遼寧省名校聯(lián)盟2022-2023學年高二下學期3月數學試題含答案

遼寧省名校聯(lián)盟2022-2023學年高二下學期3月份聯(lián)合考試數學本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知，則（）A.B.C.D.3.我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果，哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫給數學家歐拉的信中提出的猜想：“任意大于2的偶數都可以表示成兩個質數之和”，則哥德巴赫猜想的否定為（）A.任意小于2的偶數都不可以表示成兩個質數之和B.任意大于2的偶數都不可以表示成兩個質數之和C.至少存在一個小于2的偶數不可以表示成兩個質數之和D.至少存在一個大于2的偶數不可以表示成兩個質數之和4.已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，其終邊經過點，則（）A.B.C.D.5.已知圓經過點，則點到圓心的距離的最小值為（）A.2B.C.D.16.已知某N95口罩廠的一條生產流水線上有編號依次為①至⑥的6個不同質檢站，現將甲?乙?丙等6名質檢員安排到這6個不同質檢站進行產品檢測，每個質檢站安排1人，丙不在①和⑥質檢站，則甲?乙所在質檢站的編號相鄰的概率為（）A.B.C.D.7.已知直三棱桂：的底面為等腰直角三角形，分別為，的中點，為上一點，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.8.已知是定義在上的函數，為奇函數，為偶函數，當時，，若函數有5個不同的零點，則的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知為實數，且，則下列不等式正確的是（）A.B.C.D.10.已知函數的部分圖像如圖所示，則（）A.B.C.在區(qū)間上單調遞增D.的圖像的一個對稱中心為11.如圖，圓臺的上?下底面圓的半徑之比為，其側面展開圖是一個圓心角為，面積為的扇環(huán)，四邊形是過的軸截面，分別為下底面圓上兩點，為上底面圓上一點，且，則（）A.該圓臺的體積為B.平面平面C.平面D.該圓臺的外接球的表面積為12.已知拋物線的焦點為，其準線與軸交于點，過的直線與在第一象限內自下而上依次交于兩點，過作于，則（）A.的方程為B.當三點共線時，C.D.當時，三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中的常數項為__________.14.已知向量，若，則與的夾角為__________.15，某校為落實黨的二十大精神，開展了形式靈活的學習活動，統(tǒng)計了全校教師在一周內學習的累計時長（單位：小時），根據時長數據得到下面的頻率分布直方圖，則__________；估計該校教師學習累計時長的平均值為__________.（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）.16.已知橢圓的左?右焦點分別為是上不同的兩點，，且點到直線的距離為，則的離心率為__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（10分）為了有效治療某種傳染性疾病，某醫(yī)療機構研發(fā)出A，B兩種治療藥物，從患者中隨機抽出200人，以每組100人分成兩組，分別單獨使用A，B兩種治療藥物進行治療，經過一個療程治療，得到下面2×2列聯(lián)表：痊愈未痊愈A藥物8515B藥物9010（1）根據上表，分別估計患者使用兩種藥物經過一個療程治療痊愈的概率；（2）是否有的把握認為兩種藥物的治療效果有差異？附：，其中.0.150.100.012.0722.7066.63518.（12分）已知函數為奇函數且.（1）求實數與之間的關系式；（2）若，完成下面問題：（i）用定義法證明：在上為增函數；（ii）求解不等式.19.（12分）記的內角的對邊分別為，已知__________.在①；②這兩個條件中任取一個，補充在上面問題中，并解答下面問題.（1）若，求；（2）設均為整數，，求的面積.注：如果選擇不同的條件分別解答，按第一個解答計分.20.（12分）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，在11月21日至12月18日在卡塔爾境內舉行.足球運動是備受學生喜愛的體育運動，某校開展足球技能測試，甲?乙?丙三人參加點球測試，每人有兩次點球機會，若第一次點球成功，則測試合格，不再進行第二次點球；若第一次點球失敗，則再點球一次，若第二次點球成功，則測試合格，若第二次點球失敗，則測試不合格，已知甲?乙?丙三人點球成功的概率分別為，且三人每次點球的結果互不影響.（1）求甲?乙?丙三人共點球4次的概率；（2）設X表示甲?乙?丙三人中測試合格的人數，求X的分布列和數學期望.21.（12分）如圖，正四棱錐的棱長均為，點為的中心，為的中點，與交于點.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.22.（12分）已知為雙曲線的左?右焦點，的一條漸近線方程為為上一點，且.（1）求的方程；（2）設點在坐標軸上，直線與交于異于的兩點，為的中點，且，過作，垂足為，是否存在點，使得為定值？若存在，求出點的坐標以及的長度；若不存在，請說明理由.參考答案及解析一?選擇題1.B【解析】因為，所以，因為，所以.故選B項.2.D【解析】，則.故選D項.3.D【解析】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，故哥德巴赫猜想的否定為“至少存在一個大于2的偶數不可以表示成兩個質數之和”.故選D項.4.A【解析】根據三角函數的定義可知，，所以.故選A項.5.C【解析】設，由，得，整理得，所以點到圓心的距離的最小值，即為點到的距離，所以.故選C項.6.B【解析】丙不在①和⑥質檢站有種安排方法；丙不在①和⑥質檢站，且甲?乙所在質檢站的編號相鄰有種安排方法，所以甲?乙所在質檢站的編號相鄰的概率.故選B項.7.A【解析】由條件可知，則，如圖，取的中點，連接，則，取的中點，連接，則，所以，則或其補角為異面直線與所成的角，連接，則，又，則，在等腰直角三角形中，，所以，在正方形中，，易知，則，在中，.故選A項.8.C【解析】因為為奇函數，所以曲線關于點對稱，則，即.因為為偶函數，所以曲線關于直線對稱，則，所以，則，所以，即，則是以4為一個周期的周期函數，所以曲線關于點，對稱為奇函數），且關于直線對稱，因為為奇函數，所以，當時，，所以當時，，所以當時，.根據周期性可知，曲線與直線有5個交點，則曲線與直線有5個交點，根據對稱性，在同一坐標系中，作出函數的圖像與直線，如圖所示.由圖像可知，，即.故選項.二?多選題9.ACD【解析】由可知，所以項正確；當時，不成立，B項錯誤；由0得，所以，所以，C項正確；1），當且僅當，即當時取得等號，項正確.故選項.10.BD【解析】由圖可知解得.又點在曲線上，所以，則，因為點在圖像的增區(qū)間上，所以，根據五點作圖法可知，，解得，則項錯誤；由上得，則，B項正確；令，解得，取，則在區(qū)間上單調遞增，C項錯誤；令，解得，取，則是的圖像的一個對稱中心，D項正確.故選BD項.11.ABD【解析】將圓臺的母線延長得到如圖所示的圓錐，設圓臺的上底面圓的半徑為，則下底面圓的半徑為，由其側面展開圖是一個圓心角為的扇環(huán)，則，所以，由，得，由扇環(huán)的面積為，得，解得，則，所以，因此該圓臺的體積項正確；由圓臺的性質可知，底面圓，則，又，所以平面，又平面，所以平面平面，B項正確；過與作軸截面，則四邊形為梯形，所以，設點關于的對稱點為，連接，交于點，因為，所以，所以，則，若平面，則平面平面，連接，則平面，連接，所以，則四邊形為平行四邊形，則，由上可知，所以不平行于平面，C項錯誤；設圓臺的外接球的球心為，半徑為在直線上，設，當在線段上時，由球的性質可知，解得，所以.當在線段的延長線上時，由球的性質可知，此時無解.所以該圓臺的外接球的表面積，D項正確.故選項.12.BC【解析】由題意可知，所以，所以的方程為，A項錯誤；設的方程為，聯(lián)立得，則，所以，由題意可知，，當三點共線時，，則，解得，則，代入的方程可知，，根據拋物線的定義可知，所以，B項正確；由定義可知，，因為，所以項正確；當時，則，0，解得（負值舍去），），則，由，則，所以，①假設，則，則，顯然不符合①，所以D項錯誤.故選項.三?填空題13.112【解析】的展開式的通項公式為，令，解得，故的展開式中的常數項為.14.【解析】由，得，由，得，則，所以，記的夾角為，所以，由可知.15.0.1009.6【解析】由圖可知，，所以.該校教師學習累計時長的平均值的估計值為.16.【解析】因為，則，且，設，則，因為點到直線的距離為，則點到直線的距離為，過作，垂足為，在Rt中，，所以，則，連接，設，則，在中，由余弦定理得，解得，則；在中，由余弦定理可得.由，得，整理得，所以，故的離心率為.四?解答題17.解：（1）由題可知，患者使用藥物經過一個療程治療痊愈的概率的估計值為；患者使用藥物經過一個療程治療痊愈的概率的估計值為.（2）由列聯(lián)表可得，1.143，因為，所以沒有的把握認為兩種藥物的治療效果有差異.18.（1）解：易知的定義域為，因為為奇函數，所以，則，整理得，則，故實數與之間的關系式為.（2）當時，，所以.（i）證明：設，則，因為，所以，又，所以，則，故在上為增函數.（ii）解：不等式等價于，即，所以解得，故不等式的解集為.19.解：（1）若選擇①，由，得因為，所以，由正弦定理得，則，即，所以或（舍），則.又，所以，即，故.若選擇②，由條件及正弦定理得，由余弦定理得，所以，則，由正弦定理得，所以，整理得，所以或（舍），則.又，所以，即，故.（2）由及正弦定理得，由（1）知，所以，因為，所以，則由余弦定理得，即，整理得，解得或.當時，，符合均為整數條件，所以；當時，，符合均為整數條件，所以.故的面積為或.20.解：設甲?乙?丙三人第次點球成功分別為事件，則.（1）甲?乙?丙三人共點球4次，根據測試規(guī)則，有2人第一次點球成功，剩下的1人第一次點球失敗，則甲?乙?丙三人共點球4次的概率（2）甲測試合格的概率乙測試合格的概率丙測試合格的概率.易知的所有可能取值為，所以的分布列為0123所以.21.（1）證明：連接，并延長交于點，因為點為的中心，為等邊三角形，所以為的中點，所以，連接，因為，所以，則，所以，所以.又平面平面，所以平面.（2）解：連接，則，設，連接，由正四棱錐的性質可知平面，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，則，，則，設平面的法向量為，由得取，則，設平面的法向量為，由得取1，則，于是，故二面角的正弦值為.22.解：（1）由題意可知，的漸近線方程為，由條件可知.根據雙曲線的定義可知，，所以，則，