即點坐標為所以邊上的中線先的斜率則由直線的斜截式方程可得：這就是所求的邊上的中線所在的直線方程.18、(1).(2)【解題分析】

（1）利用兩直線平行的條件進行計算，需注意重合的情況。（2）求出到平行線與距離相等的直線方程為，將其與直線聯(lián)立，得到直線被直線，所截的線段的中點坐標，進而求出直線的斜率，可得直線的方程?！绢}目詳解】（1）∵直線與平行，∴且，即且，解得.（2）∵，直線：，：故可設(shè)到平行線與距離相等的直線方程為，則，解得：，所以到平行線與距離相等的直線方程為，即直線被直線，所截的線段的中點在上，聯(lián)立，解得，∴過點∴，的方程為：，化簡得：.【題目點撥】本題主要考查直線與直線的位置關(guān)系以及直線斜率、直線的一般方程的求解等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行的條件，直線的斜率公式，平行線間的距離公式，屬于中檔題。19、(1)(2)函數(shù)f(x)的最大值是2＋，此時x的集合為{x|x＝+，k∈Z}．【解題分析】試題分析析：本題是函數(shù)性質(zhì)問題，可借助正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)去研究，根據(jù)周期公式可以求出，當函數(shù)的解析式確定后，可以令，，根據(jù)正弦函數(shù)的最大值何時取得，可以計算出為何值時，函數(shù)值取得的最大值，進而求出的值的集合.試題解析：(1)∵f(x)＝sin（＋2(x∈R，ω＞0)的最小正周期是，∴，所以ω＝2.(2)由(1)知，f(x)＝sin＋2.當4x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)時，sin取得最大值1，所以函數(shù)f(x)的最大值是2＋，此時x的集合為{x|x＝＋，(k∈Z)}．【題目點撥】函數(shù)的最小正周期為，根據(jù)公式求出，頁有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可按照復合函數(shù)的思想去求，可以看成與.復合而成的復合函數(shù)，譬如本題求函數(shù)的最大值，可以令，求出值，同時求出函數(shù)的最大值2.20、（1）2；（2）3.【解題分析】

（1）利用正弦定理可得，消元后可得關(guān)于的三角方程，從該方程可得的值.（2）利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式結(jié)合（1）中的結(jié)果可得，再根據(jù)題設(shè)條件得到后再利用正弦定理可求的值，從而得到所求的面積.【題目詳解】(1)在由正弦定理得，①，因為,所以，又因為，所以，整理得到，故.(2)在銳角中，因為，所以，將代入①得.在由正弦定理得，所以.【題目點撥】在解三角形中，如果題設(shè)條件是邊角的混合關(guān)系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式或角的關(guān)系式.另外，三角形中共有七個幾何量（三邊三角以及外接圓的半徑），一般地，知道兩角及一邊，用正弦定理.另外，如果知道兩個角的三角函數(shù)值，則必定可以求第三角的三角函數(shù)值，此時涉及到的公式有同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式和兩角和差的三角公式、倍角公式等.21、(1)證明見解析；(2)【解題分析】

（1）先證，再證，即可得證；要證平面ADMN，可通過求證PB垂直于ADMN中的兩條交線來證明（2）求直線BD與平面ADMN所成角，需要找出BD在平面ADMN的射影，可通過三垂線定理去進行證明【題目詳解】解：（1）證明因為M，N分別為PC，PB的中點，所以；又因為，所以．從而A，D，M，N四點共面；因為平面