初中數(shù)學(xué)試卷

關(guān)卡1-1全等三角形復(fù)習(xí)及作圖依據(jù)

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：全等三角形復(fù)習(xí)和尺規(guī)作圖.

例題A

1.（1）下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等

B.全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線相等

C.全等三角形對(duì)應(yīng)角的角平分線相等

D.有兩邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

兩個(gè)三角形具備下列（）條件，則它們一定全等.

A.兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等

B.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等

C.兩角和一組對(duì)應(yīng)邊相等

D.兩邊及第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等

2.（1）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖如圖所示，則說(shuō)明NA'O7T=/4O8的依據(jù)是（）

A.根據(jù)“邊邊邊”可知,NCOD=NCOD,所以NA'OB'=ZAOB

B.根據(jù)“邊角邊”可知,AC'<7Dm\COD,所以ZA'O'B'=ZAOB

C.根據(jù)“角邊角”可知,NCOD三NCOD,所以ZAO'B'=ZAOB

D.根據(jù)“角角邊”可知,XCQDwXCOD,所以NA'O7?'=NAO8

（2）如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩側(cè)A、3兩點(diǎn)的距離，可以先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)和3的點(diǎn)C,

連接AC并延長(zhǎng)到。，使CD=C4,連接8c并延長(zhǎng)到E,使CE=CB,連接?！?那么量出DE的長(zhǎng)就

等于的長(zhǎng)，可依據(jù)方法判定A4B&ADEC.

7)

3.如圖，已知A￡>=AE,AB=AC,求證：BF=FC.

c

4.如圖，AC.BD交于點(diǎn)E,NA=/￡>,AB^CD,NA￡B=50。，求NEBC.

B

例題B

5.如圖，Z1=Z2,Z3=Z4,點(diǎn)P在A3上，求證：PC=PD.

過(guò)關(guān)練習(xí)

A組EXercise1

（1）不能確定兩個(gè)三角形全等的條件是（）

A.三邊對(duì)應(yīng)相等B.兩邊及其夾角相等

C.兩角和任一邊對(duì)應(yīng)相等D.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等

(2)AABC和AB=DE,ZA=AD,若AABC會(huì)ADE尸還需要()

A.ZB=ZEB.ZC=ZFC.AC=DFD.以上三種情況都可以

Exercise2

（1）如圖，用直尺和圓規(guī)做一個(gè)角等于己知角，能得出=的是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

(2)如圖，小明同學(xué)把兩根等長(zhǎng)的木條AC,比?的中點(diǎn)連在一起，做成一個(gè)測(cè)量某物品的內(nèi)槽的工具，

此時(shí)8的長(zhǎng)等于內(nèi)槽的寬AB,這種測(cè)量方法用到三角形全等的判定方法是i

Exercise3

如圖，ZBAC=ZBCA,ZBAE=ZBCD=90。，BE=BD,求證：ZE=ZD.

B組Exercise4

如圖，CDJ_AB于點(diǎn)。，BE上AC于點(diǎn)、E,BE、CD交于點(diǎn)O,AO平分NB4c求證：OB=OC.

O

B

第二關(guān)倍長(zhǎng)中線和類中線

關(guān)卡2-1倍長(zhǎng)中線和類中線

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：倍長(zhǎng)中線和類中線的添加方法

倍長(zhǎng)中線和類中線

【高級(jí)運(yùn)用】

知道如何添加輔助線■輔助線添加的思路■類中線的添加方法

例題A

1.(1)如圖，AABC中，AB=5,AC=3,則中線4)的取值范圍是

(2)如圖，A4BC中，E、B分別在/W、AC上，DEVDF,D是中點(diǎn)，BE=5,CF=2,則EF的取

值范圍是.

2.如圖，4)是A48C的中線，E、尸分別是4)和AD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，S.DE=DF,連接8尸、CE.下

列說(shuō)法：①CE=BF；②AA3c和AACZ)面積相等；③BF//CE；④\BDF^\CDE.其中正確的有

3.如圖，點(diǎn)E是8c中點(diǎn)，ZBAE=ZCDE.求證：AB=CD.

4.在AA6C中，CD^AB,ZBAD=ZBDA,AE是8。邊的中線.求證：AC^2AE.

BED

例題B

5.已知在AABC中，AB^AC,。在相上，E在AC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于F,且力F=EF.

求證：BD=CE.

過(guò)關(guān)練習(xí)

A組ExerciseI

在AABC中，AB=9,AC=7,則中線AT）的取值范圍為

Exercise2

在AABC中，AD平分NBAC,G為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)G〃AZ）交84延長(zhǎng)線于E.猜想并證明，線段FC與圖

中哪條線段相等.

B組Exercise3

如圖，AABC中，點(diǎn)。、E分別在AB、AC邊上，尸是CD中點(diǎn)，連所交AC于點(diǎn)E,=180°,

比較線段BD與CE的大小，并證明你的結(jié)論.

第二章

全等三角形之角平分線模型（一）

第一關(guān)角平分線的性質(zhì)和判定

關(guān)卡1-1角平分線的性質(zhì)和判定

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)和判定.

例題A

1.如圖，OP平分NMON,「4,ON于點(diǎn)A,點(diǎn)。是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若R4=2,則PQ的最小

值.

金

0AX

2.如圖，在△/比?中，NC=90。AB=10,4)是△ABC的一條角平分線.若8=3,則△ABC的面

積為_(kāi)_________________________.

A

BDC

3.如圖，已知ZVRC的周長(zhǎng)是21,O。分別平分NABC和NAC8,QD_L8C于。，且O￡>=4,AABC

的面積是_________.

上

B0c

4.如圖，在中，AB=AC,ADJLBC于。，DELAB于E,。產(chǎn)JLAC于尸，求證：EB=FC.

A

a

BD<

例題B

5.如圖，AABC中，AB=AC,AZ)_LBC于O,DELAB于E,OFLAC于尸，下列結(jié)論正確的

有_____________.①AD平分NBAC,②ZM平分N￡DF,③AE=AF,④AD上的點(diǎn)到4J、AC兩邊距

離相等.

過(guò)關(guān)練習(xí)

A組Exercise1

如圖，△ABC的三邊AB,BC,AC的長(zhǎng)分別為20,30,40,其三條角分線將△/記（7分成三個(gè)三角形,

貝US/\ABC-S&BOC：S&COA~----------------------------------------------

Exercise2

如圖，NC=90。，AQ平分ABAC,BD=2CD.若點(diǎn)。到AB的距離等于5cm,則BC的長(zhǎng)為_(kāi)__________cm.

Exercise3

如圖，PAYOA,PBLOB,則下列結(jié)論：

①必=；②PO平分NAP8;③04=OB；④ZAOB+N4PB=180?,其中一定成立的有（填

序號(hào)）

B組Exercise4

小華同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺就可以作出一個(gè)銳角的

平分線.如圖：一把直尺壓住射線08,另一把直尺壓住射線。4,并且與第一把直尺交于點(diǎn)P,小華說(shuō)：

“射線OP就是ZBOA的角平分線”小華得出這個(gè)結(jié)論的依據(jù).

第二關(guān)角平分線平行線出等腰

關(guān)卡3-1角平分線平行線出等腰

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：角平分線平行線出等腰

例題A

1.如圖，是△/WC的角平分線，DE//BC,AB=BC,則下列結(jié)論中正確的是（）.

A.BDVADB.ZA=ZEDAC.ZA=ZEDAD.BE=ED

B--------------C

2.如圖，AABC中，DE//BC,BF、CF分別平分ZABC、ZACB交DE于F,45=8,AC=6,則△AD石

的周長(zhǎng)為_(kāi)____________.

A

HC

3.如圖，在△ABC中，AD平分N54C,BDYAD,垂足為。，過(guò)。作DE〃AC,交于￡,若AB=5,

求DE.

A

二

D

4.如圖，ZXAOB的頂點(diǎn)。在直線/上，AO^AB,

(1)畫出”(如關(guān)于直線/成軸對(duì)稱的圖形△C8,且使A的對(duì)稱點(diǎn)為C；

(2)在(1)的條件下，AC與8￡＞的位置關(guān)系是___________9

(3)在(1)(2)的條件下，連接A。，若ZABD=2ZADB,求NAOC.

過(guò)關(guān)練習(xí)

A組Exercise1

如圖，等邊△ABC中，BO、CO分別平分是NABC和NAC3交于。點(diǎn)，OE過(guò)點(diǎn)且平行8C,BC=6,則

AADE的周長(zhǎng)為.

B

Exercise2

如圖，在△ABC中，NB,NC的平分線相交于尸，過(guò)尸作￡>E〃BC,交AB于￡),交AC于E,若3￡>=3,

EC=5,貝IDE的長(zhǎng)度為.

Exercise3

如圖，在△4BC中，AB=AC,AQ_L8c于。，過(guò)。作Afi的平行線交AC于E,求證：DE=EC=AE.

第三關(guān)角平分線構(gòu)造等腰三角形

關(guān)卡3-1角平分線構(gòu)造等腰三角形

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：角平分線構(gòu)造等腰三角形

例題A

1.如圖，。為AABC外一點(diǎn)，ZDAB=ZJS,CDLAD,Z1=N2,若AC=7,8c=4,求A￡）.

2.如圖，已知止=AC,ABVAC,CELBE,如平分NABC,求證：BD=2CE.

A

Rc

過(guò)關(guān)練習(xí)

A組Exercise1

如圖，AD平分N5AC,CD±AD,ZDCB=ZBf若AC=10,AB=26,求CD.

BC

Exercise2

如圖，AABC中，Zft4C=90°,AB=AC,。為線段3C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與5重合），DE±BE于E,

2NEDB=ZACB,DE與AB相交于F.

(1)當(dāng)。與C重合時(shí)(如圖1),探究班與FD的數(shù)量關(guān)系并證明;

(2)當(dāng)。與C不重合時(shí)(如圖2),試判斷(1)中猜想是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

AA

X\\

BC(。)B口《

111圖2

第三章角平分線之構(gòu)造全等模型（二）

第一關(guān)角平分線垂兩邊

關(guān)卡1-1角平分線垂兩邊

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：角平分線垂兩邊.

例題A

1.如圖，在中，ZA=90°,AB^AC,如是NASC平分線.

求證：BC=AB+AD.

2.如圖，在四邊形43c￡＞中，AC平分N3AO,?！阓145于￡,

(1)若4+"=180。，求證：AE=AD+BE；

⑵若4)+AB=2A￡,求證：ZB+ZAZ)C=180o.

過(guò)關(guān)練習(xí)

A組Exercise1

如圖，ZB=ZC=90°,M是BC上一點(diǎn)，ZW平分NA0C,AM平分小

求證：AD=CD+AB.

第二關(guān)角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱

關(guān)卡2-1角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：角平分線構(gòu)造對(duì)稱的方法

角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱

［初級(jí)應(yīng)用］

例題A

1.如圖，4）是△/WC的角平分線，點(diǎn)尸，E分別在邊AC,AB上，且FD=BD,

⑴求證:ZB+ZAFD=180。；

⑵如果4+2N￡>E4=180。，探究線段越，AF,FD之間滿足的等量關(guān)系，并證明.

2.如圖，在△ABC中，N84C=60。，44cB=40。，P、Q分別在8C、C4上，并且AP、BQ分別是NBAC、

NABC的角平分線，

求證：（1）8Q=CQ；（2）BQ+AQ=AB+BP.

A

3.如圖，P是ZVIBC的外角NE4c的平分線4）上的點(diǎn)（不與4重合）

求證：PB+PC>AB+AC.

4.在四邊形中，C是比）中點(diǎn)，

（1）如圖，若AC平分Na4E,NACE=90。，則線段M、AB,的長(zhǎng)度滿足的數(shù)量關(guān)系為

（2）如圖，AC、EC平分ZBAE、ZAED,若NACE=120。，則M、BD、DE、AE的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)

論并證明.

例題B

5.如圖，在△ABC中，AC=BC,ZAC8=90。，。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，NB4￡>=15。，A￡)=AC,CELAD

于E,且CE=5.

(1)求5c的長(zhǎng)；(2)求證：NDCE=NDC8;(3)求證：BD=CD.

【備注：直角三角形中30。所對(duì)直角邊是斜邊的一半】

過(guò)關(guān)練習(xí)

A組Exercise1

已知，△ABC中，NA=2NC,BD平分以BC交AC于。，求證：BC^AB+AD.

Exercise2

在△ABC中，AB>AC,AQ是NBAC的平分線，P是4)上任意一點(diǎn).

求證：AB-AC>PB-PC.

B組Exercise3

在△ABC中，ZABC<60°,CD平分NACB交43于點(diǎn)。，點(diǎn)E在線段CD上(點(diǎn)E不與點(diǎn)C,加重合),

且Z￡4C=2NE8C.

(1)如圖1,若N￡BC=27。，且EB=EC,則NDEB=。，ZAEC=°；

B

圖I

(2)如圖2.求證：AE+AC=BC；

(3)如圖3,若ZECB=30°,AC=BE,求NEBC.

第四章全等三角形之旋轉(zhuǎn)模型

第一關(guān)識(shí)別旋轉(zhuǎn)模型

關(guān)卡1-1旋轉(zhuǎn)模型的識(shí)別

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)模型的識(shí)別.

例題A

1.如圖1,將兩個(gè)斜邊長(zhǎng)相等的三角形紙片如圖①放置，其中/4C8=NCW=90。，ZA=45。，N￡)=30。.把

△DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15。得到A￡)C6,如圖②，連接QB,則NEQ8的度數(shù)為.

2.如圖，AC=AD,Z1=Z2,只添加一個(gè)條件使△ABC絲添加的條件是

3.如圖，等邊△ABC、等邊△!￡>￡：,連接33、CE.

(1)求證：BD=CE；(2)求與CE的夾角.

4.如圖，">_L8C于。，AD=BD,AC=BE,

證明：(1)N8ED=NC；(2)猜想并證明班;和AC有什么關(guān)系.

例題B

5.如圖，等邊八記。，。為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以AO為邊作等邊△WE,求證：AC+CD^CE.

B

過(guò)關(guān)練習(xí)

A組Exercise1

如圖，AB=AC,AD=AE,ZBAC=^DAE,ZBAD=25°,ZACE=30°,則NADE

Exercise2

如圖，等邊△ABC,D為AC邊上一點(diǎn)，以BD為邊作等邊/\BDE,連接CE,若C￡>=1,CE=3,則

BC=.

A

Exercise3

兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，3、C、E在同

一條直線上，連結(jié)CD.

（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明；

（2）證明：DCYBE.

B組Exercise4

圖（1）中，C點(diǎn)為線段4?上一點(diǎn)，△ACM,△C8N是等邊三角形，4V與8M相等嗎？說(shuō)明理由；如

圖（2）C點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，等邊三角形ACM和等邊三角形CBN在他的異側(cè)，此時(shí)AN與3M相等

嗎？說(shuō)明理由；如圖（3）C點(diǎn)為線段外一點(diǎn)，△ACM,△CBN是等邊三角形，AN與EW相等嗎？

說(shuō)明理由.

H

圖?圖2圖3

第二關(guān)旋轉(zhuǎn)模型的應(yīng)用

關(guān)卡2-1旋轉(zhuǎn)模型的應(yīng)用

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)模型的識(shí)別與運(yùn)用

例題A

1.如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,E重合)，在AE同側(cè)分別作正三角形45c和正三角形CDE,

AD與BE交于點(diǎn)0,45與8C交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,連結(jié)PQ.以下五個(gè)結(jié)論正確的有.

①AD=BE；(2)PQ//AE；③AP=8Q；@DE=DP-,?ZAOB=60°.

2.如圖，正方形ABC。和正方形G8EF,連接4G、CE,猜想并證明CE與力G的位置關(guān)系.

3.如圖，點(diǎn)A、B、C在同一直線上，AABZ),ZXBCE都是等邊三角形

⑴求證：AE=CD；

(2)若M、N分別是4￡、8的中點(diǎn)，試判斷的形狀，并證明你的結(jié)論.

4.如圖，ZVWC是等邊三角形，P是三角形外的一點(diǎn)，且NABP+ZACP=180。.

求證：(1)AP平分N3PC；⑵AP=BP+CP.

A

過(guò)關(guān)練習(xí)

A組Exercise1

1.己知：如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，AACM.△C8N是等邊三角形.

求證：(1)CD=CE；(2)是等邊三角形；(3)CF平分NA尸5.

Exercise2

如圖，RtAABC中，ZS4c=90。，

(1)按要求作圖：(保留作圖痕跡)

①延長(zhǎng)8c到。，使CD=BC；

②延長(zhǎng)C4到E,使AE=2CA；

③連接AD,BE并猜想AD與BE的大小關(guān)系

(2)證明(1)中對(duì)線段AO與3E大小關(guān)系的猜想.

Exercise3

如圖1,/XABC和△8￡F為等邊三角形，M、N分別是支、/W的中點(diǎn)，

(1)求證：AF=CE,ABMN是等邊三角形；

(2)若將ZSBEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，AF=CE,△8/WN是等邊三角形這兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?

若成立請(qǐng)證明，若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

Exercise4

如圖，△如圖，Z\ABC、Z\BDF、△CD石都是等邊三角形，連接AD、BE、CF相交于點(diǎn)P,且NNC。＜120。,

則下列說(shuō)法正確的有.⑴AD=BE=CF;(2)ZAPB=60°；⑶BE=PB+PC+PD.

第三關(guān)半角模型

關(guān)卡3-1半角模型

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：半角模型

例題A

1.如圖，等邊三角形邊長(zhǎng)為1,△比Q是頂角47X7=120。的等腰三角形，以。為頂點(diǎn)作一個(gè)60。

角ZNDM,角的兩邊分別交45、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN.試求AWN的周長(zhǎng).

2.問(wèn)題：如圖(1),已知正方形43CD中，E、P分別是BC、8邊上的點(diǎn)，且NMP=45。.判斷線段

BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖2

小明同學(xué)的想法是：將△RAF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△取",然后通過(guò)證明三角形全等可得出結(jié)

論.請(qǐng)你參考小明同學(xué)的思路，解決下列問(wèn)題：

(1)圖(1)中線段8￡、EF、ED之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖(2),已知正方形ABCZ)邊長(zhǎng)為5,E、F分別是3C、CD邊上的點(diǎn)，且NE4F=45。，AGYEF

于點(diǎn)G,則AG的長(zhǎng)為5,求的周長(zhǎng)，并說(shuō)明理由.

過(guò)關(guān)練習(xí)

A組Exercise1

如圖，NB+NC=180。，DB=DC,N8QC=120。，ZEDF=60°,E、尸分別為邊4?、AC上的點(diǎn)，探

線段破、CF、斯之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

(1)如圖1,在正方形"8中，E、F分別是BC、8上的點(diǎn)，/W=45。，猜想線段EF、BE、DF

的數(shù)量關(guān)系為.

(2)如圖2,AB=AD,NB=ND=90。，E、產(chǎn)分別是BC、8上的點(diǎn)，NE4尸是的一半，則

(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

第五章軸對(duì)稱

第一關(guān)軸對(duì)稱圖形題

關(guān)卡1-1軸對(duì)稱圖形題

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：軸對(duì)稱圖形題.

I.（1）一名運(yùn)動(dòng)員的球衣號(hào)碼是“己|\他在照鏡子的時(shí)候，在鏡子里看到的“號(hào)碼”是（）

IE己I1551

ABCD

（2）將正方形紙片兩次對(duì)折，并剪出一個(gè)菱形小洞后鋪平，得到的圖形是（）

ABCD

2.如圖是一個(gè)經(jīng)過(guò)改造的臺(tái)球桌面的示意圖,圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔如果一個(gè)球按

圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過(guò)多反射）,那么該球最后將落入的球袋是.號(hào)袋.

1號(hào)袋2號(hào)袋

3.（1）如圖是4x4正方形網(wǎng)格，其中已有3個(gè)小方格涂成了黑色.現(xiàn)在要從其余13個(gè)白色小方格中選出

一個(gè)也涂成黑色，使整個(gè)涂成黑色的圖形成為軸對(duì)稱圖形，這樣的白色小方格有個(gè).

（備用圖）

（2）把圖中的某兩個(gè)小方格涂上陰影，使整個(gè)圖形是以虛線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形.

4.如圖，平面直角坐標(biāo)系中有四個(gè)點(diǎn)，它們的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù).若在此平面直角坐標(biāo)系移動(dòng)點(diǎn)A,使得

這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是軸對(duì)稱圖形，并且點(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)仍是整數(shù)，移動(dòng)后點(diǎn)A的不同的位置有一個(gè).

例題B

5.已知點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為（2,0）,（2,4）以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與AMBO全等，寫出符合條件

的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)___________________

過(guò)關(guān)練習(xí)

A組Exercise1

i.（1）小穎從汽車后視鏡中看到某轎車車牌的后五位號(hào)碼為8B38H，則該轎車車牌的號(hào)碼

是.

（2）如圖，小強(qiáng)拿一張正方形的紙，沿虛線對(duì)折一次得圖（2）,再對(duì)折一次得圖（3）,然后用剪刀沿圖（3）

中的虛線剪去一個(gè)角，再打開(kāi)后的形狀是（）

如圖是一臺(tái)球桌面示意圖，圖中小正方形的邊長(zhǎng)均相等,黑球放在如圖所示的位置，經(jīng)白球撞擊后沿箭頭

方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)桌邊反彈最后進(jìn)入球洞的序號(hào)是

⑤⑥①

Exercise3

如圖，陰影部分是由5個(gè)大小相同的小正方形組成的圖形，請(qǐng)分別在圖中方格內(nèi)涂?jī)蓚€(gè)小正方形，使涂后

所得陰影部分圖形是軸對(duì)稱圖形.

B組Exercise4

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（l,2）,B（5,5）,C（5,2）如果存在點(diǎn)E使得以A,C,E為頂點(diǎn)的三角形

和全等，請(qǐng)寫出所有滿足條件的E點(diǎn)的坐標(biāo).

第二關(guān)軸對(duì)稱作圖及最值問(wèn)題

關(guān)卡2-1軸對(duì)稱作圖及最值問(wèn)題

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：軸對(duì)稱作圖問(wèn)題及最值問(wèn)題

例題A

1.如圖，有公路”、12,兩個(gè)城鎮(zhèn)A,B,現(xiàn)要修建一座信號(hào)發(fā)射塔，到兩個(gè)城鎮(zhèn)A,8的距離相等,

到兩條公路/I、12,的距離也相等，請(qǐng)用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點(diǎn)，注明點(diǎn)C的位置.

h

----------------h

2.體育課上有這樣一個(gè)游戲，從A點(diǎn)起跑，跑到直線入上某一點(diǎn)抱一個(gè)籃球，先后經(jīng)過(guò)8點(diǎn)和C點(diǎn)，再跑

回到點(diǎn)AA,要想贏得比賽，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出最短路線。在圖中用實(shí)線畫出路線，并將籃球的位置用O標(biāo)明.

c

B

A*

?L

3.如圖，在一塊三角形區(qū)域ABC中，一只螞蟻P停留在AB邊上，它現(xiàn)在從P點(diǎn)出發(fā)，先爬到BC邊上

的M,再?gòu)狞c(diǎn)M爬到AC邊上的點(diǎn)N,然后再回到點(diǎn)P請(qǐng)?jiān)趫D上分別作出M,N兩點(diǎn)，使得螞蟻爬行的路

線最短.

4.四邊形438中，ZBAD=120°,ZB=ZD=90°,在3C,CD上分別找一點(diǎn)M,N使△AAW周長(zhǎng)最

小時(shí)，則+=

5.如圖，在RtZ\ABC中，Z4CB=90°,AC=6,BC=8,45=10,AD是NN4C的平分線.若P,。分

別是AO和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則尸C+尸。的最小值是

過(guò)關(guān)練習(xí)

A組Exercise1

要修建一處公共服務(wù)設(shè)施，使它到三所運(yùn)動(dòng)員公寓A,B,C的距離相等.若三所運(yùn)動(dòng)員公寓A,B,C

的位置如圖所示，請(qǐng)你在圖中確定這處公共服務(wù)設(shè)施（用點(diǎn)P表示）的位置.

B?

Exercise2

己知：如圖，牧馬營(yíng)地在M處，每天牧馬人要趕著馬群到草地吃草，再到河邊飲水，最后回到營(yíng)地請(qǐng)

在圖上畫出最短的放牧路線.

Exercise3

如圖，四邊形是一矩形的球桌臺(tái)面，有兩個(gè)球位于P,Q兩點(diǎn)上，先找出P點(diǎn)關(guān)于8的對(duì)稱點(diǎn)?，

連接PQ交CD于M點(diǎn)，則P處的球經(jīng)Q反彈后，會(huì)擊中。處的球。請(qǐng)回答：如果使尸球先碰撞臺(tái)邊3c

反彈碰撞臺(tái)邊CD后，再擊中Q球，如何撞擊呢？（畫出圖形）

Exercise4

如圖，等腰三角形ABC的底邊3c長(zhǎng)為4,面積是16,腰AC的垂直平分線EF分別交AC,/W邊于E,

F點(diǎn)。若點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)用為線段瓦■上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDW周長(zhǎng)的最小值為.

第三關(guān)軸對(duì)稱的幾何應(yīng)用

關(guān)卡3-1軸對(duì)稱的幾何應(yīng)用

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：軸對(duì)稱的幾何運(yùn)用

例題A

1.如圖，CF所在的直線是六邊形的對(duì)稱軸，若ZAFC+ABCF=150°,則ZAFE+ZBCD=

A.E

BD

2.如圖：點(diǎn)P為NAOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于04、OB的對(duì)稱點(diǎn)P2,連接交04于M,交

0B于■N,[g=15,則的周長(zhǎng)為

3.(1)如圖，把△ABC沿EF對(duì)折，疊合后的圖形如圖所示.若NA=60。，Zl=95°,則N2的度數(shù)為

(2)如圖，鈍角三角形紙片43c中，Za4C=110°,C為AC邊的中點(diǎn).現(xiàn)將紙片沿過(guò)點(diǎn)。的直線折疊,

折痕與8C交于點(diǎn)E,點(diǎn)C的落點(diǎn)記為尸.若點(diǎn)尸恰好在54的延長(zhǎng)線上，則4/)尸=.

4.如圖，矩形紙片他8,￡是/W的中點(diǎn)，G是8C上的一點(diǎn)，N8￡G=72。，現(xiàn)沿直線EG將紙片折疊,

使點(diǎn)8落在紙片上的點(diǎn)，處，連接AH,

則(1)NEGH=°；(2)與N8EG相等的角有個(gè).

5.如圖(1)是長(zhǎng)方形紙帶，ZDEF=a,將紙帶沿EF折疊成圖(2),再沿3尸折疊成圖(3),則圖(3)中的

NCFE的度數(shù)是

6.如圖，/IF平分NBAC,BCLAF于E,點(diǎn)。與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，尸8分別與線段CF,AF相交

于尸，M.

(1)求證：AB=CD；

(2)若ZBACFZMPC,請(qǐng)你判斷NF與NMCD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

A

B

7.如圖，AABC中，點(diǎn)。，E分別在他,AC邊上，尸是8中點(diǎn)，連8尸交AC于點(diǎn)E,

N4BE+NC￡B=180。，比較線段8。與C￡的大小，并證明你的結(jié)論.

過(guò)關(guān)練習(xí)

A組Exercise1

1.如圖，四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形，直線AC是對(duì)稱軸，如果N84￡)+N8CD=210。，那么N84C+ZBC4

等于.

Exercise2

如圖，已知N4OB=30。，點(diǎn)P在ZAOB的內(nèi)部，8=10.作出點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)［,關(guān)于。4的對(duì)

稱點(diǎn)巴，并求8的周長(zhǎng).

B

O?----------------?/

Exercise3

(1)如圖，RtAABC中，ZACS=90°,ZA=50°,折疊后使點(diǎn)A落在邊C8上點(diǎn)4,則NAT>8=________.

C彳

(2)如圖，將正方形紙片對(duì)折,折痕為所，展開(kāi)后繼續(xù)折疊，使點(diǎn)A落在EF上，折痕為GB,則NAG8

的度數(shù)為_(kāi)__________________.

GE。

ffl

BFC

Exercise4

如圖，將△ABC沿DE,HG,EF翻折,三個(gè)頂點(diǎn)均落在點(diǎn)。處，若N1=129°,則Z2的度數(shù)為_(kāi)___________.

A

:一

BG尸

Exercise5

如圖，D,E分別是邊AC,上的兩點(diǎn)，MZE4B=ZDBA=-ZC,

2

求證：AD=BE.

—

H

第六章等腰三角形

第一關(guān)等腰三角形邊與角的應(yīng)用

關(guān)卡1-1等腰三角形邊與角

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：等腰三角形的邊與角.

例題A

1.已知等腰中：

(1)一邊長(zhǎng)為5cm,另一邊長(zhǎng)為9cm,則△ABC周長(zhǎng)為.

(2)一邊長(zhǎng)為4cm,另一邊長(zhǎng)為9cm，則△4BC周長(zhǎng)為.

(3)一腰上的中線把△/記《的周長(zhǎng)分成15和18兩部分，則底邊長(zhǎng)是

2.已知等腰△ABC中：

(1)有一個(gè)內(nèi)角為40°,求另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

(2)一腰上的高與另一腰的夾角等于20。，則頂角的度數(shù)為.

(3)為高，ZABD=20°,ZACD=M°,則.

3.(1)如圖，在ZVIBC中，AB^AC^CD,BD=DA,則NB4C=.

(2)如圖，在△ABC中，AB=AC,D為BC上一點(diǎn),且=AD=DC,則/C=_____________度.

4.(1)如圖，線段。。的一個(gè)端點(diǎn)O在直線“上，。。與直線a的夾角為45。，以。。為一邊畫等腰三角

形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在直線。上，這樣的等腰三角形能畫______________個(gè).

(2)如圖，在正五邊形的對(duì)稱軸直線/上找點(diǎn)P,使得△2口),△產(chǎn)口￡均為等腰三角形，則滿足條件的

點(diǎn)P有個(gè).

例題B

5.己知：如圖，線段45和射線3M交于點(diǎn)8.

（1）利用尺規(guī)完成以下作圖，并保留作圖痕跡.（不要求寫作法）

①在射線BM上求作一點(diǎn)C,使AC=AB；②在線段AB上求作一點(diǎn)D,使點(diǎn)D到BC,AC的距離相等;

（2）在（1）所作的圖形中，若NABN=72。，則圖中與8C相等的線段是.

過(guò)關(guān)練習(xí)

A組Exercise1

已知等腰ZVIBC中：

（1）一邊長(zhǎng)為3cm,另一邊長(zhǎng)為6cm,則△/$（7的周長(zhǎng)為.

（2）周長(zhǎng)是25cm,作某一腰上的中線分得兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)一個(gè)比另一個(gè)長(zhǎng)5cm,則腰長(zhǎng)為

（3）一腰上的高與另一腰的夾角等于30。，則這個(gè)三角形底角度數(shù)為.

Exercise2

（1）如圖，在AABC中，AB=AC,BD=DA=BC,則.

(2)如圖，CA=CB,DF=DB,AE=AD,則NA的度數(shù)為

B組Exercise3

（1）如圖1所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知4、8是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn),

且使得△ABC是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）

（2）已知平面直角坐標(biāo)系上的等腰三角形ABC,其中兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A（5,3）,8（1,0）,第三個(gè)頂點(diǎn)C在

X軸上，則C點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè).

第二關(guān)等腰三角形的性質(zhì)

關(guān)卡2-1等腰三角形的性質(zhì)

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)

例題A

1.下列說(shuō)法正確的是（）

A.等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合

B.頂角相等的兩個(gè)等腰三角形全