專題21 雙等腰旋轉(zhuǎn)問(wèn)題（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典問(wèn)題專題訓(xùn)練

專題21雙等腰旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【規(guī)律總結(jié)】“雙等腰旋轉(zhuǎn)”是旋轉(zhuǎn)型全等的重要組成部分，也是初中階段?？嫉闹匾}型.與平移、對(duì)稱類似，利用全等將線段或角的位置轉(zhuǎn)移，把分散的條件集中在一起，在選擇題、填空題、解答題經(jīng)常出現(xiàn).解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握基本模型的結(jié)構(gòu).【基本模型】共頂點(diǎn)雙等腰直共頂點(diǎn)雙等腰1.已知條件當(dāng)中若存在兩個(gè)等腰三角形其頂角頂點(diǎn)重合，則本身就存在雙等腰旋轉(zhuǎn)全等：

共頂點(diǎn)雙等腰直共頂點(diǎn)雙等腰2.已知條件當(dāng)中若只存在一個(gè)等腰三角形，可以利用“已知等腰、構(gòu)造等腰”的思路構(gòu)造雙等腰旋轉(zhuǎn)：

【典例分析】例1．（2021·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D與A，B不重合），連結(jié)CD，將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，連接BE．當(dāng)AD＝BF時(shí)，∠BEF的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD＝CE和∠DCE＝90°，結(jié)合∠ACB＝90°，AC＝BC，可證△ACD≌△BCE，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到∠CBE＝∠A＝45°，再由AD＝BF可得等腰△BEF，則可計(jì)算出∠BEF的度數(shù)．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：CD＝CE，∠DCE＝90°．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°．∴∠ACB?∠DCB＝∠DCE?∠DCB．即∠ACD＝∠BCE．∴△ACD≌△BCE．∴∠CBE＝∠A＝45°．∵AD＝BF，∴BE＝BF．∴∠BEF＝∠BFE＝67.5°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出相等的線段和角，并能準(zhǔn)確判定三角形全等，從而利用全等三角形性質(zhì)解決相應(yīng)的問(wèn)題．例2．（2020·山西八年級(jí)期末）如圖，和都是等腰直角三角形，，，則___________度．【答案】132【分析】先證明△BDC≌△AEC，進(jìn)而得到角的關(guān)系，再由∠EBD的度數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后利用三角形的內(nèi)角和即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為132【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問(wèn)題．例3．（2021·湖北鄂州市·八年級(jí)期末）在中，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)（不與、重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上，如果，則______度．（2）設(shè)，．①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論．②如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）90；（2）①，理由見(jiàn)解析；②，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE的度數(shù)；（2）①由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；②由“SAS”可證△ADB≌△AEC得出∠ABD=∠ACE，再用三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案為：90；（2）①．理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB=β，∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；②當(dāng)點(diǎn)在射線的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，．理由如下：∵，∴，在△ABD與△ACE中，，∴，∴，∵，，∴，，∴，即．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及三角形外交的性質(zhì)，證明△ABD≌△ACE是解本題的關(guān)鍵．【好題演練】一、單選題1．（2020·全國(guó)八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG．連接FG，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BG，CF．則下列結(jié)論：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】由題意易得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可進(jìn)行分析排除．【詳解】解：∠BAF=∠CAG=90°，∠BAG=∠BAC+∠GAC，∠FAC=∠FAB+∠BAC，∠BAG=∠FAC，AB=AF，AC=AG，，BG=FC，∠AGB=∠ACF，故①正確；∠AGC=∠AGB+∠BGC，∠GCF=∠ACF+∠GCA，∠GCA=∠AGC，∠BGC+∠FCG=∠AGC-∠AGB+∠GCA+∠ACF=90°，BG⊥CF，故②正確；∠FAE+∠BAD=90°，AD⊥BC，∠BAD+∠ABD=90°，∠FAE=∠ABD，故③正確；如圖，設(shè)GH與FC交于H點(diǎn)，連接EH，由①②③易得∠FHE=∠EHF，所以EF=EH，即EF=EH=EG，故④正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的性質(zhì)與判定及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2019·北京市八一中學(xué)）如圖，，與的平分線相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，為中點(diǎn)，于，．下列說(shuō)法正確的是()①；②；③；④若，則．A．①③④ B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到從而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，即可判斷①正確性；根據(jù)等角的余角相等可知，再由角平分線的定義與等量代換可知，即可判斷②正確性；通過(guò)面積的計(jì)算方法，由等底等高的三角形面積相等，即可判斷③正確性；通過(guò)角度的和差計(jì)算先求出的度數(shù)，再求出，再由三角形內(nèi)角和定理及補(bǔ)角關(guān)系即可判斷④是否正確．【詳解】①中，∵AB∥CD，∴，∵∠BAC與∠DCA的平分線相交于點(diǎn)G，∴，∵，∴∴AG⊥CG，則①正確；②中，由①得AG⊥CG，∵，，∴根據(jù)等角的余角相等得，∵AG平分，∴，∴，則②正確；③中，根據(jù)三角形的面積公式，∵為中點(diǎn)，∴AF=CF，∵與等底等高，∴，則③正確；④中，根據(jù)題意，得：在四邊形GECH中，，又∵，∴，∵CG平分∠ECH，∴，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，得.∵，∴，∴，∵，∴，∴，則④錯(cuò)誤.故正確的有①②③，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用，涉及到三角形面積求解，三角形的內(nèi)角和定理，補(bǔ)角余角的計(jì)算，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)以及等量代換等數(shù)學(xué)思想，熟練掌握相關(guān)角度的和差倍分計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題3．（2020·內(nèi)蒙古通遼市·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)P在斜邊上，以為直角邊作等腰直角三角形，，則三者之間的數(shù)量關(guān)系是_____．【答案】PA2+PB2=2PC2【分析】把AP2和PB2都用PC和CD表示出來(lái)，結(jié)合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的關(guān)系，從而可找到PA2，PB2，PC2三者之間的數(shù)量關(guān)系；【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB，

∵PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD?PD+PD2，

PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD?PD+PD2，

∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），

在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，

∴PA2+PB2=2PC2，

故答案為PA2+PB2=2PC2.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是作出輔助線，利用三線合一進(jìn)行論證.4．（2020·儀征市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)三模）兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖1所示放置，直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)O處，AB＝13，CD＝7．保持紙片AOB不動(dòng)，將紙片COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0α90°），如圖2所示．當(dāng)BD與CD在同一直線上（如圖3）時(shí)，則△ABC的面積為_(kāi)___．【答案】30【分析】設(shè)AO與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證△AOC≌△BOD，進(jìn)而得出△ABC是直角三角形，設(shè)AC＝x，BC=x+7，由勾股定理求出x，再計(jì)算△ABC的面積即可．【詳解】解：設(shè)AO與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)G，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠DOB，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，∵∠DBO＋∠OGB＝90°，∵∠OGB＝∠AGC，∴∠CAO＋∠AGC＝90°，∴∠ACG＝90°，∴CG⊥AC，設(shè)AC＝x，則BD=AC=x，BC=x+7，∵BD、CD在同一直線上，BD⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∴AC2＋BC2＝AB2，,解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，在直角三角形ABC中，S=，故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．三、解答題5．（2020·佳木斯市第十二中學(xué)九年級(jí)期中）在正方形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，以為斜邊作直角三角形，連接．（1）如圖所示，易證：；（2）當(dāng)點(diǎn)的位置變換到如第二幅圖和第三幅圖所示的位置時(shí)，線段、、之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)第二幅圖加以證明．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）第二幅圖：，第三幅圖：【分析】（1）在CP上截取CE=BP，連接OE，記OB與CP交于點(diǎn)F，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，得到是等腰直角三角形，所以有，從而證得；（2）第二幅圖的證明過(guò)程類似（1）中的證明過(guò)程，在BP上截取BE=CP，連接OE，記OC與BP交于點(diǎn)F，證明，得到是等腰直角三角形，可以證得；第三幅圖的結(jié)論是，證明方法一樣是構(gòu)造三角形全等，由可以證出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，在CP上截取CE=BP，連接OE，記OB與CP交于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是正方形，∴OB=OC，，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（2）第二幅圖：，第三幅圖：，證明第二幅圖的結(jié)論：如圖，在BP上截取BE=CP，連接OE，記OC與BP交于點(diǎn)F，同（1）中證明的過(guò)程證明，同理是等腰直角三角形，∴，∴；第三幅圖的證明過(guò)程是：如圖，延長(zhǎng)PB至點(diǎn)E，使BE=CP，證明，得到是等腰直角三角形，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)和進(jìn)行的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些性質(zhì)定理進(jìn)行證明求解，并且學(xué)會(huì)構(gòu)成全等三角形的方法．6．（2020·臺(tái)州市書(shū)生中學(xué)八年級(jí)期中）已知：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)B在第二象限，將OB繞O點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)60°至OA．（1）如圖1，試判定△ABO的形狀，并說(shuō)明理由．（2）如圖1，若點(diǎn)E為y軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BEG，延長(zhǎng)GA交x軸于點(diǎn)P，問(wèn)：AP與AO之間有何數(shù)量關(guān)系，試證明你的結(jié)論．（3）如圖2，若BC⊥BO，BC＝BO，作BD⊥CO，AC、DB交于E，補(bǔ)全圖形，并證明：AE＝BE+CE．【答案】（1）等邊三角形，理由見(jiàn)解析；（2）AP＝2AO，證明見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）在三角形AOB中，AB=BO，∠AOB=60°，含60°的等腰三角形一定為等邊三角形；（2）可通過(guò)證明△ABG與△OBE全等，得到∠APO＝30°，再通過(guò)含30°的直角三角形的性質(zhì)可以推導(dǎo)AP＝2AO；（3）做輔助線在AC上截取AM＝EC，連接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，再通過(guò)邊角轉(zhuǎn)換證明△ABE與△CBM全等，即可得到△BEM為等邊三角形，從而可證AE＝AM+EM＝CE+BE.【詳解】解：（1）如圖1，△AOB為等邊三角形，理由是：∵將繞OB繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至OA∴∠AOB=60°，∵AO＝AB∴△AOB為等邊三角形；（2）AP＝2AO，理由為：證明：∵△AOB與△BGE都為等邊三角形，∴BE＝BG，AB＝OB，∠EBG＝∠OBA＝60°，∴∠EBG+∠EBA＝∠OBA+∠EBA，即∠ABG＝∠OBE，在△ABG和△OBE中，∴△ABG≌△OBE（SAS），∴∠BAG＝∠BOE＝60°，∴∠GAO＝∠GAB+∠BAO＝120°，∵∠GAO為△AOP的外角，且∠AOP＝90°，∴∠APO＝30°在Rt△AOP中，∠APO＝30°，則AP＝2AO．（3）補(bǔ)全圖形，在AC上截取AM＝EC，連接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE