甘肅省2022屆高三第二次高考診斷考試數(shù)學(xué)（文）試題（含答案解析）

甘肅省2022屆高三第二次高考診斷考試數(shù)學(xué)（文）試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.復(fù)數(shù)z=2-i（i為虛數(shù)單位）的虛部為（）

A.2B.1C.iD.-1

2.已知集合4={1,2},8={4/+小-2=O},ACB={1},則8=（）

A.{-1,1}B.{-2,1}C.{1,2}D.{-1,1,2}

3.正項(xiàng)等比數(shù)列{%}滿(mǎn)足4=2,%-〃3=24,則{4}的前7項(xiàng)和S,=（）

A.256B.254C.252D.126

4.2021年7月，中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步陵輕義務(wù)教育階段

學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn)》.各地積極推進(jìn)“雙減”工作，義務(wù)教育階段學(xué)生

負(fù)擔(dān)得到有效減輕.下表是某校七年級(jí)10名學(xué)生“雙減”前后課外自主活動(dòng)時(shí)間的隨機(jī)調(diào)

查情況（單位：小時(shí)）.

學(xué)生編號(hào)12345678910

“雙減”前1.31.21.51.61.21.31.51.11.11

“雙減”后1.52.5231.522.40.91.41.2

設(shè)“雙減”前、后這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別是用，用，標(biāo)準(zhǔn)差分別是心，$2,則下列關(guān)系正

確的是（）A.x2+0.56,5,<52B.弓=耳+0.56,S]>s2

C.無(wú)2=吊+0.65,<62D.x2=xt+0.65,$]>s2

5.函數(shù)y=-3xcosx的部分圖象可能是（）

yt

C.D.

6.正方體上的點(diǎn)"，N,P,。是其所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中直線(xiàn)MN與直線(xiàn)P0

是異面直線(xiàn)的圖形是（）

7.為紀(jì)念2022北京冬奧會(huì)成功舉辦，中國(guó)郵政發(fā)行了一組紀(jì)念郵票，圖案分別為冬

奧會(huì)會(huì)徽“冬夢(mèng)”、冬殘奧會(huì)會(huì)徽“飛躍”、冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩"、冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容

融”及“志愿者標(biāo)志“，現(xiàn)從這套5枚紀(jì)念郵票中任取3枚，則恰有1枚吉祥物郵票的概

率為（）

A.—B.1C.-D.—

102510

8.已知命題p；若僅表示兩個(gè)不同的平面，力為平面a內(nèi)的一條直線(xiàn)，則

“相//夕”是“a〃6”的充要條件;命題q：“若a,beR,則曲＞6,使/＞層成立，，的

否定為“若a，AeR.則Va",都有/?從成立,，則下列命題中為真命題的是（）

A.p、qB.p^qc.-P八rD.-pg

9.點(diǎn)產(chǎn)是圓/+產(chǎn)-6x-2），+9=0上任意一點(diǎn).則點(diǎn)P到雙曲線(xiàn)C:=1漸近線(xiàn)距

916

離的最小值是（）

10.數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足"+1=("+l)a“+l(〃eN*),且4=1,則“2022=()

A.4043B.4044C.2021D.2022

H.定義在R上的函數(shù)在區(qū)間［0,+紇)上單調(diào)遞增，且丁=/(1-1)的圖象關(guān)于

x=l對(duì)稱(chēng)，則下列結(jié)論不正確的是()

A.“X)是偶函數(shù)B.若/(10氏耳<〃2),則

C./^log,^>/(-log.,13)>/(2-)D./(x)_=/(l)

12.經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)C:/=4y的焦點(diǎn)尸且斜率為3的直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)

AB,拋物線(xiàn)C在點(diǎn)48處的切線(xiàn)分別為//,若乙和4相交于點(diǎn)尸，則|尸耳=

()

A.亞B.2垃C.2乖>D.4

二、填空題

13.已知單位向量q9的夾角為60。，&=冢+九￡5=4-3《，若萬(wàn)J_B，則實(shí)數(shù)彳=

14.建黨百年之際，影片《1921》《長(zhǎng)津湖》《革命者》都已陸續(xù)上映，截止2021年10

月底，《長(zhǎng)津湖》票房收人已超56億元，某市文化調(diào)查機(jī)構(gòu)，在至少觀(guān)看了這三部影

片中的其中一部影片的市民中隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，得知其中觀(guān)看了《1921》

的有51人，觀(guān)看了《長(zhǎng)津湖》的有60人，觀(guān)看了《革命者》的有50人，數(shù)據(jù)如圖,

■JT

—(l-log2x),x>l

且sin0=；,若

15.函數(shù)〃x)=(.其中常數(shù)

sin\2x+3+—\+a,x<1

/(/■(&))=半，則實(shí)數(shù)"=.

16.三棱錐P-ABC中，底面為等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)相等，/APB=90,尸到底面

ABC的距離為2,則該三棱錐外接球的體積為.

三、解答題

17.如圖，在圓內(nèi)接四邊形488中，A8=2,8C=4,且NAC3,NCA4,NBAC依次成

等差數(shù)列.

(1)求邊/C的長(zhǎng)；

(2)求四邊形488周長(zhǎng)的最大值.

18.人工智能教育是將人工智能與傳統(tǒng)教育相結(jié)合，借助人工智能和大數(shù)據(jù)技術(shù)打造

的智能化教育生態(tài).為了解我國(guó)人工智能教育發(fā)展?fàn)顩r，通過(guò)中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)平臺(tái)得到

我國(guó)2015年—2020年人工智能教育市場(chǎng)規(guī)模統(tǒng)計(jì)圖.如圖所示，若用x表示年份代碼

(2015年用1表示，2016年用2表示，依次類(lèi)推)，用y表示市場(chǎng)規(guī)模(單位：億元)，

試回答：

(1)根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算變量y與x的相關(guān)系數(shù)廠(chǎng)，并用，?判斷兩個(gè)變量y與x

相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱(精確到小數(shù)點(diǎn)后2位)；

(2)若y與x的相關(guān)關(guān)系擬用線(xiàn)性回歸模型表示，試求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程，并據(jù)

此預(yù)測(cè)2022年中國(guó)人工智能教育市場(chǎng)規(guī)模(精確到1億元).

Z(七一丁)(》-歹)ZX*-rixy

附：線(xiàn)性回歸方程9=菽+4,其中?=，-----------T---------

之(％-甘儲(chǔ)2-辰2

1=11=1

Eu,-^)(x--y)EX，；一時(shí)

相關(guān)系數(shù)r=

66I6

參考數(shù)據(jù)：Z%=5724,?a=26734Z（%-9）2=200回.

1=1f=lV/=!

19.風(fēng)箏起源于春秋時(shí)期，是中國(guó)古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶，北方也稱(chēng)“紙鶯”，雖經(jīng)

變遷，但時(shí)至今日放風(fēng)箏仍是人們喜愛(ài)的戶(hù)外活動(dòng).如圖，一只風(fēng)箏的骨架模型是四棱

錐P-ABCD,其中AC,處于O,。4=08=。。=10C,尸0_L平面ABCD.

2

(1)求證：AC1PB；

(2)若AC=12,為使風(fēng)箏保持最大張力，平面P8C與底面A3CD所成二面角的正切值

應(yīng)為且，求此時(shí)P到底面ABC。的距離.

4

2

20.已知橢圓Ef:a+v方=1(。＞6＞。)的左焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線(xiàn)及短軸構(gòu)成等邊三

角形，且橢國(guó)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M1,-手.

⑴求橢圓E的方程；

(2)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn))，邛*+機(jī)(〃?20)與橢圓石相交于人，B兩點(diǎn),A關(guān)于原點(diǎn)的

對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R,直線(xiàn)MR,MB與V軸分別交于P,Q兩點(diǎn)，求證：|MP|=|MO|.

21.已知函數(shù)f(x)=alnx+竺+e/?).

⑴當(dāng)。＜-1時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性;

⑵若函數(shù)g(x)=/+x-J,證明：當(dāng)a=l時(shí)，x-/(x)>g(x).

22.在直角坐標(biāo)系xQy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲

線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為加夕cos+1=0,曲線(xiàn)G的參數(shù)方程為一.(a為

\47[y=sma

參數(shù)).

(1)寫(xiě)出曲線(xiàn)C1的直角坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)C2的普通方程；

⑵已知點(diǎn)2),曲線(xiàn)C與曲線(xiàn)G相交于/,8兩點(diǎn)，求|惻+明目的值.

23.已知a,b是正實(shí)數(shù)，設(shè)〃?=V^,"=.求證:

(1)mn>ah；

(T)m+n<a+b.

參考答案:

1.D

【解析】

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的定義判斷.

【詳解】

由復(fù)數(shù)的定義可得，復(fù)數(shù)z=2-i的虛部為-L

故選：D

2.B

【解析】

【分析】

根據(jù)交集性質(zhì)求解即可.

【詳解】

因?yàn)?cB={1},所以leB,

所以1+AM—2=0,解得，"=1.

所以8=卜|爐+*-2=0}={-2,1},滿(mǎn)足Ac3={l}.

故選：B

3.B

【解析】

【分析】

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{4}公比為4,且4>0,根據(jù)已知條件求出q,利用等比數(shù)列求和公式即

可求用.

【詳解】

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{%}公比為分且q>0,

□q=2,%-%=24,

口即/-q2=12,BP(?2-4)(^+3)=0,貝!J4=2,

2(1-27)$

口S,=----------=28-2=254■

71-2

答案第1頁(yè)，共16頁(yè)

故選：B.

4.A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意分別求用，耳，再根據(jù)極差判斷方差得到標(biāo)準(zhǔn)差的大小.

【詳解】

_1.3+1.2+1.5+1.6+1.2+1.3+1.5+1.1+1.1+1…

x=----------------------------------------=1.28,

10

_1.5+2.5+2+3+L5+2+2.4+0.9+1.4+1.2,”

X,=-------------------------------------=1.84,

-10

所以耳=吊+0.56；

因?yàn)椤半p減”前的極差為：1.6-1=06,“雙減”后的極差為：3-09=2.1,

所以“雙減”前的極差小于“雙減”后的極差，

所以“雙減”前的方差小于“雙減”后的方差，

故“雙減”前的標(biāo)準(zhǔn)差小于“雙減”后的標(biāo)準(zhǔn)差，即$vs2.

故選：A.

5.D

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可判斷Ax)為奇函數(shù)，進(jìn)而排除選項(xiàng)A、B,又時(shí),

/UX0,排除選項(xiàng)C,從而可得答案.

【詳解】

解：因?yàn)閥=/(x)=-3xcosx,所以/(一X)=-3(T)COS(-X)=3XCOSX,

所以/(-幻=-/(幻，又/(x)定義域?yàn)榉?/p>

所以f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，

所以排除選項(xiàng)A、B,

又時(shí)，/(x)<0,所以排除選項(xiàng)C,從而可得選項(xiàng)D正確，

故選：D.

6.B

答案第2頁(yè)，共16頁(yè)

【解析】

【分析】

利用正方體的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線(xiàn)定理逐個(gè)分析判斷

【詳解】

對(duì)于A(yíng),如圖，連接因?yàn)榉謩e是正方體的棱AA,48,BC,CG的中

點(diǎn)，所以MQDAC,PNQAC,所以"QPN,所以MN與PQ共面，所以A不合題

意，

對(duì)于B,因?yàn)槠矫鍭8C?！跗矫娴蹩?：平面48?。1,PQu平面ABC。，所以

與PQ無(wú)公共點(diǎn)，因?yàn)镸N與P。不平行，所以MN與PQ是異面直線(xiàn)，所以B符合題

是、，

D\N

對(duì)于C,如圖，連接PM，A2,CR,NQ,因?yàn)镸,N,P,Q分別是正方體的棱

AB，G0,AA，CG的中點(diǎn)，所以PMEiAB,CD,□NQ,因?yàn)椤?,口4田，所以PM：：NQ,

所以M,N,P,。四點(diǎn)共面，所以MN與PQ不是異面直線(xiàn)，所以C不合題意，

答案第3頁(yè)，共16頁(yè)

對(duì)于D,如圖，連接AG，因?yàn)榉謩e是正方體的棱4。，。，9，31的中點(diǎn),

所以MN」AG，PQJAC,,所以MNUPQ,所以D不合題意,

故選：B

7.C

【解析】

【分析】

計(jì)算出5枚紀(jì)念郵票中任取3枚共有的取法，再計(jì)算恰有1枚吉祥物郵票的取法數(shù)，根據(jù)

古典概型的概率公式求得答案.

【詳解】

從這套5枚紀(jì)念郵票中任取3枚，有C；=10種取法，

而其中恰有1枚吉祥物郵票的取法有C：=6種，

故從這套5枚紀(jì)念郵票中任取3枚，則恰有1枚吉祥物郵票的概率為尸=得=：,

故選：C

8.C

【解析】

答案第4頁(yè)，共16頁(yè)

【分析】

先判斷命題。，4的真假，然后由復(fù)合命題的真值表判斷.

【詳解】

如圖平面a內(nèi)直線(xiàn)，〃〃/,但a,￡相交，命題?是假命題,

命題的否定只要否定結(jié)論，因此命題“若“，beR,則曲＞b,使這＞。2成立,，的否定是

若a,bcR,則使/4從成立，命題q是假命題.

從而只有fAF是真命題.

故選：C.

9.A

【解析】

【分析】

求出圓心坐標(biāo)及半徑和雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，然后分情況討論即可求解.

【詳解】

解：圓/+丫2-6犬-2^+9=0的圓心為(3,1),半徑r=l,

雙曲線(xiàn)C：U=1漸近線(xiàn)方程為y=士卻，即4x±3y=0,

9163

因?yàn)辄c(diǎn)P是圓/+丫2-6犬-2〉+9=0上任意一點(diǎn)，

所以點(diǎn)尸到雙曲線(xiàn)C:《-￥=l漸近線(xiàn)4x-3y=0距離的最小值是

916

14x3-3x11914

a=,==—r=1=—

"+(-3)255：

點(diǎn)P到雙曲線(xiàn)c￡-￥~=l漸近線(xiàn)4x+3y=o距離的最小值是d」4；：+3：l|-r=?-i=2

916V42+325

綜上，點(diǎn)P到雙曲線(xiàn)=l漸近線(xiàn)距離的最小值是士.

9165

故選：A.

10.A

答案第5頁(yè)，共16頁(yè)

【分析】

由解川=(〃+i)q,+i(”eN*),可得9+-Lr=%+_L,即1為常數(shù)列，進(jìn)而可得

'1n+1/t+1nnInn)

生+'=2,從而即可求解.

nn

【詳解】

/、/八a,,7a,,1a?11

解：因?yàn)榻写?(〃+l”“+l(〃eN),所以7ZT="+而可=7+二—

所以4+<=%+，，即［%+，］為常數(shù)列，又4=1,

〃+1〃+1nnInnJ

所以組+L=?+!=2,

nn\\

所以—+—5—=2,解得。切2

=4043,

20222022

故選：A.

11.D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意得：函數(shù)f(x)定義在R上的偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)解題即可.

【詳解】

對(duì)于A(yíng)：因?yàn)閥=〃x-l)的圖象關(guān)于x=I對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)〃x)關(guān)于V軸對(duì)稱(chēng),

又函數(shù)f(x)定義在R上，所以函數(shù)“X)為偶函數(shù)，故A正確；

對(duì)于B：因?yàn)?(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，

所以〃logMCnRog2a<2n；<a<4,故B正確；

對(duì)于C：根據(jù)題意/(-1幅13)=〃10813),又logs13w(2,3),2°'6e(l,2),log.pS,

所以l<2°6<2<log313<3=log］,又/(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，

28

所以flog,->/(-log,13)>/(20-6),故C正確；

\2

對(duì)于D：因?yàn)椤▁)為偶函數(shù)，且在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，

所以在定義R上，〃x)無(wú)最大值，只有最小值為：/(0),故D錯(cuò)誤.

答案第6頁(yè)，共16頁(yè)

故選：D.

12.A

【解析】

【分析】

首先利用導(dǎo)數(shù)求出切線(xiàn)方程，從而得到「（七三，竽），直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)聯(lián)立得到

司+當(dāng)=2,X,X2=-4,從而得到尸（1,-1）,再利用兩點(diǎn)距離公式求解即可.

【詳解】

設(shè)切點(diǎn)A4，上），5（工2,菅,y=；/,/=；X,勺=gx1,

則切線(xiàn)4的方程為:y_L%（x_xj,

同理切線(xiàn)4的方程為：）」亨=/（尢一々），

4

聯(lián)立方程」220“）,解得交點(diǎn)p仔L產(chǎn),竽］

y-7=5（x-w）

又焦點(diǎn)為尸（0,1）,故直線(xiàn)/方程為：y=；x+i.

RAx2=4y,化簡(jiǎn)得f-Zx-dnO,

由此可得占+々=2,%占=-4,所以

由兩點(diǎn)距離公式得|尸產(chǎn)|=Vl2+22=石.

故選：A

13.--##-0.2

5

【解析】

【分析】

----1

先計(jì)算出4仁=3,再由a出=o列式計(jì)算.

【詳解】

—1

由題意，e2=lxlxcos60=-,

因?yàn)榱?，所以萬(wàn)4=卜+4與）卜1-3?2）=0,

答案第7頁(yè)，共16頁(yè)

即q+(%—3)q.%+(—32)4=0,

l+g(X—3)—32=0n4=—"

故答案為：-g

14.9810

【解析】

【分析】

根據(jù)韋恩圖，結(jié)合看每部電影的人數(shù)可構(gòu)造方程組求得結(jié)果.

【詳解】

28+a+b+6=51a=9

由題意得：，35+a+c+6=60,解得："=8.

26+b+c+6=50c=10

故答案為：9；8；10.

15.-

6

【解析】

【分析】

先計(jì)算得/'(夜)，表示出/(7(&)),再由兩角和的正弦公式代入求解出sin(與+夕)，代

入小(⑹)即可求解出答案.

【詳解】

由題意，/(^)=y(l-log2V2)=yxl=^,

(⑹)=sin(2x?+，+5+a=9,

即sin停+。)+°=乎,因?yàn)閟in"；,

八2&.(InAx/325/211限1

所以cos。=----,所fiC以r)sin------\-0=—x-----------x—=---------,

3(3)232336

".(2萬(wàn)八V61V61

故sin——+0\+a=---------+a=——=＞。=一.

I3J3636

答案第8頁(yè)，共16頁(yè)

故答案為：7

6

16.36萬(wàn)

【解析】

【分析】

由題意，可將三棱錐P-ABC補(bǔ)形為正方體，則該三棱錐的外接球即為正方體的外接球，

設(shè)PA=PB=PC=a,由等體積法可求出〃，進(jìn)而可得正方體的外接球直徑

2/?=777777,從而根據(jù)球的體積公式可得答案.

【詳解】

解：因?yàn)槿忮FP-ABC中，底面為等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)相等，

所以三個(gè)側(cè)面均為全等的等腰三角形，又Z4P8=9(T,即三個(gè)側(cè)面均為全等的等腰直角三

角形，

所以PB、PC兩兩互相垂直，且PA=P8=PC,

所以可將三棱錐P-ABC補(bǔ)形為正方體，則該三棱錐的外接球即為正方體的外接球，

設(shè)PA=PB=PC=a,則AB=AC=BC=0a，又產(chǎn)到到底面A8C的距離為2,

所以由gs.Apcx2=：S㈤；cx尸4,即:■(夜a)x2=；xgqxaxq,解得4=26，

所以正方體的外接球直徑2R=病+/=J(2@2+(2⑹?+(2局=6,即R=3,

44

所以該三棱錐外接球的體積為丫=§萬(wàn)R'=§乃33=36萬(wàn)，

故答案為：36萬(wàn).

17.(1)2^

(2)10

答案第9頁(yè)，共16頁(yè)

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得NCSA=再根據(jù)余弦定理求得答案；

271

（2）利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得ZADC=y,再利用余弦定理結(jié)合基本不等式求得

AD+DC<4,即可求得答案.

（1）

因?yàn)閆AC8,NCB4,/B4C依次成等差數(shù)列，

所以NACB+ZBAC=2ZCBA,又ZACB+ABAC+NCBA=n,

TT

所以NC8A=1,

又A8=2,8C=4,則由余弦定理得：

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZCBA=4+l6-2x2x4x-=\2,

2

所以AC=2石.

⑵

由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)及NCBA=q,知NAZ）C=與，

在A(yíng)AOC中，由余弦定理得

AC2=AD2+DC2-2ADDCcosZCDA=（AO+DC）2-ADDC,

又因?yàn)锳O?DC4（仞+8）（當(dāng)且僅當(dāng)AE>=￡>C時(shí)"=”成立），

4

所以t（AO+OC）24AC2=12,即AD+DCW4,

則四邊形ABCD周長(zhǎng)最大值2+4+4=10.

18.（l）r?0.96.正相關(guān)很強(qiáng).

（2）y=382.86A-386.01,2677億元.

【解析】

【分析】

⑴根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算工亍，位據(jù)-可2忙（丫一寸,代入相關(guān)系數(shù)公式求出相關(guān)系

數(shù)，判斷相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值與0.75的關(guān)系即可；

答案第10頁(yè)，共16頁(yè)

(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)結(jié)合公式即可求出線(xiàn)性回歸方程，將x=8代入線(xiàn)性回歸方程即可預(yù)

測(cè)2022年中國(guó)人工智能教育市場(chǎng)規(guī)模.

(1)

□亍=1斗=",k[gy=954,JgQ—工『=等’也(￡-了『二200廊,

67006700八”

r=---------------------=-----=(J96

7000

口相關(guān)系數(shù)屈x2。。府

2

口相關(guān)系數(shù)/?"0.96>0.75,口了與x具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，且正相關(guān)很強(qiáng).

(2)

設(shè)y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為y=bx+a,

之（七-五）（》-9）6—

ZX］另—6M26734-6x35x954

其中6=i=l_____________________-------=紗50x3.：）^絲b382.86

-￡6（—）"一―

f蒼2-6v

<=!

&=》一送=954-382.86x3.5a-386.01,

□y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為R382.86x-386.01,

把x=8代入得>2677(億元)，

故據(jù)此預(yù)測(cè)2022年中國(guó)人工智能教育市場(chǎng)規(guī)模將達(dá)到約2677億元.

19.⑴證明見(jiàn)解析

⑵2

【解析】

【分析】

(1)首先根據(jù)題意得到PO_LAC,ACLBD,從而得到AC_L平面尸80，再根據(jù)線(xiàn)面垂直

的性質(zhì)即可得到ACJ_PB.

(2)首先作OEL8c于E,連接尸E,得到NPEO是二面角P-BC-A的平面角，再結(jié)合

已知條件求解即可.

(1)

因尸01平面A8C￡),ACi平面ABC。，

所以POLAC.

又4C_LBD,8。C尸。=。,8。u平面PB￡>,P。u平面PBD,所以AC_L平面PBD.

答案第11頁(yè)，共16頁(yè)

又PBu平面PBD,所以AC_LPB.

(2)由AC=12,OA=O8=OO=LOC,得O3=OA=4,OC=8.

2

作OELBC于E,連接PE,由POL平面4BCD,知POJ_8C,

又PECOE=E,所以平面尸OE.

又PEu平面尸OE,所以BCLPE,故/PE。是二面角尸一8。一4的平面角,

故此時(shí)tan/PEO=@,又。￡=-^^=攣

442+8?5

所以此時(shí)尸到底面ABCD的距離PO=叱x隨=2.

45

2

20.⑴?+丁=1

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意得出=后壽=4,將點(diǎn)何“，-亭)

代入橢圓即可;

(2)設(shè)A(x，y),5(蒼,%),,直線(xiàn)y=弓^+，〃(〃?#0),則R(F，-yj,

聯(lián)立得到韋達(dá)定理，要證直線(xiàn)MR與直線(xiàn)MB的斜率互為相反數(shù)，

即證kMR+kMB=0，代入求解計(jì)算即可.

(1)

答案第12頁(yè)，共16頁(yè)

設(shè)橢圓上下頂點(diǎn)分別為4(0,。),男(0,-6),左焦點(diǎn)為耳(-c,o),

則48田2可是等邊三角形，所以》=朽了'=4,則橢圓方程為色+方=1，

將9]代入橢圓方程，可得東+靠=1,解得人=1,

所以橢圓方程為￡+>2=1.

4

⑵

設(shè)A(Xi，yJ,3(X2，%)，則R(ff).

將直線(xiàn)y=^~x+m(^mX0)代入橢圓方程，+丁=1,得J?+^/3mx+m2-1=0,

其判別式△=3相2-4(加2—1)=一加2+4>0,即一2〈根<2,

2

X,+x2=-y[3m,xtx2=m-1.

所以要證直線(xiàn)MR與直線(xiàn)MB的斜率互為相反數(shù)，即證kMR+憶皿=0,

-yf+%+?。?-4（9T）+%+4（占+1）

______2_+_2_IJI'/______

k4-k

KMR丁—Xj—1%2-1（玉+］）（工0—1）

3+%回+伸…+書(shū)

（工2-1）（%+1）

212J2-2

（%+l）（x2-1）

y/3xX+"?&+X,）+6

t2=0,所以|MP|=|MQ|.

a+i）（&T）

【點(diǎn)睛】

解決直線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：

(1)注意觀(guān)察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線(xiàn)、橢圓的條件;

(2)強(qiáng)化有關(guān)直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，

重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題.

21.(1)答案見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

答案第13頁(yè)，共16頁(yè)

(1)分類(lèi)討論求解單調(diào)區(qū)間即可.

(2)首先將題意轉(zhuǎn)化為證明xlnx+2-XH—>0,設(shè)/(x)=xlnx+2-xd—,運(yùn)用隱零點(diǎn)求

29

出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值尸(初伽=/(%)=-—%+2,再令x+2求解即可.

X0X

(1)

〃力的定義域(0,+8).

)_〃〃+]?/+以(4+])++

xx2x2x2

當(dāng)。<-1時(shí)，分下面三種情況討論：

□當(dāng)〃=一2時(shí)，r(x)=S/20恒成立，所以“X)在(0,+8)單調(diào)遞增；

□當(dāng)a<-2時(shí)，—(tz+1)>1,令r(x)>0,得0cx<1,或x>-(a+1),

所以/(x)在(0,1)和(-。-L”)單調(diào)遞增，在(1,-a-l)單調(diào)遞減；

□當(dāng)一2<a<T時(shí)，-(a+l)<l,令與(x)>0,得0<x<-(a+l),或三>1,所以/(x)在

(0,-4-1)和(I,”)單調(diào)遞增，在(-a-U)單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)“<-2時(shí)，f(x)在(0,1)和(-為增函數(shù)，在(1,-a-1)為減函數(shù)；a=-2

時(shí)，f(x)在(0,+。)為增函數(shù)；

當(dāng)—2<a<T時(shí)，.f(x)在和(L”)為增函數(shù)，在(-a-1,1)為減函數(shù).

⑵

(2)當(dāng)a=l時(shí)，要證明獷'(x)=才1比+2+》2>g(x)=*2+x-』(x>0),

即證xInx+2-x+L>0.

X

設(shè)F(x)=xInx+2-x+—,則9(x)=Inx-J,

又函數(shù)y=F'(x)在(0,+e)為增函數(shù)，而尸'⑴=-1<0,尸'(e)=l-2>0,

所以存在占e(l,e),使得F'(%)=0,且有1叫,=4，

玉)

所以E(X)在(o,$)為減函數(shù)，在伍,田)為增函數(shù).