線性代數(shù)（第2版）

普通高等學(xué)校十二五規(guī)劃教材

“”

線性代數(shù)

第版

(2)

主編王春華魏云超沙榮方

副主編朱紅鮮王兆才李英杰

孟華軍王曉明

內(nèi)容簡(jiǎn)介

本書(shū)是在第版基礎(chǔ)上根據(jù)近幾年來(lái)一線教師在線性代數(shù)課程教改和教學(xué)實(shí)踐的成果進(jìn)行修訂的其編

1,,

寫(xiě)宗旨是理論聯(lián)系實(shí)際培養(yǎng)邏輯思維能力注重抽象問(wèn)題應(yīng)用提高學(xué)生素質(zhì)全書(shū)共分六章主要內(nèi)

“,,,”。,

容包括行列式矩陣線性方程組與向量矩陣特征值與特征向量二次型線性空間與線性變換

:、、、、、。

本書(shū)適合作為高等院校各專業(yè)教材尤其適合應(yīng)用型本科各專業(yè)也可供自學(xué)者和科技工作者參考

,,。

圖書(shū)在版編目(CIP)數(shù)據(jù)

線性代數(shù)王春華魏云超沙榮方主編版北

/,,.—2.—

京中國(guó)鐵道出版社重印

:,2012.9(2015.8)

普通高等學(xué)校十二五規(guī)劃教材

“”

ISBN978-7-113-15127-0

線王魏沙線性

…………

代數(shù)Ⅰ.①高等學(xué)校Ⅱ.教①材②③Ⅲ.①

--Ⅳ.①0151.2

中國(guó)版本圖書(shū)館數(shù)據(jù)核字第號(hào)

CIP(2012)192499

書(shū)名:線性代數(shù)第版

(2)

作者:王春華魏云超沙榮方主編

策劃:李小軍讀者熱線:

400-668-0820

責(zé)任編輯:李小軍

編輯助理:繩超

封面設(shè)計(jì):付巍

封面制作:劉穎

責(zé)任印制:李佳

出版發(fā)行:中國(guó)鐵道出版社北京市西城區(qū)右安門(mén)西街號(hào)

(100054,8)

網(wǎng)址:

印刷:三河市華業(yè)印務(wù)有限公司

版次:年月第版年月第版年月第次印刷

201091201282201585

開(kāi)本:印張字?jǐn)?shù)千

787mm×1092mm1/16:14.5:356

書(shū)號(hào):

ISBN978-7-113-15127-0

定價(jià):元

29.00

版權(quán)所有侵權(quán)必究

凡購(gòu)買鐵道版圖書(shū)如有印制質(zhì)量問(wèn)題請(qǐng)與本社教材圖書(shū)營(yíng)銷部聯(lián)系調(diào)換電話

,,。:(010)63550836

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前言

隨著高等教育大眾化,高校各專業(yè)對(duì)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)要求也在發(fā)生著一定程度的改

變,而隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展,人們獲取信息的渠道愈發(fā)廣闊,教育界和社會(huì)各方面對(duì)高等教育

的期望與要求也越來(lái)越多樣化、立體化。為適應(yīng)形勢(shì)發(fā)展,滿足不同階段、不同層次的人

才學(xué)習(xí)需求,在總結(jié)《線性代數(shù)》第版的基礎(chǔ)上,我們推出了《線性代數(shù)》(第版)教材。

12

其主要內(nèi)容依據(jù)教育部數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)制定的理工類、經(jīng)濟(jì)管理類、農(nóng)林類

本科生線性代數(shù)課程的教學(xué)基本要求確定,同時(shí)根據(jù)一線教師這幾年在本科實(shí)踐教學(xué)環(huán)

節(jié)的心得與體會(huì)作了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整,以便更好地滿足廣大學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的需要。

這是我們編寫(xiě)隊(duì)伍做的教改探索,期望《線性代數(shù)》(第版)教材能更好地提高線性代數(shù)

2

課程的教學(xué)質(zhì)量,更利于廣大學(xué)生熟練掌握線性代數(shù)的知識(shí)。

第版教材編寫(xiě)本著“理論聯(lián)系實(shí)際,培養(yǎng)邏輯思維能力,注重抽象問(wèn)題應(yīng)用,提高學(xué)

2

生學(xué)術(shù)素質(zhì)”的宗旨,在概念的引入上,力求自然,通過(guò)實(shí)例來(lái)闡述其直觀背景和現(xiàn)實(shí)意

義;在基本理論上,力求直觀,通俗易懂,著眼于培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力;在

基本技能的培養(yǎng)上,注重基本運(yùn)算能力和方法的訓(xùn)練。全書(shū)共分六章,主要內(nèi)容包括:行

列式、矩陣、線性方程組與向量、矩陣的特征值與特征向量、二次型、線性空間與線性變換。

為方便于教學(xué)和自學(xué),每章包括教學(xué)基本內(nèi)容、內(nèi)容精要、習(xí)題、復(fù)習(xí)題四部分,并在書(shū)后

給出了較為詳細(xì)的解答。本書(shū)適合作為高等院校理、工、農(nóng)、林、醫(yī)、生物類專業(yè)線性代數(shù)

課程的教材,也可供自學(xué)者和科技工作者參考使用。

本書(shū)由王春華、魏云超、沙榮方任主編,朱紅鮮、王兆才、李英杰、孟華軍、王曉明任副

主編。各章編寫(xiě)分工如下:第章由王春華編寫(xiě),第章由李英杰編寫(xiě),第章由王曉明、

123

朱紅鮮編寫(xiě),第章由王兆才編寫(xiě),第、章由孟華軍編寫(xiě),魏云超校訂全書(shū)。本書(shū)編者

456

都是從事教學(xué)多年的一線教師,他們從切身的體會(huì)中,采用由淺入深,通俗易懂的語(yǔ)言進(jìn)

行了重新組織,使讀者在學(xué)習(xí)中真正領(lǐng)悟到線性代數(shù)的思想內(nèi)涵。

限于編者水平,雖然做了許多努力,但疏漏之處在所難免,歡迎專家和讀者批評(píng)指正。

編者

于上海海洋大學(xué)

年月

20126

目錄

第1章行列式…………………

1

行列式的概念……………

1.11

行列式的性質(zhì)……………

1.26

行列式按行列展開(kāi)…………………

1.3()12

克萊姆法則……………

1.417

內(nèi)容精要………………………

19

復(fù)習(xí)題一………………………

21

復(fù)習(xí)題二………………………

22

第2章矩陣……………………

25

矩陣的基本概念………………………

2.125

逆矩陣…………………

2.240

矩陣的初等變換與初等矩陣…………

2.344

矩陣的秩………………

2.454

分塊矩陣………………

2.559

內(nèi)容精要………………………

67

復(fù)習(xí)題一………………………

68

復(fù)習(xí)題二………………………

70

第3章線性方程組與向量……………………

71

線性方程組的基本概念………………

3.171

解線性方程組的高斯消元法…………

3.272

向量及其線性表示……………………

3.378

向量組的線性相關(guān)性…………………

3.481

線性方程組解的結(jié)構(gòu)…………………

3.588

內(nèi)容精要………………………

94

復(fù)習(xí)題一………………………

96

復(fù)習(xí)題二………………………

98

第4章矩陣的特征值與特征向量…………

100

向量的內(nèi)積與正交向量組……………

4.1100

方陣的特征值與特征向量……………

4.2103

2線性代數(shù)

|

相似矩陣………………

4.3108

對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化………………

4.4111

內(nèi)容精要……………………

115

復(fù)習(xí)題一……………………

118

復(fù)習(xí)題二……………………

119

第5章二次型………………

121

二次型的概念…………

5.1121

標(biāo)準(zhǔn)形…………………

5.2123

正定二次型……………

5.3132

內(nèi)容精要……………………

137

復(fù)習(xí)題一……………………

138

復(fù)習(xí)題二……………………

138

第6章※線性空間與線性變換………………

140

線性空間的基本概念…………………

6.1140

基變換與坐標(biāo)變換……………………

6.2145

線性變換………………

6.3149

內(nèi)容精要……………………

155

復(fù)習(xí)題一……………………

157

復(fù)習(xí)題二……………………

158

習(xí)題提示或解答………………

160

行列式是一種重要的數(shù)學(xué)工具它在求解線性方程組以及數(shù)學(xué)的其他分支中有廣泛的應(yīng)

,

用本章主要介紹n階行列式的定義性質(zhì)以及行列式的計(jì)算

.、,.

1.1行列式的概念

1.1.1全排列、逆序數(shù)和對(duì)換

排列以及全排列的有關(guān)概念在中學(xué)已經(jīng)有所介紹在此作一簡(jiǎn)單介紹和補(bǔ)充先看一個(gè)

,.

例子

.

例1用三個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)

1,2,3,?

解這個(gè)問(wèn)題可以這樣理解把個(gè)不同的數(shù)字排成一列共有多少種不同的排法可以

,3?

有如下種不同的排法

6:123,231,312,132,213,321.

在數(shù)學(xué)中我們把以上考察的數(shù)字稱為元素因此對(duì)上述問(wèn)題加以推廣有如下問(wèn)題對(duì)于

,,:

n個(gè)不同的元素排成一列共有多少種不同的排法

,?

定義1把n個(gè)不同的元素排成一列我們稱為n個(gè)元素的全排列簡(jiǎn)稱為排列

,,.

從例中我們可以看出個(gè)元素放置不同的位置可以按照如下方法進(jìn)行放置從三個(gè)

1,3,:

元素中任取一個(gè)放在第一個(gè)位置上有1種方法再在剩下的兩個(gè)元素中任取一個(gè)放在第

3(C3);

二個(gè)位置上有1種方法最后一個(gè)元素放在第三個(gè)位置上有種方法因此總的排法共

2(C2);1.

有種因此我們仿照例可以給出定義的排列數(shù)nnn

3×2×1=6.1,1:P=×(-1)×…×3×2

n

×1=!.

一般常用jjjn表示一個(gè)n元排列其中j是該排列的第個(gè)數(shù)j是該排列的第

12…,11,22

個(gè)數(shù)依此類推若jjjnjn我們稱其為標(biāo)準(zhǔn)序列顯然由標(biāo)準(zhǔn)序列n組

,.1<2<…<-1<,,,12…

成的所有排列的種數(shù)為n

!.

定義2在一個(gè)n元排列中若某兩個(gè)元素的次序與標(biāo)準(zhǔn)序列不同就構(gòu)成一個(gè)逆序一

,,.

個(gè)n元排列中逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)記作τjjjn如果逆序數(shù)是偶數(shù)則稱

,,(12…).

之為偶排列如果逆序數(shù)是奇數(shù)則稱之為奇排列

;.

我們假設(shè)排列jjjn為標(biāo)準(zhǔn)排列n的一個(gè)排列現(xiàn)考慮數(shù)列中的第i個(gè)位置上的

12…12…,

數(shù)jiin如果比ji大的且排在ji前面的數(shù)有ai個(gè)則ji的逆序數(shù)就是ai那么該

(=1,2,…,),,,

排列總的逆序數(shù)就為

n

τnaaanai

j1j2j=1+2++=

(…)…i=.

∑1

2線性代數(shù)

|

例2求排列的逆序數(shù)

4132.

解在排列中的逆序數(shù)為a的逆序數(shù)a的逆序數(shù)a的逆序

4132,41=0;12=1;33=1;2

數(shù)a所以該排列的總逆序數(shù)τaaaa并且該排列為偶排

4=2.=1+2+3+4=0+1+1+2=4.

列

.

定義3在排列中將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)其余元素位置不變得到新的排列的過(guò)程稱為

,,,

對(duì)換將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換稱為相鄰對(duì)換

;,.

例3求對(duì)排列的元素和進(jìn)行一次對(duì)換得到的排列

3214524.

解

34125.

我們可以很快求出排列和排列的逆序數(shù)分別為和

32145341250+1+2+0+0=30+

在這里可以發(fā)現(xiàn)排列經(jīng)過(guò)一次對(duì)換其逆序數(shù)由奇數(shù)變成為偶數(shù)是否所有

0+2+2+0=4.,,,

排列經(jīng)過(guò)一次對(duì)換其排列的奇偶性都會(huì)發(fā)生變化我們有如下定理

?:

定理1一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素經(jīng)過(guò)一次對(duì)換其排列的奇偶性改變

,.

證先證相鄰對(duì)換的情形

.

設(shè)排列為aaalabbbbm對(duì)換a和b變?yōu)閍aalbabbbm顯然這兩個(gè)排列

12…12…,,12…12….,

的逆序數(shù)與a和b有關(guān)當(dāng)ab時(shí)經(jīng)過(guò)對(duì)換后a的逆序數(shù)增加而b的逆序數(shù)不變當(dāng)a

.<,,1,;

b時(shí)經(jīng)過(guò)對(duì)換后a的逆序數(shù)不變而b的逆序數(shù)減少因此排列aaalabbbbm和

>,,,1.12…12…

aaalbabbbm的奇偶性改變

12…12….

再證一般對(duì)換的情形

.

設(shè)aaalabbbmbcccn對(duì)它進(jìn)行m次相鄰對(duì)換變成aaalabbbbmcc

12…12…12…,,12…12…12…

cn再做m次相鄰對(duì)換變成aaalbbbbmacccn在這個(gè)過(guò)程中總共進(jìn)行了m

,+1,12…12…12…,2+

次相鄰對(duì)換使得aaalabbbmbcccn中的元素a和b對(duì)調(diào)從而得到排列aa

1,12…12…12…,12…

albbbbmacccn所以這兩個(gè)排列的奇偶性相反

12…12…,.

推論奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶

,

數(shù)

.

證因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)排列的逆序數(shù)是因此是偶排列又由定理可知對(duì)換的次數(shù)就是排列

0,,1,

奇偶性的變化次數(shù)因此結(jié)論成立

,.

1.1.2二階與三階行列式

用消元法求解下列二元線性方程組

axayb

11+12=1

{axayb.(1.1.1)

21+22=2

用加減消元法不難求出當(dāng)aaaa時(shí)得到解

,1122≠1221,

baababba

x122-122y112-121

=aaaa,=aaaa.(1.1.2)

1122-12211122-1221

現(xiàn)把方程組式中的未知數(shù)系數(shù)按照下標(biāo)次序排列在一起

(1.1.1)

aa

1112

aa(1.1.3)

2122

從式結(jié)果的分母可以看出正好是式排列的對(duì)角線乘積之差

(1.1.2),(1.1.3).

定義4將aaaa稱為排列所確定的二階行列式記作

1122-1221(1.1.3),

第1章行列式3

|

aa

1112aaaa

aa=1122-1221

2122

其中aij表示第i行第j列ij分別為行標(biāo)和列標(biāo)位置上的元素

,(,).

由此若記

,

aabaab

D1112D112D111

=aa,1=ba,2=ab.

2122222212

則式可寫(xiě)成

(1.1.2)

DD

x1y2

=D,=D.

注意:在aaaa里從aa到aa每個(gè)元素的ajaj行標(biāo)是按照標(biāo)準(zhǔn)序列排

1122-1221,1122-12211122

列的而列標(biāo)序列在aa中的逆序數(shù)為偶數(shù)它的系數(shù)為正數(shù)反之在aa中的列標(biāo)序

,11220(),;1221

列逆序數(shù)為奇數(shù)它的系數(shù)為負(fù)這并非巧合并且我們注意到aaaa中的每一項(xiàng)

1(),。,1122-1221

中的元素均取自于不同行不同列每一項(xiàng)前面的符號(hào)在行標(biāo)按照標(biāo)準(zhǔn)序列排列的前提下取決

,

于列標(biāo)序列的奇偶性下面我們來(lái)觀察三階行列式

。.

定義5設(shè)個(gè)數(shù)按行列排列為

933

aaa

111213

aaa

212223(1.1.4)

aaa

313233

那么稱

aaa

111213

aaaaaaaaaaaa

212223=112233+122331+132132-

aaa

313233

aaaaaaaaa

112332-122133-132231

為一個(gè)三階行列式

.

對(duì)aaaaaaaaaaaaaaaaaa中的每一項(xiàng)ajajaj

112233+122331+132132-112332-122133-132231112233

進(jìn)行觀察行標(biāo)順序均是標(biāo)準(zhǔn)序列而列標(biāo)序列從最左邊一項(xiàng)到最右邊一項(xiàng)分別是

,,123,231,

其逆序數(shù)分別為注意到正項(xiàng)的列標(biāo)逆序均為偶數(shù)而負(fù)項(xiàng)

312;132,213,321.0,2,2;1,1,3.;

的列標(biāo)逆序均為奇數(shù)因此可以如下定義三階行列

.:

aaa

111213

τ

(jjj)

aaa123ajajaj

212223=-123

jjj(1)123

aaa1∑23

313233

其中jjj表示三個(gè)元素的全排列

1231,2,3.

例4計(jì)算三階行列式

3-62

D

=526.

14-1

解按三階行列式的定義帶入有

,

D

=3×2×(-1)+(-6)×6×1+2×5×4-3×6×4-

4線性代數(shù)

|

(-6)×5×(-1)-2×2×1

=-6-36+40-72-30-4=-108.

1.1.3n階行列式

由三階行列式的定義我們給出n階行列式的定義

,.

定義6設(shè)n2個(gè)數(shù)按n行n列排列為

,

aaan

1112…1

aaan

2122…2

???

ananann

12…

那么稱

aaan

1112…1

n

aaaτ

2122…2(jj…jn)

=-12ajajanjn

(1)1122…

jj…jn

???1∑2

ananann

12…

為一個(gè)n階行列式它表示所有取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和簡(jiǎn)記為

.、,det

aij或者aij這里aij稱為行列式的元素其中jjjn表示n個(gè)元素n的不同排

();.12…1,2,…,

τ

列稱(jj…jn)為行列式的一般項(xiàng)

12ajajanjn

.(-1)1122….

注意:

一階行列式aa不要與絕對(duì)值記號(hào)混淆

(1)=,.

τ

的符號(hào)為(jj…jn)不包括元素本身所帶的符號(hào)

ajajanjn12

(2)1122…(-1)().

例5證明上三角形行列式

aaan

1112…1

aan

22…2

Daaann

==1122….

??

ann

0

τ

證一般項(xiàng)是(jj…jn)考慮不為零的項(xiàng)由于的第行元素除去

12ajajanjnDn

(-1)1122…,.

ann外全是零所以只要考慮jnn的那些項(xiàng)同理D的第n行只要考慮jnn的那

,=;,(-1)-1=-1

些項(xiàng)這樣逐步推導(dǎo)下去易得在D的展開(kāi)式中除去aaann這項(xiàng)外其余項(xiàng)全為零且

.,,1122…,,

τn

此項(xiàng)前的符號(hào)為(12…)

(-1)=1.

注意:非對(duì)角線上元素全為的行列式稱為對(duì)角行列式而對(duì)角線以下上的元素全為

0,()0

的行列式稱為上(下)三角形行列式

.

另外由這個(gè)結(jié)論可得到

,

a

11

a

22

aaann

=1122…

?

ann

第1章行列式5

|

和

an

1

annn

2,-1(-1)

2ananan

=(-1)12,-1…1.

?

an