高中數(shù)學(xué)：6-2平面向量的數(shù)乘運(yùn)算學(xué)案

第03講平面向量的數(shù)乘運(yùn)算

色目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.掌握向量數(shù)乘的定義.

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)要求熟練地進(jìn)行實(shí)數(shù)與向量的積的

2.了解向量數(shù)乘的運(yùn)算律.

運(yùn)算，利用向量數(shù)乘的幾何意義判斷兩向量共線，能在

3.理解向量數(shù)乘的幾何意義.

深刻理解向量數(shù)乘運(yùn)算的基礎(chǔ)上綜合運(yùn)用.

4掌.握向量的共線定理.

微知識(shí)精講

1.向量的數(shù)乘

一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)幾與向量。的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作

Aa.它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：

(1)加|=|用；

(2)4>0時(shí)，〃的方向與。的方向相同；當(dāng);IvO時(shí)，與a的方向相反；4=0時(shí),

Au=0.

【微點(diǎn)撥】

(1)對(duì)于腦：①?gòu)拇鷶?shù)角度看，2是實(shí)數(shù)，。是向量，它們的積仍然是向量.々=0的條

件是a=0或；1=0.②從幾何的角度看，對(duì)于長(zhǎng)度來(lái)說(shuō)，當(dāng)囚>1時(shí)，意味著表示向量。的

有向線段在原方向(4>0)或相反方向(2<0)上伸長(zhǎng)了|川倍；當(dāng)0<囚<1時(shí)，意味著表示向

量a的有向線段在原方向(0<兀<1)或反方向(-1<2<0)上縮短了閃倍.

(2)實(shí)數(shù)與向量可以求積，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如2+a,2-a都無(wú)意義.

2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律

實(shí)數(shù)與向量的積滿足下面的運(yùn)算律：設(shè)2、〃是實(shí)數(shù)，a、b是向量，則：

①結(jié)合律：(///)?；

②第一分配律：(2+〃)a=+；

③第二分配律：2(a+Z>)=；M+Ab.

3.向量共線定理

（1）內(nèi)容：

向量5與非零向量a共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)X,使6=癡.

（2）向量共線定理的注意問(wèn)題：

①定理的運(yùn)用過(guò)程中要特別注意a.

特別地，若a=b=O,實(shí)數(shù)2仍存在，但不唯一.

②定理的實(shí)質(zhì)是向量相等，應(yīng)從大小和方向兩個(gè)方面理解，借助于實(shí)數(shù)2溝通了兩個(gè)向量。

與a的關(guān)系.

③定理為解決三點(diǎn)共線和兩直線平行問(wèn)題提供了一種方法.要證三點(diǎn)共線或兩直線平行，任

取兩點(diǎn)確定兩個(gè)向量，看能否找到唯一的實(shí)數(shù)2使向量相等即可.

【即學(xué)即練1】化簡(jiǎn)?[2（2a+8））—4（4”一2勸]的結(jié)果是（）

A.2zz—bB.2b-a

C.a-bD.b-a

【答案】B

【解析】

g[2（2a+8》）-4（4a-2a]=g（4a+16b-16a+8b）=f（24b-12a）=2b-a.

本題正確選項(xiàng)為B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算法則的應(yīng)用，根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算法則直接化簡(jiǎn)即

可得到結(jié)果.屬于基礎(chǔ)題.

【即學(xué)即練2]已知A。、8E分別是△ABC的邊BC,AC上的中線，且AD=a，BE=b，

則8C=（）

12,21,

A.-a+—bB.—a+-b

3333

2442,

C.—a+—btD.—a+—b

3333

【答案】C

_____________1___1

【解析】?/BC=b+EC，AC^a+DC，EC=-AC,DC=-BC.

a124

BC=-+b+-BC,解得BC=—a+—b.故選C.

2433

【即學(xué)即練3】設(shè)a是非零向量，/I是非零實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.a與Za的方向相同B.a與一面的方向相反

C.a與/Pa的方向相同D.\Aa\=A\a\

【答案】C

【解析】只有當(dāng)2>0時(shí)，才有。與履的方向相同，a與一九I的方向相反，且|A?|=/l|a|.

因?yàn)橥?gt;0，所以a與丸，的方向相同.故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)乘，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)

算，可直接得出結(jié)果.

［即學(xué)即練4】已知平行四邊形ABC。的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)。，設(shè)AB=a，3C=6，

則g(a_5)=()

A.OAB.OB

c.ocD.OD

【答案】B

【解析】如圖，a_b=AB_BC=AB_AD=DB；(a_b)=；DB=OB.

本題正確選項(xiàng)為B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算問(wèn)題，涉及到向量的減法和數(shù)乘運(yùn)算的應(yīng)用，屬于基

礎(chǔ)題.根據(jù)向量減法的三角形法則和數(shù)乘運(yùn)算宜接可得結(jié)果.

【即學(xué)即練5】在梯形ABC。中，A8=3OC，則8c等于()

224

A.--AB+B.——AB+-AD

AD33

C.--AB+-ADD.--AB-AD

333

【答案】A

【解析】V在梯形ABCD中，AB=3DC

.1.2--

BC=BA+AD+DC=-AB+AD+-AB=——AB+AD,故選A.

33

【即學(xué)即練6】已知M為△48。的邊43的中點(diǎn)，△A3C所在平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)P,滿足

PC=PA+PB，若|PC|二HPM|,則2的值為()

A.2B.1

C.-D.4

2

【答案】A

【解析】由題意滿足PC=PA+PB，可得四邊形尸是平行四邊形，又M為aABC的邊

AB的中點(diǎn)，.,.PC=2PM,|PC|=；1|PM，.?J=2.故選A.

【即學(xué)即練7】已知實(shí)數(shù)機(jī)，〃和向量。，b,有下列說(shuō)法：

①m（a—b）="ia—nib；ri）a=ma-na；

③若“7"=/泌，則a=〃；④若n7a=”a（aH0）,則加=".

其中，正確的說(shuō)法是（）

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

【答案】B

【解析】①和②屬于向量數(shù)乘運(yùn)算的分配律，正確；

③中，當(dāng)加=0時(shí)，ma=m&=0,但。與b不一定相等，故③不正確；

④正確，因?yàn)橛杉拥茫右弧ǎ?0,乂因?yàn)樗约右弧?0,即機(jī)=〃.

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)乘，熟記向量數(shù)乘運(yùn)算的法則即可，屬于?？碱}型.求

解時(shí)，根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算判斷①②；根據(jù)特殊值m=0,判斷③；根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算，可判

斷④.

【即學(xué)即練8】設(shè)4,02是兩個(gè)不共線的向量，若向量根=-4+仁（keR）與向量

〃=02-26］共線，則（）

A.k-QB.k—\

C.k=2D.k=-

2

【答案】D

【解析】因?yàn)橄蛄棵?一勺+履2(ZeR)與向量〃=02—2弓共線，所以存在實(shí)數(shù)2,使

得m=An,

k=A1

所以有—q+Ze?=4(e2—2eJ,因此，,一，解得左=一.故選D.

-1=-222

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查由向量共線求參數(shù)的問(wèn)題，熟記向量的共線定理即可，屬于常考

題型.求解時(shí)，根據(jù)向量的共線定理，結(jié)合題意得到，存在實(shí)數(shù);I,使得加=2”，根據(jù)題

中數(shù)據(jù)，列出方程組求解，即可得出結(jié)果.

1(212、

【即學(xué)即練9】化簡(jiǎn)：5(°+26—3c)+51J—3(a—2/?—c)=.

【答案】59/+29

626

【分析】

通過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)將式子化簡(jiǎn)即可.

【詳解】

原式=(萬(wàn)+5*1—3/+—x2+5x(——)—3x(—2)h+—x(—3)+5x——3x(—1)c

=—a+—b+—c.

626

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

【即學(xué)即練10］若向量a=3i-4/,〃=5i+4/J"(ga-b)-3(a+g/，+(26-a)=.

【答案】-16/+—y

【分析】

+(2b-a)=-^a-b再代入計(jì)算可得.

首先計(jì)算出緊爐0+加

【詳解】

解：++=；〃一匕一3〃-2/?+2Z?-a=-^-a-b

,a=3i-4j,b=5i+4j

.?.-y?-/?=-y(3z-4jj-(5j+4jj=-ll/+yJ-5/-4J=-16/+yj

32

故答案為：-16i+方/

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

u能力拓展

考法01

1.向量的數(shù)乘運(yùn)算

【典例1】；3（2。+昉）-卜“一26）］等于（）

A.2a-bB.2b-a

C.b-aD.a-b

【答案】B

【分析】

利用平面向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

【詳解】

原式=^—3a+6bj=2b—a.

故選：B.

考法02

用向量證明三線共點(diǎn)與三點(diǎn)共線問(wèn)題

實(shí)數(shù)與向量的積的定義我們可以看作是數(shù)與數(shù)的積的推廣，學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)與向量的積及運(yùn)算

律時(shí)，應(yīng)聯(lián)想數(shù)與數(shù)的積的定義及運(yùn)算律，加深理解，并注意到實(shí)數(shù)與向量的積仍是一個(gè)向

量，化簡(jiǎn)向量代數(shù)式時(shí)可類(lèi)比多項(xiàng)式的合并同類(lèi)項(xiàng).

【典例2】設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，BC+BA=2BP，貝U（）

A.P、A、C三點(diǎn)共線

B.P、A、B三點(diǎn)共線

C.P、B、C三點(diǎn)共線

D.以上均不正確

【答案】A

【解析】如圖，取4c中點(diǎn)。，則BC+8A=28。，23O=23P，和尸重合，；/，A,

C三點(diǎn)共線.故選A.

A

【典例3】如圖所示，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)M是A3的中點(diǎn)，點(diǎn)N是3。上一點(diǎn),

BN=-BD,求證：M,N,C三點(diǎn)共線.

3

【答案】證明詳見(jiàn)解析.

【解析】設(shè)AB=a，AD=b,

MN-MB+BN=—AB+—Bl)=—a+—(AD—Afi\=—a+—(b—a\=—a+—b,

2323、,23、’63

MC=MB+BC=-AB+AD=-a+b=3MN,

22

MNMC,

又MN,MC有公共點(diǎn)M,

：.M,N,C三點(diǎn)共線.

【名師點(diǎn)睛】?jī)上蛄抗簿€是我們研究向量間一種比較重要的位置關(guān)系，應(yīng)掌握常見(jiàn)的向量共

線的判定方法.用A8//C。解釋A8〃8；用AB//CQ解釋或A5與CD共線.證明

三點(diǎn)共線，可先在三點(diǎn)中選擇起點(diǎn)和終點(diǎn)確定兩個(gè)向量，看能否找到唯一的實(shí)數(shù)4使兩向量

相等.把向量共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋求實(shí)數(shù)4使向量相等的問(wèn)題.

【即學(xué)即練II】已知向量”6-/，方=-31e2-2eJ.求證：消了是共線向量.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】

由平面向量共線定理即可證明問(wèn)題.

【詳解】

由題意，a=et-^e2,b=-3\e2-2eA,則b=6口斗卜6。，由向量共線定理知消］是

共線向量.

考法03

3.“姐妹式”巧解向量問(wèn)題

我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣一些基本圖形：兩條相交直線及兩條直線外的點(diǎn)（作為多條向量的

起點(diǎn)）（如下例1中的圖）.解與此相關(guān)的向量分解、計(jì)算、證明等問(wèn)題的核心往往是抓住

交點(diǎn)分其所在線段（直線）被從同一起點(diǎn)出發(fā)的向量所截得兩線段的比.兩次應(yīng)用上述結(jié)論

得到一對(duì)“姐妹式”，“殊途同歸''后利用共線向量定理得到一個(gè)方程組，最后或解方程組或設(shè)

而不求整體消元，則問(wèn)題可迎刃而解.

【典例4】如圖，在△AOB的邊。4,上分別有P,Q,已知OP:E4=1:2,OQ:QB=3:2,

連接42,BP,設(shè)它們交點(diǎn)為若。4=a，OB=b.試用。，力表示OR.

【答案】OR=-a+-b

62

【解析】不妨設(shè)AR=fR。，BR=sRP,

3/,.s

Q4---bCDb4—a

則小不?

且。R==

]+t1+s1+s

-L=_3_

t=5..11

故1+r1+s,解得,所rr以O(shè)R=—a+—).

3s=162

工，

J+r1+s

【名師點(diǎn)睛】“姐妹式”在處理兩直線相交且與這兩條直線外點(diǎn)有關(guān)的向量分解、計(jì)算、證明

等問(wèn)題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用.

21

【即學(xué)即練12】在△ABC中，點(diǎn)尸是A8上一點(diǎn)，且CP=（C4+：CB,。是8C中點(diǎn)，AQ

與CP交點(diǎn)為M,又CM=tCP，貝”的值為（）

1243

A.-B.-C.-D.-

【答案】D

【詳解】因?yàn)锳,M,Q三點(diǎn)共線，所以可設(shè)AM=2AQ,又

CM=C（|cA+gc8）=|心+5CB,所以AM=CM_C4=（gl）CA+?C8,

一——.1—?

AQ=CQ-CA=-CB-CA,將它們代入AM=ZA。，即有

2?/

z、—f_1=-A

|r-l+=由于CA,C8不共線，從而有｛:,解得

[3J32-t=-^

32

31

/=—,/1=—,故選擇D.

42

【考點(diǎn)】向量的基本運(yùn)算及向量共線基本定理.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.下列運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)是（）

①（-3>2。=-6a；②2（a+b）-（2/2-a）=3a；

③（a+2。）-（2b+a）=0.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

利用平面向量的加法，減法，數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律判斷.

【詳解】

①（-3>2a=-6a,由數(shù)乘運(yùn)算知正確；

②2.+。）-（26-4）=3a,由向量的運(yùn)算律知正確；

,+2））-（28+力=0,向量的加法，減法和數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果是向量，故錯(cuò)誤.

故選：C

2.設(shè)q,e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量a=-q+處2（keR）與向量〃=e2-2q共線，則

（）

A.k=0B.k=1C.k=2D.k=不

2

【答案】D

【分析】

根據(jù)向量〃?=一耳+?。╧eR）與向量"=e?-2q共線，由帆=求解.

【詳解】

因?yàn)閝,02是兩個(gè)不共線的向量，且向量旭=-4+谿2（%eR）與向量"=e2-24共線，

所以機(jī)=力7，即-4+媯=丸（。2-%），

f—1=—2Z1

所以，，，解得

[攵一/t2

故選：D

3.已知q,e?是不共線向量，則下列各組向量中，是共線向量的有（）

（￡）4=5。],b=7et；②a=；g-g&2，b=3et-2e2；

@a=et+e2,b=3e、—3e,.

A.①@B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】

根據(jù)平面向量共線定理得到，對(duì)于①a=故兩向量共線；對(duì)于②故兩向量共

線；對(duì)于③不存在實(shí)數(shù)2滿足〃=肪，故不共線.

【詳解】

5

對(duì)于①。=5。，b=le],a=b,故兩向量共線；

II1

對(duì)于②”=彳烏_彳@2，b=3e}-2e2,a=-h,故兩向量共線；

對(duì)于③“=4+e?,b=3e1-3e2,

假設(shè)存在A,a=Ab=>q+e2=X（3g_3eJ

=>（3幾-1"]=（32+1”2,因?yàn)閝,e?是不共線向量，

故得到34-1=32+1無(wú)解.

故選：A.

4.如圖所示，在.ABC中，BD=2DC.若AB=a,AC=b，則A￡>=（）

c

D

AB

【答案】c

【分析】

根據(jù)比>=2￡>C.且A8="，AC=b.利用平面向量的加法，減法和數(shù)乘運(yùn)算求解.

【詳解】

因?yàn)?￡>=2￡>C.且AB=a,AC=b，

所以AO=AC+C3

=AC+-CB

3

=AC+g（AB-AC）

1?12

=-AB+-AC=-a+-b.^C

3333:

5.在.A8c中，點(diǎn)。在CB的延長(zhǎng)線上，且C￡>=4BD="B+sAC，貝V一$等于（）

48

A.0B.-C.-D.3

53

【答案】C

【分析】

根據(jù)C￡>=4BD=rAB+sAC，利用平面向量的基本定理求解.

【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且CD=4BD，

444

所以CD=—CB=—AB——AC,

333

又因?yàn)镃D=rAB+sAC，

44

所以r=-,s=~-,

33

Q

所以r-s=g,

故選：C

2

6.若A3=-§BC,則下列各式中不正確的是（）.

3.11

A.CB=-ABB.BA^2ACC.CA=——BCD.AC=-AB

232

【答案】D

【分析】

根據(jù)向量的數(shù)乘的定義判斷.

【詳解】

如圖，由A8=—知C在84延長(zhǎng)線上，且

因此由向量數(shù)乘定義知ABC三個(gè)選項(xiàng)均正確，D錯(cuò)誤.

CAB

故選：D.

4—.

7.已知PA=-5AB,設(shè)BPmi，貝ij/l=().

4433

A.—B.——C.—D.—

3344

【答案】D

【分析】

根據(jù)向量的數(shù)乘定義求解.

【詳解】

44

由=得P是線段AB上的點(diǎn)，且=如圖，

433

因此=BP=^PA,2=-J.

故選：D.

ApB

8.已知向量a,3S.AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=la-2b,則一定共線的三點(diǎn)是()

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

【答案】A

【分析】

根據(jù)三點(diǎn)共線的知識(shí)確定正確選項(xiàng).

【詳解】

依題意AB=a+24BC=-5a+66,CO=7a-26,

AD=AB+BC+CD=3a+6b=3ABr所以AB,AO共線，即AB,￡＞三點(diǎn)共線,A正確.

4C=A8+BC=-4a+8〃，則4B,AC不共線、AC,CQ不共線，BD錯(cuò)誤.

BD=BC+CD=2a+4b，則8c,3。不共線，C錯(cuò)誤.

故選：A

9.我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人

稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如

圖所示.在“趙爽弦圖"中，若BC=a,BA=b,BE=3EF,貝ij8尸=(

A.3+JB.九+幼-129,D.3。+空b

C.—a+—b

455525252525

【答案】D

【分析】

利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理求解即可:

【詳解】

由題意8/=8。+(7/=80+："=80+1(E8+班)=80+(1—(8/+84

253

:.-BF=BC+-BA,/.BF=—BC+—BA

1642525

BF=—a+—b

2525

故選：D

7

10.已知向量a=-2e,〃=]C,(e為單位向量)，則向量a與向量b()

A.不共線B.方向相反

C.方向相同D.\a\>\b\

【答案】B

【分析】

根據(jù)兩者之間的數(shù)乘關(guān)系可判斷兩者之間的關(guān)系.

【詳解】

因?yàn)閍=2,b--e,所以a=-9〃，

37

故向量a與向量b共線反向.

故選：B.

11.設(shè)向量。4=q,OB=e2,若4與與不共線，且點(diǎn)P在線段A8上，網(wǎng)：網(wǎng)=2,則。尸=

)

B

A12n21「12n21

A.—q—e,B.-4+-%C.—c,H—e、D.一，—e?

3333-3132332

【答案】c

【分析】

根據(jù)向量線性關(guān)系的幾何意義得到OP,OA,O月的線性關(guān)系，即可知正確選項(xiàng).

【詳解】

2

由0P=0A+AP,AP=-A8,A8=08-0A,

3

2212

OP=OA+-(OB-OA)=e)+-(e2-el)=-el+-e2.

故選：C

12.已知A8=a，AC=b，BD=3DC，用a，b表示AD，則A￡>=()

31,n3,c11,rL+射

A.一〃H—bB.ci-\—bC.-ciH—hD.

4444444

【答案】D

【分析】

結(jié)合平面圖形的幾何性質(zhì)以及平面向量的線性運(yùn)算即可求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)锽O=3OC，

aa〔a

所以40=AB+8D=A8+=8C=A8+-(-A8+AC)=-A8+-AC,

44、744

又因?yàn)锳8=a，AC=b^

13

所以AO=上〃+

44

故選：D.

13.一ABC的三邊BC,CA,A3的中點(diǎn)分別是O,E,尸，則3E+CF=()

A.BCB.—ADC.-ADD.BC

22

【答案】c

【分析】

運(yùn)用向量加法法則及數(shù)乘法的法則計(jì)算.

【詳解】

如圖，

A8C的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn)分別是3，E,F；

BE+CF=(BC+CE)+(CB+BF)

=CE+BF

=-CA+-BA

22

=-g(AB+AC)

=-AD-

14.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C、。是半圓弧力上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，AB=a，AC=b，

2222

【答案】D

【分析】連接CD、OD、0C,分析出四邊形A8C為平行四邊形，利用平面向量加法的

平行四邊形法則可得出結(jié)果.

【詳解】

連接C￡＞、OD、0C.如圖.

由于點(diǎn)C、。是半圓弧a上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則/80。=/(70。=446^=60,

OA=OC=OD,則△AOC、△(%>￡>均為等邊三角形，??.NOAC=NOCO=60,

..ZOAC=ZBOD,OD//AC,同理可知CD〃A3,

]

所以，四邊形AODC為平行四邊形，所以，AD^AO+AC=-a+b,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于分析出四邊形4ODC為平行四邊形，進(jìn)而利用平面向量加

法的平行四邊形法則求解.

15.如圖，設(shè)P為AA3C內(nèi)一點(diǎn)，且AP=：AB+!AC,則A物與A4BC的面積之比為

34

【答案】A

【分析】

作PD//AC交AB于點(diǎn)根據(jù)向量比例，利用三角形面積公式，得出SM〃與的比例,

再由SAADP與s^PB的比例，可得到結(jié)果.

【詳解】

如圖，作H)//4c交48于點(diǎn)力,

p

3

則AP=A￡)+OP，由題意，AD=^AB,=且NADP+NCAB=180，

又AO=〈AB,所以，SMPB=3SMW=1SMBC,即2=J,

所以本題答案為A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)與向量的結(jié)合，三角形面積公式，屬基礎(chǔ)題，作出合適的輔助線是本題的

關(guān)鍵.

_?1___

16.如圖，在AABC中，AD=-AC,BP=-PD,若AP=2AB+〃AC,則幾+〃的值為

【答案】A

【分析】

根據(jù)向量線性運(yùn)算，可利用48和AC表示出AP，從而可根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系求得結(jié)果.

【詳解】

由題意得：AP^AB+BP^AB+-BD^AB+-(AD-AB\=-AB+-AD

44、744

31231

=-AB+-x-AC=-AB+-AC

44346

3111

又AP=+//AC,可知：A+//=—+—=~^2

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的線性運(yùn)算問(wèn)題，涉及到向量的數(shù)乘運(yùn)算、加法運(yùn)算、減法運(yùn)算，屬于常規(guī)題

型.

題組B能力提升練

1.已知。是△A8C所在平面上的一點(diǎn)，若。4+08+00=3，則點(diǎn)。是△ABC的（）

A.夕卜心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】C

【分析】

作BD//OC、CD//OB,連接0。，。。與8C相交于點(diǎn)G,可得0B+0C=0。，

乂OB+OC=-OA，則有。力=-。4，即AG是BC邊上的中線，同理，BO,C。也在

的中線上，即可得出結(jié)果.

【詳解】

作8D〃0C,CD//OB,連接0。，與8c相交于點(diǎn)G,則8G=CG（平行四邊形對(duì)角線互

相平分），

OB+OC=OD，

又04+08+00=3，可得08+0C=-0A，-,-OD=OA，

：.A,O,G在一條直線上，可得4G是BC邊上的中線，同理，BO,C0也在△A8C的中線

上.，點(diǎn)0為三角形ABC的重心.

故選：C.

2.已知。是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)尸滿足

OP=OA+A（AB+AJC）>2e（O,+°°）,則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)A8C的（）

A.內(nèi)心B.外心

C.重心D.垂心

【答案】c

【分析】

取8C的中點(diǎn)O,由已知條件可知?jiǎng)狱c(diǎn)P滿足蘇=5U>1（6+A3），2e（O，*?），易得

AP=2AAD'則點(diǎn)A。，尸三點(diǎn)共線，進(jìn)而得到點(diǎn)尸的軌跡一定通過(guò)A8C的重心?

【詳解】

解：設(shè)。為BC的中點(diǎn)，則。3=0%+〃A5+A3）=&+224b，

則OP-OA=2AAD'i!|iAP=2/1AD'

??ARP三點(diǎn)共線，

又因?yàn)椤锽C的中點(diǎn)，所以A3是邊BC的中線，

所以點(diǎn)尸的軌跡一定通過(guò)./WC的重心.

故選：C.

3.如圖，已知四邊形ABC。是梯形，AB//CD,E,F,G,H分別是AO,BC,AB,

8的中點(diǎn)，則EF等于（）

A.AD+BCB.AB+DC

C.AG+DHD.BG+GH

【答案】C

【分析】

利用向量的線性運(yùn)算直接計(jì)算.

【詳解】

如圖，連接30交EF于連接MH,MG,則四邊形AEMG和四邊形都是平行

四邊形，

所以EM=AG，DH=HC=MF，

則EF=EM+MF=AG+?！?，

故選：C.

4.已知。是.A3C所在平面內(nèi)的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP=OA+X—+"e(0,+8),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò),ABC的()

1|A8|\AC\J

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

【答案】A

【分析】

占表示的是“方向上的單位向量，畫(huà)圖象，根據(jù)圖象可知點(diǎn)P在々AC的角平分線上，故動(dòng)

點(diǎn)尸必過(guò)三角形的內(nèi)心.

【詳解】

ABAC_

如圖，設(shè)網(wǎng)"，國(guó)=醒,

已知AF,4E均為單位向量，

故四邊形AEDF為菱形，所以AO平分ZBAC,

‘ARAC'

由OP=OA+/l-^-+—,Ae(0,+oo)

1|A8|\AC\)

得AP=/IAQ，又AP與AD有公共點(diǎn)A,

故A,￡>,尸三點(diǎn)共線，

所以點(diǎn)尸在NBAC的角平分線上，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)二ABC的內(nèi)心.

故選：A.

5.已知點(diǎn)。是ABC所在平面上的一點(diǎn)，ABC的三邊為4。,。，若=

則點(diǎn)。是,加?。的()

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】B

【分析】

在AB,AC上分別取單位向量篇），&，作A%=Ab+A%，則A尸平分々AC,用&，贏/表

不出加A代入條件式，用^，元表示出N，則可證明A，F(xiàn),。三點(diǎn)共線，即A。平

AO

分ZBAC.

【詳解】

—>

AB

在A8,AC上分別取點(diǎn)D，E，使得北＞=AE=—

b

貝111Abiq&'|=1?

以AO,AE為鄰邊作平行四邊形/WFE,如圖,

則四邊形AO/石是菱形，且=

cb

??.AF為ZBAC的平分線.

—>—>—>—>

aOA+bOB+cOC=0

—>—>

/.a?04+b?(0A+AB)+c?(OA+AC)=0?

^{a+b+c)OA+bAB+cAC=^，

—?—>

?b工、c3be.ABAC

??AO=AB+------------AC=------------(——+之——一后.

a+b+ca+b+ca+b+ccba+b+c

;.A，O,F三點(diǎn)共線，即。在NBAC的平分線上.

同理可得。在其他兩角的平分線上,

是ABC的內(nèi)心.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形內(nèi)心的向量表示，向量的線性運(yùn)算，屬于中檔題.

6.已知。為，A8C所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足OA+O8=CO，則一08c的面積與,ABC的

面積的比值為（）

1123

A.3-B.-23-D.4-

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意，可得。為AABC內(nèi)部一點(diǎn)，取BC中點(diǎn)。，連接并延長(zhǎng)至E,使DE=OD于

是四邊形30CE是平行四邊形，由條件和共線向量定理，即可得到AD為中線，同理延長(zhǎng)50

交ACTF,則下也為中點(diǎn)，即可得到。是重心.

【詳解】

解：由OA+O8=C。得Q4+O8+OC=0，故。在△內(nèi)部，

如圖，取3c中點(diǎn)。，連接。。并延長(zhǎng)至E,使得。E=OD，

則四邊形B0CE為平行四邊形.

則OB+OC=OE，又因?yàn)镺B+OC=AO，

所以A、0、E三點(diǎn)共線且|A0|=|0E|=2|0D|,

即。為的重心.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的運(yùn)用，考查向量加法的平行四邊形法則，同時(shí)考查三角形的重心定義,

屬于中檔題.

7.（多選）已知向量a,6不共線，若A3=4a+匕，AC^a+^b,且A,B,C三點(diǎn)共線,

則關(guān)于實(shí)數(shù)4，4的值可以是（）

A.2,gB.-3,—

C.2）—D.-3,—

23

【答案】AB

【分析】

利用平面向量共線基本定理即可求解.

【詳解】

因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，

則存在實(shí)數(shù)2，使得AB=AAC>

即\a+b=2（a+4》）,

即4a+6=Aci+?

所以（4Y）a+（T4W=0，

乂因?yàn)橄蛄俊?，匕不共線，

f2,—2=0

所以；門(mén)A-解得44=1，

[1-44=U

所以實(shí)數(shù)4，%的值互為倒數(shù)即可求解.

故選：AB

8.（多選）己知4A8-3AO=AC,則下列結(jié)論正確的是（）

A.A,B,C,。四點(diǎn)共線B.C,B,。三點(diǎn)共線

C.\AC\=\DB\D.\BC\=3\DB\

【答案】BD

【分析】

由448-3AD=AC可得3Z）3=BC，從而可對(duì)ABD進(jìn)行判斷，再對(duì)4A8-3AD=AC變形化

簡(jiǎn)可對(duì)C進(jìn)行判斷

【詳解】

因?yàn)?A3-3A￡）=AC，所以3AB-3AO=AC-4B，

所以3O8=8C，

因?yàn)镺8,BC有公共端點(diǎn)B,所以C,B,。三點(diǎn)共線，且18cl=3|。例，所以BD正確，A

錯(cuò)誤，

由4A8-3AO=AC，WAC=3AB-3AD+AB=3DB+AB,所以|AC國(guó)。8|,所以C錯(cuò)誤,

故選：BD

9.（多選題）等邊三角形ABC中，=DC,EC=2AE'A￡）與BE交于F,則下列結(jié)論正

確的是（）

T21T

A.AD=-\AB+AC\B.BE=-BC+-BA

33

-1fT1-1-

C.AF=-ADD.BF=-BA+-BC

223

【答案】AC

【分析】

可畫(huà)出圖形，根據(jù)條件可得出。為邊3c的中點(diǎn)，從而得出選項(xiàng)A正確;

..T1T—]—2T

山丘'=2怠可得出的二：4^?，進(jìn)而可得出BE=WBC+￡B4，從而得出選擇B錯(cuò)誤;

。DD

T'1TT4T4夕T1

可設(shè)A尸=：AD,進(jìn)而得出A尸=5AB+《AE,從而得出；1=:,進(jìn)而得出選項(xiàng)C正確;

2222

由A尸=：A。即可得出B尸=：BA+；BC,從而得出選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

224

【詳解】

如圖，

訪="","為8C的中點(diǎn)，.??筋=；便+回，r.A正確；

-1T1TT

EC=2AE<-AE=-AC=-(BC-BA),

—>—>—>—>i—>—>1f2f

/.BE=BA+AE=BA+-(<BC-BA)=-BC-}--BA,/.B錯(cuò)誤；

設(shè)/1>=；16=(6+(正=(屹+日/，且8,F,E三點(diǎn)共線，

???1+y=l.解得人；，

AF=-AD,?,(正確；

2

->Tf->1->->f1fl—11

BF=BA+AF=BA+-AD=BA+-(BD-BA)=BA+-BC一一BA=-BA+-BC,；.D錯(cuò)誤.

224224

故選：AC

DAPRPC

10.(多選題)放△ABC中，ZABC=9O°,AB=BBC=\,國(guó)+網(wǎng)+網(wǎng)巴以下正確

的是（）

A.ZAPB=\20°B.ZBPC=\20°

C.2BP