2024屆上海市高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆上海市高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若關(guān)于的方程，當(dāng)時總有4個解，則可以是（）A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列{an}中，a3?a13＝20，a6＝4，則a10的值是（）A．16 B．14 C．6 D．53．已知三角形為等邊三角形，，設(shè)點(diǎn)滿足，若，則（）A． B． C． D．4．在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則等于（）A． B． C． D．5．已知直線，若，則的值為（）A．8 B．2 C． D．-26．已知直線，，若，則的值為（）A．或 B． C． D．7．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則可能取值是().A． B． C． D．8．若函數(shù)f（x）=loga（x2–ax+2）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[2，3） B．（2，3） C．[2，+∞） D．（2，+∞）9．已知函數(shù)，在下列函數(shù)圖像中，不是函數(shù)的圖像的是（）A． B． C． D．10．直線的斜率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知是等比數(shù)列，且，，那么________________．12．在數(shù)列{}中，，則____.13．在四面體ABCD中，平面ABC，，，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積為_______．14．在中，角，，的對邊分別為，，，若，則________.15．已知數(shù)列的首項(xiàng)，，.若對任意，都有恒成立，則的取值范圍是_____16．若不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)的能為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，某地三角工廠分別位于邊長為2的正方形的兩個頂點(diǎn)及中點(diǎn)處.為處理這三角工廠的污水，在該正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）與等距的點(diǎn)處建一個污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道，記輔設(shè)管道總長為千米.（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：（i）設(shè)，將表示成的函數(shù)；（ii）設(shè)，將表示成的函數(shù)；（2）請你選用一個函數(shù)關(guān)系，確定污水廠位置，使鋪設(shè)管道總長最短.18．為了了解某省各景區(qū)在大眾中的熟知度，隨機(jī)從本省歲的人群中抽取了人，得到各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示，現(xiàn)讓他們回答問題“該省有哪幾個國家級旅游景區(qū)？”，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：組號分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的頻率第組第組第組第組第組（1）分別求出的值；（2）從第組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取人，求第組每組抽取的人數(shù)；（3）在（2）中抽取的人中隨機(jī)抽取人，求所抽取的人中恰好沒有年齡段在的概率19．如圖，在四棱錐中，，且，，，點(diǎn)在上，且．（1）求證：平面⊥平面；（2）求證：直線∥平面．20．已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，是的中點(diǎn).（1）求證：直線平面；（2）若，求二面角的正弦值.21．正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（I）求的值；（II）證明：當(dāng)，且時，；（III）若對于任意的正整數(shù)，都有成立，求實(shí)數(shù)的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的解析式，寫出與的解析式，再判斷對應(yīng)方程在時解的個數(shù)．【題目詳解】對，，，；方程，當(dāng)時有4個解，當(dāng)時有3個解，當(dāng)時有2個解，不符合；對，，，；方程，當(dāng)時有2個解，當(dāng)時有3個解，當(dāng)時有4個解，不符合；對，，，；方程，當(dāng)時有4個解，當(dāng)時有3個解，當(dāng)時有2個解，不符合；對，，，；方程，當(dāng)時恒有4個解，符合題意．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，對綜合能力的要求較高．2、D【解題分析】

用等比數(shù)列的性質(zhì)求解．【題目詳解】∵是等比數(shù)列，∴，∴．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)可以很快速地求解等比數(shù)列的問題．在等比數(shù)列中，正整數(shù)滿足，則，特別地若，則．3、D【解題分析】

用三角形的三邊表示出，再根據(jù)已知的邊的關(guān)系可得到關(guān)于的方程，解方程即得?！绢}目詳解】由題得，，，整理得，化簡得，解得.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理，是?？碱}型。4、D【解題分析】

由正弦定理將邊化角可求得，根據(jù)三角形為銳角三角形可求得.【題目詳解】由正弦定理得：，即故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理邊化角的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

根據(jù)兩條直線垂直，列方程求解即可.【題目詳解】由題：直線相互垂直，所以，解得：.故選：D【題目點(diǎn)撥】此題考查根據(jù)兩條直線垂直，求參數(shù)的取值，關(guān)鍵在于熟練掌握垂直關(guān)系的表達(dá)方式，列方程求解.6、B【解題分析】

由兩直線平行的等價條件列等式求出實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】，則，整理得，解得，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用兩直線平行求參數(shù)的值，解題時要利用直線平行的等價條件列等式求解，一般是轉(zhuǎn)化為斜率相等來求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性，可以得到一個等式，結(jié)合四個選項(xiàng)選出正確答案.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對稱，所以有，當(dāng)時，，故本題選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦型函數(shù)的對稱性，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8、A【解題分析】

函數(shù)為函數(shù)與的復(fù)合函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是同則增，異則減，討論，，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，同時還要保證真數(shù)恒大于零，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)列不等式即可求得的范圍.【題目詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，∴時，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，且在上恒成立，∴需在上的最小值，且對稱軸，∴，當(dāng)時，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，不成立，綜上可得的范圍是，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的定義域與單調(diào)性，不等式恒成立問題的解法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，屬于中檔題.9、C【解題分析】

根據(jù)冪函數(shù)圖像不過第四象限選出選項(xiàng).【題目詳解】函數(shù)為冪函數(shù)，圖像不過第四象限，所以C中函數(shù)圖像不是函數(shù)的圖像.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查冪函數(shù)圖像不過第四象限，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】

化直線方程為斜截式求解．【題目詳解】直線可化為，∴直線的斜率是，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線方程，將一般方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程即可得直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)化簡方程，再根據(jù)平方性質(zhì)得結(jié)果.【題目詳解】∵是等比數(shù)列，且，，∴，即，則．【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)，考查基本求解能力.12、1【解題分析】

直接利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案．【題目詳解】解：在等比數(shù)列中，由，公比，得．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題．13、【解題分析】

易得四面體為長方體的一角,再根據(jù)長方體體對角線等于外接球直徑,再利用對角線公式求解即可.【題目詳解】因?yàn)樗拿骟w中,平面,且,.故四面體是以為一個頂點(diǎn)的長方體一角.設(shè)則因?yàn)樗拿骟w的外接球的表面積為,設(shè)其半徑為,故.解得.故四面體的體積.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了長方體一角的四面體的外接球有關(guān)問題,需要注意長方體體對角線等于外接球直徑.屬于中檔題.14、【解題分析】

利用余弦定理與不等式結(jié)合的思想求解，，的關(guān)系．即可求解的值．【題目詳解】解：根據(jù)①余弦定理②由①②可得：化簡：，，，，,，此時，故得，即，．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了存在性思想，余弦定理與不等式結(jié)合的思想，界限的利用．屬于中檔題．15、【解題分析】

代入求得，利用遞推關(guān)系式可得，從而可證得和均為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得通項(xiàng)；根據(jù)恒成立不等式可得到不等式組：，解不等式組求得結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)時，，解得：由得：是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，恒成立，解得：即的取值范圍為：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)遞推關(guān)系式得到奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，從而分別求得通項(xiàng)公式，進(jìn)而根據(jù)所需的單調(diào)性得到不等關(guān)系.16、【解題分析】

根據(jù)分式不等式,移項(xiàng)、通分并等價化簡,可得一元二次不等式.結(jié)合二次函數(shù)恒成立條件,即可求得的值.【題目詳解】將不等式化簡可得即的解集為空集所以對于任意都恒成立將不等式等價化為即恒成立由二次函數(shù)性質(zhì)可知化簡不等式可得解得故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查了分式不等式的解法,將不等式等價化為一元二次不等式,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)解決恒成立問題,屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（i）（，其中）.（ii).（2）污水廠設(shè)在與直線距離處【解題分析】

（1）（i）設(shè)的中點(diǎn)為，則，，，，由此可得關(guān)于的函數(shù)；（ii）由題意，則，，由此可得關(guān)于的函數(shù)；（2）設(shè)，，則，然后利用基本不等式求最值．【題目詳解】解：（1）（i）設(shè)中點(diǎn)，則，，，，∴（，其中）；（ii），，；（2）設(shè)，，則，，當(dāng)，即時，取最小值，∴污水廠設(shè)在與直線距離處時，鋪設(shè)管道總長最短，最短長度為千米．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)模型，訓(xùn)練了利用換元法及基本不等式求最值，屬于中檔題．18、（1），，，；（2）分邊抽取2,3,1人；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)表和頻率分布直方圖可計算得到第組的人數(shù)和頻率，從而可得總?cè)藬?shù)；根據(jù)總數(shù)、頻率和頻數(shù)的關(guān)系，可分別計算得到所求結(jié)果；（2）首先確定第組的總?cè)藬?shù)，根據(jù)分層抽樣原則計算即可得到結(jié)果；（3）首先計算得到基本事件總數(shù)；再計算出恰好沒有年齡段在包含的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【題目詳解】（1）第組的人數(shù)為：人，第組的頻率為：第一組的頻率為第一組的人數(shù)為：第二組的頻率為第二組的人數(shù)為：第三組的頻率為第三組的人數(shù)為：第五組的頻率為第五組的人數(shù)為：（2）第組的總?cè)藬?shù)為：人第組抽取的人數(shù)為：人；第組抽取的人數(shù)為：人；第組抽取的人數(shù)為：人（3）在（2）中抽取的人中隨機(jī)抽取人，基本事件總數(shù)為：所抽取的人中恰好沒有年齡段在包含的基本事件個數(shù)為：所抽取的人中恰好沒有年齡段在的概率：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用頻率分布直方圖計算總數(shù)、頻數(shù)和頻率、分層抽樣基本方法的應(yīng)用、古典概型計算概率問題；關(guān)鍵是熟練掌握頻率分布直方圖的相關(guān)知識，能夠通過頻率分布直方圖準(zhǔn)確計算出各組數(shù)據(jù)對應(yīng)的頻率.19、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

（1）通過邊長關(guān)系可知，所以，又，所以平面，所以平面平面．（2）連接交與點(diǎn)，連接，易得∽，所以，所以直線平面．，【題目詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以又，且，平面，平面所以平面又平面所以平面平面?）連接交與點(diǎn)，連接在四邊形中，，∽，所以又，即所以又直線平面，直線平面所以直線平面【題目點(diǎn)撥】（1）證明面面垂直：先正線面垂直，線又屬于另一個面，即可證明面面垂直．（2）證明線面平行，在面內(nèi)找一個線與已知直線平行即可.20、（1）證明見解析；（2）．【解題分析】

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出，，從而平面平面，由此能證明直線平面；（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【題目詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，，，是的中點(diǎn)，，，，，平面平面，平面，直線平面．（2）解：，，底面，，是的中點(diǎn)，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，0，，，2，，，1，，，1，，，1，，，1，，，0，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得.設(shè)平面的法向量，，，則，取，得.設(shè)二面角的平面角為，則．二面角的余弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面平行的證明，考查二面