小學奧數(shù)課本四年級上冊04-01(上)

第一講速算與巧算〔三〕例1計算9＋99＋999＋9999＋99999—1去計算.這是小學數(shù)學中常用的一種技巧.9＋99＋999＋9999＋99999＝〔10－1〕＋〔100-1〕＋〔1000－1〕＋〔10000-1〕＋〔100000-1〕＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5＝111110-5＝111105.例2計算199999＋19999＋1999＋199＋19解：此題各數(shù)字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用湊整法.不過這里是加1湊整.〔如199＋1＝200〕199999＋19999＋1999＋199＋19＝〔19999＋1〕＋〔19999＋1〕＋〔1999＋1〕＋〔199＋1〕＋〔19＋1〕－5＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225.例3計算〔1＋3＋5＋…＋1989〕－〔2＋4＋6＋…＋1988〕解法2：先把兩個括號內(nèi)的數(shù)分別相加，再相減.第一個括號內(nèi)的數(shù)相加的結(jié)果是：從1到1989共有995個奇數(shù)，湊成497個1990，還剩下995，第二個括號內(nèi)的數(shù)相加的結(jié)果是：從2到1988共有994個偶數(shù)，湊成497個1990.1990×497＋995—1990×497＝995.例4計算389＋387＋383＋385＋384＋386＋388解法1：認真觀察每個加數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都和整數(shù)390接近，所以選390為基準數(shù).389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝390×7—1—3—7—5—6—4—＝2730—28＝2702.解法2：也可以選380為基準數(shù)，那么有389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8＝2660＋42＝2702.例5計算〔4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943〕÷6解：認真觀察可知此題關(guān)鍵是求括號中6個相接近的數(shù)之和，故可選4940為基準數(shù).〔4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943〕÷6＝〔4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3〕÷6＝〔4940×6＋6〕÷6〔這里沒有把4940×6先算出來，而是運＝4940×6÷6＋6÷6運用了除法中的巧算方法〕＝4940＋1＝4941.例6計算54＋99×99＋45解：此題外表上看沒有巧妙的算法，但如果把45和54先結(jié)合可得99，就可以運用乘法分配律進行簡算了.54＋99×99＋45＝〔54＋45〕＋99×99＝99＋99×99＝99×〔1＋99〕＝99×100＝9900.例7計算9999×2222＋3333×3334×3，規(guī)律就出現(xiàn)了.9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×〔6666＋3334〕＝3333×10000＝33330000.例81999＋999×999解法1：1999＋999×999＝1000＋999＋999×999＝1000＋999×〔1＋999〕＝1000＋999×1000＝1000×〔999＋1〕＝1000×1000＝1000000.解法2：1999＋999×999＝1999＋999×〔1000-1〕＝1999＋999000-999＝〔1999-999〕＋999000＝1000＋999000＝1000000.有多少個零.總之，要想在計算中到達準確、簡便、迅速，必須付出辛勤的勞動，要多練習，多總結(jié)，只有這樣才能做到熟能生巧.習題一1.計算899998＋89998＋8998＋898＋882.計算799999＋79999＋7999＋799＋793.計算〔1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2〕－〔1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987〕—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋19935.時鐘1點鐘敲1下，2點鐘敲2下，3點鐘敲3下，依次類推.從1點到12點這12個小時內(nèi)時鐘共敲了多少下？6.求出從1～25的全體自然數(shù)之和.7.計算1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—1018.計算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋879.計算〔125×99＋125〕×1610.計算3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9×7805312.兩個10位數(shù)1111111111和9999999999的乘積中，有幾個數(shù)字是奇數(shù)？第二講速算與巧算〔四〕例1比擬下面兩個積的大?。篈＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析經(jīng)審題可知A的第一個因數(shù)的個位數(shù)字比B的第一個因數(shù)的個位數(shù)字小1，但A的第二個因數(shù)的個位數(shù)字比B的第二個因數(shù)的個位數(shù)字大1.所以不經(jīng)計算，憑直接觀察不容易知道A和B哪個大.但是無論是對A或是對B，直接把兩個因數(shù)相乘求積又太繁，所以我們開動腦筋，將A和B先進行恒等變形，再作判斷.解：A＝987654321×123456789＝987654321×〔123456788＋1〕＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝〔987654321＋1〕×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因為987654321＞123456788，所以A＞B.例2不用筆算，請你指出下面哪道題得數(shù)最大，并說明理由.241×249242×248243×247244×246245×245.解：利用乘法分配律，將各式恒等變形之后，再判斷.241×249＝〔240＋1〕×〔250—1〕＝240×250＋1×9；242×248＝〔240＋2〕×〔250—2〕＝240×250＋2×8；243×247＝〔240＋3〕×〔250—3〕＝240×250＋3×7；244×246＝〔240＋4〕×〔250—4〕＝240×250＋4×6；245×245＝〔240＋5〕×〔250—5〕＝240×250＋5×5.恒等變形以后的各式有相同的局部240×250，又有不同的局部1×9，2×8，3×7，4×6，5×5，由此很容易看出245×245的積最大.一般說來，將一個整數(shù)拆成兩局部〔或兩個整數(shù)〕，兩局部的差值越小時，這兩局部的乘積越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5那么5×5＝25積最大.例3求1966、1976、1986、1996、2006五個數(shù)的總和.解：五個數(shù)中，后一個數(shù)都比前一個數(shù)大10，可看出1986是這五個數(shù)的平均值，故其總和為：1986×5＝9930.例42、4、6、8、10、12…是連續(xù)偶數(shù)，如果五個連續(xù)偶數(shù)的和是320，求它們中最小的一個.解：五個連續(xù)偶數(shù)的中間一個數(shù)應為320÷5＝64，因相鄰偶數(shù)相差2，故這五個偶數(shù)依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.總結(jié)以上兩題，可以概括為巧用中數(shù)的計算方法.三個連續(xù)自然數(shù)，中間一個數(shù)為首末兩數(shù)的平均值；五個連續(xù)自然數(shù)，中間的數(shù)也有類似的性質(zhì)——它是五個自然數(shù)的平均值.如果用字母表示更為明顯，這五個數(shù)可以記作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此類推，對于奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)，最中間的數(shù)是所有這些自然數(shù)的平均值.如：對于2n＋1個連續(xù)自然數(shù)可以表示為：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…，x—1，x，x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中x是這2n＋1個自然數(shù)的平均值.巧用中數(shù)的計算方法，還可進一步推廣，請看下面例題.例5將1～1001各數(shù)按下面格式排列：一個正方形框出九個數(shù)，要使這九個數(shù)之和等于：①1986，②2529，③1989，能否辦到？如果辦不到，請說明理由.解：仔細觀察，方框中的九個數(shù)里，最中間的一個是這九個數(shù)的平均值，即中數(shù).又因橫行相鄰兩數(shù)相差1，是3個連續(xù)自然數(shù)，豎列3個數(shù)中，上下兩數(shù)相差7.框中的九個數(shù)之和應是9的倍數(shù).①1986不是9的倍數(shù)，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍數(shù)，但是281÷7＝40×7＋1，這說明281在題中數(shù)表的最左一列，顯然它不能做中數(shù)，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍數(shù)，且221÷7＝31×7＋4，這就是說221在數(shù)表中第四列，它可做中數(shù).這樣可求出所框九數(shù)之和為1989是辦得到的，且最大的數(shù)是229，最小的數(shù)是213.這個例題是所謂的“月歷卡〞上的數(shù)字問題的推廣.同學們，小小的月歷卡上還有那么多有趣的問題呢！所以平時要注意觀察，認真思考，積累巧算經(jīng)驗.習題二1.右圖的30個方格中，最上面的一橫行和最左面的一豎列的數(shù)已經(jīng)填好，其余每個格子中的數(shù)等于同一橫行最左邊的數(shù)與同一豎列最上面的數(shù)之和〔如方格中a＝14＋17＝31〕.右圖填滿后，這30個數(shù)的總和是多少？2.有兩個算式：①98765×98769，②98766×98768，請先不要計算出結(jié)果，用最簡單的方法很快比擬出哪個得數(shù)大，大多少？×764和567×765哪個積大？4.在下面四個算式中，最大的得數(shù)是多少？①1992×1999＋1999②1993×1998＋1998③1994×1997＋1997④1995×1996＋19965.五個連續(xù)奇數(shù)的和是85，求其中最大和最小的數(shù).6.45是從小到大五個整數(shù)之和，這些整數(shù)相鄰兩數(shù)之差是3，請你寫出這五個數(shù).7.把從1到100的自然數(shù)如下表那樣排列.在這個數(shù)表里，把長的方面3個數(shù)，寬的方面2個數(shù)，一共6個數(shù)用長方形框圍起來，這6個數(shù)的和為81，在數(shù)表的別的地方，如上面一樣地框起來的6個數(shù)的和為429，問此時長方形框子里最大的數(shù)是多少？第三講定義新運算我們學過的常用運算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，為什么運算結(jié)果不同呢？主要是運算方式不同，實際是對應法那么不同.可見一種運算實際就是兩個數(shù)與一個數(shù)的一種對應方法，對應法那么不同就是不同的運算.當然，這個對應法那么應該是對任意兩個數(shù)，通過這個法那么都有一個唯一確定的數(shù)與它們對應.只要符合這個要求，不同的法那么就是不同的運算.在這一講中，我們定義了一些新的運算形式，它們與我們常用的“＋〞，“－〞，“×〞，“÷〞運算不相同.我們先通過具體的運算來了解和熟悉“定義新運算〞.例1設a、b都表示數(shù)，規(guī)定a△b＝3×a—2×b，①求3△2，2△3；②這個運算“△〞有交換律嗎？③求〔17△6〕△2，17△〔6△2〕；④這個運算“△〞有結(jié)合律嗎？⑤如果4△b＝2，求b.分析解定義新運算這類題的關(guān)鍵是抓住定義的本質(zhì)，此題規(guī)定的運算的本質(zhì)是：用運算符號前面的數(shù)的3倍減去符號后面的數(shù)的2倍.解：①3△2＝3×3-2×2＝9-4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△〞沒有交換律.③要計算〔17△6〕△2，先計算括號內(nèi)的數(shù)，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再計算第二步39△2＝3×39-2×2＝113，所以〔17△6〕△2＝113.對于17△〔6△2〕，同樣先計算括號內(nèi)的數(shù)，6△2＝3×6-2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△〔6△2〕＝23.④由③的例子可知“△〞也沒有結(jié)合律.⑤因為4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.例2定義運算※為a※b＝a×b－〔a＋b〕，①求5※7，7※5；②求12※〔3※4〕，〔12※3〕※4；③這個運算“※〞有交換律、結(jié)合律嗎？④如果3※〔5※x〕＝3，求x.解：①5※7＝5×7－〔5＋7〕＝35-12＝23，7※5＝7×5－〔7＋5〕＝35-12＝23.②要計算12※〔3※4〕，先計算括號內(nèi)的數(shù)，有：3※4＝3×4－〔3＋4〕＝5，再計算第二步12※5＝12×5－〔12＋5〕＝43，所以12※〔3※4〕＝43.對于〔12※3〕※4，同樣先計算括號內(nèi)的數(shù)，12※3＝12×3－〔12＋3〕＝21，其次21※4＝21×4－〔21＋4〕＝59，所以〔12※3〕※4＝59.③由于a※b＝a×b－〔a＋b〕；b※a＝b×a－〔b＋a〕＝a×b－〔a＋b〕〔普通加法、乘法交換律〕所以有a※b＝b※a，因此“※〞有交換律.由②的例子可知，運算“※〞沒有結(jié)合律.④5※x＝5x－〔5＋x〕＝4x－5；3※〔5※x〕＝3※〔4x－5〕＝3〔4x－5〕－〔3＋4x－5〕＝12x－15－〔4x－2〕＝8x－13那么8x－13＝3解出x＝2.③這個運算有交換律和結(jié)合律嗎？例5x、y表示兩個數(shù)，規(guī)定新運算“*〞及“△〞如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均為自然數(shù)，1*2=5，〔2*3〕△4=64，求〔1△2〕*3的值.分析我們采用分析法，從要求的問題入手，題目要求1△2〕*3的值，首先我們要計算1△2，根據(jù)“△〞的定義：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要計算出k的值.k值求出后，l△2的值也就計算出來了，我們設1△2=a.(1△2〕*3=a*3，按“*〞的定義：a*3=ma+3n，在只有求出m、n時，我們才能計算a*3的值.因此要計算〔1△2〕*3的值，我們就要先求出k、m、n的值.通過1*2=5可以求出m、n的值，通過〔2*3〕△4=64求出k的值.解：因為1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因為m、n均為自然數(shù)，所以解出：①當m=1，n=2時：〔2*3〕△4=〔1×2+2×3〕△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64，解出k=2.②當m=3，n=1時：〔2*3〕△4=〔3×2+1×3〕△4=9△4=k×9×4=36k所以m=l，n=2，k=2.〔1△2〕*3=〔2×1×2〕*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面這一類定義新運算的問題中，關(guān)鍵的一條是：抓住定義這一點不放，在計算時，嚴格遵照規(guī)定的法那么代入數(shù)值.還有一個值得注意的問題是：定義一個新運算，這個新運算常常不滿足加法、乘法所滿足的運算定律，因此在沒有確定新運算是否具有這些性質(zhì)之前，不能運用這些運算律來解題.習題三計算：①10*6②7*〔2*1〕.°，使以下算式成立：5.對于任意的整數(shù)x、y，定義新運算“△〞，如果1△2=2，那么2△9=？7.“*〞表示一種運算符號，它的含義是：△b=a+〔a+1〕+〔a+2〕+…+〔a+b-1〕，〔a、b均為自然數(shù)，b＞a〕如果x△10=65，那么x=？10.我們規(guī)定：符號。表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運算，例如：5°3=3°5=5，符號△表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運算，例如：5△3=3△5=3，計算：第四講等差數(shù)列及其應用許多同學都知道這樣一個故事：大數(shù)學家高斯在很小的時候，就利用巧妙的算法迅速計算出從1到100這100個自然數(shù)的總和.大家在佩服贊嘆之余，有沒有仔細想一想，高斯為什么算得快呢？當然，小高斯的聰明和藹于觀察是不必說了，往深處想，最根本的原因卻是這100個數(shù)及其排列的方法本身具有極強的規(guī)律性——每項都比它前面的一項大1，即它們構(gòu)成了差相等的數(shù)列，而這種數(shù)列有極簡便的求和方法.通過這一講的學習，我們將不僅掌握有關(guān)這種數(shù)列求和的方法，而且學會利用這種數(shù)列來解決許多有趣的問題.一、等差數(shù)列什么叫等差數(shù)列呢？我們先來看幾個例子：①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13.③2，4，6，8，10，12，14…④3，6，9，12，15，18，21.⑤100，95，90，85，80，75，70.⑥20，18，16，14，12，10，8.公差，一般用字母d表示，如：數(shù)列①中，d=2-1=3-2=4-3=…=1；數(shù)列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；數(shù)列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；數(shù)列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.例1下面的數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列？假設是，請指明公差，假設不是，那么說明理由.①6，10，14，18，22，…，98；②1，2，1，2，3，4，5，6；③1，2，4，8，16，32，64；④9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；解：①是，公差d=4.②不是，因為數(shù)列的第3項減去第2項不等于數(shù)列的第2項減去第1項.③不是，因為4-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因為第1項減去第2項不等于第2項減去第3項.一般地說，如果一個數(shù)列是等差數(shù)列，那么這個數(shù)列的每一項或者都不小于前面的項，或者每一項都大于前面的項，上述例1的數(shù)列⑥中，第1項大于第2項，第2項卻又小于第3項，所以，顯然不符合等差數(shù)列的定義.為了表達和書寫的方便，通常，我們把數(shù)列的第1項記為a1，第2項記為a2，…，第n項記為an，an。又稱為數(shù)列的通項，a1；又稱為數(shù)列的首項，最后一項又稱為數(shù)列的末項.二、通項公式對于公差為d的等差數(shù)列a1，a2，…an…來說，如果a1；小于a2，那么由此可知：(1)假設a1；大于a2，那么同理可推得：(2)公式〔1〕〔2〕叫做等差數(shù)列的通項公式，利用通項公式，在首項和公差的情況下可以求出等差數(shù)列中的任何一項.例2求等差數(shù)列1，6，11，16…的第20項.解：首項a1=1，又因為a2；大于a1；，公差d=6-1=5，所以運用公式〔1〕可知：第20項a20=a1=〔20-1〕×5=1+19×5=96.一般地，如果知道了通項公式中的兩個量就可以求出另外一個量，如：由通項公式，我們可以得到項數(shù)公式：例3等差數(shù)列2，5，8，11，14…，問47是其中第幾項？解：首項a1=2，公差d=5-2=3令an=47那么利用項數(shù)公式可得：n=〔47-2〕÷3+1=16.即47是第16項.例4如果一等差數(shù)列的第4項為21，第6項為33，求它的第8項.分析與解答方法1：要求第8項，必須知道首項和公差.因為a4=a1+3×d，又a4=21，所以a1=21-3×d又a6=a1+5×d，又a6=33，所以a1=33-5×d所以：21-3×d=33-5×d，所以d=6a1=21-3×d=3，所以a8=3+7×6=45.方法2：考慮到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2×d，其中a6，只要求2×d即可.又a6=a5+d=a4+d+d=a4+2×d，所以2×d=a6-a4所以a8=3+7×6=45方法2說明：如果能夠靈活運用等差數(shù)列各項間的關(guān)系，解題將更為簡便.三、等差數(shù)列求和假設a1小于a2，那么公差為d的等差數(shù)列a1,a2,a3…an可以寫為a1,a1+d,a1+d×2，…，a1+d×〔n-1〕.所以，容易知道：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=…=an-1+a2=an+a1.設Sn=a1+a2+a3+…+an那么Sn=an+an-1+an-2+…+a1兩式相加可得：2×Sn=〔a1+an〕+(a2+an-1)+…+(an+a1)即：2×Sn=n×〔a1+an〕,所以，例5計算1+5+9+13+17+…+1993.當a1；大于a2。時，同樣也可以得到上面的公式.這個公式就是等差數(shù)列的前n項和的公式.解：因為1，5，9，13，17，…，1993是一個等差數(shù)列，且al=1，d=4，an=1993.所以，n=〔an－a1〕÷d+1=499.所以，1+5+9+13+17+…+1993=〔1+1993〕×499÷2=997×499=497503.題目做完以后，我們再來分析一下，此題中的等差數(shù)列有499項，中間一項即第250項的值是997，而和恰等于997×499.其實，這并不是偶然的現(xiàn)象，關(guān)于中項有如下定理：這個定理稱為中項定理.例6建筑工地有一批磚，碼成如右圖形狀，最上層兩塊磚，第2層6塊磚，第3層10塊磚…，依次每層都比其上面一層多4塊磚，最下層2106塊磚，問中間一層多少塊磚？這堆磚共有多少塊？解：如果我們把每層磚的塊數(shù)依次記下來，2，6，10，14，…容易知道，這是一個等差數(shù)列.方法1：a1=2，d=4，an=2106，貝n=〔an-a1〕÷d+1=527這堆磚共有那么中間一項為a264=a1+〔264-1〕×4=1054.方法2：〔a1+an〕×n÷2=〔2+2106〕×527÷2=555458〔塊〕.那么中間一項為〔a1+an〕÷2=1054a1=2，d=4，an=2106，這堆磚共有1054×527=555458〔塊〕.n=〔an-a1〕÷d+1=527例7求從1到2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差.解：根據(jù)題意可列出算式：〔2+4+6+8+…+2000〕-〔1+3+5+…+1999〕解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是一個公差為2的等差數(shù)列，1，3，5，…，1999也是一個公差為2的等差數(shù)列，且項數(shù)均為1000，所以：原式=〔2+2000)×1000÷2-〔1+1999〕×1000÷2=1000.解法2：注意到這兩個等差數(shù)列的項數(shù)相等，公差相等，且對應項差1，所以1000項就差了1000個1，即原式=1000×1=1000.例8連續(xù)九個自然數(shù)的和為54，那么以這九個自然數(shù)的末項作為首項的九個連續(xù)自然數(shù)之和是多少？分析與解答方法1：要想求這九個連續(xù)自然數(shù)之和，可以先求出這九個連續(xù)自然數(shù)中最小的一個.即條件中的九個連續(xù)自然數(shù)的末項.因為，條件中九個連續(xù)自然數(shù)的和為54，所以，這九個自然數(shù)的中間數(shù)為54÷9=6，那么末項為6+4=10.因此，所求的九個連續(xù)自然數(shù)之和為〔10+18〕×9÷2=126.方法2：考察兩組自然數(shù)之間的關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)：后一組自然數(shù)的每一項比前一組自然數(shù)的對應項大8，因此，后一組自然數(shù)的和應為54+8×9=126.在方法1中，可以用另一種方法來求末項，根據(jù)求和公式Sn=〔a1+an〕×n÷2，那么a1+a9=54×2÷1=a9-8，所以代入后也可求出a9=10.例9100個連續(xù)自然數(shù)〔按從小到大的順序排列〕的和是8450，取出其中第1個，第3個…第99個，再把剩下的50個數(shù)相加，得多少？分析與解答方法1：要求和，我們可以先把這50個數(shù)算出來.100個連續(xù)自然數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，且和為8450，那么：首項+末項=8450×2÷100=169，又因為末項比首項大99，所以，首項=〔169-99〕÷2=35.因此，剩下的50個數(shù)為：36，38，40，42，44，46…134.這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，和為〔36+134〕×50÷2=4250.方法2：我們考慮這100個自然數(shù)分成的兩個數(shù)列，這兩個數(shù)列有相同的公差，相同的項數(shù)，且剩下的數(shù)組成的數(shù)列比取走的數(shù)組成的數(shù)列的相應項總大1，因此，剩下的數(shù)的總和比取走的數(shù)的總和大50，又因為它們相加的和為8450.所以，剩下的數(shù)的總和為〔8450+50〕÷2=4250.四、等差數(shù)列的應用例10把210拆成7個自然數(shù)的和，使這7個數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個數(shù)的差都是5，那么，第1個數(shù)與第6個數(shù)分別是多少？解：由題可知：由210拆成的7個數(shù)必構(gòu)成等差數(shù)列，那么中間一個數(shù)為210÷7=30，所以，這7個數(shù)分別是15、20、25、30、35、40、45.即第1個數(shù)是15，第6個數(shù)是40.例11把27枚棋子放到7個不同的空盒中，如果要求每個盒子都不空，且任意兩個盒子里的棋子數(shù)目都不一樣多，問能否辦到，假設能，寫出具體方案，假設不能，說明理由.分析與解答因為每個盒子都不空，所以盒子中至少有一枚棋子；同時，任兩盒中棋子數(shù)不一樣，所以7個盒中共有的棋子數(shù)至少為1+2+3+4+5+6+7=28.但題目中只給了27枚棋子，所以，題中要求不能辦到.例12從1到50這50個連續(xù)自然數(shù)中，取兩數(shù)相加，使其和大于50，有多少種不同的取法？解：設滿足條件的兩數(shù)為a、b，且a＜b，那么假設a=1，那么b=50，共1種.假設a=2，那么b=49，50，共2種.假設a=3，那么b=48，49，50，共3種.…假設a=25，那么b=26，27，…50，共25種.假設a=26，那么b=27，28，…50，共24種.〔a=26，b=25的情形與a=25，b=26相同，舍去〕.假設a=27，那么b=28，29，…50，共23種.…假設a=49，那么b=50，共1種.所以，所有不同的取法種數(shù)為1+2+3+…+25+24+23+22+…+l=2×〔1+2+3+…+24〕+25=625.例13x+y+z=1993有多少組正整數(shù)解.顯然，x不能等于1992，1993.所以，原方程的不同的整數(shù)解的組數(shù)是：l+2+3+…+1991=1983036.此題中運用了分類的思想，先按照x的值分類，在每一類中，又從y的角度來分類，如：x=1987時，因為y+z=6，且y、z均為正整數(shù)，所以y最小取1，最大取5，即按y=1，2，3，4，5分類，每一類對應一組解，因此，x=1987時，共5組解.例13把所有奇數(shù)排列成下面的數(shù)表，根據(jù)規(guī)律，請指出：①197排在第幾行的第幾個數(shù)？②第10行的第9個數(shù)是多少？1357911131517192123252729313335373943454749……分析與解答①197是奇數(shù)中的第99個數(shù).數(shù)表中，第1行有1個數(shù).第2行有3個數(shù).第3行有5個數(shù)…第n行有2×n-l個數(shù)因此，前n行中共有奇數(shù)的個數(shù)為：1+3+5+7+…+〔2×n-1〕=［1+〔2×n-1〕〕×n÷2=n×n因為9×9＜99＜10×10.所以，第99個數(shù)位于數(shù)表的第10行的倒數(shù)第2個數(shù)，即第18個數(shù)，即197位于第10行第18個數(shù).②×9+9=90〕，它是179.例14將自然數(shù)如下排列，12671516…3581417…491318…1012…11……在這樣的排列下，數(shù)字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，問：1993排在第幾行第幾列？分析與解答不難看出，數(shù)表的排列規(guī)律如箭頭所指，為研究的方便，我們不妨把原圖順時針轉(zhuǎn)動45°，就成為三角陣〔如右圖〕，三角陣中，第1行1個數(shù)，第2行2個數(shù)…第n行就有n個數(shù)，設1993在三角陣中的第n行，那么：1+2+3+…+n-1＜1993≤1+2+3+…+n即：n×〔n-1〕÷2＜1993≤n×〔n+1〕÷2用試值的方法，可以求出n=63.又因為1+2+…+62=1953，即第62行中最大的數(shù)為1953.三角陣中，奇數(shù)列的數(shù)字從左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以，1993是三角陣中第63行從左開始數(shù)起的第40個數(shù)〔假設從右開始數(shù)，那么為第24個數(shù)〕.把三角陣與左圖作比擬，可以發(fā)現(xiàn)：①三角陣中每一行從左開始數(shù)起的第幾個數(shù)，就位于左圖的第幾列.②三角陣中每一行從右開始數(shù)起的第幾個數(shù)，就位于左圖的第幾行.由此，我們可知，1993位于原圖的24行40列.習題四1.求值：①6+11+16+…+501.②101+102+103+104+…+999.2.下面的算式是按一定規(guī)律排列的，那么，第100個算式的得數(shù)是多少？4+2，5+8，6+14，7+20，…3.11至18這8個連續(xù)自然數(shù)的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8個連續(xù)數(shù)的和，這另外8個連續(xù)自然數(shù)中的最小數(shù)是多少？4.把100根小棒分成10堆，每堆小棒根數(shù)都是單數(shù)且一堆比一堆少兩根，應如何分？5.300到400之間能被7整除的各數(shù)之和是多少？6.100到200之間不能被3整除的數(shù)之和是多少？7.把一堆蘋果分給8個小朋友，要使每個人都能拿到蘋果，而且每個人拿到蘋果個數(shù)都不同的話，這堆蘋果至少應該有幾個？8.下表是一個數(shù)字方陣，求表中所有數(shù)之和.1，2，3，4，5，6…98，99，1002，3，4，5，6，7…99，100，1013，4，5，6，7，8…100，101，102100，101，102，103，104，105…197，198，199第五講倒推法的妙用在分析應用題的過程中，倒推法是一種常用的思考方法.這種方法是從所表達應用題或文字題的結(jié)果出發(fā)，利用條件一步一步倒著分析、推理，直到解決問題.例1一次數(shù)學考試后，李軍問于昆數(shù)學考試得多少分.于昆說：“用我得的分數(shù)減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.〞小朋友，你知道于昆得多少分嗎？分析這道題如果順推思考，比擬麻煩，很難理出頭緒來.如果用倒推法進行分析，就像剝卷心菜一樣層層深入，直到解決問題.如果把于昆的表達過程編成一道文字題：一個數(shù)減去8，加上10，再除以7，乘以4，結(jié)果是56.求這個數(shù)是多少？把一個數(shù)用□來表示，根據(jù)題目條件可得到這樣的等式：｛［〔□－8〕＋10］÷7｝×4＝56.如何求出□中的數(shù)呢？我們可以從結(jié)果56出發(fā)倒推回去.因為56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是減8以后得到的，減8以前是88＋8＝96.這樣倒推使問題得解.解：｛［〔□－8〕＋10］÷7｝×4＝56［〔□－8〕＋10〕÷7＝56÷4答：于昆這次數(shù)學考試成績是96分.通過以上例題說明，用倒推法解題時要注意：①從結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的過程中，每一步運算都是原來運算的逆運算.③列式時注意運算順序，正確使用括號.例2馬小虎做一道整數(shù)減法題時，把減數(shù)個位上的1看成7，把減數(shù)十位上的7看成1，結(jié)果得出差是111.問正確答案應是幾？分析馬小虎錯把減數(shù)個位上1看成7，使差減少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此這道題歸結(jié)為某數(shù)減6，加60得111，求某數(shù)是幾的問題.解：111－〔70—10〕＋〔7—1〕＝57答：正確的答案是57.例3樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時三棵樹上鳥的只數(shù)相等.問：原來每棵樹上各落多少只鳥？分析倒推時以“三棵樹上鳥的只數(shù)相等〞入手分析，可得出現(xiàn)在每棵樹上鳥的只數(shù)48÷3＝16〔只〕.第三棵樹上現(xiàn)有的鳥16只是從第二棵樹上飛來的6只后得到的，所以第三棵樹上原落鳥16—6＝10〔只〕.同理，第二棵樹上原有鳥16＋6—8＝14〔只〕.第一棵樹上原落鳥16＋8＝24〔只〕，使問題得解.解：①現(xiàn)在三棵樹上各有鳥多少只？48÷3＝16〔只〕②第一棵樹上原有鳥只數(shù).16＋8＝24〔只〕③第二棵樹上原有鳥只數(shù).16＋6—8＝14〔只〕④—6＝10〔只〕答：第一、二、三棵樹上原來各落鳥24只、14只和10只.例4籃子里有一些梨.小剛?cè)∽呖倲?shù)的一半多一個.小明取走余下的一半多1個.小軍取走了小明取走后剩下一半多一個.這時籃子里還剩梨1個.問：籃子里原有梨多少個？分析依題意，畫圖進行分析.解：列綜合算式：｛［〔1＋1〕×2＋1］×2＋1｝×2＝22〔個〕答：籃子里原有梨22個.例5甲乙兩個油桶各裝了15千克油.售貨員賣了14千克.后來，售貨員從剩下較多油的甲桶倒一局部給乙桶使乙桶油增加一倍；然后從乙桶倒一局部給甲桶，使甲桶油也增加一倍，這時甲桶油恰好是乙桶油的3倍.問：售貨員從兩個桶里各賣了多少千克油？“〞.可以求出甲、乙兩個油桶共剩油15×2－14＝16〔千克〕.又“甲、乙兩個油桶所剩油〞及“這時甲桶油恰是乙桶油的3倍〞.就可以求出甲、乙兩個油桶最后有油多少千克.求出甲、乙兩個油桶最后各有油的千克數(shù)后，再用倒推法并畫圖求甲桶往乙桶倒油前甲、乙兩桶各有油多少千克，從而求出從兩個油桶各賣出多少千克.解：①甲乙兩桶油共剩多少千克？15×2-14＝16〔千克〕②乙桶油剩多少千克？16÷〔3＋1〕＝4〔千克〕③甲桶油剩多少千克？4×3＝12〔千克〕用倒推法畫圖如下：④從甲桶賣出油多少千克？15-11＝4〔千克〕⑤從乙桶賣出油多少千克？15—5＝10〔千克〕答：從甲桶賣出油4千克，從乙桶賣出油10千克.例6菜站原有冬貯大白菜假設干千克.第一天賣出原有大白菜的一半.第二天運進200千克.第三天賣出現(xiàn)有白菜的一半又30千克，結(jié)果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬貯大白菜多少千克？分析解題時用倒推法進行分析.根據(jù)題目的條件畫線段圖〔見以下圖〕，使數(shù)量關(guān)系清晰的展現(xiàn)出來.解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600〔千克〕②第二天運進200千克后的一半是多少千克？600＋30＝630〔千克〕③第二天運進200千克后有白菜多少千克？630×2＝1260〔千克〕④原來的一半是多少千克？1260—200＝1060〔千克〕⑤原有貯存多少千克？1060×2＝2120〔千克〕答：菜站原來貯存大白菜2120千克.綜合算式：［〔1800÷3＋30〕×2—200］×2＝2120〔千克〕答：菜站原有冬貯大白菜2120千克.習題五1.某數(shù)除以4，乘以5，再除以6，結(jié)果是615，求某數(shù).2.生產(chǎn)一批零件共560個，師徒二人合作用4天做完.師傅每天生產(chǎn)零件的個數(shù)是徒弟的3倍.師徒二人每天各生產(chǎn)零件多少個？3.有磚26塊，兄弟二人爭著挑.弟弟搶在前，剛剛擺好磚，哥哥趕到了.哥哥看弟弟挑的太多，就搶過一半.弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半.哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊.這時哥哥比弟弟多2塊.問：最初弟弟準備挑幾塊磚？4.阿凡提去趕集，他用錢的一半買肉，再用余下錢的一半買魚，又用剩下錢買菜.別人問他帶多少錢，他說：“買菜的錢是1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和；加7加8，加8加7、加9加10加11。〞你知道阿凡提一共帶了多少錢？買魚用了多少錢？第六講行程問題〔一〕我們把研究路程、速度、時間以及這三者之間關(guān)系的一類問題，總稱為行程問題.在對小學數(shù)學的學習中，我們已經(jīng)接觸過一些簡單的行程應用題，并且已經(jīng)了解到：上述三個量之間存在這樣的根本關(guān)系：路程＝速度×時間.因此，在這一講中，我們將在前面學習的根底上，主要來研究行程問題中較為復雜的一類問題——反向運動問題，也即在同一道路上的兩個運動物體作方向相反的運動的問題.它又包括相遇問題和相背問題.所謂相遇問題，指的就是上述兩個物體以不同的點作為起點作相向運動的問題；所謂相背問題，指的就是這兩個運動物體以同一點作為起點作背向運動的問題，下面，我們來具體看幾個例子.例1甲、乙二人分別從相距30千米的兩地同時出發(fā)相向而行，甲每小時走6千米，乙每小時走4千米，問：二人幾小時后相遇？分析出發(fā)時甲、乙二人相距30千米，以后兩人的距離每小時都縮短6＋4＝10〔千米〕，即兩人的速度的和〔簡稱速度和〕，所以30千米里有幾個10千米就是幾小時相遇.解：30÷〔6＋4〕＝30÷10＝3〔小時〕答：3小時后兩人相遇.例1是一個典型的相遇問題.在相遇問題中有這樣一個根本數(shù)量關(guān)系：路程＝速度和×時間.例2一列貨車早晨6時從甲地開往乙地，平均每小時行45千米，一列客車從乙地開往甲地，平均每小時比貨車快15千米，客車比貨車遲發(fā)2小時，中午12時兩車同時經(jīng)過途中某站，然后仍繼續(xù)前進，問：當客車到達甲地時，貨車離乙地還有多少千米？分析貨車每小時行45千米，客車每小時比貨車快15千米，所以，客車速度為每小時〔45＋15〕千米；中午12點兩車相遇時，貨車已行了〔12—6〕小時，而客車已行〔12—6－2〕小時，這樣就可求出甲、乙兩地之間的路程.最后，再來求當客車行完全程到達甲地時，貨車離乙地的距離.解：①甲、乙兩地之間的距離是：45×〔12—6〕＋〔45＋15〕×〔12—6—2〕＝45×6＋60×4＝510〔千米〕.②客車行完全程所需的時間是：510÷〔45＋15〕＝510÷60＝8.5〔小時〕.③客車到甲地時，貨車離乙地的距離：510—45×〔8.5＋2〕＝37.5〔千米〕.答：客車到甲地時，貨車離乙地還有37.5千米.例3兩列火車相向而行，甲車每小時行36千米，乙車每小時行54千米.兩車錯車時，甲車上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時開始到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用了14秒，求乙車的車長.分析首先應統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘36000÷3600＝10〔米〕，乙車的速度是每秒鐘54000÷3600＝15〔米〕.此題中，甲車的運動實際上可以看作是甲車乘客以每秒鐘10米的速度在運動，乙車的運動那么可以看作是乙車車頭的運動，因此，我們只需研究下面這樣一個運動過程即可：從乙車車頭經(jīng)過甲車乘客的車窗這一時刻起，乙車車頭和甲車乘客開始作反向運動14秒，每一秒鐘，乙車車頭與甲車乘客之間的距離都增大〔10＋15〕米，因此，14秒結(jié)束時，車頭與乘客之間的距離為〔10＋15〕×14＝350〔米〕.又因為甲車乘客最后看到的是乙車車尾，所以，乙車車頭與甲車乘客在這段時間內(nèi)所走的路程之和應恰等于乙車車身的長度，即：乙車車長就等于甲、乙兩車在14秒內(nèi)所走的路程之和.解：〔10＋15〕×14＝350〔米〕答：乙車的車長為350米.我們也可以把例3稱為一個相背運動問題，對于相背問題而言，相遇問題中的根本關(guān)系仍然成立.例4甲、乙兩車同時從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩車在離B地64千米處第一次相遇.相遇后兩車仍以原速繼續(xù)行駛，并且在到達對方出發(fā)點后，立即沿原路返回，途中兩車在距A地48千米處第二次相遇，問兩次相遇點相距多少千米？分析甲、乙兩車共同走完一個AB全程時，乙車走了64千米，從上圖可以看出：它們到第二次相遇時共走了3個AB全程，因此，我們可以理解為乙車共走了3個64千米，再由上圖可知：減去一個48千米后，正好等于一個AB全程.解：①AB間的距離是64×3－48＝192－48＝144〔千米〕.②兩次相遇點的距離為144—48－64＝32〔千米〕.答：兩次相遇點的距離為32千米.例5甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地同時出發(fā)相向而行，甲騎車，乙步行，在行走過程中，甲的車發(fā)生故障，修車用了1小時.在出發(fā)4小時后，甲、乙二人相遇，又甲的速度為乙的2倍，且相遇時甲的車已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？分析甲的速度為乙的2倍，因此，乙走4小時的路，甲只要2小時就可以了，因此，甲走100千米所需的時間為〔4—1＋4÷2〕＝5小時.這樣就可求出甲的速度.解：甲的速度為：100÷〔4－1＋4÷2〕＝10O÷5＝20〔千米/小時〕.乙的速度為：20÷2＝10〔千米/小時〕.答：甲的速度為20千米/小時，乙的速度為10千米/小時.例6某列車通過250米長的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，假設該列車與另一列長150米.時速為72千米的列車相遇，錯車而過需要幾秒鐘？分析解這類應用題，首先應明確幾個概念：列車通過隧道指的是從車頭進入隧道算起到車尾離開隧道為止.因此，這個過程中列車所走的路程等于車長加隧道長；兩車相遇，錯車而過指的是從兩個列車的車頭相遇算起到他們的車尾分開為止，這個過程實際上是一個以車頭的相遇點為起點的相背運動問題，這兩個列車在這段時間里所走的路程之和就等于他們的車長之和.因此，錯車時間就等于車長之和除以速度之和.列車通過250米的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，所以列車行駛的路程為〔250—210〕米時，所用的時間為〔25—23〕秒.由此可求得列車的車速為〔250—210〕÷〔25—23〕＝20〔米/秒〕.再根據(jù)前面的分析可知：列車在25秒內(nèi)所走的路程等于隧道長加上車長，因此，這個列車的車長為20×25—250＝250〔米〕，從而可求出錯車時間.解：根據(jù)另一個列車每小時走72千米，所以，它的速度為：72000÷3600＝20〔米/秒〕，某列車的速度為：〔25O－210〕÷〔25－23〕＝40÷2＝20〔米/秒〕某列車的車長為：20×25-250＝500-250＝250〔米〕，兩列車的錯車時間為：〔250＋150〕÷〔20＋20〕＝400÷40＝10〔秒〕.答：錯車時間為10秒.例7甲、乙、丙三輛車同時從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車的速度分別為每小時60千米和48千米，有一輛迎面開來的卡車分別在它們出發(fā)后的5小時.6小時，8小時先后與甲、乙、丙三輛車相遇，求丙車的速度.分析甲車每小時比乙車快60-48＝12〔千米〕.那么5小時后，甲比乙多走的路程為12×5＝60〔千米〕.也即在卡車與甲相遇時，卡車與乙的距離為60千米，又因為卡車與乙在卡車與甲相遇的6-5＝1小時后相遇，所以，可求出卡車的速度為60÷1-48＝12〔千米/小時〕卡車在與甲相遇后，再走8-5＝3〔小時〕才能與丙相遇，而此時丙已走了8個小時，因此，卡車3小時所走的路程與丙8小時所走的路程之和就等于甲5小時所走的路程.由此，丙的速度也可求得，應為：〔60×5-12×3〕÷8＝33〔千米/小時〕.解：卡車的速度：〔60-48〕×5÷〔6－5〕－48＝12〔千米/小時〕，丙車的速度：〔60×5－12×3〕÷8＝33〔千米/小時〕，答：丙車的速度為每小時33千米.注：在本講中出現(xiàn)的“米/秒〞、“千米/小時〞等都是速度單位，如5米/秒表示為每秒鐘走5米.習題六1.甲、乙兩車分別從相距240千米的A、B兩城同時出發(fā)，相向而行，甲車到達B城需4小時，乙車到達A城需6小時，問：兩車出發(fā)后多長時間相遇？2.東、西鎮(zhèn)相距45千米，甲、乙二人分別從兩鎮(zhèn)同時出發(fā)相向而行，甲比乙每小時多行1千米，5小時后兩人相遇，問兩人的速度各是多少？3.甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點離A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點之間的距離.4.甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地出發(fā)相向而行，甲先出發(fā)1小時.他們二人在乙出后的4小時相遇，又甲比乙每小時快2千米，求甲、乙二人的速度.5.一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是280米，慢車的車長為385米，坐在快車上的人看見慢車駛過的時間是11秒，那么坐在慢車上的人看見快車駛過的時間是多少？6.前進鋼鐵廠用兩輛汽車從距工廠90千米的礦山運礦石，現(xiàn)有甲、乙兩輛汽車，甲車自礦山，乙車自鋼鐵廠同時出發(fā)相向而行，速度分別為每小時40千米和50千米，到達目的地后立即返回，如此反復運行屢次，如果不計裝卸時間，且兩車不作任何停留，那么兩車在第三次相遇時，距礦山多少千米？第七講幾何中的計數(shù)問題〔一〕幾何中的計數(shù)問題包括：數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)長方形、數(shù)正方形、數(shù)三角形、數(shù)綜合圖形等.通過這一講的學習，可以幫助我們養(yǎng)成按照一定順序去觀察、思考問題的良好習慣，逐步學會通過觀察、思考探尋事物規(guī)律的能力.一、數(shù)線段我們把直線上兩點間的局部稱為線段，這兩個點稱為線段的端點.線段是組成三角形、正方形、長方形、多邊形等最根本的元素.因此，觀察圖形中的線段，探尋線段與線段之間、線段與其他圖形之間的聯(lián)系，對于了解圖形、分析圖形是很重要的.例1數(shù)一數(shù)以下圖形中各有多少條線段.分析要想使數(shù)出的每一個圖形中線段的總條數(shù)，不重復、不遺漏，就需要按照一定的順序、按照一定的規(guī)律去觀察、去數(shù).這樣才不至于雜亂無章、毫無頭緒.我們可以按照兩種順序或兩種規(guī)律去數(shù).第一種：按照線段的端點順序去數(shù)，如上圖〔1〕中，線段最左邊的端點是A，即以A為左端點的線段有AB、AC兩條以B為左端點的線段有BC一條，所以上圖〔1〕中共有線段2＋1＝3條.同樣按照從左至右的順序觀察圖〔2〕中，以A為左端點的線段有AB、AC、AD三條，以B為左端點的線段有BC、BD兩條，以C為左端點的線段有CD一條.所以上頁圖〔2〕中共有線段為3＋2＋1＝6條.第二種：按照根本線段多少的順序去數(shù).所謂根本線段是指一條大線段中假設有n個分點，那么這條大線段就被這n個分點分成n＋1條小線段，這每條小線段稱為根本線段.如上頁圖〔2〕中，線段AD上有兩個分點B、C，這時分點B、C把AD分成AB、BC、CD三條根本線段，那么線段AD總共有多少條線段？首先有三條根本線段，其次是包含有二條根本線段的是：AC、BD二條，然后是包含有三條根本線段的是AD這樣一條.所以線段AD上總共有線段3＋2＋1＝6條，又如上頁圖〔3〕中線段AE上有三個分點B、C、D，這樣分點B、C、D把線段AE分為AB、BC、CD、DE四條根本線段，那么線段AE上總共有多少條線段？按照根本線段多少的順序是：首先有4條根本線段，其次是包含有二條根本線段的有3條，然后是包含有三條根本線段的有2條，最后是包含有4條根本線段的有一條，所以線段AE上總共有線段是4＋3＋2＋1＝10條.解：①2＋1＝3〔條〕.②3＋2＋1＝6〔條〕.③4＋3＋2＋1＝10〔條〕.小結(jié)：上述三例說明：要想不重復、不遺漏地數(shù)出所有線段，必須按照一定順序有規(guī)律的去數(shù)，這個規(guī)律就是：線段的總條數(shù)等于從1開始的連續(xù)幾個自然數(shù)的和，這個連續(xù)自然數(shù)的和的最大的加數(shù)是線段分點數(shù)加1或者是線段所有點數(shù)〔包括線段的兩個端點〕減1.也就是根本線段的條數(shù).例如右圖中線段AF上所有點數(shù)〔包括兩個端點A、F〕共有6個，所以從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和中最大的加數(shù)是6—1＝5，或者線段AF上的分點有4個〔B、C、D、E〕.所以從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和中最大的加數(shù)是4＋1＝5.也就是線段AF上根本線段〔AB、BC、CD、DE、EF〕的條數(shù)是5.所以線段AF上總共有線段的條數(shù)是5＋4＋3＋2＋1＝15〔條〕.二、數(shù)角例2數(shù)出右圖中總共有多少個角.分析在∠AOB內(nèi)有三條角分線OC1、OC2、OC3，∠AOB被這三條角分線分成4個根本角，那么∠AOB內(nèi)總共有多少個角呢？首先有這4個根本角，其次是包含有2個根本角組成的角有3個〔即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB〕，然后是包含有3個根本角組成的角有2個〔即∠AOC3、∠C1OB〕，最后是包含有4個根本角組成的角有1個〔即∠AOB〕，所以∠AOB內(nèi)總共有角：4＋3＋2＋1＝10〔個〕.解：4＋3＋2＋1＝10〔個〕.小結(jié)：數(shù)角的方法可以采用例1數(shù)線段的方法來數(shù)，就是角的總數(shù)等于從1開始的幾個連續(xù)自然數(shù)的和，這個和里面的最大的加數(shù)是角分線的條數(shù)加1，也就是根本角的個數(shù).例3數(shù)一數(shù)右圖中總共有多少個角？解：因為∠AOB內(nèi)角分線OC1、OC2…OC9共有9條，即9+1=10個根本角.所以總共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55〔個〕.三、數(shù)三角形例4如右圖中，各個圖形內(nèi)各有多少個三角形？分析可以采用類似例1數(shù)線段的兩種方法來數(shù)，如圖〔2〕：第一種方法：先數(shù)以AB為一條邊的三角形共有：△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四個三角形.再數(shù)以AD為一條邊的三角形共有：△ADE、△ADF、△ADC三個三角形.以AE為一條邊的三角形共有：△AEF、△AEC二個三角形.最后以AF為一條邊的三角形共有△AFC一個三角形.所以三角形的個數(shù)總共有4+3+2+1=10.第二種方法：先數(shù)圖中小三角形共有：△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四個三角形.再數(shù)由兩個小三角形組合在一起的三角形共有：△ABE、△ADF、△AEC三個三角形，以三個小三角形組合在一起的三角形共有：△ABF、△ADC二個三角形，最后數(shù)以四個小三角形組合在一起的只有△ABC一個.所以圖中三角形的個數(shù)總共有：4+3+2+1=10〔個〕.解：①3+2+1=6〔個〕②4+3+2+1=10〔個〕.答：圖〔1〕及圖〔2〕中各有三角形分別是6個和10個.小結(jié)：計算三角形的總數(shù)也等于從1開始的幾個連續(xù)自然數(shù)的和，其中最大的加數(shù)就是三角形一邊上的分點數(shù)加1，也就是三角形這邊上分成的根本線段的條數(shù).例5如右圖中，數(shù)一數(shù)共有多少條線段？共有多少個三角形？分析在數(shù)的過程中應充分利用上幾例總結(jié)的規(guī)律，明確數(shù)什么？怎么數(shù)？這樣兩個問題.數(shù)：就是要數(shù)出圖中根本線段〔根本三角形〕的條數(shù)，算：就是以根本線段〔根本三角形〕條數(shù)為最大加數(shù)的從1開始的連續(xù)幾個自然數(shù)的和.①要數(shù)多少條線段：先看線段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2個分點，各分成3條根本線段，再看BC、MN、GH這3條線段上各有3個分點，各分成4條根本線段.所以圖中總共有線段是：〔3+2+1〕×5+〔4+3+2+1〕×3=30+30=60〔條〕.②要數(shù)有多少個三角形，先看在△△AGH中共有三角形4+3+2+1=10〔個〕.在△AMN與△ABC中，三角形有同樣的個數(shù)，所以在△ABC中三角形個數(shù)總共：〔4+3+2+1〕×3=10×3=30〔個〕.解：①在△ABC中共有線段是：〔3+2+1〕×5+〔4+3+2+1〕×3=30+30=60〔條〕②在△ABC中共有三角形是：〔4+3+2+1〕×3=10×3=30〔個〕.例6如右圖中，共有多少個角？分析此題雖然與上幾例有區(qū)別，但仍可以采用上幾例所總結(jié)的規(guī)律去解決.∠1、∠2、∠3、∠4我們可視為4個根本角，由2個根本角組成的有：∠1與∠2、∠2與∠3、∠3與∠4、∠4與∠1，共4個角.由3個根本角組成的角有：∠1、∠2與∠3；∠2、∠3與∠4；∠3、∠4與∠1；∠4、∠1與∠2，共4個角，由4個根本角組成的角只有一個.所以圖中總共有角是：4×3+1=13〔個〕.解：所以圖中共有角是：4×3+1=13〔個〕.小結(jié)：由此題可以推出一般情況：假設周角中含有n個根本角，那么它上面角的總數(shù)是n〔n-1〕+1.習題七1.數(shù)一數(shù)以下圖中，各有多少條線段？2.數(shù)一數(shù)以下圖中各有多少角？3.數(shù)一數(shù)以下圖中，各有多少條線段？4.數(shù)一數(shù)以下圖中，各有多少條線段，各有多少個三角形？第八講幾何中的計數(shù)問題〔二〕我們在已經(jīng)學會數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)三角形的根底上，通過本講學習數(shù)長方形，正方形及數(shù)綜合圖形來進一步提高觀察和思考問題的能力，學會在觀察、思考、分析中總結(jié)歸納出解決問題的規(guī)律和方法.一、數(shù)長方形例1如以下圖，數(shù)一數(shù)以下各圖中長方形的個數(shù)？分析圖〔Ⅰ〕中長方形的個數(shù)與AB邊上所分成的線段的條數(shù)有關(guān)，每一條線段對應一個長方形，所以長方形的個數(shù)等于AB邊上線段的條數(shù)，即長方形個數(shù)為：4+3+2+1=10〔個〕.圖〔Ⅱ〕中AB邊上共有線段4+3+2+1=10條.BC邊上共有線段：2+1=3〔條〕，把AB上的每一條線段作為長，BC邊上每一條線段作為寬，每一個長配一個寬，就組成一個長方形，所以圖〔Ⅱ〕中共有長方形為：〔4+3+2+1〕×〔2+1〕=10×3=30〔個〕.圖〔Ⅲ〕中，依據(jù)計算圖〔Ⅱ〕中長方形個數(shù)的方法：可得長方形個數(shù)為：〔4+3+2+1〕×〔3+2+1〕=60〔個〕.解：圖〔Ⅰ〕中長方形個數(shù)為4+3+2+1=10〔個〕.圖〔Ⅱ〕中長方形個數(shù)為：〔4+3+2+1〕×〔2+1〕=10×3=30〔個〕.圖〔Ⅲ〕中長方形個數(shù)為：〔4+3+2+1〕×〔3+2+1〕=10×6=60〔個〕.小結(jié)：一般情況下，如果有類似圖Ⅲ的任一個長方形一邊上有n-1個分點〔不包括這條邊的兩個端點〕，另一邊上有m-1個分點〔不包括這條邊上的兩個端點〕，通過這些點分別作對邊的平行線且與另一邊相交，這兩組平行線將長方形分為許多長方形，這時長方形的總數(shù)為：〔1+2+3+…+m〕×〔1+2+3+…+n〕.例2如右圖數(shù)一數(shù)圖中長方形的個數(shù).解：AB邊上分成的線段有：5+4+3+2+1=15.BC邊上分成的線段有：3+2+1=6.所以共有長方形：〔5+4+3+2+1〕×〔3+2+1〕=15×6=90〔個〕.二、數(shù)正方形例3數(shù)一數(shù)下頁各個圖中所有正方形的個數(shù).〔每個小方格為邊長為1的正方形〕分析圖Ⅰ中，邊長為1個長度單位的正方形有：2×2=4〔個〕，邊長為2個長度單位的正方形有：1×1=1〔個〕.所以，正方形總數(shù)為1×1+2×2=1+4=5〔個〕.圖Ⅱ中，邊長為1個長度單位的正方形有3×3=9〔個〕；邊長為2個長度單位的正方形有：2×2=4〔個〕；邊長為3個長度單位的正方形有1×1=1〔個〕.所以，正方形的總數(shù)為：1×1+2×2+3×3=14〔個〕.圖Ⅲ中，邊長為1個長度單位的正方形有：4×4=16〔個〕；邊長為2個長度單位的正方形有：3×3=9〔個〕；邊長為3個長度單位的正方形有：2×2=4〔個〕；邊長為4個長度單位的正方形有：1×1=1〔個〕；所以，正方形的總數(shù)為：1×1+2×2+3×3+4×4=30〔個〕.圖Ⅳ中，邊長為1個長度單位的正方形有：5×5=25〔個〕；邊長為2個長度單位的正方形有：4×4=16〔個〕；邊長為3個長度單位的正方形有：3×3=9〔個〕；邊長為4個長度單位的正方形有：2×2=4〔個〕；邊長為5個長度單位的正方形有：1×1=1〔個〕.所有正方形個數(shù)為：1×1+2×2+3×3+4×4+5×5=55〔個〕.小結(jié)：一般地，如果類似圖Ⅳ中，一個大正方形的邊長是n個長度單位，那么其中邊長為1個長度單位的正方形個數(shù)有：n×n=n2〔個〕，邊長為2個長度單位的正方形個數(shù)有：〔n-1〕×〔n-1〕=〔n-1〕2〔個〕…；邊長為〔n-1〕個長度單位的正方形個數(shù)有：2×2=22〔個〕，邊長為n個長度單位的正方形個數(shù)有：1×1=1〔個〕.所以，這個大正方形內(nèi)所有正方形總數(shù)為：12+22+32+…+n2〔個〕.例4如右圖，數(shù)一數(shù)圖中有多少個正方形〔其中每個小方格都是邊長為1個長度單位的正方形〕.分析為表達方便，我們規(guī)定最小正方形的邊長為1個長度單位，又稱為根本線段，圖中共有五類正方形.①以一條根本線段為邊的正方形個數(shù)共有：6×5=30〔個〕.②以二條根本線段為邊的正方形個數(shù)共有：5×4=20〔個〕.③以三條根本線段為邊的正方形個數(shù)共有：4×3=12〔個〕.④以四條根本線段為邊的正方形個數(shù)共有：3×2=6〔個〕.⑤以五條根本線段為邊的正方形個數(shù)共有：2×1=2〔個〕.所以，正方形總數(shù)為：6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=30+20+12+6+2=70〔個〕.小結(jié)：一般情況下，假設一長方形的長被分成m等份，寬被分成n等份，〔長和寬上的每一份是相等的〕那么正方形的總數(shù)為〔n＜m〕：mn+〔m-1〕〔n-1〕+〔m-2〕〔n-2〕+…+〔m-n+1〕·1顯然例4是結(jié)論的特殊情況.例5如以下圖，平面上有16個點，每個點上都釘上釘子，形成4×4的正方形釘陣，現(xiàn)有許多皮筋，問能套出多少個正方形.分析這個問題與前面數(shù)正方形的個數(shù)是不同的，因為正方形的邊不是先畫好的，而是要我們?nèi)ゴ_定的，所以如何確定正方形的邊長及頂點，這是我們首先要思考的問題.很明顯，我們能圍成上圖Ⅰ那樣正向正方形14個，除此之外我們還能圍出圖Ⅱ那樣斜向正方形4個，圖Ⅲ那樣斜向正方形2個.但我們不可能再圍出比它們更小或更大的斜向正方形，所以斜向正方形一共有4+2=6個，總共可以圍出正方形有：14+6=20〔個〕.我們把上述結(jié)果列表分析可知，對于n×n個頂點，三、數(shù)三角形例6如右圖，數(shù)一數(shù)圖中三角形的個數(shù).分析這樣的圖形只能分類數(shù)，可以采用類似數(shù)正方形的方法，從邊長為一條根本線段的最小三角形開始.Ⅰ.以一條根本線段為邊的三角形：①尖朝上的三角形共有四層，它們的總數(shù)為：W①上=1+2+3+4=10〔個〕.②尖朝下的三角形共有三層，它們的總數(shù)為：W①下=1+2+3=6〔個〕.Ⅱ.以兩條根本線段為邊的三角形：①尖朝上的三角形共有三層，它們的總數(shù)為：W②上=1+2+3=6〔個〕.②尖朝下的三角形只有一個，記為W②下=1〔個〕.Ⅲ.以三條根本線段為邊的三角形：①尖朝上的三角形共有二層，它們的總數(shù)為：W③上=1+2=3〔個〕.②尖朝下的三角形零個，記為W③下=0〔個〕.Ⅳ.以四條根本線段為邊的三角形，只有一個，記為：W④上=1〔個〕.所以三角形的總數(shù)是10+6+6+1+3+1=27〔個〕.我們還可以按另一種分類情況計算三角形的個數(shù)，即按尖朝上與尖朝下的三角形的兩種分類情況計算三角形個數(shù).Ⅰ.尖朝上的三角形共有四種：W①下=1+2+3+4=10W②上=1+2+3=6W③上=1+2=3W④上=1所以尖朝上的三角形共有：10+6+3+1=20〔個〕.Ⅱ.尖朝下的三角形共有二種：W①下=1+2+3=6W②下=1W③下=0W④下=0那么尖朝下的三角形共有：6+1+0+0=7〔個〕所以，尖朝上與尖朝下的三角形一共有：20+7=27〔個〕.小結(jié)：尖朝上的三角形共有四種.每一種尖朝上的三角形個數(shù)都是由1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，其中連續(xù)自然數(shù)最多的和中最大的加數(shù)就是三角形每邊被分成的根本線段的條數(shù)，依次各個連續(xù)自然數(shù)的和都比上一次少一個最大的加數(shù)，直到1為止.尖朝下的三角形的個數(shù)也是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，它的第一個和恰是尖朝上的第二個和，依次各個和都比上一個和少最大的兩個加數(shù)，以此類推直到零為止.例7頁圖數(shù)一數(shù)圖中有多少個三角形.解：參考例6所總結(jié)的規(guī)律把圖中三角形分成尖朝上和尖朝下的兩類：Ⅰ.尖朝上的三角形有五種：〔1〕W①上=8+7+6+5+4=30〔2〕W②上=7+6+5+4=22〔3〕W③上=6+5+4=15〔4〕W④上=5+4=9〔5〕W⑤上=4∴尖朝上的三角形共有：30+22+15+9+4=80〔個〕.Ⅱ.尖朝下的三角形有四種：〔1〕W①下=3+4+5+6+7=25〔2〕W②下=2+3+4+5=14〔3〕W③下=1+2+3=6〔4〕W④下=1尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46〔個〕.∴所以尖朝上與尖朝下的三角形總共有80+46=126〔個〕.四、數(shù)綜合圖形前面我們已對較根本、簡單的圖形的數(shù)法作了較系統(tǒng)的研究，尋找到了一般規(guī)律.而對于較復雜的圖形即綜合圖形的數(shù)法，我們?nèi)孕枳裱恢貜?、不遺漏的原那么，采用能按規(guī)律數(shù)的，按規(guī)律數(shù)，能按分類數(shù)的就按分類數(shù)，或者兩者結(jié)合起來就一定能把圖形數(shù)清楚了.例7頁圖，數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個三角形.分析圖中有假設干個大小不同、形狀各異但有規(guī)律的三角形.因此適合分類來數(shù).首先要找出三角形的不同的種類？每種相同的三角形各有多少個？解：根據(jù)圖中三角形的形狀和大小分為六類：Ⅰ.與△ABE相同的三角形共有5個；Ⅱ.與△ABP相同的三角形共有10個；Ⅲ.與△ABF相同的三角形共有5個；Ⅳ.與△AFP相同的三角形共有5個；Ⅴ.與△ACD相同的三角形共有5個；Ⅵ.與△AGD相同的三角形共有5個.所以圖中共有三角形為5+10+5+5+5+5=35〔個〕.例8圖，數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個三角形？分析這是個對稱圖形，我們可按如下三步順序來數(shù)：第一步：大矩形ABCD可分為四個相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每個小矩形內(nèi)所包含的三角形個數(shù)是相同的.第二步：每兩個小矩形組合成的圖形共有四個，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一個這樣的圖形中所包含的三角形個數(shù)是相同的.第三步：每三個小矩形占據(jù)的局部圖形共有四個：如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC，每一個這樣的圖形中所包含的三角形個數(shù)是相同的.最后把每一步中每個圖形所包含三角形個數(shù)求出相加再乘以4就是整個圖形中所包含的三角形的個數(shù).解：Ⅰ.在小矩形AEOH中：①由一個三角形構(gòu)成的有8個.②由兩個三角形構(gòu)成的三角形有5個.③由三個或三個以上三角形構(gòu)成的三角形有5個.這樣在一個小矩形內(nèi)有17個三角形.Ⅱ.在由兩個小矩形組合成的圖形中，如矩形AEGD，共有5個三角形.Ⅲ.由三個小矩形占據(jù)的局部圖形中，如△ABC，共有2個三角形.所以整個圖形共有三角形個數(shù)是：〔8+5+5+5+2〕×=25×4=100〔個〕.習題八1.以下圖中有多少個正方形？2.以下圖中有多少個長方形？3.以下圖中有多少個三角形？4.以下圖中有多少個長方形？5.以下圖〔1〕、〔2〕中各有多少個三角形？6.以下圖中有多少個三角形？7.以下圖中有多少個三角形？8.以下圖中有多少個正方形？9.以下圖中有多少個長方體？第九講圖形的剪拼〔一〕把一個幾何圖形剪成幾塊形狀相同的圖形，或是把一個幾何圖形剪開后拼成另一種滿足某種條件的圖形，完成這樣的圖形剪拼，需要考慮圖形剪開后各局部的形狀、大小以及它們之間的位置關(guān)系.例1如右圖所示是由三個正方形組成的圖形，請把它分成大小、形狀都相同的四個圖形？圖形，于是我們就有了如圖〔2〕的分法.仿照例1的分法我們把如右圖這樣由五個正方形組成的圖形，分成四塊正方形，那么可把每個正方形分成四個面積相等的小正方形，每塊圖形應有五個這樣的小正方形，如右圖所示.例2把一個等邊三角形分別分成8塊和9塊形狀、大小都一樣的三角形.分析分成8塊的方法是：先取各邊的中點并把它們連接起來，得到4個大小、形狀相同的三角形，然后再把每一個三角形分成一半，得到如下左圖所示的圖形.分成9塊的方法是：先把每邊三等分，然后再把分點彼此連接起來，得到加上右圖所示的符合條件的圖形.例3長方形的長和寬各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小、形狀都相同的兩塊，并使它們拼成一個正方形.分析長方形面積9×4=36〔平方厘米〕，所以正方形的邊長應為6厘米，因此可以把長方形上半部剪下6厘米，下半部剪下3厘米，分成相等的兩塊，合起來正好拼成一個邊長為6厘米的正方形，如下右圖.例4把一個正方形分成8塊，再把它們拼成一個正方形和一個長方形，使這個正方形和長方形的面積相等.分析連接正方形的對角線，把正方形分成了4個相等的等腰直角三角形，再連接各腰中點，又把它們分成4個小等腰直角三角形和4個等腰梯形.〔如下頁圖〔1〕所示〕出于分成正方形、長方形面積相等的要求考慮：分別取出兩個小等腰直角三角形和兩個梯形，就能一一拼出所要求的正方形和長方形了〔如圖〔2〕、〔3〕所示〕.除這種方法外，還有多種拼接方法.例5在下左圖中畫5條線，把小圓圈分開，并使每塊大小、形狀都相等.分析因為圖中有8個小圓圈，畫5條線把圖形應分成8塊，根據(jù)小圓圈的分布特點，分法如以下圖〔右〕所示.例6把以下圖中兩個圖形中的某一個分成三塊，最后都拼在一起，使它們成為一個正方形.分析不管分其中的哪一塊，最后拼得正方形的面積與圖中兩塊面積和相等，甲面積=10×5=50平方厘米；乙面積=10×7-〔7-2〕×4=70-20=50平方厘米.所以甲面積+乙面積=50+50=100平方厘米，也就是最后拼得正方形的邊長為10厘米.甲、乙兩圖形各有一邊是10厘米，可視為正方形的一條邊，然后把乙剪成三塊〔如以下圖所示〕拼成的正方形，即可.當然，除這種拼湊的方法之外，還有其他多種方法，同學們可自行構(gòu)思、設計.例7如下左圖將其切成3塊，使之拼成一個正方形.分析原圖形面積是32，所以拼成正方形的面積也應是32，即正方形邊長，如下右圖所示，切成甲、乙、丙3塊，甲拼到甲′位置，乙拼到乙′位置，這樣甲′、乙′、丙便構(gòu)成一個正方形.例8如下左圖所示，這是一張十字形紙片，它是由五個全等正方形組成，試沿一直線將它剪成兩片，然后再沿另一直線將其中一片剪成