2024屆福建省莆田四中、莆田六中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆福建省莆田四中、莆田六中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知點，，則與向量方向相同的單位向量為（）A． B． C． D．2．已知一直線經(jīng)過兩點，，且傾斜角為，則的值為（）A．-6 B．-4 C．2 D．63．函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）A． B． C． D．4．已知圓，過點作圓的最長弦和最短弦，則直線，的斜率之和為A． B． C．1 D．5．現(xiàn)有1瓶礦泉水，編號從1至1．若從中抽取6瓶檢驗，用系統(tǒng)抽樣方法確定所抽的編號為（）A．3，13，23，33，43，53 B．2，14，26，38，42，56C．5，8，31，36，48，54 D．5，10，15，20，25，306．等差數(shù)列中，已知，則()A．1 B．2 C．3 D．47．在中，分別為角的對邊)，則的形狀是()A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形8．已知，且，則實數(shù)的值為（）A．2 B． C．3 D．9．直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知集合，，則A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某次體檢，6位同學(xué)的身高（單位：米）分別為1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_________（米）.12．已知a，b，x均為正數(shù)，且a＞b，則____（填“＞”、“＜”或“＝”）．13．兩個實習(xí)生加工一個零件，產(chǎn)品為一等品的概率分別為和，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為__________.14．直線的傾斜角為______．15．某工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，80件，60件，為了了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣的方法抽取了一個容量為n的樣本進行調(diào)查，其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了3件，則n=.16．?dāng)?shù)列的前項和為，，，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在直三棱柱中，，，分別是，，的中點.（1）求證：平面；（2）若，求證：平面平面.18．已知圓經(jīng)過點.（1）若直線與圓相切，求的值；（2）若圓與圓無公共點，求的取值范圍.19．已知圓的圓心在軸的正半軸上，半徑為2，且被直線截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）設(shè)是直線上的動點，過點作圓的切線，切點為，證明：經(jīng)過，，三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標(biāo).20．在△ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面積S=5，b=5，求sinBsinC的值．21．已知向量，，且，.（1）求函數(shù)和的解析式；（2）求函數(shù)的遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)的最小值為，求λ值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

由題得，設(shè)與向量方向相同的單位向量為，其中，利用列方程即可得解.【題目詳解】由題可得：，設(shè)與向量方向相同的單位向量為，其中，則，解得：或（舍去）所以與向量方向相同的單位向量為故選A【題目點撥】本題主要考查了單位向量的概念及方程思想，還考查了平面向量共線定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于較易題．2、C【解題分析】

根據(jù)傾斜角為得到斜率，再根據(jù)兩點斜率公式計算得到答案.【題目詳解】一直線經(jīng)過兩點，，則直線的斜率為．直線的傾斜角為∴，即．故答案選C．【題目點撥】本題考查了直線的斜率，意在考查學(xué)生的計算能力.3、A【解題分析】

利用，求出，再利用，求出即可【題目詳解】，，，則有，代入得，則有，，，又，故答案選A【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的圖像問題，依次求出和即可，屬于簡單題4、D【解題分析】

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得最長弦是直徑，最短弦和直徑垂直，故可計算斜率，并求和.【題目詳解】由題意得，直線經(jīng)過點和圓的圓心弦長最長，則直線的斜率為，由題意可得直線與直線互相垂直時弦長最短，則直線的斜率為，故直線，的斜率之和為．【題目點撥】本題考查了兩直線垂直的斜率關(guān)系，以及圓內(nèi)部的幾何性質(zhì)，屬于簡單題型.5、A【解題分析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣原則，可知編號成公差為的等差數(shù)列，觀察選項得到結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣原則，可知所抽取編號應(yīng)成公差為的等差數(shù)列選項編號公差為；選項編號不成等差；選項編號公差為；可知錯誤選項編號滿足公差為的等差數(shù)列，正確本題正確選項：【題目點撥】本題考查抽樣方法中的系統(tǒng)抽樣，關(guān)鍵是明確系統(tǒng)抽樣的原則和特點，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

已知等差數(shù)列中一個獨立條件，考慮利用等差中項求解.【題目詳解】因為為等差數(shù)列，所以，由，,故選B.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列中若，則,或用基本量、表示，整體代換計算可得,屬于簡單題.7、A【解題分析】

根據(jù)正弦定理得到，化簡得到，得到，得到答案.【題目詳解】，則，即，即，，故，.故選：.【題目點撥】本題考查了正弦定理判斷三角形形狀，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.8、D【解題分析】

根據(jù)二角和與差的正弦公式化簡，，再切化弦，即可求解.【題目詳解】由題意又解得故選：【題目點撥】本題考查兩角和與差的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

先求出AB的長，再求點P到直線AB的最小距離和最大距離，即得△ABP面積的最小值和最大值，即得解.【題目詳解】由題得,由題得圓心到直線AB的距離為，所以點P到直線AB的最小距離為2-1=1，最大距離為2+1=3，所以△ABP的面積的最小值為，最大值為.所以△ABP的面積的取值范圍為[1,3].故選D【題目點撥】本題主要考查點到直線的距離的計算，考查面積的最值問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.10、C【解題分析】分析：由題意先解出集合A,進而得到結(jié)果。詳解：由集合A得,所以故答案選C.點睛：本題主要考查交集的運算，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1.76【解題分析】

將這6位同學(xué)的身高按照從低到高排列為：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，這六個數(shù)的中位數(shù)是1.75與1.77的平均數(shù)，顯然為1.76.【考點】中位數(shù)的概念【題目點撥】本題主要考查中位數(shù)的概念，是一道基礎(chǔ)題目.從歷年高考題目看，涉及統(tǒng)計的題目，往往不難，主要考查考生的視圖、用圖能力，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力.12、<【解題分析】

直接利用作差比較法解答.【題目詳解】由題得，因為a>0,x+a>0,b-a<0,x>0,所以所以.故答案為＜【題目點撥】本題主要考查作差比較法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.13、【解題分析】

利用相互獨立事件概率乘法公式直接求解．【題目詳解】解：兩個實習(xí)生加工一個零件，產(chǎn)品為一等品的概率分別為和，這兩個零件中恰有一個一等品的概率為：．故答案為：．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

先求得直線的斜率，進而求得直線的傾斜角.【題目詳解】由于直線的斜率為，故傾斜角為.【題目點撥】本小題主要考查由直線一般式方程求斜率，考查斜率和傾斜角的對應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.15、13【解題分析】(解法1)由分層抽樣得，解得n＝13.(解法2)從甲乙丙三個車間依次抽取a，b，c個樣本，則120∶80∶60＝a∶b∶3a＝6，b＝4，所以n＝a＋b＋c＝13.16、18【解題分析】

利用，化簡得到數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，利用,即可求解.【題目詳解】,即所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列即所以故答案為：【題目點撥】本題主要考查了與的關(guān)系以及等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)詳見解析(2)詳見解析【解題分析】

（1）利用中位線定理可得∥，從而得證；（2）先證明，從而有平面，進而可得平面平面．【題目詳解】（1）因為分別是的中點，所以∥．因為平面，平面，所以∥平面．（2）在直三棱柱中，平面，因為平面，所以．因為，且是的中點，所以．因為，平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．【題目點撥】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.18、(1)或.(2)【解題分析】試題分析：由題意可得圓的方程為．（1）由圓心到直線的距離等于半徑可得，解得或，即為所求．（2）由圓與圓無公共點可得兩圓內(nèi)含或外離，根據(jù)圓心距和兩半徑的關(guān)系得到不等式即可得到所求范圍．試題解析：將點的坐標(biāo)代入，可得，所以圓的方程為，即，故圓心為，半徑.（1）因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，整理得，解得或.（2）圓的圓心為，則,由題意可得圓與圓內(nèi)含或外離，所以或，解得或.所以的取值范圍為.19、(1)圓：.(2)證明見解析；，.【解題分析】

（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用點到直線距離公式以及圓的弦長列方程，解方程求得圓心坐標(biāo)，進而求得圓的方程.（2）設(shè)出點坐標(biāo)，根據(jù)過圓的切線的幾何性質(zhì)，得到過，，三點的圓是以為直徑的圓.設(shè)出圓上任意一點的坐標(biāo)，利用，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算進行化簡，得到該圓對應(yīng)的方程，根據(jù)方程過的定點與無關(guān)列方程組，解方程組求得該圓所過定點.【題目詳解】解：（1）設(shè)圓心，則圓心到直線的距離.因為圓被直線截得的弦長為∴.解得或（舍），∴圓：.（2）已知，設(shè)，∵為切線，∴，∴過，，三點的圓是以為直徑的圓.設(shè)圓上任一點為，則.∵，，∴即.若過定點，即定點與無關(guān)令解得或，所以定點為，.【題目點撥】本小題主要考查圓的幾何性質(zhì)，考查圓的弦長有關(guān)計算，考查曲線過定點問題的求解策略，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，屬于中檔題.20、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)二倍角公式,三角形內(nèi)角和,所以,整理為關(guān)于的二次方程，解得角的大小；（2）根據(jù)三角形的面積公式和上一問角，代入后解得邊，這樣就知道,然后根據(jù)余弦定理再求，最后根據(jù)證得定理分別求得和.試題解析：（1）由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)．因為0<A<π，所以A＝.（2）由S＝bcsinA＝bc×＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.從而由正弦定理得sinBsinC＝sinA×sinA＝sin2A＝×＝.考點：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面積公式.【方法點睛】本題涉及到解三角形問題，所以有關(guān)三角問題的公式都有涉及，當(dāng)出現(xiàn)時，就要考慮一個條件，,,這樣就做到了有效的消元，涉及三角形的面積問題，就要考慮公式,靈活使用其中的一個.21、（1），（2）遞增區(qū)間為，（3）【解題分析】

（1）根據(jù)向量的數(shù)量積坐標(biāo)運算，以及模長的求解公式，即可求得兩個函數(shù)的解析式