山東省濟寧市鄒城市第十中學2023-2024學年九年級上學期期末數(shù)學試題

鄒城十中2023?2024學年度上學期九年級數(shù)學試題第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列各數(shù)是無理數(shù)的是（）A.0 B. C. D.3.14【答案】C【解析】【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義：無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)進行分析，即可得到答案．【詳解】解：0、-1、3.14是有理數(shù)，是無理數(shù)．故選：C．【點睛】此題考查了無理數(shù)和有理數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握無理數(shù)的定義．2.實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由數(shù)軸及題意可得，，依此逐一判斷各項即可．【詳解】解：A.由，可知A選項不符合題意；B.由，可知，可知B選項不符合題意；C.由，可知，故，可知C選項符合題意；D.因為，，故，可知D選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸的知識，利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．3.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B更多優(yōu)質(zhì)資源可進入/【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的知識，把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后，能夠與原圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、繞某一點旋轉(zhuǎn)后，不能夠與原圖形重合，不是中心對稱圖形；沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，是軸對稱圖形，故不符合題意；B、繞某一點旋轉(zhuǎn)后，能夠與原圖形重合，是中心對稱圖形；沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，是軸對稱圖形，故符合題意；C、繞某一點旋轉(zhuǎn)后，能夠與原圖形重合，是中心對稱圖形；沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，不是軸對稱圖形，故不符合題意；D、繞某一點旋轉(zhuǎn)后，不能夠與原圖形重合，不是中心對稱圖形；沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，是軸對稱圖形，故不符合題意；故選：B．4.如圖，△ABC中，，D，E分別為CB，AB上的點，，，若，則DE的長為（）A. B.2 C. D.1【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)三邊長判斷各角的度數(shù)，然后利用等腰三角形“三線合一”求出，再，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DE的長．【詳解】解：△ABC中，，，，，，，，，，，，，，，又，，，故選：D．【點睛】本題考查了直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)特殊三角函數(shù)值求解度，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)三角形三邊確定三角形各角的度數(shù)是解本題的關(guān)鍵．5.函數(shù)與在同一直角坐標系中的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象及反比例函數(shù)的圖象，分類討論：當時，當時，利用數(shù)形結(jié)合即可求解，利用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當時，則，拋物線的開口向上，且與軸交于負半軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三象限，當時，拋物線的開口向下，且與軸交于正半軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限，綜上所述，在同一直角坐標系中的圖象可能，故選A．6.如圖，矩形在平面直角坐標系中，點，分別在反比例函數(shù)和的圖像上，點，在軸上，若，則的值為()A.12 B.7 C. D.【答案】D【解析】【分析】延長交軸于點，根據(jù)點，分別在反比例函數(shù)和上得到，又根據(jù)即可得到答案．【詳解】解：延長交軸于點，點，分別在反比例函數(shù)和上，，，,，，或（舍去）．故選：D【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)中的幾何意義，掌握反比例函數(shù)中的幾何意義是解題的關(guān)鍵．7.如圖，是的直徑，點，在上，，交于點．若．則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠，再根據(jù)等弧所對的弦相等，得到，∠，最后根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解．【詳解】解：∵是的直徑∴∠∵∴∴∠∵∴∠∴∠∴∠故選：B．【點睛】此題主要考查圓周角定理和弧、弦及圓周角之間的關(guān)系，熟練掌握圓周角定理和三者之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．8.如圖，正方形的邊長為6，以為直徑在正方形內(nèi)部畫半圓，連接對角線，則陰影部分的面積是（）A.9 B.6 C.3 D.12【答案】A【解析】【分析】本題考查了求不規(guī)則圖形的面積、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)，設與半圓交于點，半圓的圓心為，連接，，證明得到弓形的面積弓形的面積，則，進行計算即可，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，設與半圓交于點，半圓的圓心為，連接，，，四邊形是正方形，，，，，垂直平分，，弓形的面積弓形的面積，，故選：A．9.若點A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函數(shù)的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是()A.y1＞y2＞y3 B.y3＞y2＞y1 C.y2＞y1＞y3 D.y1＞y3＞y2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求出y1、y2、y3的值，比較后即可得出結(jié)論.【詳解】∵點A(﹣4，y1)、B(﹣2，y2)、C(2，y3)都在反比例函數(shù)的圖象上，∴，，，又∵﹣＜＜，∴y3＜y1＜y2，故選C.【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)值的大小比較，熟知反比例函數(shù)圖象上的點的坐標滿足反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.10.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（）A.7 B.5 C. D.【答案】B【解析】【分析】【詳解】思路引領：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．利用相似三角形的性質(zhì)證明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解決問題．答案詳解：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值為5．故選：B．第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分．11.分解因式：____．【答案】【解析】【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可得解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先要提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．12.為落實“雙減”政策，學校隨機調(diào)查了30名學生一周平均每天的睡眠時間，統(tǒng)計結(jié)果如下表，則這些被調(diào)查學生睡眠時間的中位數(shù)是______小時．時間/小時78910人數(shù)61194【答案】8【解析】【分析】找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)（或兩個數(shù)的平均數(shù)）為中位數(shù)．【詳解】解：由統(tǒng)計表可知：統(tǒng)計表中是按從小到大的順序排列的，最中間兩名學生一周平均每天的睡眠時間分別是8，8，故中位數(shù)是(8+8)÷2=8，故答案8．【點睛】本題考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的能力．將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪虚g的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．注意找中位數(shù)的時候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個數(shù)來確定中位數(shù)．如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求；如果是偶數(shù)，則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)．13.一個小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動，并隨機停留在某塊地磚上．每塊地磚的大小、質(zhì)地完全相同，那么該小球停留在黑色區(qū)域的概率是______．【答案】【解析】【分析】先判斷黑色區(qū)域的面積，再利用概率公式計算即可【詳解】解：因為正方形的兩條對角線將正方形分成面積相等的四個三角形，即四個黑色三角形的面積等于一個小正方形的面積，所以黑色區(qū)域的面積為2個小正方形的面積，而共有9個小正方形則有小球停留在黑色區(qū)域的概率是故答案為：【點睛】本題考查概率的計算，正方形的性質(zhì)、熟練掌握概率公式是關(guān)鍵14.

，，若，，請借助下圖直觀分析，通過計算求得的值為______．【答案】【解析】【分析】設圖形中小正方形邊長為n，最中間的正方形邊長為m，則大正方形的邊長為，根據(jù)最大正方形的面積計算即可．【詳解】設圖形中小正方形邊長為n，最中間正方形邊長為m，則大正方形的邊長為，∴大正方形的面積為：∵，∴∵，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查完全平方公式與幾何圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想表示圖形的邊長是解題的關(guān)鍵．15.如圖，矩形OABC的邊OA，OC分別在軸、軸上，點B在第一象限，點D在邊BC上，且∠AOD=30°，四邊形OA′B′D與四邊形OABD關(guān)于直線OD對稱（點A′和A，B′和B分別對應），若AB=1，反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點A′，B，則的值為_________．【答案】【解析】【詳解】解：∵四邊形ABCO是矩形，AB=1，∴設B（m，1），∴OA=BC=m，∵四邊形OA′B′D與四邊形OABD關(guān)于直線OD對稱，∴OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，∴∠A′OA=60°，過A′作A′E⊥OA于E，∴OE=m，A′E=m，∴A′（m，m），∵反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象恰好經(jīng)過點A′，B，∴m?m=m，∴m=，∴k=．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；矩形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．三、解答題：本題共7小題，共55分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.【答案】0【解析】【分析】先計算負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、開立方和零指數(shù)冪，后從左向右依次計算，求出算式的值即可．【詳解】解：=3-4×-2+1=3-2-2+1=0【點睛】此題主要考查了實數(shù)的運算，負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、開立方和零指數(shù)冪．熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．17.“二十四節(jié)氣”是中華民族悠久歷史文化的重要組成部分，蘊含著中華民族悠久的文化內(nèi)涵和歷史積淀．某校為了解學生對“二十四節(jié)氣”知識的了解程度，做了一次抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果共分為四個等級：A．非常了解；B．比較了解；C．不太了解；D．不了解．根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，繪制了不完整的兩幅統(tǒng)計圖．請結(jié)合統(tǒng)計圖，回答下列問題：（1）本次參與調(diào)查的學生共有__________人．（2）直接補全條形統(tǒng)計圖．（3）求扇形統(tǒng)計圖中等級C的圓心角度數(shù)．（4）該校共有1200名學生，請你估計該校對“二十四節(jié)氣”知識了解程度為“非常了解”和“比較了解”的學生共有多少人．【答案】（1）（2）見解析（3）（4）該校對“二十四節(jié)氣”知識了解程度為“非常了解”和“比較了解”的學生人數(shù)為人【解析】【分析】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖的信息關(guān)聯(lián)，補全條形統(tǒng)計圖，求扇形統(tǒng)計圖圓心角度數(shù)，由樣本估計總體，讀懂條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)A等級的人數(shù)和所占百分比進行計算即可得出本次參與調(diào)查的學生人數(shù)；（2）先計算出C等級的人數(shù)，再補全條形統(tǒng)計圖即可；（3）先計算出C等級的人數(shù)所占的百分比，再乘以即可得出答案；（4）根據(jù)該校對“二十四節(jié)氣”知識了解程度為“非常了解”和“比較了解”的學生所占的比例乘以即可得出答案．【小問1詳解】解：由題意可得：本次參與調(diào)查的學生共有（人），故答案為：；【小問2詳解】解：C等級的人數(shù)為：（人），補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：；【小問3詳解】解：C等級的人數(shù)所占的百分比為：，扇形統(tǒng)計圖中等級C的圓心角度數(shù)為：；【小問4詳解】解：該校對“二十四節(jié)氣”知識了解程度為“非常了解”和“比較了解”的學生人數(shù)為：（人），該校對“二十四節(jié)氣”知識了解程度為“非常了解”和“比較了解”的學生人數(shù)為人．18.在平面直角坐標系中，△OAB三個頂點的坐標分別為O（0，0），A（3，0），B（2，3）．（1）tan∠OAB＝；（2）在第一象限內(nèi)畫出△OA'B'，使△OA'B'與△OAB關(guān)于點O位似，相似比為2：1；（3）在（2）的條件下，S△OAB：S四邊形AA′B′B＝．【答案】（1）3；（2）見解析；（3）3【解析】【分析】（1）根據(jù)正切的定義求解可得；（2）利用位似圖形的概念作出點A、B的對應點，再與點O首尾順次連接即可得；（3）利用位似變換的性質(zhì)求解可得．詳解】解：（1）如圖，過點B作BC⊥OA于點C，則AC＝1、BC＝3，∴tan∠OAB＝＝3，故答案為：3；（2）如圖所示，△OA'B'即為所求．（3）∵△OA'B'與△OAB關(guān)于點O位似，相似比為2：1，∴S△OA'B'＝4S△OAB，則S四邊形AA′B′B＝3S△OAB，即S△OAB：S四邊形AA′B′B＝1：3，故答案為：3．【點睛】本題主要考查作圖?位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的定義和性質(zhì)．19.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，．（1）直接寫出_____；______；（2）請結(jié)合圖象直接寫出不等式的解集是__________；（3）若點為軸上一點，的面積為，求點的坐標．【答案】（1）3，1；（2）或；（3）或．【解析】【分析】（1）把點代入反比例函數(shù)解析式中，解得m的值，再把點代入反比例解析式中，得到n的值；（2）根據(jù)圖象解題，一次函數(shù)圖象位于反比例函數(shù)圖象的上方，據(jù)此寫出自變量的取值范圍；（3）先令x=0求得點，再由解題即可．【詳解】解：（1）反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，，則，反比例函數(shù)的表達式為，又點在反比例函數(shù)的圖象上．，即，（2）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點．解得一次函數(shù)的表達式為；觀察圖象可知，不等式的解集為或；（3）設直線與軸交于點，則，，，或．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，涉及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．20.如圖，以BC為直徑的⊙O交△ABC的邊AB于點D，過點D作⊙O的切線交AC于點E，且AC＝BC．（1）求證：DE⊥AC；（2）若BC＝4cm，AD＝3cm，求AE的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）如圖所示，連接OD，證明∠A=∠ODB，得到，再由DE是圓O的切線，即可得到∠DEA=∠ODE=90°，即DE⊥AC；（2）如圖所示，連接OD，CD，由BC是圓O的直徑，推出∠AED=∠ADC，即可證明△ADE∽△ACD，得到由此求解即可，【小問1詳解】解：如圖所示，連接OD，∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，∵AC=BC，∴∠A=∠B，∴∠A=∠ODB，∴，∵DE是圓O的切線，∴∠ODE=90°，∴∠DEA=∠ODE=90°，即DE⊥AC；【小問2詳解】解：如圖所示，連接OD，CD，∵BC是圓O的直徑，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°∴∠AED=∠ADC，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD，∴，∵AC＝BC，BC＝4cm，∴AC＝4cm，即，∴．【點睛】本題主要考查圓切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．21.如圖1，正方形與正方形有公共頂點，點分別在邊和上，連接，是的中點，連接交于點．（1）【觀察猜想】線段與之間的數(shù)量關(guān)系是__________，位置關(guān)系是________．（2）【問題呈現(xiàn)】將圖1中的正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，是的中點，所在直線交于點，請嘗試探究線段與之間的關(guān)系是否仍然成立？【探究思路】延長至點，使，連接，可證明，從而將線段轉(zhuǎn)化為線段，進而探究所需結(jié)論．【問題解決】①請在圖2中按要求作出輔助線，并寫出的證明過程；②線段與之間的關(guān)系是否仍然成立？并說明理由．（3）若，將圖1中的正方形繞點旋轉(zhuǎn)一周，是否存在最小值？若存在請求出最小值，若不存在請說明理由．【答案】（1），（2）①見解析；②關(guān)系仍然成立，理由見解析（3）存在最小值，為【解析】【分析】（1）由“”證明，可得，，可得結(jié)論；（2）①由“”證明，可得，，由“”證明；②由全等三角形的性質(zhì)可得，，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）當點，點，點三點共線時，有最小值，由勾股定理可求解．【小問1詳解】解：四邊形和四邊形是正方形，，，，，，，，點是的中點，，，，，，，，故答案為：，；【小問2詳解】證明：如圖1，延長至點，使，連接，，點是的中點，，，，，，，，，，，，，，；結(jié)論仍然成立，理由如下：，，，，，，，，；【小問3詳解】解：，點在以為直徑的圓上，如圖2，取中點，以為圓心，為半徑作圓，連接，，，點是的中點，，，當點、點、點三點共線時，有最小值，的最小值為．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、圓的有關(guān)知識、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解此題的關(guān)鍵．22.在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點C（0，3），頂點為G（1）求拋物線和直線AC的解析式；（2）如圖1，設E（m，0）為x正半軸上的一個動點，若△CGE和△CGO的面積滿足S△CGE=S△CGO，求點E的坐標；（3）如圖2，設點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右運動，運動時間為ts，點M為射線AC上一動點，過點M作MN∥x軸交拋物線對稱軸右側(cè)部分于點N．試探究點P在運動過程中，是否存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；y=3x+3；（2）點E的坐標為：（1,0）或（-7,0）；（3）存在，t的值為或或．【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法即能求出拋物線和直線AC解析式．

（2）△CGE與△CGO雖然有公共底邊CG，但高不好求，故把△CGE構(gòu)造在比較好求三角形內(nèi)計算．延長GC交x軸于點F，則△FGE與△FCE的差即為△CGE．

（3）設M的坐標（e，3e＋3），分別以M、N、P為直角頂點作分類討論，利用等腰直角三角形的特殊線段長度關(guān)系，用e表示相關(guān)線段并列方程求解，再根據(jù)e與AP的關(guān)系求t的值．【詳解】解：（1）將點A（-1，0），B（3，0），點C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c得，，解得，∴，設直線AC的解析式為y=kx+n，將點A（-1，0），點C（0，3）代