篇考點(diǎn)聚焦講圓基本性質(zhì)

第23講圓的基本性質(zhì)1．主要概念(1)圓：平面上到________的距離等于_______的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓．________叫做圓心，________叫做半徑，以O(shè)為圓心的圓記作⊙O.(2)弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做____，連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做____，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是最長的____．(3)圓心角：頂點(diǎn)在_______，角的兩邊與圓相交的角叫做圓心角．(4)圓周角：頂點(diǎn)在_______，角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角．(5)等?。涸赺__________________中，能夠完全________的弧叫做等?。c(diǎn)定長定點(diǎn)定長弧弦弦圓心圓上同圓或等圓重合2．圓的有關(guān)性質(zhì)(1)圓的對稱性：①圓是__________圖形，其對稱軸是__________________________．②圓是______________圖形，對稱中心是_______．③旋轉(zhuǎn)不變性，即圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，都能與原來的圖形重合．軸對稱過圓心的任意一條直線中心對稱圓心(2)垂徑定理及推論：垂徑定理：垂直于弦的直徑_________，并且________________________．垂徑定理的推論：①平分弦(不是直徑)的直徑___________，并且_____________________；②弦的垂直平分線_____________，并且平分弦所對的兩條弧；③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．平分弦平分弦所對的兩條弧垂直于弦平分弦所對的兩條弧經(jīng)過圓心(3)弦、弧、圓心角的關(guān)系定理及推論：①弦、弧、圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧_________，所對的弦________．②推論：在同圓或等圓中，如果兩個_________、_________、___________、_________________中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．相等相等圓心角兩條弧兩條弦兩條弦心距(4)圓周角定理及推論：圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的________．圓周角定理的推論：①同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧________．②半圓(或直徑)所對的圓周角是________；90°的圓周角所對的弦是________．一半相等直角直徑(5)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系(設(shè)d為點(diǎn)P到圓心的距離，r為圓的半徑)：①點(diǎn)P在圓上?_________；②點(diǎn)P在圓內(nèi)?________；③點(diǎn)P在圓外?_________．d＝rd<rd>r(6)過三點(diǎn)的圓：①經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個圓．②經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓；外接圓的圓心叫做三角形的外心；三角形的外心是三邊_______________的交點(diǎn)，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形．銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn)處；鈍角三角形的外心在三角形的外部．(7)圓的內(nèi)接四邊形：圓內(nèi)接四邊形的對角________．垂直平分線互補(bǔ)常見的輔助線(1)有關(guān)弦的問題，常作其弦心距，構(gòu)造以半徑、弦的一半、弦心距為邊的直角三角形，利用勾股定理知識求解；(2)有關(guān)直徑的問題，常通過輔助線構(gòu)造直徑所對的圓周角是直角來進(jìn)行證明或計算．(3)有等弧或證弧相等時，常連等弧所對的弦或作等(同)弧所對的圓周(心)角．B

命題點(diǎn)2：圓周角定理2．(2017·畢節(jié))如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，則∠BAD為(

)A．30°B．50°C．60°D．70°CB

命題點(diǎn)4：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)4．(2017·濰坊)如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形．延長AB與DC相交于點(diǎn)G，AO⊥CD，垂足為E，連接BD，∠GBC＝50°，則∠DBC的度數(shù)為(

)A．50°B．60°C．80°D．90°CD

垂徑定理及其推論【例1】

(1)(2017·廣州)如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，連接CO，AD，∠BAD＝20°，則下列說法中正確的是(

)A．AD＝2OBB．CE＝EOC.∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BADDC

【點(diǎn)評】

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。忸}時，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形往往是解題的關(guān)鍵．[對應(yīng)訓(xùn)練]1．(1)(2017·金華)如圖，在半徑為13cm的圓形鐵片上切下一塊高為8cm的弓形鐵片，則弓形弦AB的長為(

)A．10cm

B．16cmC．24cm

D．26cm

C15°或105°

圓周角定理及其推論【例2】

(1)(2017·云南)如圖，B，C是⊙A上的兩點(diǎn)，AB的垂直平分線與⊙A交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，與線段AC交于D點(diǎn)．若∠BFC＝20°，則∠DBC等于(

)A．30°B．29°C．28°D．20°A(2)(導(dǎo)學(xué)號：65244028)(2017·安徽)如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，過點(diǎn)C作CE∥AD交△ABC的外接圓O于點(diǎn)E，連接AE.①求證：四邊形AECD為平行四邊形；②連接CO，求證：CO平分∠BCE.證明：①由圓周角定理得，∠B＝∠E，又∠B＝∠D，∴∠E＝∠D，∵CE∥AD，∴∠D＋∠ECD＝180°，∴∠E＋∠ECD＝180°，∴AE∥CD，∴四邊形AECD為平行四邊形②作OM⊥BC于點(diǎn)M，ON⊥CE于點(diǎn)N，∵四邊形AECD為平行四邊形，∴AD＝CE，又AD＝BC，∴CE＝CB，∴OM＝ON，又OM⊥BC，ON⊥CE，∴CO平分∠BCE【點(diǎn)評】

當(dāng)圖中出現(xiàn)同弧或等弧時，常常考慮到弧所對的圓周角或圓心角，一條弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半，通過相等的弧把角聯(lián)系起來．[對應(yīng)訓(xùn)練]2．(1)(2017·福建)如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)．下列四個角中，一定與∠ACD互余的角是(

)A．∠ADCB．∠ABDC．∠BACD．∠BAD

D(2)(2017·臨沂)如圖，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，①求證：DE＝DB；②若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圓的半徑．試題

△ABC內(nèi)接于半徑為r的⊙O，且BC＞AB＞AC，O