安徽省安慶市太湖中學(xué)高三總復(fù)習(xí)雙向達(dá)標(biāo)12月月考調(diào)研卷數(shù)學(xué)試題

2023～2024學(xué)年度高三總復(fù)習(xí)雙向達(dá)標(biāo)月考調(diào)研卷數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)值域可求得，解對數(shù)不等式可得，即可求出.【詳解】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，又因?yàn)?，可得，所以可得；由對?shù)函數(shù)定義解不等式可得，因此或，所以.故選：2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，求出復(fù)數(shù)，然后利用即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以，所以.故選：B.3.已知角的終邊過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可得解.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，所以，所以.故選：A.4.已知平面向量與的夾角是，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用模的公式可得到，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律即可得到答案【詳解】由可得，因?yàn)槠矫嫦蛄颗c的夾角是，且所以故選：C5.設(shè)數(shù)列的公比為，則“且”是“是遞減數(shù)列”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別驗(yàn)證充分性以及必要性，即可得到結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，，當(dāng)且時，則，且單調(diào)遞減，則是遞減數(shù)列，故充分性滿足；當(dāng)是遞減數(shù)列，可得或，故必要性不滿足；所以“且”是“是遞減數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A6.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得和，即可求解.【詳解】由指數(shù)函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又由對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減函數(shù)，所以，所以，即.故選：D.7.設(shè)是與的等差中項(xiàng)，則的最小值為（）A. B.3 C.9 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的定義，利用對數(shù)的運(yùn)算得到，然后利用這一結(jié)論，將目標(biāo)化為齊次式，利用基本不等式即可求最小值.【詳解】解：是與的等差中項(xiàng)，，即，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值中的其次化方法，涉及等差中項(xiàng)概念和對數(shù)運(yùn)算，難度中等.當(dāng)已知（都是正實(shí)數(shù)，且為常數(shù)），求，為常數(shù)的最小值時常用方法，展開后對變量部分利用基本不等式，從而求得最小值；已知（都是正實(shí)數(shù)，且為常數(shù)），求，為常數(shù)的最小值時也可以用同樣的方法.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且對任意，恒成立，則的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得原不等式的解集.【詳解】設(shè)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以在上單調(diào)遞增．由可得，即，又在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以原不等式的解集是，故選：D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)锽.圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱C.的最大值為D.冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為1【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、對稱性、最值、單調(diào)性等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，所以對于函?shù)，有，即的定義域是，A選項(xiàng)錯誤.B選項(xiàng)，，所以圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，所以，即的最小值為，C選項(xiàng)錯誤.D選項(xiàng)，是冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時，，在上遞減，當(dāng)時，，在上遞增，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD10.已知的內(nèi)角的對邊分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則為等腰三角形B.若，則C.若，則D.若，則為直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合兩角差的正弦公式即可判斷A；舉出反例即可判斷B；根據(jù)大角對大邊，再結(jié)合正弦定理化邊為角及二倍角的余弦公式即可判斷C；利用余弦定理化角為邊即可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)?，由正弦定理可得，即，又，則，所以，即，所以為等腰三角形，故A正確；對于B，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，若，則，則，所以，故，即，故C正確；對于D，，因?yàn)椋?，即，所以為直角三角形，故D正確.故選：ACD.11.已知為數(shù)列的前和，下列說法正確的是（）A.若數(shù)列為等差數(shù)列，則，，為等差數(shù)列B.若為等比數(shù)列，則，，為等比數(shù)列C.若為等差數(shù)列，則，，為等差數(shù)列D.若為等比數(shù)列，則，，為等比數(shù)列【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列以及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于B和D，當(dāng)公比時，且m為偶數(shù)時，，此時，，不為等比數(shù)列；，此時，，不為等比數(shù)列，則B和D錯誤；對于A，若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，，，由等差數(shù)列片段和性質(zhì)知，，為等差數(shù)列，公差為,A正確；對于C，若為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，，，則，所以，，為等差數(shù)列，C正確；故選：12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.的最大值為2C.的圖象關(guān)于直線對稱D.在上單調(diào)遞減【答案】BD【解析】【分析】由、是否成立判斷A、C；由，結(jié)合余弦函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)判斷B、D.【詳解】由，所以不是的周期，A錯；由，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，C錯；由，而，所以，B對；由在上遞減，且，結(jié)合二次函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：在上單調(diào)遞減，D對.故選：BD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.關(guān)于的不等式的解集為，則______.【答案】##【解析】【分析】分析可知，、是關(guān)于的方程的兩根，利用韋達(dá)定理可得出的值.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，則，且、是關(guān)于的方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，，解得，所以，.故答案為：.14.設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，且，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)化簡計算作答.【詳解】等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，所以.故答案為：15.已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影為，則________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)，結(jié)合投影定義求解可得.【詳解】∵，∴，∴，∵向量在向量方向上的投影為，∴，∴，∴，∴.故答案為：216.設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，對任意，都有，且當(dāng)時，，若函數(shù)（）在區(qū)間恰有3個不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是_________【答案】【解析】【分析】先判斷函數(shù)為周期是4的周期函數(shù)，再根據(jù)偶函數(shù)畫出函數(shù)在上的圖像，根據(jù)圖像得到，計算得到答案.【詳解】對于任意的,都有，函數(shù)是一個周期函數(shù)，且當(dāng)時，，且函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)故函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下圖所示:若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有個不同的實(shí)數(shù)解，即與恰有個不同的交點(diǎn)，由圖像可得：，解得:故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化是函數(shù)的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，綜合考查了函數(shù)的奇偶性，周期性，函數(shù)圖像，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.四、解答題：本大題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出相應(yīng)的文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求解；（2）分組求和方法求解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，，所以，解得，，所以的通項(xiàng)公式.【小問2詳解】由（1）知，所以.18.已知函數(shù)（其中）的部分圖像如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．（1）求與的解析式；（2）令，求方程在區(qū)間內(nèi)的所有實(shí)數(shù)解的和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由函數(shù)圖象可得即周期，即可求出，再利用待定系數(shù)法求出，即可求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)平移變換的原則即可求得函數(shù)的解析式；（2）先求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【小問1詳解】由圖可知，，函數(shù)的周期，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，因?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，所以；【小問2詳解】，由，得，因?yàn)?，所以，所以或或或，所以或或或，所以方程在區(qū)間內(nèi)的所有實(shí)數(shù)解的和為．19.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理將邊化為角，結(jié)合三角函數(shù)的兩角和的正弦公式，可求得答案;（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式可求得，再利用三角形面積公式求得答案.【小問1詳解】根據(jù)正弦定理及，得.∵，∴.∵，∴.【小問2詳解】由（1）知，又，由余弦定理得，即，∵，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.∴.∴的最大值為.20.已知數(shù)列滿足：,數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式;（2）設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷數(shù)列類型求出通項(xiàng)公式,根據(jù)的前n項(xiàng)和,利用,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可,注意檢驗(yàn);(2)根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特殊性,利用錯位相減法,求出其前n項(xiàng)和即可.【小問1詳解】解:由題知,是以2為公比的等比數(shù)列,,的前n項(xiàng)和,時,當(dāng)時,,故,綜上:;【小問2詳解】由(1)知,,,①,②②①可得:故.21.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）是上的增函數(shù)，證明見解析（2）存在；【解析】【分析】(1)先利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出字母，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義取證明即可；(2)先假設(shè)存在，利用第一問函數(shù)單調(diào)性結(jié)論得出兩個等式，再結(jié)合兩個等式的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一個方程，使用換元法可得一個一元二次方程兩個不等正根的問題，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系即可求解.【小問1詳解】，所以是上增函數(shù)，證明如下：設(shè)，，，∴，，，，∴是上的單調(diào)增函數(shù)．【小問2詳解】假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使之滿足題意．由（1）可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，∴∴，為方程的兩個根，即方程有兩個不等的實(shí)根．令，即方程有兩個不等的正根．，∴故存在，實(shí)數(shù)的取值范圍為：22.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的極大值為2，求實(shí)數(shù)的值；（3）在（2）的條件下，方程存在兩個不同的實(shí)數(shù)根，證明：.【答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，對參數(shù)進(jìn)行分類討論即可得出的單調(diào)性；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論和極值的定義可得，可解得；（3）根據(jù)方程存在兩個不同的實(shí)數(shù)根，可構(gòu)造函數(shù)，并證明其單調(diào)性即可得時滿足，即可證明不等式.【小問1詳解】因?yàn)椋傻煤瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時，在恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；若