2024屆浙江省杭州外國語學校高一數(shù)學第二學期期末教學質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2024屆浙江省杭州外國語學校高一數(shù)學第二學期期末教學質(zhì)量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某賽季甲、乙兩名籃球運動員5場比賽得分的莖葉圖如圖所示，已知甲得分的極差為32，乙得分的平均值為24，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．B．甲得分的方差是736C．乙得分的中位數(shù)和眾數(shù)都為26D．乙得分的方差小于甲得分的方差2．在x軸上的截距為2且傾斜角為135°的直線方程為（）.A．ｙ＝－ｘ＋２ B．ｙ＝－ｘ－２ C．ｙ＝ｘ＋２ D．ｙ＝ｘ－２3．直線（，）過點(-1,-1),則的最小值為()A．9 B．1 C．4 D．104．在中，內(nèi)角所對的邊分別是．已知，，，則A． B． C． D．5．從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．“至少有一個黑球”與“都是黑球” B．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C．“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球” D．“至少有一個黑球”與“都是紅球”6．在等差數(shù)列中，若前項的和，，則()A． B． C． D．7．若，則下列結(jié)論成立的是（）A． B．C．的最小值為2 D．8．某社區(qū)義工隊有24名成員，他們年齡的莖葉圖如下表所示，先將他們按年齡從小到大編號為1至24號，再用系統(tǒng)抽樣方法抽出6人組成一個工作小組，則這個小組年齡不超過55歲的人數(shù)為（）3940112551366778889600123345A．1 B．2 C．3 D．49．已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列滿足，則（）A．2 B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．數(shù)列滿足，則等于______.12．若，則_______.13．函數(shù)的值域為______.14．如圖所示，E，F(xiàn)分別是邊長為1的正方形的邊BC，CD的中點，將其沿AE，AF，EF折起使得B，D，C三點重合.則所圍成的三棱錐的體積為___________.15．如圖，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點，從點測得的仰角，點的仰角以及；從點測得；已知山高，則山高__________．16．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)分別為90，180，160，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有32人，則抽取的樣本中老年教師的人數(shù)為_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某城市的華為手機專賣店對該市市民使用華為手機的情況進行調(diào)查.在使用華為手機的用戶中，隨機抽取100名，按年齡(單位:歲）進行統(tǒng)計的頻率分布直方圖如圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，分別求出樣本的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)和中位數(shù)的估計值(均精確到個位）；（2）在抽取的這100名市民中，按年齡進行分層抽樣，抽取20人參加華為手機宣傳活動，再從這20人中年齡在和的人群里，隨機選取2人各贈送一部華為手機，求這2名市民年齡都在內(nèi)的概率.18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的值域和單調(diào)減區(qū)間；（2）已知為的三個內(nèi)角，且，，求的值.19．某工廠要制造A種電子裝置45臺，B種電子裝置55臺，需用薄鋼板給每臺裝置配一個外殼，已知薄鋼板的面積有兩種規(guī)格：甲種薄鋼板每張面積2m2，可做A、B的外殼分別為3個和5個，乙種薄鋼板每張面積3m2，可做A、B的外殼分別為6個和6個，求兩種薄鋼板各用多少張，才能使總的面積最小．20．將邊長分別為、、、…、、、…的正方形疊放在一起，形成如圖所示的圖形，由小到大，依次記各陰影部分所在的圖形為第個、第個、……、第個陰影部分圖形.設前個陰影部分圖形的面積的平均值為.記數(shù)列滿足，（1）求的表達式；（2）寫出，的值，并求數(shù)列的通項公式；（3）定義，記，且恒成立，求的取值范圍.21．如圖所示，是正三角形，和都垂直于平面，且，，是的中點，求證：（1）平面；（2）.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據(jù)題意，依次分析選項，綜合即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，甲得分的極差為32，30+x﹣6=32，解得：x=8，A正確，對于B，甲得分的平均值為，其方差為，B錯誤；對于C，乙的數(shù)據(jù)為：12、25、26、26、31，其中位數(shù)、眾數(shù)都是26，C正確，對于D，乙得分比較集中，則乙得分的方差小于甲得分的方差，D正確；故選：B．【題目點撥】本題考查莖葉圖的應用，涉及數(shù)據(jù)極差、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的計算，屬于基礎題．2、A【解題分析】直線的斜率為tan135°=-1，由點斜式求得直線的方程為y=-x+b,將截據(jù)y=0,x=2代入方程，解得b=2,所以，可得y=-x+2，故答案為A3、A【解題分析】

將點的坐標代入直線方程：，再利用乘1法求最值【題目詳解】將點的坐標代入直線方程：，，當且僅當時取等號【題目點撥】已知和為定值，求倒數(shù)和的最小值，利用乘1法求最值。4、B【解題分析】

由已知三邊，利用余弦定理可得，結(jié)合，為銳角，可得，利用三角形內(nèi)角和定理即可求的值．【題目詳解】在中，，，，由余弦定理可得：，，故為銳角，可得，，故選．【題目點撥】本題主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形內(nèi)角和定理的應用．5、C【解題分析】分析：利用對立事件、互斥事件的定義求解．詳解：從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，在A中，“至少有一個黑球”與“都是黑球”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯誤；在B中，“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故B錯誤；在C中，“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個事件，故C正確；在D中，“至少有一個黑球”與“都是紅球”是對立事件，故D錯誤．故答案為：C點睛：（1）本題主要考查互斥事件和對立事件的定義，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次試驗中，不可能同時發(fā)生的兩個事件，對立事件指的是在一次試驗中，不可能同時發(fā)生的兩個事件，且在一次試驗中，必有一個發(fā)生的兩個事件.注意理解它們的區(qū)別和聯(lián)系.6、C【解題分析】試題分析：.考點：等差數(shù)列的基本概念.7、D【解題分析】

由，根據(jù)不等式乘方性質(zhì)可判斷A不成立；由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷B不成立；由基本不等式可判斷C不成立，D成立．【題目詳解】對于A,若，則有，故A不成立；對于B,根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)遞減，，故B不成立；對于C,由基本不等式，a=b取得最小值，由不能取得最小值，故C不成立；則D能成立.故選：D.【題目點撥】本題考查基本不等式、不等式的基本性質(zhì)，考查不等式性質(zhì)的應用，屬于基礎題.8、B【解題分析】

求出樣本間隔，結(jié)合莖葉圖求出年齡不超過55歲的有8人，然后進行計算即可．【題目詳解】解：樣本間隔為，年齡不超過55歲的有8人，則這個小組中年齡不超過55歲的人數(shù)為人．故選：．【題目點撥】本題主要考查莖葉圖以及系統(tǒng)抽樣的應用，求出樣本間隔是解決本題的關鍵，屬于基礎題．9、B【解題分析】

通過成等比數(shù)列，可以列出一個等式，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可以把該等式變成關于的方程，解這個方程即可.【題目詳解】因為成等比數(shù)列，所以有，又因為是公差為2的等差數(shù)列，所以有，故本題選B.【題目點撥】本題考查了等比中項的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了數(shù)學運算能力.10、B【解題分析】

利用數(shù)列的遞推關系式，逐步求解數(shù)列的即可．【題目詳解】解：數(shù)列滿足，，所以，．故選：B．【題目點撥】本題主要考查數(shù)列的遞推關系式的應用，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、15【解題分析】

先由，可求出，然后由，代入已知遞推公式即可求解。【題目詳解】故答案為15.【題目點撥】本題考查是遞推公式的應用，是一道基礎題。12、【解題分析】

對兩邊平方整理即可得解.【題目詳解】由可得：，整理得：所以【題目點撥】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系及二倍角的正弦公式，考查觀察能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于較易題．13、【解題分析】

由反三角函數(shù)的性質(zhì)得到，即可求得函數(shù)的值域.【題目詳解】由，則，，又，，即，函數(shù)的值域為.故答案：.【題目點撥】本題考查反三角函數(shù)的性質(zhì)及其應用，屬于基礎題.14、【解題分析】

根據(jù)折疊后不變的垂直關系，結(jié)合線面垂直判定定理可得到為三棱錐的高，由此可根據(jù)三棱錐體積公式求得結(jié)果.【題目詳解】設點重合于點，如下圖所示：，，又平面，平面，即為三棱錐的高故答案為：【題目點撥】本題考查立體幾何折疊問題中的三棱錐體積的求解問題，處理折疊問題的關鍵是能夠明確折疊后的不變量，即不變的垂直關系和長度關系.15、【解題分析】在△ABC中，，，在△AMC中，，由正弦定理可得，解得，在Rt△AMN中.16、【解題分析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關系，即可得到答案。【題目詳解】設抽取的樣本中老年教師的人數(shù)為，學校所有的中老年教師人數(shù)為270人由分層抽樣的定義可知：，解得：故答案為【題目點撥】本題考查分層抽樣，考查學生的計算能力，屬于基礎題。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解題分析】分析：（1）直接利用頻率分布直方圖的平均值和中位數(shù)公式求解.(2)利用古典概型求這2名市民年齡都在內(nèi)的概率.詳解：(Ⅰ)平均值的估計值:中位數(shù)的估計值：因為，所以中位數(shù)位于區(qū)間年齡段中，設中位數(shù)為，所以，.(Ⅱ)用分層抽樣的方法，抽取的20人，應有4人位于年齡段內(nèi)，記為，2人位于年齡段內(nèi)，記為.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人，設基本事件空間為，則設2名市民年齡都在為事件A，則,所以.點睛：（1）本題主要考查頻率分布直方圖，考查平均值和中位數(shù)的計算和古典概型，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和基本的運算能力.(2)先計算出每個小矩形的面積，通過解方程找到左邊面積為0.5的點P，點P對應的數(shù)就是中位數(shù).一般利用平均數(shù)的公式計算.其中代表第個矩形的橫邊的中點對應的數(shù)，代表第個矩形的面積.18、（1），；（2）.【解題分析】

（1）將函數(shù)化簡，利用三角函數(shù)的取值范圍的單調(diào)性得到答案.（2）通過函數(shù)計算，，再計算代入數(shù)據(jù)得到答案.【題目詳解】（1）∵且∴故所求值域為由得：所求減區(qū)間：；（2）∵是的三個內(nèi)角，，∴∴又，即又∵，∴,故,故.【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的最值，單調(diào)性，角度的大小，意在考查學生對于三角函數(shù)公式性質(zhì)的靈活運用.19、甲、乙兩種薄鋼板各5張，能保證制造A、B的兩種外殼的用量，同時又能使用料總面積最小．【解題分析】

本題可先將甲種薄鋼板設為x張，乙種薄鋼板設為y張，然后根據(jù)題意，得出兩個不等式關系，也就是3x+6y≥45、5x+6y≥55以及薄鋼板的總面積是z=2x+3y，然后通過線性規(guī)劃畫出圖像并求出總面積z=2x+3y的最小值，最后得出結(jié)果．【題目詳解】設甲種薄鋼板x張，乙種薄鋼板y張，則可做A種產(chǎn)品外殼3x+6y個，B種產(chǎn)品外殼5x+6y個，由題意可得3x+6y≥455x+6y≥55x≥0,y≥0，薄鋼板的總面積是可行域的陰影部分如圖所示，其中l(wèi)1：3x+6y=45、l2：因目標函數(shù)z=2x+3y在可行域上的最小值在區(qū)域邊界的A5此時z的最小值為2×5+3×5=25即甲、乙兩種薄鋼板各5張，能保證制造A、【題目點撥】（1）利用線性規(guī)劃求目標函數(shù)最值的步驟①作圖：畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平面直角坐標系中的任意一條直線l；②平移：將l平行移動，以確定最優(yōu)解所對應的點的位置．有時需要進行目標函數(shù)l和可行域邊界的斜率的大小比較；③求值：解有關方程組求出最優(yōu)解的坐標，再代入目標函數(shù)，求出目標函數(shù)的最值．（2）用線性規(guī)劃解題時要注意z的幾何意義．20、（1）；（2），，；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)題意，分別求出每一個陰影部分圖形的面積，即可得到前個陰影部分圖形的面積的平均值；（2）依據(jù)遞推式，結(jié)合分類討論思想，即可求出數(shù)列的通項公式；（3）先求出的表達式，再依題意得到，分類討論不等式恒成立的條件，取其交集，即得所求范圍?！绢}目詳解】（1）由題意有，第一個陰影部分圖形面積是：；第二個陰影部分圖形面積是：；第三個陰影部分圖形面積是：；所以第個陰影部分圖形面積是：；故；（2）由（1）知，，，所以，，當時，當時，，綜上，數(shù)列的通項公式為，。（3）由（2）知，，，由題意可得，恒成立，①當時，，即，所以，②當時，，即，所以，③當時，，即，所以，綜上，?！绢}目點撥】本題主要考查數(shù)列的通項公式求法，數(shù)列不等式恒成立問題的解法以及