第一章空間向量與立體幾何章末檢測(cè)（基礎(chǔ)篇）-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期同步知識(shí)梳理+考點(diǎn)精講精練(人教B版2019選擇性必修第一冊(cè))(解析版)

第一章空間向量與立體幾何章末檢測(cè)(基礎(chǔ)篇)

考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知。=(-2,-3,l),6=(2,0,4),c=(-4,-6,2),則下列結(jié)論正確的是()

a/!c,b//cB.a//b.aLc

C.a//c,a±bD.以上都不對(duì)

【答案】c

【解析】

根據(jù)向量平行和垂直的坐標(biāo)表示得出答案.

【詳解】

=-4+0+4=0,b-c=-4x2+0x(-6)+4x2=0,「.±c

故選：C

2.已知四面體ABC。的所有棱長都是2,點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，則&VCE=()

C.百D.

【答案】A

【解析】

根據(jù)1％.(5=BA(CA+AE),即可求解.

【詳解】

如圖，可知CE=CA+AE,

BA-CE=BA-(CA+AE^=BA-CA+BA-AE=2x2xcos60+2x1xcos120=1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

木題考查空間向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，平面a經(jīng)過三點(diǎn)A(l,0,2),8(0,1,0),C(-2,1,1),向量〃是平面a的一

個(gè)法向量，貝口+〃=()

A.—7B.—5C.5D.7

【答案】D

【解析】

求出AB=(-l,L-2),BC=(-2,0,1),利用與超=CUM數(shù)量積為0,求解即可.

【詳解】

A8=(-l,l,-2),BC=(-2,0,1)

“?AB=-l+2—2〃=0

n?BC=-2+4=0

可得〃=2,2=5,4+〃=7

故選：D

4.正六棱柱A8COEb-AMCQ44中，設(shè)=BC=b,BB、=c,那么Ag等于()

A.a+c+2bB.c-a+2bC.2a+c—bD.2a+b-c

【答案】B

【解析】

【分析】

依據(jù)正六棱柱的結(jié)構(gòu)特征并利用向量加減法的幾何意義去求Ag.

【詳解】

正六棱柱ABCDEF-ABCREE中，

BD=AD-AB=2BC-AB=2b-a

AE、=AE+EE、=BD+BB、=c-a+2b

故選：B

5.已知直線/過定點(diǎn)A（2,3,1）,且方向向量為s=（O,l,l）,則點(diǎn),4,3,2）到/的距離為（）

A.—B.變C.叵D.72

222

【答案】A

【解析】

【分析】

本題首先可根據(jù)題意得出4P，然后求出,耳與人尸出，最后根據(jù)空間點(diǎn)到直線的距離公式即可得

出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)锳(2,3,l),尸(4,3,2),所以AP=(2,0,l),

則網(wǎng)=石,V2

卻2，

2

|2=30

由點(diǎn)到直線的距離公式得4=

故選：A.

6.若是平面a內(nèi)的兩個(gè)向量，則（）

A.a內(nèi)任一向量p=2a+〃b(九"GR)

B.若存在九使/la+〃〃=O,則A,=|_i=O

C.若〃不共線，則空間任一向量p=2a+〃人（2,〃GR）

D.若。,6不共線，則a內(nèi)任一向量0=2。+必6(A,〃GR)

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)空間向量共面定理判斷.

【詳解】

當(dāng)￡與B共線時(shí)，A項(xiàng)不正確；當(dāng)￡與石是相反向量，2=/#()時(shí)'Aa+pb=O,故B項(xiàng)不正確；

若a與B不共線，則與a、b共面的任意向量可以用a,5表示，對(duì)空間向量則不一定，

故C項(xiàng)不正確，D項(xiàng)正確.

故選：D.

312

7.如圖，ABCD—EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足”AB+彳AD+^AE,

則P到A3的距離為()

【答案】C

【解析】

【分析】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AE所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，計(jì)算

出AB和4尸的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量法求點(diǎn)到直線的距離公式d=』4P-即可求解.

AB

【詳解】

解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AE所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

所以點(diǎn)P到A8的距離”=

故選：C.

8.如圖在平行六面體ABC。-AMGR中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱M=2且

ZA">=NAAB=60°,則AG=()

A.2V2B.Vioc.26D.714

【答案】B

【解析】

2

先求出48°,AD,想:AB.AD,ABAA,,ADAA,,再計(jì)算|AQ即可.

【詳解】

解：因?yàn)榈酌鍭88是邊長為1的正方形，側(cè)棱9=2且ZA,AD=^AB=60。,

則"=1，AQ2=I，A4/=4，ABAD=0,ABAA,=|AB|.|A4l|-cosZ/l1AB=l,

ADAAt=卜葉向＜(?幺4￡)=1,

則IM

=|AB+AD+A4||

=J(48+AP+A4j

222

=y)AB+AD+AA,+2ABAAI+2ABAD+2ADAAI

=71+1+4+2+0+2

二M

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積，向量的模的計(jì)算公式，是中檔題.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得。分，部分選對(duì)的得2分.

9.已知長方體A8CD-48/C/D/,則下列向量的數(shù)量積可以為0的是（）

A.ADt-BtCB.BDt-AC

C.AB-ADtD.BD,■BC

【答案】ABC

【解析】

【分析】

利用垂直關(guān)系的向量表示判斷.

【詳解】

如圖所示:

若A4尸A。，則A正確；

若則BQLAC,B正確；

?.?A81.平面.,.ABLADi,C正確；

和3c分別為矩形AIDICB的對(duì)角線和邊，

兩者不可能垂直，D錯(cuò).

故選：ABC.

10.已知向量。=(4,-2T)力=(6,-3,2),則下列結(jié)論不正確的是()

A.a+￡>=(IO,-5,-2)B.a-/?=(2,-l,6)

C.a"b=10D.W=6

【答案】BC

【解析】

【分析】

利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則直接求解.

【詳解】

解：向量a=(4,-2,T),b=(6,-，2),

a+6=(10,-5,-2),故A正確;

a-h=(-2,1,-6),故B錯(cuò)誤；

“?6=24+6-8=22,故C錯(cuò)誤；

\a\=716+4+16=6,故。正確.

故選：BC.

11.如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長

均為6,且它們彼此的夾角都是60。，下列說法中正確的是()

A.AC尸6娓

B.ACi±DB

C.向量片C與A4,的夾角是6。°

D.助力與AC所成角的余弦值為四

3

【答案】AB

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，對(duì)選項(xiàng)中的命題分析，判斷正誤即可.

【詳解】

因?yàn)橐皂旤c(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為6,且它們彼此的夾角都是60°,

所以AA?AB=AA?A。=?A8=6x6xcos60°=18,

2222

(AA]+AB+AD)~AA^+AB+AD-AB+2AB-AD+2AD

=36+36+36+3x2x18=216,

ULIU

貝lj|A￡|=|A4,+AB+A￡)I=6",所以A正確；

uuu

AC；?08=(M+AB+AZ))?(AB-A。)

^AA^AB-AA,AD+AB^ABAD+ADAB-AD2=0，所以8正確;

顯然△AA/。為等邊三角形，則NA4/￡>=60。.

因?yàn)槎鶦=AQ,且向量A。與M的夾角是120。，所以30與的夾角是120。，所以C不正確;

因?yàn)锽R=AO+M-ABAC=AB+4￡)，

所以|叫|=J(AD+A4,-AB)2=6垃,|AC|=J(A8+A￡))2=6百,

?AC=(AO+A4-AB)?(AB+AD)=36,

所以cf>=球=瓏^邛，所以。不正確.

故選:AB.

12.在正方體4BCD-A瓦G2中，下列結(jié)論正確的是()

A.四邊形ABCQ的面積為IABII3GlB.A.與砧的夾角為60°

C.(AA+AQ+AB1)2=3(A8jD.4。(44一4〃)=0

【答案】ACD

【解析】

【分析】

結(jié)合正方體圖形，分別對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

如圖

由M1面88℃得相，陽,所以四邊形A8CQ的面積為卜訓(xùn)明］,故A正確;

?.?△4(^是等邊三角形，，/42。=6(),,又?；AB〃RC,.?.異面直線AR與A.B所成的夾角為60。,

但是向量A4與融的夾角為120°,故B錯(cuò)誤；

由向量加法的運(yùn)算法則可以得到M+4R+A4=AG，???AC：=3AB，，

(M+AQ+A4)2=3(A//,故C正確；

向量運(yùn)算可得4瓦—4。=。蜴，??,在正方體4B8-AEG。中，J.D^VA^C,

二ACR4=O，故。正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】

本題主要考查用向量的知識(shí)和方法研究正方體中線位置關(guān)系以及夾角和面積，屬于中檔題.

三'填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.如圖，平行六面體ABCD-AIBICIDI中，14BR40=|例|=1,ZBAD=ZBAA,=120°,ZDAAi

=60°,則線段AG的長度是

【答案】金

【解析】

【分析】

利用AG=AB+A￡)+A4,即可求解.

【詳解】

AC】=AB+AD+AA],

???AQ=AB2+AD2+AA,2+2AB.AD+2AB.AA.+2AD.AA,

=l+14-l+2xlxlx(-^)+2xlxlx(--^)+2xlxlxi

=2，

ACX=5/2,

故答案為：41.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間向量的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

rr

14.已知空間向量a,b,c中兩兩夾角都是且|a|=4,聞=6,k|=2,則|a+b+c|=.

【答案】10

【解析】

【分析】

由|°+6+C「=(“+)+C).(“+/?+C),展開后利用數(shù)量積的定義直接運(yùn)算再開方即可得解.

【詳解】

.7T

V|?|=4,|/?|=6,Ic1=2,且〈a,6〉=〈a,C〉=S,C〉=§,

.'.\a+b+c\2=(a+b+c)-(a+b+c)

=\a^r+\b\2+\c\'+2a-b+2a-c+2b-c=\a\2+\b^+\c\2+2\a\\b\-cos(a,b)+2\a\

IcI-cos(a,c)+2|/J||cIcos(b,c)

=42+62+22+4x6+4x2+6x2=100.

Ia+6+c|=10.

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了應(yīng)用空間向量數(shù)量積求解模長，屬于基礎(chǔ)題.

15.在平行六面體ABCQ-ABCQ中，設(shè)A8=a,AD=b,44,=。，用。、b、C作為基底向量表示

D、B=.

【答案】a-h-c

【解析】

【分析】

根據(jù)空間圖形，根據(jù)向量加，減法的規(guī)則計(jì)算結(jié)果.

【詳解】

有圖形可知48=A8-AA=A8—(AO+AA)=A8-A。一

故答案為：a-b-c

16.如圖，多面體ABCDEF中，面ABC。為正方形，DE，平面ABC。，CF//DE,S.AB=DE=2,

CF=\,G為棱8c的中點(diǎn)，〃為棱OE上的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)//為棱OE的中點(diǎn)時(shí)，G夕〃平面ABE；

②存在點(diǎn)H,使得G7/LAC；

③三棱錐B-G”/的體積為定值；

④三棱錐A-8CF的外接球表面積為9T.

其中正確的結(jié)論序號(hào)為.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】①③④

【解析】

【分析】

根據(jù)線面平行的判定定理，以及線線垂直的判定，結(jié)合棱錐體積的計(jì)算公式，以及棱錐外接球半

徑的求解，對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行逐一求解和分析即可.

【詳解】

對(duì)①：當(dāng)”為。E的中點(diǎn)時(shí)，取E4中點(diǎn)為"，連接

因?yàn)椤埃謩e為ED,￡4的中點(diǎn),

故可得MH=-AD,

2

根據(jù)已知條件可知：BG//AD,BG=^AD,

故MHHBG,MH=BG、

故四邊形"MBG為平行四邊形，則/￡//"?,乂MBu平面A8E,4G（Z平面ABE,

故用〃面48E,故①正確：

對(duì)②：因?yàn)榧確L平面ABCROAOCU平面48C。，

故￡>E_LD4,OE_L￡>C,

又四邊形A6c。為矩形，

故。AJ.DC,則。￡D4,DC兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建在空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

則A（2,0,0）,E（0,0,2）,G（l,2,0）,設(shè)〃（0,0,租），/?e[0,2],

若GHLAE,KOGHAE=（-1,-2,m）-（-2,0,2）=0,

即2+2〃?=0,解得切=-1,不滿足題意，故②錯(cuò)誤；

對(duì)③：%-GFH=^ll-BGF，因?yàn)橛檬?G均為定點(diǎn)，故SBGF為定值,

又DE//CF,CFu平面BGF,OE平面BGF,

故DE〃面BGF,

又點(diǎn)〃在￡>￡上運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)H到平面BGF的距離是定值,

故三棱錐5-GFH的體積為定值，則③正確；

對(duì)④：由題可得CFL平面43a>，又面48co為正方形,

ABLBC,CF±AB,BCr>CF=C,

.?.48,平面BCF,則A3,BC,CF兩兩垂直，

為三棱錐A-8b的外接球的直徑，

y.AF2=AB2+BC2+CF2=22+22+\'=9,

二三棱錐A-BCF的外接球表面積為9不，故④正確.

故答案為：①③④.

四、解答題：本題共6小題，共70分.其中17題10分，18-22每題12分.解答應(yīng)寫出文字

說明'證明過程或演算步驟.

17.已知“=(1,4,-2)力=(-2,2,4).

(1)若c=求cos<a,c>的值；

(2)若(幼+6)_L(4-3b),求實(shí)數(shù)人的值.

【答案】⑴-^；⑵*

【解析】

【分析】

(1)由題設(shè)得c=(-l,l,2),應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求cos<〃,c>即可.

(2)根據(jù)已知向量垂直有(履+5)?-3。)=0,應(yīng)用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列方程，求k的值.

【詳解】

(1)由已知得：c=gb=(-l,l,2),a=(1,4,-2),

aclx(-l)+4xl+(-2)x2-1V14

cos<a,c>=1—n-r=—/——/=—f=——產(chǎn)

71+16+4x71+1+4V21xV6~42'

(2)由(版+。)-3/?),B|J(Zz/+Z?)-(a-3/?)=0,

7(A—2)—2(4女+2)-14(一2/+4)=0,解得％=二.

18.已知三棱錐P-A8C中，尸4,平面ABC,ABVAC,若曰=3,AB=2,AC=2,建立空間直

角坐標(biāo)系.

(1)求各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵若點(diǎn)Q是PC的中點(diǎn)，求點(diǎn)。坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)M在線段PC上移動(dòng)，寫出點(diǎn)M坐標(biāo).

【答案】(1)建系見解析，40,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,3)；

⑵Q(0』，|);

(3)M(0,/,3-|r)(0</<2).

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)給定三棱錐的特征建立空間直角坐標(biāo)系，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)作答.

(2)利用(1)的結(jié)論結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算作答.

(3)設(shè)出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，直接寫出其坐標(biāo)作答.

(1)

在三棱錐P-ABC中，9，平面ABC,ABLAC,則射線AB,AC,AP兩兩垂直，

以點(diǎn)4為原點(diǎn)，射線相,AC,AP分別為羽y,z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

V

所以A(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),尸(0,0,3).

(2)

3

由(i)知，點(diǎn)Q是PC中點(diǎn)，則。(0」,5).

(3)

由(1)知，點(diǎn)M在線段PC上移動(dòng)，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為()，設(shè)其縱坐標(biāo)為MOW隹2),

其豎坐標(biāo)z,當(dāng)M與A不重合時(shí)，：=TAz=3—|f,當(dāng)M與4重合時(shí),z=3滿足上式，因此z=3-},

3

所以點(diǎn)M(0j,3-])(04f42).

19.如圖所示，AEL平面ABCQ,四邊形AEF8為矩形，BC//AD,BAA.AD,A￡=A￡>=2AB=28C=4.

(1)求證：<?尸〃平面4?！?/p>

(2)求平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)|

【解析】

(1)根據(jù)3F/ME,BC//AD,從而證明平面BCF//平面ADE,從而CF〃平面ADE。(2)以A

為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,寫出點(diǎn)的空間坐標(biāo)，根據(jù)向量法求解即可。

【詳解】

(1)???四邊形ABEF為矩形

:.BF//AE

又5尸0平面ADE,AEu平面ADE

.?后〃平面ADE

又BCIiAD,

同理可得：8C7/平面ADE

又BFcBC=B,BF,BC平面BCF

平面3CF〃平面ADE

又CF平面BCF

.?.CF//平面ADE

(2)如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則

C(2,2,0),￡>(0,4,0),F(2,0,4)

AD=(0,4,0),CD=(-2,2,0),CF=(0,-2,4)

設(shè)〃=(x,y,z)是平面CDF的一個(gè)法向量，則

?.CD=0fx-y=0

n-CF=0[y-2z=0

“?,(x=2

令y=2,解得

[z=1

.?.”=(2,2,1)

又AQ是平面AEFB的?個(gè)法向量，

二.cos/n,Af)\=:竺,,=之

平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值為].

E

【點(diǎn)睛】

此題考查立體幾何線面平行證明和二面角求法，線面平行可先證面面平行得到，屬于簡(jiǎn)單題目。

20.如圖，已知平面ABC。，底面ABC。為正方形，PA=AD=AB=2,M,N分別為A8,PC的

中點(diǎn).

（1）求證：MN_L平面PC￡＞；

（2）求PO與平面PMC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）2.

3

【解析】

【分析】

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得AW_L平面PCD.

（2）利用直線的方向向量，平面尸MC的法向量，計(jì)算線面角的正弦值.

【詳解】

（1）以A為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則

M（1,O,O）,P（O,O,2）,C（2,2,O）,7V（1,1,1）,D（O,2,O）.

MN=(0,1,1),PC=(2,2,-2),PO=(0,2,-2),

MNPC=2-2=0

,所以MV_LPC,MN_LPO,

MNPD=2-2=0

由于PCcPO=P,所以MV_L平面PCD

(2)PD=(0,2,-2),

MP=(-l,0,2),MC=(l,2,0),

設(shè)平面PMC的法向量為"=(x,y,z),則

〃MP=-x+2z=0人

,令Z=1則x=2,y=7,所以〃=(2,-1,1).

n-MC=x+2y=0

設(shè)直線PD與平面PMC所成角為，，則

〃PD4V3

sin6=

ffM后2a-3

21.如圖，在棱長為1的正方體48。。-48/。/￡>/中，E,尸分別為。Q,BO的中點(diǎn)，點(diǎn)G在CO

,rI

匕且CG'S

(1)求證：EF±B/C；

(2)求EF與C/G所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)叵.

17

【解析】

【分析】

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，(1)利用空間向量證明，(2)利用空間向量求解

【詳解】

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

則EF(11,0),C(0,1,0),Bt(1,1,1),C,(0,1,1),G(0,p0),

uuniii

(1)耳C=(T,0,-l),

uuuuuu

丁EFBlC=0:.EF±BlC,

uuiri

(2)由(1)知GG=(O,—“T)，

，iXl=M+(一》+(T)2=乎

22+

西=JG)+?(-i)2=T

EF-GG=|xO+1x(-i)+(-i)x(-l)=^

設(shè)Ef"與C/G所成角為e,則

3

COS?8

GM17

——X