專題1.1 空間向量及其運算（七個重難點突破）（原卷版）

專題1.1空間向量及其運算知識點1空間向量的有關概念1．空間向量的定義及表示定義在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量長度或?？臻g向量的大小叫做空間向量的長度或模表示方法幾何表示法空間向量用有向線段表示，有向線段的長度表示空間向量的模符號表示法若向量的起點是A，終點是B，則也可記作，其模記為或2.幾類特殊的空間向量名稱方向模表示法零向量任意0記為單位向量1或相反向量相反相等記為共線向量相同或相反或相等向量相同相等或知識點2空間向量的線性運算1.空間向量的加減運算加法運算三角形法則語言敘述首尾順次相接，首指向尾為和圖形敘述平行四邊形法則語言敘述共起點的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和圖形敘述減法運算三角形法則語言敘述共起點，連終點，方向指向被減向量圖形敘述2.空間向量的數乘運算定義與平面向量一樣，實數λ與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為空間向量的數乘幾何意義與向量的方向相同的長度是的長度的倍與向量的方向相反，其方向是任意的3.空間向量的運算律交換律結合律，分配律知識點3共線向量與共面向量1.直線的方向向量定義：把與平行的非零向量稱為直線的方向向量．2．共線向量與共面向量的區(qū)別共線(平行)向量共面向量定義位置關系表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，這些向量叫做共線向量或平行向量平行于同一個平面的向量叫做共面向量特征方向相同或相反特例零向量與任意向量平行充要條件共線向量定理：對于空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數使共面向量定理：若兩個向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使對空間任一點O，空間中四點共面的充要條件是存在有序實數對，使得對空間中任意一點，都有重難點1空間向量的線性運算1．如圖，在空間四邊形中，，，分別是，，的中點，化簡下列各式：(1)；(2)；(3)．2．如圖，點M，N分別是四面體ABCD的棱AB和CD的中點，求證：.3．在正六棱柱中，化簡，并在圖中標出化簡結果．

4．如圖.空間四邊形OABC中，，點M在OA上，且滿足，點N為BC的中點，則（

）A． B．C． D．5．如圖所示，在長方體ABCD一A1B1C1D1中，，E，F，G，H，P，Q分別是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中點，求證：.

6．如圖，設A是所在平面外的一點，G是的重心.求證：.7．如圖，在平行六面體中，M為與的交點．記，，則下列正確的是（

）A． B．C． D．重難點2共線問題8．設，是空間中兩個不共線的向量，已知，，，且A，B，D三點共線，則實數_____；9．在正方體中，點E，F分別是底面和側面的中心，若，則_____．10．(多選)若空間中任意四點O，A，B，P滿足=m+n，其中m+n=1，則結論正確的有（

）A．P∈直線AB B．P?直線ABC．O，A，B，P四點共面 D．P，A，B三點共線11．已知，.（1）若與的方向相同，且，則λ的值為_____；（2）若與的方向相反，且，則λ的值為_____.12．已知是空間的一個基底，下列不能與，構成空間的另一個基底的是（

）A． B． C． D．13．已知平面單位向量，滿足，且，，，若使成立的正數有且只有一個，則的取值范圍為_____.14．如圖，在正方體中，E在上，且，F在對角線A1C上，且若.（1）用表示.（2）求證：E，F，B三點共線.15．如圖，已知為空間的9個點，且，，，，，.求證：（1）；（2）.重難點3向量的共面問題16．已知空間、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，設為空間中任意一點，若，則（

）A．2 B． C．1 D．17．已知點在平面內，并且對空間任一點，，則_____．18．已知三點不共線，對于平面外的任意一點，判斷在下列各條件下的點與點是否共面．(1)；(2)．19．已知為兩個不共線的非零向量，且，，，求證：四點共面．20．，，是三個不共面的向量，，，，且，，，四點共面，則的值為_____.21．下列條件中，一定使空間四點P?A?B?C共面的是（

）A． B．C． D．22．若{，，}構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，知識點1空間向量的夾角如圖，已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量的夾角，記作，夾角的范圍：，特別地，如果，那么向量互相垂直，記作知識點2空間向量的數量積運算1．空間向量的數量積已知兩個非零向量，則叫做的數量積，記作，即．零向量與任意向量的數量積為0，即.2．數量積的運算律數乘向量與數量積的結合律交換律分配律3．投影向量在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，，向量稱為向量在向量上的投影向量．4．數量積的性質若，為非零向量，則（1）；（2）；（3），；（4）；（5）重難點4空間向量數量積的運算23．在正四面體中，棱長為1，且D為棱的中點，則的值為（

）.A． B． C． D．24．如圖，在直三棱柱中，，、分別為棱、的中點，則_____.25．在棱長為1的正方體中，為棱上任意一點，則=_____.26．給出下列命題：①空間中任意兩個單位向量必相等；②若空間向量滿足，則；③在向量的數量積運算中；④對于非零向量，由，則，其中假命題的個數是_____．27．已知空間四面體D-ABC的每條棱長都等于1，點E，F分別是AB，AD的中點，則等于（

）A． B． C． D．28．設、為空間中的任意兩個非零向量，有下列各式：①；②；③；④.其中正確的個數為（

）A． B． C． D．29．已知向量，向量與的夾角都是，且，試求(1)；(2)．30．在三棱錐中，已知，，，則_____重難點5用數量積解決夾角問題31．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱AA1的長度為4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求：(1)BD1的長；(2)直線BD1與AC所成角的余弦值.32．（多選）如圖所示，平行六面體，其中，，，，下列說法中正確的是（

）A．B．C．直線與直線是相交直線D．與所成角的余弦值為33．已知向量都是空間向量，且，則_____.34．已知不共面的三個向量都是單位向量，且夾角都是，則向量和的夾角為（

）A． B． C． D．35．如圖，在平行六面體中，，，，點為線段中點．(1)求；(2)求直線與所成角的余弦值．36．如圖，二面角的棱上有兩個點A，B，線段和分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱l．若，則平面與平面夾角的余弦值為_____．重難點6投影向量37．在標準正交基下，已知向量，，則向量在上的投影為_____，在上的投影之積為_____．38．已知，向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上投影為_____．39．如圖，在長方體中，已知，，，分別求向量在、、方向上的投影數量．40．如圖，已知平面，，，則向量在上的投影向量等于_____.41．在棱長為的正方體中，向量在向量方向上的投影向量的模是_____．42．如圖，在三棱錐中，平面，，，．(1)確定在平面上的投影向量，并求；(2)確定在上的投影向量，并求．重難點7用數量積求線段長度43．棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形）中，若是的中點，在上且，記，，.(1)用向量，，表示向量；(2)若，求.44．如圖，在平行六面體中，，，，，，則線段的長為（

）A．5 B．3 C． D．45．如圖，在平行六面體中，，，，，，，則用表示及線段的長為分別為（

）

A．， B．，C．， D．，46．如圖，在直三棱柱中，，分別為，，的中點，分別記，，為，