廣西“智桂杯”2022屆高三年級上冊理數(shù)大數(shù)據(jù)精準診斷性大聯(lián)考試卷

廣西“智桂杯”2022屆高三上學(xué)期理數(shù)大數(shù)據(jù)精準診斷性大聯(lián)考試卷

閱卷人

-------------------、單選題（共12題；共24分）

得分

1.（2分）（2022高三上?）已知集合/={久|田<3},B={-3,-2,0,2,3},則ACB=（）

A.{-2,2}B.{-2,0}

C.{-2,0,2}D.{一3,-2,0,2,3}

【答案】C

【解析】【解答】由|%|<3得—3<x<3,所以4={x||x|<3}={x[—3<x<3},又因為B=

{-3,-2,0,2,3）,所以ACB={-2,0,2}。

故答案為：C

【分析】利用絕對值不等式求解方法求出集合A,再利用交集的運算法則求出集合A和集合B的交

集。

2.（2分）（2022高三上）已知復(fù)數(shù)2=，，貝弦在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（）

L—L

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】【解答】因為z=Q=百練非"=二為=一4+全，

JL—I（JL—I八JL十ZLL

所以z=-3,

所以z在復(fù)平面上對應(yīng)的點為（-與》，

所以Z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限。

故答案為：B

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除法運算法則求出復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標，

再結(jié)合點的坐標確定點所在的象限。

3.（2分）（2022高三上?）在平面直角坐標系中，若角a的頂點在原點，始邊在％軸的正半軸，終邊在

第二象限，則下列三角函數(shù)值中大于零的是（）

A.sin（a-%）B.cos（a+今

C?sin(7T+a)D.—cos(7r—a)

【答案】A

【解析】【解答】由誘導(dǎo)公式有sin（a-芻=-cosa,又因為a為第二象限角，cosa<0,.1.sin（a-

今）>0；由誘導(dǎo)公式有cos（a+*）=-sina,又因為a為第二象限角，sina>0,二cos（a+*）<0；

由誘導(dǎo)公式有sin（?r+a）=—sina,又因為a為第二象限角，sina>0,sin（7T+a）<0；由誘導(dǎo)公

式有—cos（?r—a）=cosa,又因為a為第二象限角，cosa<0,—cos（7r—a）<0O

故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合誘導(dǎo)公式，再利用三角函數(shù)值在各象限的符號，從而找出三角函數(shù)值中

大于零的選項。

4.（2分）（2022高三上?）下列命題是真命題的是（）

A.有甲、乙、丙三種個體按3:1:2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個體數(shù)為9,則樣本容量

為30

B,若甲組數(shù)據(jù)的方差為5,乙組數(shù)據(jù)的方差為7,則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙

C.數(shù)據(jù)1,2,3,4,4,5的平均數(shù)、中位數(shù)相同

D.數(shù)據(jù)1,2,2,2,3,4,4,4,5,5,6的眾數(shù)是2和4

【答案】D

【解析】【解答】解：對于A：樣本容量為9+喬泊=18,A不符合題意；

對于B：方差越小數(shù)據(jù)越集中，故甲較穩(wěn)定，B不符合題意；

對于C：數(shù)據(jù)1,2,3,4,4,5的平均數(shù)為表1+2+3+4+4+5）=容中位數(shù)為竽=幺C

不符合題意；

對于D：數(shù)據(jù)1,2,2,2,3,4,4,4,5,5,6的眾數(shù)是2和4,D符合題意；

故答案為：D

【分析】利用已知條件結(jié)合分層抽樣的方法，再結(jié)合方差的求解方法結(jié)合方差與穩(wěn)定性的關(guān)系，再

利用平均數(shù)和中位數(shù)公式、眾數(shù)定義，進而找出真命題的選項。

5.（2分）（2022高三上）某幾何體的三視圖如圖所示（圖中小正方形的邊長為1）,則該幾何體的體

積為（）

【解析】【解答】由三視圖知，原幾何體是棱長為6的正方體中的三棱錐ABC,且AB=3,

由正方體的性質(zhì)可知：SMBC=；X3x6=9,三棱錐D-/BC的底面ABC上的高為6,

二該幾何體的體積為V=|x9x6=18o

故答案為：C.

【分析】利用已知條件，由三視圖知原幾何體是棱長為6的正方體中的三棱錐。-ABC,且AB=3,

由正方體的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積公式可知三角形4ABC的面積和三棱錐D-ABC的底面ABC上的

高為6,再結(jié)合三棱錐的體積公式求出該幾何體的體積。

6.（2分）（2022高三上）已知征了均為單位向量，若口一2瓦=8，則向量五與另的夾角為（）

A.JB.JC.穹D.至

bJ36

【答案】B

【解析】【解答】由「一2百=8，得|五_24=3,

即五2+4fe2—4a-b=3'

設(shè)單位向量五與石的夾角為0,

則有1+4—4cos8=3,

解得COS8=4又因為g0,兀］，所以吟。

故答案為：B

【分析】利用已知條件結(jié)合單位向量的定義，再結(jié)合數(shù)量積求向量的模的公式，再利用數(shù)量積的運

算法則結(jié)合數(shù)量積的定義，從而求出單位向量方與B的夾角的余弦值，再利用兩向量夾角的取值范

圍，進而求出向量4與B的夾角。

7.（2分）橢圓需+g=i的焦點為尸1，&，點P在橢圓上，若\PF2\=2,貝1JN&PF2的大

小為（）

A.150°B.135°C.120°D.90°

【答案】C

【解析】【解答】由題意，I&F2I=2V7.|PFi|+\PF2\=6,又\PF2\=2,則\PFX\=4,

777

由余弦定理可得……f2：騎槌產(chǎn)=-1.

=

故ZF1PF2=120°.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)橢圓的定義可得|PF1|=4,|FiFz|=2位,再利用余弦定理即可得到結(jié)論.

8.（2分）（2022高三上）被譽為信息論之父的香農(nóng)提出了一個著名的公式：C=Wlog2（l+》），其

中C為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為bit/s；W為信道帶寬，單位為Hz；點為信噪比.香農(nóng)公式在5G技術(shù)

中發(fā)揮著舉足輕重的作用.當全=99,W=2000Hz時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為的；在信道帶寬不變

的情況下，若要使最大數(shù)據(jù)傳輸速率翻一番，則信噪比變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮ǎ?/p>

A.2B.9C.99D.101

【答案】D

【解析】【解答】當》=99,W=2000Hz時，

s

Cl=WZlog2(l+給=20001og2(l+99)=40001og210,

c

由80001og210=20001og2(l+書)，

得410g210=log2(l+,).所以需=9999,

所以黑101,即信噪比變?yōu)樵瓉淼?01倍。

故答案為：D

【分析】利用已知條件結(jié)合對數(shù)的運算法則，從而得出信噪比變?yōu)樵瓉淼谋稊?shù)。

9.(2分)(2020高二下?瀘縣月考)已知定點B(3,0),點4在圓(%4-I)2+y2=4上運動，則線

段AB的中點M的軌跡方程是()

A.(%+I)2+y2=1B.(%—2)2+y2=4

C.(x—l)2+y2=1D.(x+2)2+=4

【答案】C

【解析】【解答】設(shè)M(x,y)，則火孫,后)滿足(當已孕)=(“).故芻丁.故做2支一

3,2y).

又點A在圓(%+I,+y2=4上.故(2%-3+I)2+(2y)2=4=>(x-I)2+y2=1.

故選：C

2

【分析】設(shè)M(x,y)再表達出A的坐標代入圓方程(x+l)+y2=4化簡即可.

10.(2分)(2022高三上?)函數(shù)/(%)=Asin3%+⑴)(3>0,切<今)的部分圖象如圖所示，/(%)

的圖象與y軸交于M點，與無軸交于C點，點N在/(久)的圖象上，點M、N關(guān)于點C對稱，則下列說法中

正確的是()

B.函數(shù)/(%)的最小正周期是2兀

C.函數(shù)人乃的圖象關(guān)于直線％=穿對稱

O

D.函數(shù)/(x)的圖象向右平移著后，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)為偶函數(shù)

【答案】A

【解析】【解答】點M、N關(guān)于點C對稱，貝憶［,0),T=2-(5+J)=7r,所以B不符合題意；

由3=竿=2,可得/(%)=Zsin(2x+0),代入(金,/),可得sin/+@)=1,

解得8=界2/OT,kEZ,\(p\<則0即/'(x)=4sin(2x+&),

因為/(%=4sin(等+9=0,所以/(%)的圖象關(guān)于點管,0)對稱，C不符合題意；

由圖象可得/(%)在《+卜兀,烏+人兀)，kCZ遞減，則/(%)在(萼，粵)遞減，所以A符合題意；

函數(shù)/(%)的圖象向右平移系后，可得g(x)=Asin2x,是奇函數(shù)，D不符合題意.

故答案為：A

【分析】利用已知條件結(jié)合正弦型函數(shù)的部分圖象，進而求出正弦型函數(shù)的解析式，再利用換元法

將正弦型函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，進而求出正弦型函數(shù)在區(qū)間(竽，岑)上的

單調(diào)性，利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式，進而求出正弦型函數(shù)的最小正周期，再利用換元法將

正弦型函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的對稱性，進而求出正弦型函數(shù)的對稱軸，利用已知

條件結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象變換，從而得出函數(shù)g(x)的圖象，再結(jié)合偶函數(shù)的圖象的對稱性，進而

判斷出函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，進而找出說法正確的選項。

11.(2分)(2022高三上)甲、乙、丙、丁4人站到共有4級的臺階上，若每級臺階最多站2人，

同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法總數(shù)是()

A.204B.84C.66D.60

【答案】A

【解析】【解答】解：因為甲、乙、丙、丁4人站到共有4級的臺階上，且每級臺階最多站2人，所

以分為3類：

第一類，甲、乙、丙、丁各自站在一個臺階上，共有：牖=24種站法；

第二類，有2人站在同一臺階上，剩余2人站在另一個臺階上，共有：寵1.以?度=36種站法；

第三類，有2人站在同一臺階上，剩余2人各自站在一個臺階上，共有：或以“=144,

所以每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置的不同的站法總數(shù)是24+36+144=

204o

故答案為：A

【分析】利用已知條件結(jié)合分類加法計數(shù)原理，再利用分組的方法結(jié)合組合數(shù)公式和排列數(shù)公式，

進而求出不同的站法總數(shù)。

12.(2分)(2022高三上)已知關(guān)于工的函數(shù)/(%)=bx2-2bx+\x-l\+b2+b-4有唯一零點x=

a,貝必+b=()

A.-1B.3C.-l或3D.4

【答案】B

【解析】【解答】/(%)=b(x-l)2+|x-1|4-62-4,令t=x-l,

則有g(shù)(t)=bt2+|t|+b2-4是偶函數(shù)，

若只有唯一零點，則必過原點，即g(0)=0,從而匕=+2,

當b=—2時，有3個零點，舍去，

故b=2,此時t=a—1=0,貝Ija=1,故a+b=3。

故答案為：B

【分析】利用/(%)=b(x-1)2+1%-1|+匕2-4,令t=%-1,得出g(t)=況2+田+爐一4,再

利用已知條件結(jié)合偶函數(shù)的定義，從而判斷出函數(shù)9(。=尻2+田+匕2—4是偶函數(shù)，若只有唯一

零點，則必過原點，即g(0)=0,再結(jié)合代入法得出b的值，再利用分類討論的方法結(jié)合函數(shù)求零

點的方法，進而結(jié)合已知條件，從而求出a的值，進而求出a+b的值。

閱卷入

二、填空題（共4題；共4分）

得分

（2x—y>4

13.（1分）（2022高三上）已知實數(shù)x,y滿足|x+2yW4,貝Ijz=3%一2y的最小值是

[y<o

【答案】6

【解析】【解答】畫出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示.

由z=3x-2y可得y=1-

平移直線y=|x結(jié)合圖形可得，當直線y=|x-*經(jīng)過可行域內(nèi)的點A時，直線在y軸上的

截距最大，此時z取得最小值，

由題意得A點坐標為（2,0）,

,,^min=3x2=6，

即z=3x-2y的最小值是60

故答案為6。

【分析】利用二元一次不等式族組畫出可行域，再利用可行域找出最優(yōu)解，再結(jié)合最優(yōu)解求出線性

目標函數(shù)的最小值。

14.（1分）（2022高三上）已知△ABC,點。在BC的延長線上，且AB=47=2,CD=1,AD=

V7,則△ABC的面積為.

【答案】V3

【解析】【解答】在△4C0中，AC=2,CD=1,AD=用、

222

由余弦定理可知,AC-{-CD-AD_4+1_7_1

2AC-CD=2x2x1-2

又因為N/CD€（0,兀），所以N4CD=等，所以N4CB=不

又因為=AC=2,所以△ABC為等邊三角形,

所以△ABC的面積為3x2x2xsinJ=V3o

故答案為：V3o

【分析】利用已知條件結(jié)合余弦定理得出cosNHCD的值，再利用三角形中角的取值范圍，所以

ZACDe（0,/r）,進而求出N4CD的值，進而結(jié)合兩角互補的性質(zhì)，從而求出NACB的值，再利用

AB=AC=2結(jié)合N4CB的值，所以△ABC為等邊三角形，再利用三角形的面積公式結(jié)合三角形的形

狀，進而求出三角形a/BC的面積。

15.（1分）（2022高三上）已知雙曲線C:馬一g=1的左'右焦點分別為鼻、/2，點P在雙曲線上，

淤b

△P&F2的內(nèi)切圓圓心為/,且滿足兩?隔=可?隔，PF2IF/2，則雙曲線。的離心率

為.

【答案】V2+1

【解析】【解答】由兩.麗=可?兩，即兩?麗一可?時=0,即時?（配一可）=可］

2

斤7=0,所以PF11/尸2，又因為/尸2是NPF20的角平分線，所以&F2=PF2，即2C=J，即2ac=

a

b2,所以c?—a2=2ac,從而e2—2e—1=0,解得e=應(yīng)+1或6=—a+1（舍去）。

故答案為：魚+1。

【分析】由兩?麗=可?兩結(jié)合數(shù)量積的運算法則和兩向量垂直數(shù)量積為0的等價關(guān)系，所以

PFi1/F2,再利用/F2是NPBa的角平分線，所以％&=「尸2,再利用焦距的定義結(jié)合兩點距離公

式，從而得出2ac=b2,再利用雙曲線中a,b,c三者的關(guān)系式，所以c?一a?=2ac,再結(jié)合雙曲線的

離心率公式變形，進而解方程結(jié)合雙曲線的離心率的取值范圍，從而求出雙曲線的離心率的值。

16.（1分）（2022高三上）已知正四面體P—ABC的棱長為3/，點。分別為24,PB,PC上靠近P

的三等分點，平面DEF截正四面體P-4BC的外接球所得截面的面積為.

【答案】等

【解析】【解答】過P作PQJ?平面4BC于Q,交平面DEF于G.

p

根據(jù)對稱性，球心在線段PQ上，設(shè)球心為。，連接0B,已知正四面體P-ABC的棱長為3夜，則

PB=3A/2,BQ=V6,PQ=2A/3,設(shè)球半徑為R,則OQ=2百一R,在^OQB中由勾股定理，R*2=

（26—R，+6,解得/?=芋，點分別為PA,PB,PC上靠近P的三等分點，易得小四面體的高

PG=攣，則OG=OP-PG=^，平面。"截球所得的圓半徑「2=解一"2=珞則截得的圓

363

面積為導(dǎo)。

故答案為：學(xué),

【分析】過P作PQJL平面/BC于Q,交平面DEF于G,根據(jù)對稱性，球心在線段PQ上，設(shè)球心為0,

連接。8,已知正四面體P-力BC的棱長為3魚，從而求出PB,BQ,PQ的值，設(shè)球的半徑為R,進而

得出0Q=2通-R,在三角形40QB中，由勾股定理得出球的半徑，再利用點。,瓦口分別為

P4PB,PC上靠近P的三等分點，從而易得小四面體的高，進而結(jié)合幾何法求出0G的長，再結(jié)合勾

股定理得出平面?！敖厍蛩玫膱A的半徑M=R2一0G2=學(xué)再利用圓的面積公式，進而求出截得

的圓的面積。

閱卷入

—三、解答題（共7題；共70分）

得分

17.（10分）（2022高三上）已知等差數(shù)列｛an｝滿足的=9,+CLQ=22.

（1）（5分）求的通項公式；

（2）（5分）等比數(shù)列｛%｝的前n項和為%,且比=的，再從下面①②③中選取兩個作為條件,

求滿足又＜2021的n的最大值.

①匕3=01+02；②S3=7；③刈+1>bn.

(注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.)

【答案】(1)解：設(shè)等差數(shù)列｛即｝的公差為d,因(14+。8=22,貝IJ2a6=22,即a6=11,于是得

d=a6—a5=ll—9=2,

從而有即=a5+(n-5)x2=2n-1,

所以｛。九｝的通項公式是冊=2n-1.

(2)解：選擇①②：設(shè)等比數(shù)列｛,｝的公比為q,

因b1=。1，b3=ar+a2,由⑴知，3=1,%=4,而S3=7,則歷=S3-①一優(yōu)=2,即有q=

”=2

比’

于是得?=比仁武)=2"-1,因Sn<2021,即2"-1<2021,而neN*,解得nW10,貝IJ

幾max=10，

所以滿足％<2021的九的最大值為1().

選擇①③：設(shè)等比數(shù)列｛g｝的公比為q,

因打=。1，仇=。1+。2,由(1)知，則比=1,b3=4,由q2=1^=4,解得q=±2,又力幾+i>

bn,則有q=2,

于是得s=比七，=2"-1,因Sn<2021,即2"-1<2021,而nCN*,解得nS10,貝IJ

幾max=1°，

所以滿足又<2021的九的最大值為10.

選擇②③：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為小

因S3=7,由(1)知，br=1,則l+q+q2=7,解得q=2或q=-3,而“+〔>b九，則有q=2,

于是得Sn=勺在滬=2“一1,因Sn<2021,即邛一1<2021,而nCN*,解得nW10,貝IJ

Fax=10.

所以滿足Sn<2021的門的最大值為10.

【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，進而求出等差數(shù)列的第六項的值，再利用

等差數(shù)列的性質(zhì)，進而求出公差，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，進而求出等差數(shù)列的通項公式。

(2)選擇①②：設(shè)等比數(shù)列｛也｝的公比為q,再利用必=%,3=由+。2，由⑴知,瓦=1,

加=4,再利用S3=7,從而結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，進而求出公比

的值，再結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式結(jié)合Sn<2021,再利用neN*,從而求出n的取值范圍，進而

求出n的最大值，從而得出滿足又<2021的n的最大值；

a

選擇①③：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q，再利用比=。1，b3=i+02>由⑴知,則d=1,3=

4,再利用等比數(shù)列的通項公式求出公比的值，再結(jié)合"+i>b”，從而結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，進而求出

滿足要求的公比的值，再利用等比數(shù)列前n項和公式結(jié)合Sn<2021,再利用neN*,從而求出n的

取值范圍，進而求出n的最大值，從而得出滿足Sn<2021的n的最大值；

選擇②③：設(shè)等比數(shù)列｛時｝的公比為q,再利用S3=7,由（1）知，>=1,再結(jié)合等比數(shù)列前n項

和公式，從而求出公比的值，再利用九+i>",從而結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，進而求出滿足要求的公比

的值，再利用等比數(shù)列前n項和公式結(jié)合又<2021,再利用neN*,從而求出n的取值范圍，進而

求出n的最大值，從而得出滿足S”<2021的n的最大值。

18.（10分）（2022高三上）某網(wǎng)站統(tǒng)計了某網(wǎng)紅螺獅粉在2020年7月至11月的總銷售量y（單

位：萬），得到以下數(shù)據(jù)：

月份工7891011

銷售量y1012111220

乏\~y廣Tl1（勺一乃（無一，）

（參考公式：相關(guān)系數(shù),

▽“，.參考數(shù)據(jù)：內(nèi)“3.162,線性回歸方

〉。尸）>⑶「力

乙=1。=1

七1（石一工）0「力乙日勺乃一九句

程：9=8%+6,其中°=--="77，a=y-bx）

〉（%j—%）〉xf—nx￡

乙"i=l

2

<2n(ad-bc')—其中7i=a+h+c+d.

K-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表：

P(K2>ko)0.0100.0050.001

k。6.6357.87910.828

（1）（5分）根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù)r加以判斷，是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)

系？若可以，求出y關(guān)于x之間的線性回歸方程；若不可以，請說明理由；

（2）（5分）為調(diào)查顧客對該網(wǎng)紅螺蛔粉的喜歡情況，隨機抽查了200名顧客，得到如下列聯(lián)

表，請?zhí)顚懴旅娴?X2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認為“顧客是否喜歡該網(wǎng)紅螺蝴粉與性別

有關(guān)”.

喜歡不喜歡總計

男100

女60

總計11()

【答案】（1）解：由已知得'%=9,y—13,

W「1（工一工）2=10，2廣1d-y）2=64,2：=1（々_X）仇一/=20

205/W?

r=-,…"==―=—7—?n0.7Q911,

710x642/104

因為|r|x|0.791|e[0.75,1].

說明y與x的線性相關(guān)關(guān)系很強.，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系

b=而=2,a=y—=13—18=—5,

則y關(guān)于％的線性回歸方程為：y=2%-5.

⑵解：2x2列聯(lián)表如下所示：

喜歡不喜歡總計

男7030100

女4060100

總計11090200

2

2一200x(70x60-40x30)，?g[0.8，

K—100x100x110x90~18.182>10.828

??.有99.9%的把握認為顧客是否喜歡網(wǎng)紅螺獅粉與性別有關(guān).

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合相關(guān)系數(shù)求解方法，從而求出|川。|0.791|€[0.75,1],說明

y與x的線性相關(guān)關(guān)系很強，可用線性回歸模型擬合y與久的關(guān)系，再利用最小二乘法，進而求出y關(guān)

于％之間的線性回歸方程。

（2）利用已知條件填寫2x2列聯(lián)表，再利用獨立性檢驗的方法，進而判斷出有99.9%的把握認為

顧客是否喜歡網(wǎng)紅螺螂粉與性別有關(guān)。

19.（10分）（2022高三上）如圖，四棱錐P—4BCD中，AB//CD,BC1CD.BC=CD=PD=2,

力B=4,側(cè)面P4B是以4B為斜邊的等腰直角三角形.

p

（1）（5分）求證：CDJ.PD；

（2）（5分）作出平面24。與平面PBC的交線m,并求直線m與平面P4B所成角的大小.

【答案】（1）證明：取AB中點為E,連接OE,PE,

'：AB//CD,BC1CD.BC=CD=PD=2,AB=4

...四邊形BCDE是正方形，

：.AB1DE,

?.?側(cè)面PAB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，

：.AB1PE,

".'DE^PE=E

：.AB1平面PDE,

'：AB//CD,

平面PDE,又PCu平面PDE,

：.CD1PD

(2)解：延長/W,BC交于點Q,則直線PQ即為交線m,

由(1)知PD=DE=2,

又因為側(cè)面R4B是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB=4

所以PE=2,

所以APDE是邊長為2的正三角形，取DE中點為0,如圖建系,

可得4(1,-2,0),6(1,2,0),P(0,0,回(?(-3,2,0),

AB=(0,4,0),PB=(1,2,-V3),QP=(3,-2,V3)

設(shè)平面P/B的法向量為n=(x,y,z),

則1n-AB=(x,y,z)-(0,4,0)=4y=0

In■麗=(x,y,z)■(1,—2,V3)=%—2y+V3z=0

取z=l,得n=(遮,0,1),sin(n,QP)=

所以直線m與平面PAB所成角的大小為60°.

【解析】【分析】⑴取AB中點為E,連接PE,再利用AB〃C。，BC1CD,BC=CD=PD=

2,AB=4,再利用正方形的定義，從而判斷出四邊形BCDE是正方形，所以AB1DE,再利用側(cè)面

P4B是以4B為斜邊的等腰直角三角形，所以再利用線線垂直，從而證出線面垂直，所以

直線力BJ_平面PDE,再利用4B〃CD,所以CDJ_平面PDE,再利用線面垂直的定義證出線線垂直，

從而證出CDLPDo

(2)延長AQBC交于點Q,則直線PQ即為交線m,由(1)知PD=DE=2,再利用側(cè)面P4B是以AB為

斜邊的等腰直角三角形，/B=4,所以PE=2,所以三角形aPDE是邊長為2的正三角形，取DE中

點為0,從而建立空間直角坐標系，進而求出點的坐標，再結(jié)合向量的坐標表示求出向量的坐標，再

利用數(shù)量積求向量夾角的公式，進而求出直線m與平面P4B所成角的正弦值，從而求出直線加與平面

P4B所成角的大小。

20.(10分)(2022高三上)如圖，已知拋物線：C:/=y,M(0,l),/V(0,-l),過點M垂直于y軸的

垂線與拋物線C交于B,C,點D,E滿足CE=；ICN,ND=XNB(0<A<1).

(1)(5分)求證：直線DE與拋物線有且僅有一個公共點；

(2)(5分)設(shè)直線DE與此拋物線的公共點為Q,記ABCQ與AOEN的面積分別為Si，S2,求知

的值.

【答案】(1)證明：易知設(shè)DQ,y),由而=2而，可得(x,y+l)=4(1,2),

故有。(兒24-1),同理EQ—1,1—2/1),

于是直線DE的方程是y-(2/1-1)=(4/1-2)(x-A),

2

y=(4A-2)x-(2A-1)

(xz=y

得到(％-(24-I))?=0,

此方程有兩個相等的根：%=(22—1)代入①，得y=(24-I)2,

故直線DE與拋物線有且僅有一個公共點Q(22-1,(2A-I)2)

22

(2)解：S]=SMCQ=:|BC|./=1x2x(l-y(?)=|x2x(l-(2A-l))=4(A-A)

設(shè)直線。E與y軸交于G,則G(0,—(24-l)2),

于是S2=SM)EN=；|NG|?|切—=；,(—(24-l)2+1)-(A-(A—1))=2(A—A2)

【解析】【分析】⑴利用已知條件，易知8(1,1),C(—1,1),設(shè)D(x,y),由而=2而結(jié)合向量共線

的坐標表示，進而求出點。(尢22-1),同理得出EQ-l,l-24),再利用兩點式求出直線DE的方

程，再與拋物線方程聯(lián)立，得到(X-(24—1))2=0,再結(jié)合代入法得出y=(24-1)2,進而證出直

線DE與拋物線有且僅有一個公共點。

(2)利用已知條件結(jié)合三角形的面積公式，得出SI=SABCQ=4。-/),設(shè)直線DE與y軸交于G,

再結(jié)合賦值法和代入法，進而求出點G(0,-(24-1)2),再結(jié)合三角形的面積公式，得出$2=

SADEN=2(4-/)，進而求出§的值。

21.(10分)(2022高三上)已知函數(shù)f(x)=6以—乂

(1)(5分)若曲線y=/(%)在點(0,/(0))處切線的斜率為1,求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)(5分)若不等式a(7(x)+%+1)22(x+1)】nx對xe(0,+可)都成立，求a的取值范圍.

【答案】(1)解：/'(%)=一L則/(0)=。-1=1,即a=2

/./(x)=2e2z-l,令/(x)=0,得4=一警

當》<-學(xué)時，/(x)<0；當x>—竽時，/(%)>0

故/(無)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一°,一苧)，單調(diào)遞增區(qū)間為(一苧,+。)

(2)解：由題意可知，不等式磯6?！?1)>2(%+：)lnx變形為白?+l)lneax>(%2+l)lnx2.

設(shè)F(t)=(t+l)lnt(t>0),則尸(t)=Int+：+1,F(t)==

當0<t<1時尸(t)<0,即尸(t)在(0,1)上單調(diào)遞減，當t>l時F(t)>0,即F(t)在(1,+叼上單調(diào)遞

增，則F(t)在(0,+。)上有且只有一個極值點t=1,該極值點就是產(chǎn)⑷的最小值點，所以尸(t)N

F(l)=Ini+|+1=2>0,即尸(t)在(0,+。)上單調(diào)遞增.

若使得對任意%>0,恒有+1)>2(%+成立.

則需對任意x>0,恒有F(eg)>尸(%2)成立.

即對任意x>0,恒有es>/成立，則q>等在(0,+。)恒成立.

設(shè)g(x)=^(xG(0,+a))則g(%)=⑵M"三⑵nx)_2-

當0<%<e時，g(x)>0,函數(shù)g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增

當久〉e時，g(x)<0,函數(shù)g(x)在(e,+8)上單調(diào)遞減

則g(久)在(0,+。)上有且只有一個極值點％=e,該極值點就是g(x)的最大值點.

所以g(x)max=g(e)="，即a2工.

【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，進而求出實數(shù)a的值，從而求出函數(shù)的解

析式，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

(2)由題意可知，不等式a(eg+1)>2(x4-31nx變形為(6〃+l)lneax>(x2+l)lnx2,設(shè)

F(t)=(t+l)lnt(t>0),再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的極值點，從而求出

函數(shù)的最小值點，進而求出函數(shù)的最小值，再結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷出函數(shù)

F(t)在(0,+叼上單調(diào)遞增，若使得對任意久>0,恒有a(eg+1)>2(%+61nx成立，則需對任意

%〉0,恒有F(es)2尸(/)成立，即對任意x>0,恒有6公？%2成立，則。之竽在(0,+叼恒成

立，設(shè)9(%)=竿,1€(0,+8))，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的極值點，

從而求出函數(shù)的最大值點，進而求出函數(shù)的最大值，再結(jié)合不等式恒成立問題求解方法，進而求出

實數(shù)a的取值范圍。

22.(10分)(2022高三上)在平面直角坐標系xOy中，已知曲線E的參數(shù)方程為［x=*sa

為參數(shù))，直線，的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，040<兀).以坐標原點為極點，無軸非負半軸為

極軸建立極坐標系.

(1)(5分)求曲線E和直線1的極坐標方程；

(2)(5分)直線/與曲線E交于4B兩點，若初=2通，求直線/的斜率.

【答案】(1)解：???曲線E的參數(shù)方程［x=￡cosag為參數(shù))，

(y=V3sina+3

:.x2+(y—3)2=3,即工2+y2—6y+6=0,

將p2=%2+y2,y=psin。代入，

**?曲線E的極坐標方程為p2-6psin。+6=0.

???直線1的參數(shù)方程為官二；；；：,(t為參數(shù)，04/?<兀)，

???直線Z的極坐標方程為6=S(p￡R,04/?V兀)

(2)解：將直線/的極坐標方程9=B(pWR,048<7)代入曲線E：p2—6psin0+6=0

得p2—6psing+6=0.

n

4=36sin2j5—24>0,sin2s>1

設(shè)點AS1，S)，B(J)2，B)，

由韋達定理得Pl+。2=6sin0,P1P2=6,

v0^4=2OB,?1?Pi=2P2，

解得sin0=滿足A>0,又；0W0<Jr,二夕=可或

直線/的斜率k=tan0=±V3.

【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化方法，再結(jié)合極坐標與直角坐標

的互化公式，進而求出曲線E和直線I的極坐標方程。

(2)利用直線1與曲線E交于4B兩點，聯(lián)立二者方程結(jié)合判別式法和韋達定理，再利用向量共線

的坐標表示，進而求出直線I的傾斜角，再利用直線的傾斜角與直線的斜率的關(guān)系式，進而求出直線

I的斜率。

23.(10分)(2022高三上)設(shè)函數(shù)6%)=|x-3|-|x+1|.

(1)(5分)解不等式/(%)<—1；

(2)(5分)若f(x)W|x+a|恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

4,工工一1,

【答案】(1)解：函數(shù)/(%)=|久一3|-1%+1|='—2%+2,-1<x<3,

-4,xN3.

當工<一1時，由/(%)<一1得：4<一1不成立，無解，

當一1<%<3時，由/(%)<—1得：一2x+2<—1,解得％>宗則有|<%<3,

當x23時，由/(%)<-1得：一4<一1恒成立，則有％23,

綜上得：久>/

所以/(%)<一1的解集為(|,+。).

(2)解：在同一個坐標系中作出函數(shù)y=/(%)和y=閉的圖象，點人一^旬在函數(shù)丫二八口的圖象

上，如圖，

而函數(shù)y=|x+a|的圖象是由函數(shù)y=|%|圖象向左或向右平移|a|個單位得到的，

當函數(shù)y=|久|圖象向左(a>0)平移a個單位時，得到y(tǒng)=|x+a|的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象有兩個

交占

在這兩個交點之間，y=|x+a|的圖象不在y=/(%)的圖象上方，即存在x()使得+a]</(X()),不

滿足題意，

當函數(shù)y=|x|圖象向右(a<0)平移-a個單位時，得到y(tǒng)=|x+a|的圖象，

平移到點A在y=|x+a|的圖象上，即a=-3時，函數(shù)y=f(尤)的圖象總是在y=|x+a|的圖象及

下方，即恒有/(久)<|x+a|成立,

將y=團的圖象繼續(xù)向右平移，即a<—3時，函數(shù)y=/(x)的圖象總是在y=|x+a|的圖象的下

方，恒有/'(%)<|x+a|成立,

綜上得a<—3,

所以實數(shù)a的取值范圍a<-3.

【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合零點分段法，從而求出絕對值不等式/Xx)<-1的解集。

(2)在同一個坐標系中作出函數(shù)y=/'(%)和y=閉的圖象，再利用點4(-1,4)在函數(shù)y=/(%)的圖

象上，再結(jié)合函數(shù)的圖像的平移變換，則函數(shù)y=|x+a|的圖象是由函數(shù)y=|用圖象向左或向右平

移|可個單位得到的，再利用分類討論的方法結(jié)合函數(shù)的圖像的平移變換，進而利用已知條件和不等

式恒成立問題求解方法，進而求出實數(shù)a的取值范圍。

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：98分

客觀題（占比）25.0(25.5%)

分值分布

主觀題（占比）73.0(74.5%)

客觀題（占比）13(56.5%)

題量分布

主觀題（占比）10(43.5%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

填空題4(17.4%)4.0(4.1%)

解答題7(30.4%)70.0(71.4%)

單選題12(52.2%)24.0(24.5%)

3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號難易度占比

1普通(56.5%)

2容易(13.0%)

3困難(30.4%)

4、試卷知識點分析

序號知識點（認知水平）分值（占比）對應(yīng)題號

1直線與平面垂直的性質(zhì)10.0(10.2%)19

2等比數(shù)列的前n項和10.0(10.2%)17

3直線與圓的位置關(guān)系10.0(10.2%)22

4直線與圓錐曲線的綜合問題10.0(10.2%)20

5排列、組合及簡單計數(shù)問題2.0(2.0%)11

6點的極坐標和直角坐標的互化10.0(10.2%)22

7復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算2.0(2.0%)2

8簡單線性規(guī)劃1.0(1.0%)13

9導(dǎo)數(shù)的幾何意義10.0(10.2%)21

10用空間向量求直線與平面的夾角10.0(10.2%)19

11軌跡方程2.0(2.0%)9

12平面向量共線（平行）的坐標表示10.0(10.2%)22

13運用誘導(dǎo)公式化簡求值2.0(2.0%)3

14眾數(shù)、中位數(shù)、平