吉林省長春市新區(qū)2023--2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷+

吉林省長春市新區(qū)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）若使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≥2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≤22．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+7＝0，配方后的方程是（）A．（x+3）2＝7 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣3）2＝2 D．（x+3）2＝23．（3分）如圖，直線a∥b∥c，直線m、n分別與直線a、b、c相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，若AB＝2，BC＝3，DE＝3，則EF＝（）A． B． C．4 D．4．（3分）如圖，在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，小明在學(xué)校門口的點(diǎn)C處測得樹的頂端A的仰角為37°，同時(shí)測得BC＝20米，則樹的高AB（單位：米）為（）A．20tan37° B． C． D．20sin37°5．（3分）a是方程x2+x﹣1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式2021﹣2a2﹣2a的值是（）A．2019 B．2021 C．2022 D．20236．（3分）已知點(diǎn)（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（2，y3）都在函數(shù)y＝﹣x2+5的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y27．（3分）在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圓規(guī)在AC上確定點(diǎn)D，使△BAD∽△CBD，根據(jù)作圖痕跡判斷，正確的是（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE：CE＝2：3，連結(jié)AE，BD交于點(diǎn)F，若△DEF的面積為4，則四邊形CEFB的面積等于（）A．50 B．35 C．31 D．20二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9．（3分）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，若DF：AC＝1：3，則OE：OB＝．10．（3分）如果關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有兩個(gè)同號實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是．11．（3分）將拋物線y＝﹣x2向右平移2個(gè)單位所得函數(shù)解析式為．12．（3分）二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣2的圖象如圖所示，則函數(shù)值y≥0時(shí)，x的取值范圍是．13．（3分）攔水壩橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡比是1：，壩高BC＝10m，則坡面AB的長度是m．14．（3分）如圖，同學(xué)們在操場上玩跳大繩游戲，繩甩到最高處時(shí)的形狀是拋物線型，搖繩的甲、乙兩名同學(xué)拿繩的手的間距為6米，到地面的距離AO與BD均為0.9米，繩子甩到最高點(diǎn)C處時(shí)，最高點(diǎn)距地面的垂直距離為1.8米．身高為1.4米的小吉站在距點(diǎn)O水平距離為m米處，若他能夠正常跳大繩（繩子甩到最高時(shí)超過他的頭頂），則m的取值范圍是．三、解答題（本大題共10小題，共78分）15．（6分）計(jì)算：2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°．16．（6分）2023年第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉辦．小蔡作為亞運(yùn)會(huì)的志愿者“小青荷”為大家提供咨詢服務(wù)．現(xiàn)有如圖所示“杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物”的三盒盲盒供小蔡選擇，分別記為A，B，C．小蔡從中隨機(jī)抽取兩盒．請用列表或畫樹狀圖的方法，求小蔡抽到的兩盒吉祥物恰好是A和C的概率．17．（6分）每當(dāng)秋冬季節(jié)交替的時(shí)間，感冒藥品的銷量就會(huì)大幅增長，藥店利潤也有所提高，某藥店九月份的銷售利潤是5000元，而十一月份的銷售利潤為11250元，求該藥店利潤平均每月的增長率．18．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．（1）證明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長．19．（7分）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．（1）在圖①中，畫出△ABC中BC邊上的中線AD．（2）在圖②中，在AC邊上找到一點(diǎn)E，連結(jié)BE，使S△ABE：S△BCE＝2：3．（3）在圖③中，在AB邊上找到一點(diǎn)F，連結(jié)CF，使tan∠ACF＝．20．（7分）下表是某廠質(zhì)檢部門對該廠生產(chǎn)的一批排球質(zhì)量檢測的情況．抽取的排球數(shù)描取格品數(shù)5001000150020003000合格品數(shù)4719461425b2853合格品頻率a0.9460.9500.9490.951（1）求出表中a＝，b＝．（2）從這批排球中任意抽取一個(gè)，是合格品的概率約是．（精確到0.01）（3）如果生產(chǎn)25000個(gè)排球，那么估計(jì)該廠生產(chǎn)的排球合格的有多少個(gè)？21．（8分）已知，拋物線y＝x2+2x﹣3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．（1）直接寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)﹣3≤x≤2時(shí)，求y的最大值與最小值之差．22．（9分）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第77頁的部分內(nèi)容．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：DE∥BC，且DE＝BC．對此，我們可以用演繹推理給出證明．（無需證明）【感知】如圖①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，AD、CE是Rt△ABC的中線，M、N分別是AD和CE的中點(diǎn)，求MN的長；【應(yīng)用】如圖②，在Rt△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，連接DE，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α＜∠BAC），連接BD、CE，若，則＝；【拓展】如圖③，在等邊△ABC中，D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)），連接AD，把線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，連接BE，F(xiàn)是BE中點(diǎn)，連接DF、CF，若AB＝8，，則CF＝．23．（10分）如圖，在?ABCD中，AD＝10，AB＝8，BD⊥AB．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AB﹣BC以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B、C重合）．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)P作AB所在直線的垂線，交邊AD或邊CD于點(diǎn)Q，以PQ為一邊作矩形PQMN，且QM＝4，MN與BD在PQ的同側(cè)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．（1）tanA的值為．（2）直接寫出線段BP的長．（用含t的代數(shù)式表示）（3）當(dāng)△BDQ的面積等于6時(shí)，求t的值．（4）連接BQ，當(dāng)BQ將矩形PQMN分成的兩部分的面積比為1：7時(shí)，直接寫出t的值．24．（12分）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線與x軸交于O、B兩點(diǎn)，與直線交于O、C兩點(diǎn)，且拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4）．（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；△AOB的形狀為：；（2）求拋物線的解析式；（3）如圖②，點(diǎn)T（t，0）是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)T作y軸的平行線交直線于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，以DE為一邊，在DE的右側(cè)作矩形DEFG，且DG＝2．①當(dāng)矩形DEFG的面積隨著t的增大而增大時(shí)，求t的取值范圍；②當(dāng)矩形DEFG與△AOB有重疊且重疊部分為軸對稱圖形時(shí)，直接寫出t的取值范圍．

參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）若使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≥2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≤2【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【解答】解：∵二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x﹣2≥0，解得x≥2．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+7＝0，配方后的方程是（）A．（x+3）2＝7 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣3）2＝2 D．（x+3）2＝2【分析】移項(xiàng)后兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可．【解答】解：∵x2﹣6x+7＝0，∴x2﹣6x＝﹣7，則x2﹣6x+9＝﹣7+9，即（x﹣3）2＝2，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵．3．（3分）如圖，直線a∥b∥c，直線m、n分別與直線a、b、c相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，若AB＝2，BC＝3，DE＝3，則EF＝（）A． B． C．4 D．【分析】由平行線分線段成比例定理得到AB：BC＝DE：EF，代入有關(guān)數(shù)據(jù)即可求出FE的長．【解答】解：∵a∥b∥c，∴AB：BC＝DE：EF，∵AB＝2，BC＝3，DE＝3，∴2：3＝3：EF，∴EF＝．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查平行線分線段成比例，關(guān)鍵是由平行線分線段成比例得到AB：BC＝DE：EF．4．（3分）如圖，在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，小明在學(xué)校門口的點(diǎn)C處測得樹的頂端A的仰角為37°，同時(shí)測得BC＝20米，則樹的高AB（單位：米）為（）A．20tan37° B． C． D．20sin37°【分析】通過解直角△ABC可以求得AB的長度．【解答】解：如圖，在直角△ABC中，∠B＝90°，∠C＝37°，BC＝20m，∴tanC＝，則AB＝BC?tanC＝20tan37°．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí)，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，當(dāng)問題以一個(gè)實(shí)際問題的形式給出時(shí)，要善于讀懂題意，把實(shí)際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．5．（3分）a是方程x2+x﹣1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式2021﹣2a2﹣2a的值是（）A．2019 B．2021 C．2022 D．2023【分析】先根據(jù)一元二次方程的定義得到a2+a﹣1＝0，再把2021﹣2a2﹣2a＝2021﹣2（a2+a），然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：∵a是方程x2+x+1＝0的一個(gè)根，∴a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，∴2021﹣2a2﹣2a＝2021﹣2（a2+a）＝2021﹣2×1＝2019．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．6．（3分）已知點(diǎn)（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（2，y3）都在函數(shù)y＝﹣x2+5的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式求出函數(shù)圖象的對稱軸是y軸，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出圖象的開口向下，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性即可得到．【解答】解：∵y＝﹣x2+5，∴函數(shù)圖象的對稱軸是y軸，圖象的開口向下，∴當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，∵點(diǎn)（2，y3）關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，y3），且﹣4＜﹣2＜﹣1，∴y2＞y3＞y1，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)．7．（3分）在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圓規(guī)在AC上確定點(diǎn)D，使△BAD∽△CBD，根據(jù)作圖痕跡判斷，正確的是（）A． B． C． D．【分析】若△BAD∽△CBD，可得∠ADB＝∠BDC＝90°，即BD是AC的垂線，根據(jù)作圖痕跡判斷即可．【解答】解：當(dāng)BD是AC的垂線時(shí)，△BAD∽△CBD．∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠A＝∠CBD，∴△BAD∽△CBD．根據(jù)作圖痕跡可知，A選項(xiàng)中，BD是∠ABC的平分線，不與AC垂直，不符合題意；B選項(xiàng)中，BD是AC邊上的中線，不與AC垂直，不符合題意；C選項(xiàng)中，BD是AC的垂線，符合題意；D選項(xiàng)中，AB＝AD，BD不與AC垂直，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查尺規(guī)作圖、相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解答本題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE：CE＝2：3，連結(jié)AE，BD交于點(diǎn)F，若△DEF的面積為4，則四邊形CEFB的面積等于（）A．50 B．35 C．31 D．20【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，得到AB＝CD，AB∥CD，再根據(jù)DE：EC＝2：3從而得到DE：AB＝2：5，證明△DEF∽△BAF，得到＝，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，得到S△BAF＝25，然后根據(jù)△DEF和△ADF的高相等，得到S△ADF＝10，從而求出S△BCD＝S△ABD＝35，即可求出四邊形EFBC的面積．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，CD＝AB．∴△DFE∽△BFA，∴S△DEF：S△BAF＝DE2：AB2，，∵DE：EC＝2：3，∴DE：DC＝DE：AB＝2：5，∴S△DEF：S△ABF＝4：25，∵△DEF的面積為4，∴S△ABF＝25，∵△DEF和△ADF的高相等，且，∴S△ADF＝S△DEF＝×4＝10，∴S△ABD＝S△BAF+S△ADF＝25+10＝35，∴S△BCD＝35，∴四邊形EFBC的面積＝S△BCD﹣S△DEF＝35﹣4＝31，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟知相似三角形邊長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9．（3分）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，若DF：AC＝1：3，則OE：OB＝1：3．【分析】利用位似變換的性質(zhì)解決問題即可．【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，若DF：AC＝1：3，∴△ABC∽△DEF，EF∥BC，∴EF：BC＝DF：AC＝1：3，∴OE：OB＝EF：BC＝1：3，故答案為：1：3．【點(diǎn)評】本題考查位似變換，解題的關(guān)鍵是理解位似變換的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．10．（3分）如果關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有兩個(gè)同號實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是0＜m≤1．【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到Δ＝22﹣4m≥0，解得m≤1，設(shè)方程兩根分別為x1，x2，由于x1+x2＝﹣2＜0，而方程有兩個(gè)同號實(shí)數(shù)根，所以x1x2＝m＞0，于是可得到m的取值范圍．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝22﹣4m≥0，解得m≤1，設(shè)方程兩根分別為x1，x2，而x1+x2＝﹣2＜0，則x1x2＝m＞0，所以m的取值范圍為0＜m≤1．故答案為0＜m≤1．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝，x1x2＝．也考查了根的判別式．11．（3分）將拋物線y＝﹣x2向右平移2個(gè)單位所得函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律“左加右減”即可得出答案．【解答】解：將拋物線y＝﹣x2向右平移2個(gè)單位所得函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2．故答案為：y＝﹣（x﹣2）2．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．12．（3分）二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣2的圖象如圖所示，則函數(shù)值y≥0時(shí)，x的取值范圍是x≤﹣1或x≥2．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再由圖象得出答案．【解答】解：由x2﹣x﹣2＝0可得，x1＝﹣1，x2＝2，觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)x≤﹣1或x≥2時(shí)，函數(shù)值y≥0．故答案為：x≤﹣1或x≥2．【點(diǎn)評】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，正確利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答是解題關(guān)鍵．13．（3分）攔水壩橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡比是1：，壩高BC＝10m，則坡面AB的長度是20m．【分析】利用坡比的定義得出AC的長，進(jìn)而利用勾股定理求出AB的長．【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：，壩高BC＝10m，∴＝＝，解得：AC＝10，則AB＝＝20（m）．故答案為：20．【點(diǎn)評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確利用坡比的定義求出AC的長是解題關(guān)鍵．14．（3分）如圖，同學(xué)們在操場上玩跳大繩游戲，繩甩到最高處時(shí)的形狀是拋物線型，搖繩的甲、乙兩名同學(xué)拿繩的手的間距為6米，到地面的距離AO與BD均為0.9米，繩子甩到最高點(diǎn)C處時(shí)，最高點(diǎn)距地面的垂直距離為1.8米．身高為1.4米的小吉站在距點(diǎn)O水平距離為m米處，若他能夠正常跳大繩（繩子甩到最高時(shí)超過他的頭頂），則m的取值范圍是1＜m＜5．【分析】以AO所在直線為y軸，以地面所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，選定拋物線上兩點(diǎn)C（3，1.8），A（0，0.9）解答即可．【解答】解：如圖，由題意可知C（3，1.8），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）2+1.8，把A（0，0.9）代入y＝a（x﹣3）2+1.8，得a＝﹣0.1，∴所求的拋物線的解析式是y＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8，當(dāng)y＝1.4時(shí)，﹣0.1（x﹣3）2+1.8＝1.4，解得x1＝1，x2＝5，∴則m的取值范圍是1＜m＜5．故答案為：1＜m＜5．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用及坐標(biāo)的求法，此題為數(shù)學(xué)建模題，解答本題的關(guān)鍵是注意審題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，培養(yǎng)自己利用數(shù)學(xué)知識(shí)解答實(shí)際問題的能力．三、解答題（本大題共10小題，共78分）15．（6分）計(jì)算：2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°．【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．【解答】解：2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°＝2×﹣+×＝﹣+＝．【點(diǎn)評】本題考查的是特殊角是三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．16．（6分）2023年第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉辦．小蔡作為亞運(yùn)會(huì)的志愿者“小青荷”為大家提供咨詢服務(wù)．現(xiàn)有如圖所示“杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物”的三盒盲盒供小蔡選擇，分別記為A，B，C．小蔡從中隨機(jī)抽取兩盒．請用列表或畫樹狀圖的方法，求小蔡抽到的兩盒吉祥物恰好是A和C的概率．【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小蔡抽到的兩盒吉祥物恰好是A和C的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中小蔡抽到的兩盒吉祥物恰好是A和C的結(jié)果有2種，∴小蔡抽到的兩盒吉祥物恰好是A和C的概率為＝．【點(diǎn)評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．17．（6分）每當(dāng)秋冬季節(jié)交替的時(shí)間，感冒藥品的銷量就會(huì)大幅增長，藥店利潤也有所提高，某藥店九月份的銷售利潤是5000元，而十一月份的銷售利潤為11250元，求該藥店利潤平均每月的增長率．【分析】設(shè)該藥店利潤平均每月的增長率為x，根據(jù)某藥店九月份的銷售利潤是5000元，而十一月份的銷售利潤為11250元，列出一元二次方程，解之取其正值即可．【解答】解：設(shè)該藥店利潤平均每月的增長率為x，依題意得：5000（1+x）2＝11250，整理得：（1+x）2＝2.25，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合題意，舍去）．答：該藥店利潤平均每月的增長率為50%．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．18．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．（1）證明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長．【分析】（1）根據(jù)已知條件得出∠BDA＝∠BAC，又∠B為公共角，于是得出△ABD∽△CBA；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出BD的長．【解答】（1）證明：∵AD是斜邊BC上的高，∴∠BDA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC，又∵∠B為公共角，∴△ABD∽△CBA；（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，∴，∴，∴BD＝3.6．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．19．（7分）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．（1）在圖①中，畫出△ABC中BC邊上的中線AD．（2）在圖②中，在AC邊上找到一點(diǎn)E，連結(jié)BE，使S△ABE：S△BCE＝2：3．（3）在圖③中，在AB邊上找到一點(diǎn)F，連結(jié)CF，使tan∠ACF＝．【分析】（1）取BC的中點(diǎn)D，連接AD即可．（2）取格點(diǎn)M，N，使AM＝2，CN＝3，AM∥CN，連接MN交AC于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為所求．（3）取格點(diǎn)G，使AC＝AG，AC⊥AG，取AG與網(wǎng)格線的交點(diǎn)H，連接CH交AB于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求．【解答】解：（1）如圖①，AD即為所求．（2）如圖②，取格點(diǎn)M，N，使AM＝2，CN＝3，AM∥CN，連接MN交AC于點(diǎn)E，連接BE，則△AEM∽△CEN，∴，∴S△ABE：S△BCE＝2：3，則點(diǎn)E即為所求．（3）如圖③，取格點(diǎn)G，使AC＝AG，AC⊥AG，取AG與網(wǎng)格線的交點(diǎn)H，則，即，連接CH交AB于點(diǎn)F，∴tan∠ACF＝，則點(diǎn)F即為所求．【點(diǎn)評】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、三角形的中線、解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．20．（7分）下表是某廠質(zhì)檢部門對該廠生產(chǎn)的一批排球質(zhì)量檢測的情況．抽取的排球數(shù)描取格品數(shù)5001000150020003000合格品數(shù)4719461425b2853合格品頻率a0.9460.9500.9490.951（1）求出表中a＝0.942，b＝1898．（2）從這批排球中任意抽取一個(gè)，是合格品的概率約是0.95．（精確到0.01）（3）如果生產(chǎn)25000個(gè)排球，那么估計(jì)該廠生產(chǎn)的排球合格的有多少個(gè)？【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算即可；（2）利用頻數(shù)估算出概率即可；（3）根據(jù)概率計(jì)算即可．【解答】解：（1）471÷500＝0.942，2000×0.949＝1898．故答案為：0.942，1898；（2）由題意知，從這批排球中任意抽取一個(gè)是合格品的概率估計(jì)值是0.95；故答案為：0.95；（3）25000×0.95＝23750（個(gè)）．答：估計(jì)該廠生產(chǎn)的排球合格的有23750個(gè)．【點(diǎn)評】本題考查的是利用頻率估計(jì)概率，熟知當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般通過統(tǒng)計(jì)頻率來估計(jì)概率是解題的關(guān)鍵．21．（8分）已知，拋物線y＝x2+2x﹣3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．（1）直接寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)﹣3≤x≤2時(shí)，求y的最大值與最小值之差．【分析】（1）令x＝0，y＝0列式求解即可得到答案；（2）得到的解析式頂點(diǎn)式后，結(jié)合﹣3≤x≤2，可得當(dāng)x＝﹣1時(shí)y有最小值，當(dāng)x＝2時(shí)y有最大值，再計(jì)算可以得解．【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），當(dāng)y＝0時(shí)，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0）；（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，開口向上，∴在﹣3≤x≤2范圍當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y最小值＝﹣4；當(dāng)x＝2時(shí)，y最大值＝5，∴y的最大值與最小值之差為9．【點(diǎn)評】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，解題時(shí)需要熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（9分）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第77頁的部分內(nèi)容．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：DE∥BC，且DE＝BC．對此，我們可以用演繹推理給出證明．（無需證明）【感知】如圖①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，AD、CE是Rt△ABC的中線，M、N分別是AD和CE的中點(diǎn)，求MN的長；【應(yīng)用】如圖②，在Rt△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，連接DE，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α＜∠BAC），連接BD、CE，若，則＝；【拓展】如圖③，在等邊△ABC中，D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)），連接AD，把線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，連接BE，F(xiàn)是BE中點(diǎn)，連接DF、CF，若AB＝8，，則CF＝4或2．【分析】【感知】設(shè)AC、CE交于點(diǎn)G，連接DE，由∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，求得AC＝＝4，因?yàn)锳D、CE是Rt△ABC的中線，所以DE∥AC，DE＝AC＝2，所以△DGE∽△AGC，則＝＝＝，所以DG＝AD，EG＝CE，而DM＝AD，EN＝CE，可證明＝＝，則△MGN∽△DGE，所以＝＝，可求得MN＝DE＝；【應(yīng)用】由＝，得BC＝2AB，則AC＝＝AB，由＝＝，得＝，而∠BAD＝∠CAE＝α，所以△ABD∽△ACE，則＝＝，于是得到問題的答案；【拓展】分兩種情況討論，一是CF∥DE，則＝＝1，所以CD＝BC＝8，則CF＝CD＝4；二是CF與DE不平行，作GE∥CF交BD的延長線于點(diǎn)G，因?yàn)椋剑?，所以CG＝BC＝8，則CF＝GE，由旋轉(zhuǎn)得DE＝CD，∠CDE＝120°，則CF＝CD＝DE，∠EDG＝60°，所以GE＝DE，則△DEG是等邊三角形，所以GE＝GD＝DE＝CD＝CG＝4，則CF＝GE＝2，于是得到問題的答案．【解答】解：【感知】如圖①，設(shè)AC、CE交于點(diǎn)G，連接DE，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∴AC＝＝＝4，∵AD、CE是Rt△ABC的中線，∴D、E分別為CB、AB的中點(diǎn)，∴DE∥AC，DE＝AC＝2，∴△DGE∽△AGC，∴＝＝＝，∴DG＝AD，EG＝CE，∵M(jìn)、N分別是AD和CE的中點(diǎn)，∴DM＝AD，EN＝CE，∴MG＝AD﹣AD＝AD，NG＝CE﹣CE＝CE，∴＝＝，＝＝，∵＝，∠MGN＝∠DGE，∴△MGN∽△DGE，∴＝＝，∴MN＝DE＝，∴MN的長是．【應(yīng)用】如圖②，∵＝，∴BC＝2AB，∵∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝AB，∴＝，∵AD＝AB，AE＝AC，∴＝＝，∴＝，由旋轉(zhuǎn)得∠BAD＝∠CAE＝α，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝，故答案為：.【拓展】如圖③，CF∥DE，∵△ABC是等邊三角形，AB＝8，∴BC＝AB＝8，∵F是BE中點(diǎn)，∴FE＝BF，∴＝＝1，∴CD＝BC＝8，∴CF＝CD＝4；如圖④，CF與DE不平行，作GE∥CF交BD的延長線于點(diǎn)G，∵＝＝1，∴CG＝BC＝8，∴CF＝GE，由旋轉(zhuǎn)得DE＝CD，∠CDE＝120°，∴CF＝CD＝DE，∠EDG＝180°﹣∠CDE＝60°，∴GE＝DE，∴GE＝DE，∴△DEG是等邊三角形，∴GE＝GD＝DE＝CD＝CG＝4，∴CF＝GE＝2，綜上所述，CF＝4或CF＝2，故答案為：4或2．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查三角形的中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．23．（10分）如圖，在?ABCD中，AD＝10，AB＝8，BD⊥AB．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AB﹣BC以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B、C重合）．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)P作AB所在直線的垂線，交邊AD或邊CD于點(diǎn)Q，以PQ為一邊作矩形PQMN，且QM＝4，MN與BD在PQ的同側(cè)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．（1）tanA的值為．（2）直接寫出線段BP的長．（用含t的代數(shù)式表示）（3）當(dāng)△BDQ的面積等于6時(shí)，求t的值．（4）連接BQ，當(dāng)BQ將矩形PQMN分成的兩部分的面積比為1：7時(shí)，直接寫出t的值．【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的長，再利用正切的定義可求解．（2）分兩種情形求解即可①當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，0＜t＜4，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，4＜t＜9；（3）分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，0＜t＜4，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，4＜t＜9，根據(jù)三角形的面積建立方程求解即可得出答案；（4）分四種情形分別求解即可，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，當(dāng)2＜t＜4時(shí)，當(dāng)4＜t≤6時(shí)，當(dāng)6＜t＜9時(shí)．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AD＝10，AB＝8，BD⊥AB，∴BD＝＝＝6，∴tanA＝＝＝，故答案為：．（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，0＜t＜4，則AP＝2t，∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2t；當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，4＜t＜9，則BP＝2t﹣8；綜上所述，BP＝．（3）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，0＜t＜4，則AP＝2t，如圖1，∴BP＝8﹣2t，∴S△BDQ＝BD?BP＝×6（8﹣2t）＝24﹣6t，由題意得24﹣6t＝6，解得：t＝3；當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，4＜t＜9，如圖2，BP＝2t﹣8，∴CP＝BC﹣BP＝10﹣（2t﹣8）＝18﹣2t，∵PQ∥BD，∴＝，即＝，∴DQ＝（2t﹣8）＝t﹣，∴S△BDQ＝BD?DQ＝×6（t﹣）＝t﹣，由題意得t﹣＝6，解得：t＝；綜上所述，當(dāng)△BDQ的面積等于6時(shí)，t的值為3或．（4）當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，0＜t＜4，則AP＝2t，BP＝8﹣2t，令8﹣2t＝4，解得：t＝2，∵PQ∥BD，∴△APQ∽△ABD，∴＝，即＝，∴PQ＝t，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，如圖3，設(shè)BQ交MN于K，∵四邊形PQMN是矩形，∴MN∥PQ，MN＝PQ＝t，∴△BKN∽△BQP，∴＝，即＝，∴KN＝，∴MK＝MN﹣KN＝t﹣＝，由題意得：＝，∴S矩形PQMN＝8S△MQK，即4×t＝8××4×，解得：t＝﹣4（不符合題意，舍去）；當(dāng)2＜t＜4時(shí)，如圖4，BP＝8﹣2t，由題意得：＝，∴S矩形PQMN＝8S△BPQ，即4×t＝8××t（8﹣2t），解得：t1＝0（不符合題意，舍去），t2＝；當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，4＜t＜9，則BP＝2t﹣8，如圖5，當(dāng)4＜t≤6時(shí)，設(shè)BQ交PN于K，則BP＝2t﹣8，DQ＝t﹣，∴CQ＝8﹣（t﹣）＝﹣t+，∵PQ∥BD，∴△CPQ∽△CBD，∴＝，即＝，∴PQ＝，∵PK∥CQ，∴△BPK∽△BCQ，∴＝，∴PK＝×CQ＝×（﹣t+）＝，由題意得：＝，∴S矩形PQMN＝8S△PQK，∴×4＝8×××，解得：t1＝，t2＝（舍去）；當(dāng)6＜t＜9時(shí)，如圖6，不符合BQ將矩形PQMN分成的兩部分的面積比為1：7，故此種情況不存在；綜上所述，t的值為或．【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用平行線分線段成比例定理，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．24．（12分）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線與x軸交于O、B兩點(diǎn)，與直線交于O、C兩點(diǎn)，且拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4）．（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)（8，0）；△AOB的形狀為：等腰直角三角形；（2）求拋物線的解析式；（3）如圖②，點(diǎn)T（t，0）是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)T作y軸的平行線交直線于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，以DE為一邊，在DE的右側(cè)作矩形DEFG，且DG＝2．①當(dāng)矩形DEFG的面積隨著t的增大而增大時(shí)，求t的取值范圍；②當(dāng)矩形DEFG與△AOB有重疊且重疊部分為軸對稱圖形時(shí)，直接寫出t的取值范圍．【分析】（1）過點(diǎn)A作AH⊥BO于點(diǎn)H，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，軸對稱的性質(zhì)