2023-2024學(xué)年湖南省衡陽市蒸湘區(qū)重點中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年湖南省衡陽市蒸湘區(qū)重點中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列方程中，是一元二次方程的為(

)A.x2?3y=0 B.22.下列根式是最簡二次根式的是(

)A.15 B.13 C.3.下列各式計算正確的是(

)A.2+3=5 B.4.將一元二次方程x2?2xA.(x?2)2=2 B.5.已知△ABC∽△A1B1C1，且A.40° B.60° C.80°6.如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，且DA.ADDB=AEEC

7.在一幅長60cm，寬40cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示．如果要使整個掛圖的面積是2816cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xA.(60+2x)(40+28.若1≤a≤2，則化簡A.2a?3 B.?a C.9.若關(guān)于x的方程x2?2x+nA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分別為CA、CB的中點，AF平分∠BACA.1

B.12

C.2

D.11.設(shè)α，β是方程x2+3x+1A.?1 B.1 C.5 D.12.如圖所示的數(shù)碼叫“萊布尼茨調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個數(shù)，且兩端的數(shù)均為1n，每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，則第8行第3個數(shù)(從左往右數(shù))為(

)A.160

B.1168

C.1252二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。13.當(dāng)x______時，二次根式x?214.方程x=3x的解是______15.關(guān)于x的方程3x2+2x?m=016.關(guān)于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x117.如圖，小紅把梯子AB斜靠在墻壁上，梯腳B距墻1.6米，小紅上了兩節(jié)梯子到D點，此D點距墻1.4米，BD長0.55米，則梯子的長為______．

18.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，點E為線段AB上的動點，將△CBE沿CE折疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，下列結(jié)論正確的是______(寫出所有正確結(jié)論的序號)．

①當(dāng)E為線段AB中點時，AF/?/CE；

②當(dāng)E為線段AB中點時，AF=95；

③當(dāng)三、計算題：本大題共2小題，共12分。19.計算：48÷20.解方程：x2+2四、解答題：本題共7小題，共56分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。21.(本小題8分)

先化簡，再求值：(a2?5a22.(本小題8分)

已知關(guān)于x的方程x2?4x+2k+1=0．

(1)k23.(本小題8分)

如圖，點D是△ABC的邊AB上一點，∠ABC=∠ACD．

(1)求證：△24.(本小題8分)

某廠工業(yè)廢氣年排放量為400萬立方米，為改善錦州市的大氣環(huán)境質(zhì)量，決定分二期投入治理，使廢氣的年排放量減少到256萬立方米，如果每期治理中廢氣減少的百分率相同．

(1)求每期減少的百分率是多少？

(2)預(yù)計第一期治理中每減少1萬立方米廢氣需投入3萬元，第二期治理中每減少1萬立方米廢氣需投入25.(本小題8分)

如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根，其中一個實數(shù)根是另一個實數(shù)根的2倍，那么稱這樣的方程是“倍根方程”.例如一元二次方程x2?6x+8=0的兩個根是x1=2，x2=4，則方程x26.(本小題8分)

如圖，在?ABCD中，AB=4，AD=BD=13，點M為邊AB的中點．動點P從點A出發(fā)，沿折線AD?DB以每秒13個單位長度的速度向終點B運動，連結(jié)PM.作點A關(guān)于直線PM的對稱點A′，連結(jié)A′P、A′M.設(shè)點P的運動時間為t秒，

(1)點D到邊AB的距離為27.(本小題8分)

如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠C=∠D=90°，BC=16，CD=12，AD=21.動點P從點D出發(fā)，沿線段DA的方向以每秒2個單位長度的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長度的速度向點B

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：A、是二元二次方程的定義，故選項錯誤；

B、是二元一次方程，故選項錯誤；

C、是分式方程，故選項錯誤；

D、符合一元二次方程的定義，故選項正確．

故選：D．

本題根據(jù)一元二次方程的定義求解．

一元二次方程必須滿足三個條件：

(1)是整式方程；

(2)含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

(3)二次項系數(shù)不為0．2.【答案】A

【解析】解：A．15為最簡二次根式，所以A選項符合題意；

B.13=33，則13不是最簡二次根，所以B選項不符合題意；

C.0.1=1010，則0.1不是最簡二次根，所以C選項不符合題意；

D3.【答案】D

【解析】解：A、2與3不屬于同類二次根式，不能運算，故A不符合題意；

B、43?33=3，故B不符合題意；

C、12÷2=3，故4.【答案】C

【解析】解：∵x2?2x?2=0，

∴x2?2x=2，

∴x2?2x+1=2+1，

5.【答案】C

【解析】【分析】

此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握“相似三角形的對應(yīng)角相等”是解題關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)角相等，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出結(jié)果．

【解答】

解：∵△ABC∽△A1B1C1，

∴∠6.【答案】D

【解析】解：A.∵DE//BC∴ADDB=AEEC，本選項正確，不符合題意；

B.∵DE//B7.【答案】A

【解析】解：掛圖長為(60+2x)cm，寬為(40+2x)cm，

所以根據(jù)矩形的面積公式可得：(60+28.【答案】D

【解析】解：∵1≤a≤2，

∴a2?2a+1+|a?9.【答案】B

【解析】解：∵關(guān)于x的方程x2?2x+n=0無實數(shù)根，

∴△=4?4n<0，解得n>1，

∴n?1>0，?n<0，

10.【答案】A

【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=AC2+BC2=5，

∵D、E分別為CA、CB的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE/?/AB11.【答案】C

【解析】解：∵α，β是方程x2+3x+1=0的兩根，

∴α2+3α+1=0，β2+3β+1=0，α+β=?3，αβ=1，12.【答案】B

【解析】解：將楊暉三角形中的每一個數(shù)Cnr都換成分?jǐn)?shù)，得到萊布尼茲三角形1(n+1)Cny，

楊暉三角形中第n(n≥3)行第3個數(shù)字是Cn?12，

則“萊布尼茲調(diào)和三角形”第n(n≥3)行第3個數(shù)字是1ncn?12=2n13.【答案】≥2【解析】解：∵二次根式x?2有意義，

∴x?2≥0，解得x≥2．

故答案為：14.【答案】x=【解析】【分析】

將原方程按照解一元一次方程的步驟：移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得方程的解．

本題主要考查解一元一次方程的基本能力，嚴(yán)格遵循解方程的步驟是解題關(guān)鍵．

【解答】

解：移項，得：x?3x=0，

合并同類項，得：?2x=0，

15.【答案】16

【解析】解：把x=2代入3x2+2x?m=0，

3×22+2×16.【答案】x1=1【解析】解：∵關(guān)于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=3，x2=6(a,m,b均為常數(shù)，a≠0)，

∴方程a(x+m+2)2+b17.【答案】4.40米

【解析】解：因為梯子每一條踏板均和地面平行，所以構(gòu)成一組相似三角形，

即△ADE∽△ABC，則ADAB=DEBC，

設(shè)梯子長為x米，則x?18.【答案】①②【解析】【分析】

本題考查翻折變換、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．

根據(jù)翻折變換，勾股定理，相似三角形等性質(zhì)逐個分析即可．

【解答】

解：如圖1中，當(dāng)AE=EB時，

∵AE=EB=EF，

∴∠EAF=∠EFA，

∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，

∴∠BEC=∠EAF，

∴AF/?/EC，故①正確；

作EM⊥AF，則AM=FM，

在Rt△ECB中，EC=2219.【答案】解：原式=16?【解析】本題主要考查二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)和運算法則．先計算乘法和除法，再合并即可得．20.【答案】解：x2+2x?3=0

【解析】觀察方程x2+221.【答案】解：(a2?5a+2a+2+1)÷a【解析】通過化除法為乘法、約分進(jìn)行化簡，然后代入求值．

本題考查了分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．注意分式有意義的條件．22.【答案】解：(1)∵方程有兩個實數(shù)根，

∴(?4)2?4×1×(2k+1)≥0，

16?8k?4≥0，

解得：k≤32；

(2)∵方程有兩個實數(shù)根x1【解析】(1)根據(jù)根的判別式大于等于0，求出k的范圍即可；

(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡已知等式，計算即可得到23.【答案】解：(1)證明：∵∠ABC=∠ACD，∠CAB=∠DAC，【解析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．

(1)利用∠ABC=∠ACD，加上∠24.【答案】解：(1)設(shè)每期減少的百分率是x，

根據(jù)題意得400(1?x)2=256，

解得x1=0.2，x2=1.8(舍去)，

所以每期減少的百分率為20%．

(2)【解析】(1)本題為平均變化率問題，可按照增長率的一般規(guī)律進(jìn)行解答．增長率問題的一般形式為a(1+x)2=b，a為起始時間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時間的有關(guān)數(shù)量．根據(jù)這個關(guān)系來列出方程，求出百分率是多少．

(2)根據(jù)(1)中得出的百分率，分別求出第一期和第二期的投資，然后相加得出兩期的總投資即可．

本題考查求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為25.【答案】解：(1)x2?3x+2=0，(x?2)(x?1)=0，x?2=0或x?1=0，

所以x1=2，x2=1，

則方程x2?3x+2=0是“倍根方程”；

(2)(x?2)(x?m)=0，x?2=0或x?m=0【解析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時，x1+x2=?ba，x1x2=ca.也考查了閱讀理解能力．

(1)利用因式分解法解方程得到x26.【答案】3

【解析】解：(1)連接DM，

∵DA=DB，點M是AB的中點，

∴DM⊥AB，AM=2，

在Rt△ADM中，由勾股定理得，

DM=AD2?AM2=13?4=3，

故答案為：3．

(2)當(dāng)點P在AD上時，即0≤t<1時，PD=AD?AP=13?13t，

當(dāng)點P在BD上時，即1≤t≤2時，PD=13t?13，

∴PD=13?13t(0≤t<1)13t?13(1≤t≤2)；

(3)∵A′M=2，DM=3，

∴A′D≥1，

∴當(dāng)點D、A′、M共線時，DA′最短，

∴∠AMP=∠DMP，

∴APPD=AMDM=23，

∴S△APM=22+3×S△ADM=25×12×2×3=65，

∴S△PDA′=S△ADM?2S△AMP=3?