江蘇省競賽輔導(dǎo)多元微積分學(xué)(試題與解答)

江蘇省高數(shù)競賽輔導(dǎo)多元微積分與線面積分(試題與解答)1.設(shè)由方程確定(為任意可微函數(shù))，則(2000，省一)解：2.若都存在，則在___D____.(2000，省一)A．極限存在但不一定連續(xù)B.極限存在且連續(xù)C．沿著任意方向的方向?qū)?shù)存在D.極限未必存在，未必連續(xù).3.已知兩個球的半徑分別是，且小球球心在大球球面上，試求小球在大球內(nèi)的那一部分的體積.(2000，省一)解：設(shè)大圓方程為，小圓方程為，其交點的縱坐標(biāo)為，所求立體為兩圓公共區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得，其體積為4.計算曲面積分，其中為曲面(2000，省一)解：利用曲面關(guān)于坐標(biāo)面對稱，有5.計算曲面積分，其中為繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面之下側(cè).(2000，省二)解：作平面取上側(cè)，所圍成的立體為，則6.二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則(2002，省一)解：7.求直線繞旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，并求該曲面與所包圍的立體的體積.(2002，省一)解：在所求曲面上任取點，過作垂直于軸的平面，該平面與題給直線交于點，與軸交于點，則，且，故又由點在已知直線上，8.設(shè)試討論在點的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性與可微性.(2002，省一)解：故在點處連續(xù).9.設(shè)于可導(dǎo)，求(2002，省一)解：10.設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為，一質(zhì)點在力的作用下沿曲線從點，力的大小等于點到定點的距離，其方向垂直于線段，且與軸正向的夾角為銳角，求力對質(zhì)點所做的功.(2002，一)解：11.證明：(2004,省一)解：首先考慮在上的最大值與最小值.在內(nèi)部，由于，故在內(nèi)部無駐點.于是在球面上，應(yīng)用Lagrange乘數(shù)法，令又在有界閉集有最大值與最小值，故分別是在上的最大值與最小值，故12.設(shè)連續(xù)可導(dǎo)，為不包含原點的單連通域，任取，在內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān).(1)求(2)求(2004,省一)解：令與路徑無關(guān)，故取正向圍成的區(qū)域為，由Green公式，13.設(shè)時，曲線積分取最大值.(2006,省一)解：設(shè)圍成區(qū)域為則14.設(shè)錐面被平面截下的有限部分為.(1)求曲面的面積；(2)用薄鐵片制作的模型，為上的兩點，O為原點，將沿線段OB剪開并展開成平面圖形D，以O(shè)A方向為極軸建立平面極坐標(biāo)系，寫出D的邊界的極坐標(biāo)方程.(2006,省一)解：(1)錐面與平面的交線在XOY平面上投影為，此為一橢圓，它所圍成圖形的面積為，的面積為(2)先求交線的柱坐標(biāo)方程，令則作平面，交于為半徑為1的圓，其上任一點到原點O的距離為2.弧長為設(shè)在平面圖形D中，設(shè)弧長為的邊界曲線的極坐標(biāo)方程為15.曲線繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周生成的曲面與所圍成的立體區(qū)域為(1)求(2006,省一)(2)求(2006,省二)解：(1)曲面方程則(2)曲面方程則16.證明：(南大，95)解：令則在內(nèi)無駐點，在上，令17.設(shè)是原點到橢球面上點處切平面的距離，求(南大，95)解：橢球面上任一點處的切平面方程為坐標(biāo)原點到切平面的距離為18.已知是為頂點的四邊形的邊，取正向，則(南大，96)解：19.求其中由方程組給定.(南大，96)解：曲線的參數(shù)方程為20.設(shè)的外側(cè)位于的部分，試計算給定.(南大，96)解：曲面在XOY面上的投影為則21.設(shè)滿足方程試用球坐標(biāo)變換將方程變?yōu)?南大，96)解：球坐標(biāo)22.計算柱面被平面所截下曲面中部分曲面的面積.(南大，96)解：曲面方程：23.求函數(shù)在區(qū)域上的最大值與最小值.(莫斯科)解：區(qū)域D內(nèi)部：邊界上，令同理，邊界上分別計算出駐點且邊界線段的端點為于是24.設(shè)證明：(莫斯科)解：要證記于是上式即當(dāng)時，當(dāng)時，又25.計算曲線積分為平面上環(huán)繞坐標(biāo)原點的單閉曲線，取逆時針方向.(莫斯科)解：將代入原式，由故在的區(qū)域上，曲線與路徑無關(guān).在單閉曲線L內(nèi)部取橢圓周充分小，且取逆時針，則其中26.設(shè)曲線積分為頂點的正方形邊界曲線，方向為逆時針，則(全國，2015.3)解：利用Green公式，27.設(shè)為平面上點處的個方向向量，相鄰兩個向量之間的夾角為，證明(全國，2015.3)解：設(shè)為單位向量，且設(shè)28.求方程的通解.(全國，2011.3)解：設(shè)29.設(shè)求橢球面在上各點的切平面到原點距離的最大值與最小值.(全國，2011.3)解：設(shè)切平面方程：30.已知繞Y軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面上半部分()取上側(cè)，是原點到于點處切平面的距離，S正法向的方向余弦為計算(1)(2)(全國，2011.3)解：(1)設(shè)切平面方程：原點到切平面的距離：(2)31.計算與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域.(全國，2009.3)解：令32.已知為的正向邊界，證明：(全國，2009.3)(1)(2)解：(1)由Green公式，關(guān)于對稱，故由輪換對稱性，(1)成立.(2)利用冪級數(shù)展開，有33.設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點的任意光滑的簡單閉曲線C上，曲線積分的值為常數(shù)，(全國，2010預(yù)賽)(1)取正向，證明：(2)求函數(shù)(3)設(shè)C是圍繞原點的光滑簡單正向閉曲線，求.解：(1)L不繞原點，在L上取兩點A,B，將L分為兩段，再從