甘肅省酒泉市瓜州縣重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題(含答案)

瓜州縣重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末考試試卷高三數(shù)學(xué)2024.1注意事項(xiàng)：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)城內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷?草稿紙上作答無(wú)效.3.本試卷命題范圍：高考范圍.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.D.3.已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在的漸近線上，則的方程為（）A.B.C.D.4.下列可能是函數(shù)的圖象的是（）A.B.C.D.5.已知圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓，過圓錐高的中點(diǎn)且與底面平行的平面截此圓錐所得的圓臺(tái)體積是（）A.B.C.D.6.記函數(shù)的最小正周期為，若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（）A.B.C.1D.37.甲?乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地解答同一個(gè)問題，他們能夠正確解答該問題的概率分別是和，則在這個(gè)問題已被正確解答的條件下，甲?乙兩位同學(xué)都能正確解答該問題的概率為（）A.B.C.D.8.已知直線與是曲線的兩條切線，則（）A.B.C.4D.無(wú)法確定二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則B.若，則C.當(dāng)時(shí)，與的夾角為銳角D.若，則與的夾角的余弦值為10.若一組不完全相同的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，極差為，中位數(shù)為，方差為，在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)后得到一組新數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，極差為，中位數(shù)為，方差為，則下列判斷一定正確的是（）A.B.C.D.11.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，為的準(zhǔn)線，則（）A.B.C.以為直徑的圓與相切D.為等腰三角形12.同學(xué)們，你們是否注意到，自然下垂的鐵鏈；空曠的田野上，兩根電線桿之間的電線；峽谷的上空，橫跨深洞的觀光索道的鋼索.這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài).事實(shí)上，這些曲線在數(shù)學(xué)上常常被稱為懸鏈線，懸鏈線的相關(guān)理論在工程?航海?光學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類函數(shù)的表達(dá)式可以為（其中是非零常數(shù)，無(wú)理數(shù)2.），對(duì)于函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（）A.是函數(shù)為偶函數(shù)的充分不必要條件B.是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件C.如果，那么為單調(diào)函數(shù)D.如果，那么函數(shù)存在極值點(diǎn)三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13.某班有48名學(xué)生，一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分）服從正態(tài)分布，且成績(jī)?cè)谏系膶W(xué)生人數(shù)為16，則成績(jī)?cè)?0分以上（不含90分）的學(xué)生人數(shù)為__________.14.與兩坐標(biāo)軸都相切，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________.15.“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等，數(shù)學(xué)上具有這樣特征的一類數(shù)稱為“回文數(shù)”?“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121，241142等，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有__________個(gè).（用數(shù)字作答）16.正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)分別在線段和線段上，且，點(diǎn)是正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)的軌跡在正方形內(nèi)的長(zhǎng)度為__________.四?解答題：本大題共6小題?共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.17.（10分）已知數(shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.（12分）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.（1）求的值；（2）若點(diǎn)在邊上，且，求.19.（12分）某中學(xué)對(duì)50名學(xué)生的“學(xué)習(xí)興趣”和“主動(dòng)預(yù)習(xí)”情況進(jìn)行長(zhǎng)期調(diào)查，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：主動(dòng)預(yù)習(xí)不太主動(dòng)預(yù)習(xí)合計(jì)學(xué)習(xí)興趣高18725學(xué)習(xí)興趣一般61925合計(jì)242650（1）現(xiàn)從“學(xué)習(xí)興趣一般”的25名學(xué)生中，任取2人，用表示其中“會(huì)主動(dòng)預(yù)習(xí)”的學(xué)生的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“學(xué)習(xí)興趣”是否與“主動(dòng)預(yù)習(xí)”有關(guān).參考數(shù)據(jù)?附表及公式：.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820.（12分）如圖，在五面體中，已知平面，且.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值.21.（12分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），直線的斜率之和為4，作于.是否存在定點(diǎn)，使得為定值.若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)及的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.22.（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.瓜州縣重點(diǎn)中學(xué)2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末考試試卷·高三數(shù)學(xué)參考答案?提示及評(píng)分細(xì)則1.B因?yàn)槿?，集合，則.2.D因?yàn)?，所?3.B雙曲線的焦距為，點(diǎn)在的漸近線上，解得1，所以雙曲線方程為：.4.C函數(shù)定義域?yàn)?，排除選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng).5.A根據(jù)題意，設(shè)圓錐的高為，半徑為，母線長(zhǎng)為，若其側(cè)面展開圖是面積為的半圓，則有解得：，則該圓錐的高，故該圓錐的體積，過圓錐高的中點(diǎn)且與底面平行的平面截此圓錐，將圓錐的體積分為的兩部分，則下部分圓臺(tái)體積占原來(lái)圓錐體積的，故所得的圓臺(tái)體積為.6.C函數(shù)的最小正周期為，則，由，得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，，且，則，取，可得，則.7.D設(shè)事件表示“甲能解答該問題”，事件表示“乙能解答該問題”，事件表示“這個(gè)問題被解答”，則，故，所以在這個(gè)問題已被解答的條件下，甲乙兩位同學(xué)都能正確解答該問題的概率為：.8.A曲線的切線過時(shí)，曲線為，設(shè)，直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，切線，切線過，則.同理取，曲線為，設(shè)，直線在曲線上的切點(diǎn)為，切線過，，則.9.ABD對(duì)于A：若，因?yàn)?，則，解得，故A正確；對(duì)于B：若，則，解得，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以與共線同向，故C錯(cuò)誤；對(duì)于：若時(shí)，，則，所以，即與的夾角的余弦值為，故D正確.10.AB，因此平均數(shù)不變，故A正確；中最大值和最小值不變，極差不變，故B正確；如果原來(lái)是偶數(shù)個(gè)數(shù)，中位數(shù)是中間兩個(gè)數(shù)的均值，現(xiàn)在變成奇數(shù)個(gè)數(shù)，中位是中間的一個(gè)數(shù)，兩個(gè)中位數(shù)可能不相等，中位數(shù)可能改變，而方差為，故CD錯(cuò)誤.11.AC直線過拋物線的焦點(diǎn)，可得，所以，所以正確；拋物線方程為：，與交于兩點(diǎn)，直線方程代入拋物線方程可得：，所以，所以不正確；的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，所以以為直徑的圓與相切，所以正確；，不妨可得，所以不是等腰三角形，所以不正確.12.BCD對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，故函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，，故，即，又，故，所以是函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，故函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，，因?yàn)?，?所以是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，若，則恒成立，則為單調(diào)遞增函數(shù)，若，則恒成立，則為單調(diào)遞減函數(shù)，故時(shí)，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，，令得，又，若，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增.函數(shù)存在唯一的極小值.若，當(dāng)，函數(shù)為單調(diào)遞增.當(dāng)，函數(shù)為單調(diào)遞減.故函數(shù)存在唯一的極大值，所以函數(shù)存在極值點(diǎn)，故D選項(xiàng)正確.13.8由（單位：分）服從正態(tài)分布，知正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸為，成績(jī)?cè)谏系膶W(xué)生人數(shù)為16，由對(duì)稱性知成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生人數(shù)為24人，所以90分以上的學(xué)生人數(shù)為.14.或由圓心在直線上，可設(shè)圓心為，由圓與兩坐標(biāo)軸都相切，可得，解得，或.若，則圓心為，半徑為6，圓的方程為；若，則圓心為，半徑為2，圓的方程為.15.225依題意，只要確定萬(wàn)?千?百位上的數(shù)字，該回文數(shù)即可確定，又有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)，則①萬(wàn)位上是奇數(shù)，千位?百位上是偶數(shù)，有種；②萬(wàn)位上是不為0的偶數(shù)，千位上是奇數(shù)?百位上是偶數(shù)，有種，故在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有個(gè).16.如圖，在上取點(diǎn)，使得，在上取點(diǎn)，使得，連接.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，.由已知可得，，又，所以.又，所以四邊形為平行四邊形，所以，且.同理可得，，且.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?同理可得，面.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平?又平面平面，所以根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，只有在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足條件.過點(diǎn)作，垂足為，易知，且，所以.17.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，則，則，解得或（舍），又，所以，解得，所以.（2），所以.18.解：（1）因?yàn)?，所?（2）因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，且，所以，又因?yàn)?所以在中，由余弦定理，可得.19.解：（1）依題意，隨機(jī)變量，隨機(jī)變量的分布列為：012所以的數(shù)學(xué)期望是.（2）提出零假設(shè)：假設(shè)“學(xué)習(xí)興趣”與“主動(dòng)預(yù)習(xí)”無(wú)關(guān).，因此在犯錯(cuò)率小于0.001的條件下，認(rèn)為“學(xué)習(xí)興趣”與“主動(dòng)預(yù)習(xí)”有關(guān).20.（1）證明：分別取的中點(diǎn)，連接，分別是的中點(diǎn)，，且，又，且，且，可得四邊形是平行四邊形，可知，，平面平面，平面，平面，結(jié)合，得平面，又平面平面平面.（2）解：由（1）知平面即，以所在直線為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得.所以，設(shè)是平面的法向量，可得得，取，得是平面的一個(gè)法向量，.若與平面的所成角為，則，可得.直線與平面的余弦值為.21.解：（1）由題意可得解得橢圓的方程為.