沖刺2022年高考物理復(fù)習(xí)必備考點(diǎn)22洛倫茲力帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動

考點(diǎn)22洛倫茲力帶電粒子在勻隕磁場中的運(yùn)動

考試要求

專題知識內(nèi)容

必考加試

洛倫茲力帶運(yùn)動電荷在磁場中受到的力Cb

電粒子在勻

強(qiáng)磁場中的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動d

運(yùn)動

1.從題型上看，有選擇題、計算題，試題新穎，難度中等偏上.

2.考查知識點(diǎn)主要有：安培力和洛倫茲力的理解和計算、帶電粒子在磁場、復(fù)合場中的

運(yùn)動等.

3.從整體命題趨勢上看，將會越來越突出磁場力作用下物體的運(yùn)動規(guī)律，及洛倫茲力在

現(xiàn)代科技中的應(yīng)用.

考向一對洛倫茲力的理解與應(yīng)用

（2019?浙江溫州?一模）電視機(jī)顯像管應(yīng)用了電子束磁偏轉(zhuǎn)的原理.如圖所示，電子束

經(jīng)電子槍加速后進(jìn)入偏轉(zhuǎn)磁場，然后打在熒光屏上產(chǎn)生亮點(diǎn).沒有磁場時，亮點(diǎn)在。點(diǎn);

加上磁場后，亮點(diǎn)的位置偏離。點(diǎn).以下說法正確的是

顯像管原理示意圖

A.僅增大加速電壓，亮點(diǎn)將遠(yuǎn)離。點(diǎn)

B.僅減小磁感應(yīng)強(qiáng)度，亮點(diǎn)將遠(yuǎn)離。點(diǎn)

C.增大加速電壓同時增大磁感應(yīng)強(qiáng)度，亮點(diǎn)可能遠(yuǎn)離。點(diǎn)

D.增大加速電壓同時減小磁感應(yīng)強(qiáng)度，亮點(diǎn)可能遠(yuǎn)離。點(diǎn)

【答案】C

【詳解】電子在加速電場中加速，由動能定理有：eU=/苗

電子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力充當(dāng)向心力，有：e5%=史&

解得：「=嗎」、幽

eBe

AR

設(shè)磁場的半徑為R,電子經(jīng)過磁場后速度的偏向角為。，根據(jù)幾何知識得：tang=￡

A.僅增大加速電壓，半徑廠增大，。減小，亮點(diǎn)將靠近。點(diǎn)，故A錯誤：

B.僅減小磁感應(yīng)強(qiáng)度，半徑r增大，。減小，亮點(diǎn)將靠近。點(diǎn)，故B錯誤；

C.同時增大加速電壓和增大磁感應(yīng)強(qiáng)度，半徑「可能增大，也可能減小，當(dāng)半徑,可能

增大時。減小，亮點(diǎn)將靠近。點(diǎn)；當(dāng)半徑「可能減小時。增大，亮點(diǎn)將遠(yuǎn)離。點(diǎn)，故C

正確；

D.增大加速電壓同時減小磁感應(yīng)強(qiáng)度，半徑「增大，。減小，亮點(diǎn)將靠近。點(diǎn)，故D錯

、口

【名師點(diǎn)睛】洛倫茲力的方向，取決于磁感線方向和粒子運(yùn)動的方向。應(yīng)特別注意

其方向還和粒子所帶電荷的正、負(fù)有關(guān)。

1.（2021?浙江?高三月考）如圖為一個光滑絕緣的半圓柱形容器的剖面圖，圓心所在的

軸線上水平固定一垂直紙面向內(nèi)的通電長直導(dǎo)線，帶正電的小物體（可視為點(diǎn)電荷）從

左端由靜止開始釋放，下列說法正確的是（）

A.剛釋放時，正電荷所受洛倫茲力豎直向上

B.若帶電量足夠大，運(yùn)動過程中，小物體可能會脫離容器表面

C.無論小物體是否帶電，都一定可以滑至右側(cè)等高處

D.物塊滑至容器底部時，軌道對物體的支持力大于軌道受到的壓力

【答案】C

【詳解】AB.根據(jù)右手螺旋定則，可知通電直導(dǎo)線的電流方向垂直向里，則磁場方向以

直導(dǎo)線為圓心的順時針方向圓，當(dāng)正電荷釋放時，則其運(yùn)動方向總與磁場方向平行，那

么不受洛倫茲力，小球只在重力和軌道的支持力作用下做圓周運(yùn)動，不會脫離容器表面,

選項AB錯誤；

C.正電荷在運(yùn)動過程中，因圓形容器是光滑的，依據(jù)能量轉(zhuǎn)化與守恒定律，則可以滑

至右側(cè)等高處，故c正確；

D.物塊滑至容器底部時，軌道對物體的支持力與軌道受到的壓力是一對作用力與反作

用力，總是等大反向，選項D錯誤。

故選c。

2.（2020?浙江?高三專題練習(xí)）在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場8中，有不計重力的a、b

兩個帶電粒子，在紙面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動方向和軌跡示意如圖所示。下列說法正

確的是（）

A.a、b兩粒子所帶電性相同

B.a粒子所帶的電荷量較大

C.a粒子運(yùn)動的速率較大

D.a粒子所做圓周運(yùn)動的周期較長

【答案】A

【詳解】A.兩粒子均逆時針運(yùn)動，磁場垂直紙面向外，根據(jù)左手定則可知粒子均帶負(fù)

電，故A正確；

2

BC.根據(jù)洛倫茲力提供向心力，則有=匕

可得丫=迎

m

由圖可確定粒子運(yùn)動半徑K關(guān)系，粒子的速率v與運(yùn)動半徑及、粒子的電量9、質(zhì)量機(jī)有

關(guān)，由于粒子的速率、粒子的電量、粒子的質(zhì)量都未知，所以無法確定。、b粒子的速

率的大小關(guān)系和。、b粒子的所帶的電荷量關(guān)系，故B、C錯誤：

D.根據(jù)丁=等可知磁感應(yīng)強(qiáng)度B相同，周期與比荷有關(guān)，比荷不確定，無法判定周

期關(guān)系，故D錯誤；

故選A。

考向二帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動

（2019年湖州市高三聯(lián)考）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系X。）?的第四象限有垂直紙面

向里的勻強(qiáng)磁場，一質(zhì)量為，"=5.0X10-8|^、電量為q=1.0X10-6c的帶電粒子。從

靜止開始經(jīng)%=10V的電壓加速后，從P點(diǎn)沿圖示方向進(jìn)入磁場，己知OP=30cm,（粒

子重力不計，sin37°=0.6,cos37°=0.8）,求：

y

ox

XXX

XXX

pXXX

⑴帶電粒子到達(dá)。點(diǎn)時速度。的大小;

(2)若磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2.0T,粒子從x軸上的。點(diǎn)離開磁場，求OQ的距離;

(3)若粒子不能進(jìn)入x軸上方，求磁感應(yīng)強(qiáng)度8'滿足的條件。

【參考答案】(1)20m/s(2)0.90m(3)8'>5.33T

【詳細(xì)解析】(1)對帶電粒子的加速過程，由

動能定理qU=^mv2

代入數(shù)據(jù)得：v=20m/s

(2)帶電粒子僅在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動，有:

mv2mv

例8=7-傳穴=癡

代入數(shù)據(jù)得：H=0.50m

而OP/cos53°=0.50m

故圓心一定在x軸上，軌跡如圖甲所示。

由幾何關(guān)系可知：

OQ=R+Rsin53°

故OQ=0.90m

⑶帶電粒子不從x軸射出(如圖乙)，由幾何關(guān)系得:

乙

OP>R'+R'cos53°①

由①②并代入數(shù)據(jù)得：

16

B'>TT=5.33T(取照樣給分)

【名師點(diǎn)睛】解題時要抓住三個步驟：

畫軌跡/即畫出軌跡，并確定圓心，利用兒何方法求半徑

軌跡半?徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度、運(yùn)動速度相聯(lián)系，偏轉(zhuǎn)

找聯(lián)爹》角度與圓心角、運(yùn)動時間相聯(lián)系，在磁場中運(yùn)動

'一;的時間與周期相聯(lián)系

即牛頓第二定律和圓周運(yùn)動的規(guī)律，特別是周期

理沙^J公式、半徑公式

1.如圖，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，P為磁場邊界上

的一點(diǎn).大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過P點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不同方向射入磁場.若

粒子射入速率為?！边@些粒子在磁場邊界的出射點(diǎn)分布在六分之一圓周上；若粒子射入

速率為。2,相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上.不計重力及帶電粒子之間的相互作

用.則V2:V]為（）

A.?。?B.也：1

C.?。?D.3：也

【答案】C.

X）

【解析】由于是相同的粒子，粒子進(jìn)入磁場時的速度大小相同，由■可知，

nrn

R=F，即粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑相同.若粒子運(yùn)動的速度大小為如圖所

示，通過旋轉(zhuǎn)圓可知，當(dāng)粒子在磁場邊界的出射點(diǎn)A離P點(diǎn)最遠(yuǎn)時，則4P=2Ri；同樣，

若粒子運(yùn)動的速度大小為。2，粒子在磁場邊界的出射點(diǎn)B離P點(diǎn)最遠(yuǎn)時，則8P=2&,

設(shè)圓形區(qū)域半徑為r,由幾何關(guān)系可知，Ri=5,&=/cos30。=坐%則竽=華=小，C

ZZU]A1

2.（2020年嘉興市質(zhì)量檢測）如圖所示，半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的

勻強(qiáng)磁場（未畫出）。一質(zhì)量為〃八電荷量為一q且不計重力的粒子，以速度0沿與半徑

AO夾角，=30°的方向從4點(diǎn)垂直磁場射入，最后粒子從圓弧MAN上射出，則磁感應(yīng)

強(qiáng)度的大小不可能為（）

【答案】B

【解析】由題意知，臨界條件為粒子運(yùn)動機(jī)跡恰好與MN相切，粒子運(yùn)動軌跡如圖

___R

所示，根據(jù)幾何知識可得NA。'^=120°,ZOAB=ZBAOr=30。，故A8=cos30。,

1一

22znp3mv

r=cos30。,解得〃=]R,又知尸=而，解得B=2qR,為使粒子從圓弧MAW上射出，

23加

則即32輛，故B不可能。

考向三帶電粒子在有界磁場中的臨界極值問題-

放縮圓法

（2019年金華市?？迹┢矫鍻A7和平面ON之間的夾角為30。，其橫截面（紙面）如

圖所示，平面OM上方存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向外.一

帶電粒子的質(zhì)量為m,電荷量為q（q>0）.粒子沿紙面以大小為。的速度從OM的某點(diǎn)向

左上方射入磁場，速度與OM成30。角.已知該粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡與ON只有一

個交點(diǎn)，并從上另一點(diǎn)射出磁場.不計重力.粒子離開磁場的出射點(diǎn)到兩平面交線

<?的距離為（）

../畤0°.....

""0.........

mvyj3mv

A-9B-qB

2mv4mv

C?7D.詞

【參考答案】D

【詳細(xì)解析】如圖所示為粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動軌跡示意圖，設(shè)出射點(diǎn)為P,粒

子運(yùn)動軌跡與ON的交點(diǎn)為Q,粒子入射方向與OM成30。角，則射出磁場時速度方向

與OM成30。角，由幾何關(guān)系可知，PQ±ON,故出射點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為枕跡圓直徑的

nrn

2倍，即4R,又粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的軌跡半徑/?=一示所以D正確.

qB

【名師點(diǎn)睛】粒子與ON的交點(diǎn)只有一個的隱含條件說明運(yùn)動軌跡與ON相切，從

而找出粒子運(yùn)動的圓心、半徑、圓心角等一系列運(yùn)動參量，利用幾何關(guān)系進(jìn)行問題的求

解.

1.如圖所示，水平放置的平行板長度為乙、兩板間距也為L兩板之間存在垂直紙

面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，在兩板正中央P點(diǎn)有一個不計重力的電子（質(zhì)

量為加、電荷量為一e）,現(xiàn)在給電子一水平向右的瞬時初速度如,欲使電子不與平一

行板相碰撞，貝（）

IJXXXXX

?p

AeBL—eBL_eBLeBLXXXXX

-吵后或。EB寸好方

XXXXX

「eBLneBL

C.。。茍D-Po<礪

【答案】A

【解析】此題疑難點(diǎn)在于確定“不與平行板相碰撞”的臨界條件。電子在磁場中做勻速

圓周運(yùn)動，半徑為R=等，如圖所示。當(dāng)Ri=（時，電子恰好與下板相切；當(dāng)R2=,時，

電子恰好從下板邊緣飛出兩平行板（即飛出磁場）。由R尸嗡解得5=喙,由&=翳，

解得6=啜,所以欲使電子不與平行板相碰撞，電子初速度&應(yīng)滿足vo>譬或8<^押,故選

項A正確。

2.如圖所示，在x>0,y>0的空間中有恒定的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于xOy

平面向里，大小為屏現(xiàn)有一質(zhì)量為，小電荷量為“的帶正電粒子，從x軸上的某點(diǎn)P

沿著與x軸成30。角的方向射入磁場。不計重力的影響，則下列有關(guān)說法正確的是（）

A.只要粒子的速率合適，粒子就可能通過坐標(biāo)原點(diǎn)

B.粒子在磁場中運(yùn)動所經(jīng)歷的時間一定為舞

JQD

C.粒子在磁場中運(yùn)動所經(jīng)歷的時間可能為篝

D.粒子在磁場中運(yùn)動所經(jīng)歷的時間可能為贏

【答案】C

【解析】

根據(jù)同一直線邊界上粒子運(yùn)動的對稱性可知，粒子不可能通過坐標(biāo)原點(diǎn)，A錯誤;

5兀m

粒子運(yùn)動的情況有兩種，一種是從），軸邊界射出，最短時間要大于誠，故D錯；

TTim

對應(yīng)軌跡①時，0=5=證，c正確；另一種是從x軸邊界飛出，如軌跡③，時間力

5

此時粒子在磁場中運(yùn)動時間最長，故B錯誤。

考向四帶電粒子在有界磁場中的臨界極值問題--旋

轉(zhuǎn)圓法

（2020年衢州市高三聯(lián)考）（多選）如圖所示，一粒子發(fā)射源P位于足夠大絕緣板

AB的上方”處，能夠在紙面內(nèi)向各個方向發(fā)射速率為。、電荷量為外質(zhì)量為根的帶

正電的粒子。空間存在垂直紙面的勻強(qiáng)磁場，不考慮粒子間的相互作用和粒子重力，已

知粒子做圓周運(yùn)動的半徑大小恰好為d,則（）

A.粒子能打在板上的區(qū)域長度是2d

B.粒子能打在板上的區(qū)域長度是（小+l）dp米工

C.同一時刻發(fā)射出的粒子打到板上的最大時間差為普!

AB

D.同一時刻發(fā)射出的粒子打到板上的最大時間差為鬻

【參考答案】BC

【詳細(xì)解析】以磁場方向垂直紙面向外為例，打在極板上粒子軌跡的臨界狀態(tài)如圖

1所示，根據(jù)幾何關(guān)系知，帶電粒子能到達(dá)板上的長度/=（/+）（24一片=（1+/）d,

故A錯誤，B正確；在磁場中打到板上的粒子運(yùn)動時間最長和最短的運(yùn)動軌跡示意圖如

圖2所示，由幾何關(guān)系知，最長時間九=[T,最短時間f2=\r,又有粒子在磁場中運(yùn)動

的周期7=幸=*;根據(jù)題意八一亥=加，聯(lián)立解得加二五丁二含、故C正確，D錯

誤。若磁場方向垂直紙面向里，可得出同樣的結(jié)論。

【名師點(diǎn)睛】通過動態(tài)旋轉(zhuǎn)圓法，找出臨界點(diǎn)一相切點(diǎn)以及直徑相交點(diǎn)，即為臨界

交點(diǎn)

1.（多選）如圖所示，豎直平行邊界MN、PQ間距離為處其間存在垂直MXXP

X

Oo'

X

B

XX

NQ

紙面向里的勻強(qiáng)磁場(含邊界PQ),磁感應(yīng)強(qiáng)度為8,MN上。處的粒子源能沿不同方向

釋放比荷為備的帶負(fù)電粒子，速度大小相等、方向均垂直于磁場。粒子間的相互作用及

重力不計，設(shè)粒子入射方向與射線OM夾角為仇當(dāng)粒子沿。=60。射入時，恰好垂直于

PQ射出，貝11()

A.從PQ垂直射出的粒子在磁場中運(yùn)動的時間為贏

B.沿。=90。射入的粒子，在磁場中運(yùn)動的時間最長

C.粒子的速率為誓

D.PQ上有粒子射出的范圍長度為2小。

【答案】AD

【解析】帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動，有qvB—nr^,所以粒子沿6=60。

射入時，恰好垂直于PQ射出，則粒子在磁場中轉(zhuǎn)過30。，如圖甲所示，所以有Rsin30。

=a,解得R=2a,故。=誓，C錯誤；￡=器?等=就，A正確；6=0時，粒子離

開磁場的位置在PQ上。'點(diǎn)上方小。處，如圖乙所示；當(dāng)。增大時，粒子在PQ上離開

磁場的位置下移，直到粒子運(yùn)動軌跡與PQ相切時0=120°,切點(diǎn)在0'下方小a處，

如圖丙所示，所以，PQ上有粒子射出的范圍長度為26a,D正確；粒子在磁場中運(yùn)動

的枕跡越長，時間越長，所以，沿。=120。射入的粒子，在磁場中運(yùn)動的時間最長，B

錯誤。

甲乙

2.如圖所示,xOy平面內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.1T,在原

點(diǎn)O有一粒子源，它可以在xOy平面內(nèi)向各個方向發(fā)射出質(zhì)量m=6.4X10-27S、電荷

量q=3.2X1019c、速度v=1.0X106加5的帶正電的粒子.一感光薄板平行于x軸放

置，其中點(diǎn)0'的坐標(biāo)為(0,a),且滿足a>0.(不考慮粒子的重力以及粒子之間的相互

作用，結(jié)果保留三位有效數(shù)字).

(1)若薄板足夠長，且a=0.2〃?，求感光板下表面被粒子擊中的長度；

(2)若薄板長1=0.32〃?，為使感光板下表面全部被粒子擊中，求a的最大值.

【答案】(1)0.546〃？(2)0.320m

【解析】(1)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力.有qvB

v2

r

解得r=0.2m

如圖1,沿y軸正向發(fā)射的粒子擊中薄板的D點(diǎn)(最左端)，有

xi=r=0.2m

而擊中薄板的最右端的粒子恰好運(yùn)動了半個圓周，由幾何關(guān)系

立

X2=5m

所以，感光板下表面被粒子擊中的長度

L=XI+X2=0.546m.

(2)如圖2,若粒子恰能擊中薄板的最左端點(diǎn)，由幾何關(guān)系

解得ai=OF+r=0.320，*

如圖3,若粒子恰能擊中薄板的最右端E點(diǎn)，由幾何關(guān)系

綜上可得，為使感光板下表面全部被粒子擊中，a的最大值：a,“=0.320加

考向五帶電粒子在有界磁場中的臨界極值問題

-平移圓法

如圖所示，長方形"cd長ad=0.6m,寬必=0.3m,。、e分別是ad、兒的中點(diǎn)，以

ad為直徑的半圓內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場（邊界上無磁場），磁感應(yīng)強(qiáng)度8=0.25T。

一群不計重力、質(zhì)量“7=3X10-7kg、電荷量“=+2X10-3c的帶電粒子以速度。=

5XIO?m/s沿垂直以/方向且垂直于磁場射入磁場區(qū)域，則（）

A.從。"邊射入的粒子,出射點(diǎn)全部分布在。。邊

B.從“0邊射入的粒子,出射點(diǎn)全部分布在M邊

C.從。"邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在0“邊和"邊

D.從a。邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在油邊和反邊

【參考答案】D

mv

【詳細(xì)解析】由r=不得帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的半徑r=0.3m,從。"邊射入的

粒子，出射點(diǎn)分布在岫和加邊；從a。邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在他邊和加邊：

選項D正確。

【名師點(diǎn)睛】抓住粒子運(yùn)動軌跡然后通過由上向下平移，從而找出交點(diǎn)即出射點(diǎn)

1.（2019年臺州市期末）如圖所示，邊長為L的正方形有界勻強(qiáng)磁場ABCQ,帶電粒子

從A點(diǎn)沿AB方向射入磁場，恰好從C點(diǎn)飛出磁場；若帶電粒子以相同的速度從AO

的中點(diǎn)尸垂直A。射入磁場，從力C邊的M點(diǎn)飛出磁場（M點(diǎn)未畫出）。設(shè)粒子從A

點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)所用的時間為小由P點(diǎn)運(yùn)動到M點(diǎn)所用時間為我（帶電粒子重力不計）,

則t\：t2為（

A.2：1B.2：3

C.3：2D.?。阂?/p>

【答案】C

【解析】畫出粒子從A點(diǎn)射入磁場到從C點(diǎn)射出磁場的軌跡，并將該軌跡向下平移,

粒子做圓周運(yùn)動的半徑為R=L,從C點(diǎn)射出的粒子運(yùn)動時間為白=了；由尸點(diǎn)運(yùn)動到M

RT

2_[T/I4

點(diǎn)所用時間為伍圓心角為優(yōu)則cos6=/,則cos。=5,8=60。，故介=石，所以石=彳

=2,C正確。

2.（多選）利用如圖所示裝置可以選擇一定速度范圍內(nèi)的帶電粒子。圖中板MN上方是磁

感應(yīng)強(qiáng)度大小為8、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，板上有兩條寬度分別為24和4的

縫，兩縫近端相距為L一群質(zhì)量為〃八電荷量為外速度不同的粒子，從寬度為2"的

縫垂直于板MN進(jìn)入磁場，對于能夠從寬度為d的縫射出的粒子，下列說法正確*

的是（）:

A.射出粒子帶正電.

M—

B.射出粒子的最大速度為無啜④’

C.保持"和L不變，增大B,射出粒子的最大速度與最小速度之差增大

D.保持d和8不變，增大L,射出粒子的最大速度與最小速度之差增大

【答案】BC

[解析】利用左手定則可判定，射出粒子帶負(fù)電，A項錯誤；利用g8=一/知r=不,

LL+3dqBrmax

能射出的粒子半徑滿足5WrW-2~,因此射出粒子的最大速度Omax=m=

西（3d+L）g及治訪qBL3qBd

2m,B項正確；射出粒子的最小速度Umin=rn=2m,^v=vmax—vmin=2m，

由此可判定，C項正確，D項錯誤。

考向六帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的多解

問題

（多選）如圖所示，正方形而m區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，。點(diǎn)是次邊

的中點(diǎn)。若一個帶正電的粒子（重力忽略不計）從o點(diǎn)沿紙面以垂直于〃邊的速度射入

正方形內(nèi)，經(jīng)過時間to剛好從C,點(diǎn)射出磁場?，F(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從。點(diǎn)沿紙面以與

Od成30。的方向（如圖中虛線所示），以各種不同的速率射入正方形內(nèi)，那么下列說法正

確的是（）

A.該帶電粒子不可能剛好從正方形的某個頂點(diǎn)射出磁場

B.若該帶電粒子從而邊射出磁場，它在磁場中經(jīng)歷的時間可能是“

C.若該帶電粒子從be邊射出磁場，它在磁場中經(jīng)歷的時間可能是全。

D.若該帶電粒子從cd邊射出磁場，它在磁場中經(jīng)歷的時間一定是全0

【參考答案】AD

【詳細(xì)解析】由題意可知帶電粒子以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間fo剛

好從c點(diǎn)射出磁場，則知帶電粒子的運(yùn)動周期為T=2ft)。隨粒子速度逐漸增大，軌跡由

①一②f③f④依次漸變，由圖可以知道粒子在四個邊射出時，射出范圍分別為0G、

FE、DC、84之間，不可能從四個頂點(diǎn)射出，所以A項正確；當(dāng)粒子從。點(diǎn)沿紙面垂

直于〃邊射入正方彩內(nèi)，軌跡恰好為半個圓周，即時間A)剛好為半周期，從加邊射出

24n)

的粒子所用時間小于半周期父，從6c邊射出的粒子所用時間小于弓7=丁，所有從cd邊

5T5/0

射出的粒子圓心角都是300。，所用時間為不=丁，故B、C項錯誤，A、D項正確。

【名師點(diǎn)睛】巧解帶電粒子在磁場中運(yùn)動的多解問題

(1)分析題目特點(diǎn)，確定題目多解的形成原因。

(2)作出粒子的運(yùn)動軌跡示意圖(全面考慮多種可能性)。

(3)若為周期性重復(fù)的多解問題，尋找通項式，若是出現(xiàn)幾種解的可能性，注意每種

解出現(xiàn)的條件。

1.(2019?浙江省溫州市新力量聯(lián)盟期末)如圖所示，寬度為d的有界勻強(qiáng)磁場，

磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,MM'和NN'是它的兩條邊界?，F(xiàn)有質(zhì)量為如電荷量為g的帶電粒XX

XX

子沿圖示方向垂直磁場射入。要使粒子不能從邊界NN'射出，則粒子入射速度。的最XX

XX

大值可能是多少？XX

節(jié)

【答案】(2+也)等(q為正電荷)或(2—a).誓(q為負(fù)電荷)X

M'XN'

【解析】題目中只給出粒子“電荷量為4”，未說明是帶哪種電荷。

Irnv

(1)若4為正電荷，機(jī)跡是如圖所示的上方與NN'相切的4圓弧，軌道半徑：k=而

又d=R—Rcos45°

(2+的刎

解付—m'

3mv

(2)若4為負(fù)電荷，軌跡如圖所示的下方與MV'相切的了圓弧，則有：R'=-Bq，

d=R'+R1cos45°,

（2-也）Bqd

解得。'=in

2.（多選）（2018,河南省六市下學(xué)期第二次聯(lián)考）如圖所示，直線MN與水平方向成6=30。

角，的右上方區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8、方向水平向外的勻強(qiáng)磁場，的左

下方區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B、方向水平向里的勻強(qiáng)磁場,與兩磁場均垂直.-

粒子源位于上的a點(diǎn)，能水平向右發(fā)射不同速率、質(zhì)量為〃八電荷量為虱q>0）的同

種粒子（粒子重力不計），所有粒子均能通過上的b點(diǎn).已知ab=L,MN兩側(cè)磁場

區(qū)域均足夠大，則粒子的速率可能是（）

°百-

XXx'、、、、..

修音XXi、點(diǎn)

XXXX'N

XXXX

迪qBLqBLqBL

?Sm?6m?2m'm

【答案】BD

【解析】粒子運(yùn)動過程只受洛倫茲力作用，故在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動，則在

iriV"ftlV

右上方磁場時有B“=一/，則粒子在右上方磁場中做圓周運(yùn)動的軌道半徑R=w；同

KDCJ

理，在左下方磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為R'=翳=?,作出運(yùn)動軌跡，如圖所示

mqz

由幾何關(guān)系可知，所有圓心角均為60。，則圖中所有三角形都為等邊三角形，若粒子

（3R,一/久、2L

偏轉(zhuǎn)偶數(shù)次到達(dá)b點(diǎn)，則有：L="2（〃—，'6…），解得：R=3n

/—。Ax\BqR2BqL,A\2BqL

（"=，，6…），故速度為0=m=3"n?（"=，，6…），當(dāng)”=4時，O=3X4〃I

=鬻，故B正確；若粒子偏轉(zhuǎn)奇數(shù)次到達(dá)〃點(diǎn)，則有：￡=〃/?+（"一喈=4（3"T）

/—104\2Lz一々\BqR2BqL

（〃一1,3,5…），解得：3，5…），故速度為v=m=（31）機(jī)

z_.&?…、2BqLBqL

，當(dāng)〃=1時，o=（3X1—1）〃?=m,故D正確.

考向六有界磁場最小面積

（2020石家莊二模）如圖所示，平面直角坐標(biāo)系第一象限存在指向y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)

電場，電場強(qiáng)度大小為E,第四象限局部區(qū)域內(nèi)存在方向向外的勻強(qiáng)磁場，磁場邊界為

矩形且上邊界與X軸重合。y軸上d到2d（d>0）區(qū)域內(nèi)可水平向右射出質(zhì)量為m,電荷

量為+q的帶電粒子，所有粒子射出后，軌跡均經(jīng)過x軸上的點(diǎn)A（2d,0）,經(jīng)過點(diǎn)A時

速度最小的粒子經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后，到達(dá)y軸上點(diǎn)C（0,-4d）時，速度方向與y軸負(fù)方

向夾角為45。，不計粒子重力，不考慮粒子間的相互作用力。求

（1）所有粒子經(jīng)過x軸上點(diǎn)A時速度與x軸正方向夾角正切值的范圍

（2）粒子經(jīng)過x軸上點(diǎn)A時的最小速度

（3）矩形磁場區(qū)域的最小面積和磁場應(yīng)強(qiáng)度的大小。

【參考答案】詳解如下

【詳細(xì)解析】（1）（6分）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，設(shè)下降高度為y,豎直分速度

為Vyo

在y方向：y=-at2（1分）

=at（1分）

在x方向：2d=匕/（1分）

V.

tan6^=—（1分）

匕

將臨界條件丁="和y=2”分別代入可得：]3ng<2（2分）

（2）（6分）粒子經(jīng)過x軸點(diǎn)A時的速度為v,則丫2=丫；+]（j分）

所以/=畫+（引

-y

當(dāng)由=，時，/最小，此時r=u最小。（2分）2d

dA

O萬/%，

o=-（1分）、\"

又加

z?

?z

代入解得：％in=2、但?（2分）

Vm45。

（3）（7分）如圖所示，由幾何關(guān)系可知

R=yfid（2分）

%”=僅8—2）/（2分）

,2

根皆(2分)

A

12Em

解得：B=I衛(wèi)(1分)(其他解法正確同樣給分。)

qd

【名師點(diǎn)睛】磁場區(qū)域最小時，如為圓形一般應(yīng)為運(yùn)動軌跡的弦長為直徑，面積最小,

如為矩形，則運(yùn)動軌跡的弦長為矩形的長邊，面積最小。

1.如圖所示，虛線與水平線PQ相交于0,二者夾角。=30。，在“。左側(cè)存在電

場強(qiáng)度為E、方向豎直向下的勻強(qiáng)電場，MO右側(cè)某個區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為8、垂直

紙面向里的勻強(qiáng)磁場，。點(diǎn)處在磁場的邊界上.現(xiàn)有一群質(zhì)量為優(yōu)、電荷量為+q的帶

電粒子在紙面內(nèi)以速度o(0<oW令垂直于MO從O點(diǎn)射入磁場，所有粒子通過直線MO

時，速度方向均平行于PQ向左.不計粒子的重力和粒子間的相互作用力，求：’4、、

E、、、

(1)速度最大的粒子自。點(diǎn)射入磁場至返回水平線POQ所用的時間；-1-----'吟_.

(2)磁場區(qū)域的最小面積.

【答案】詳解如下

［解析］(1)粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，設(shè)粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑為R,

周期為T,粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動時間為n,則

V2

qBv=n斥

mv

即R=

qB

E

由題知：v='

2兀，"

T=

1-2nm

設(shè)粒子自N點(diǎn)水平飛出磁場，出磁場后應(yīng)做勻速運(yùn)動至。例，設(shè)勻速運(yùn)動的距離為

X,勻速運(yùn)動的時間為『2,由幾何關(guān)系知：x=RcotO

x

t2=v=qB

過MO后粒子做類平拋運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為3則

2\qE2

2m?

解得"=嚷

則速度最大的粒子自。進(jìn)入磁場至重回水平線POQ所用的時間t=t\+ti+h

2（3小+兀）m

解得：

t=3qB

⑵

由題知速度大小不同的粒子均要水平通過0M,則其飛出磁場的位置均應(yīng)在ON的

連線上，故磁場范圍的最小面積Smin是速度最大的粒子在磁場中的軌跡與ON所圍成的

面積

扇形O。'N的面積SI=%R2

△00'N的面積為S2=R2cos30°sin30°=

?'?Smin=S|—S2

小)加E2

1

解得：Smin=。一4jq^

考向七帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中磁聚焦

問題

(2020年麗水市質(zhì)量檢測)如圖所示，真空中有一半徑r=0.5m的圓形磁場，與

坐標(biāo)原點(diǎn)相切，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=2X10—3T,方向垂直于紙面向外，在x=lm

和x=2m之間的區(qū)域內(nèi)有一沿)，軸正方向的勻強(qiáng)電場區(qū)域，電場強(qiáng)度￡=1.5X103N/C。

在x=3m處有一垂直于x軸方向的足夠長的熒光屏，從O點(diǎn)處向不同方向發(fā)射出速率

相同、比荷'=IX109c/kg且?guī)д姷牧Ｗ樱Ｗ拥倪\(yùn)動軌跡在紙面內(nèi)，一個速度方

向沿y軸正方向射入磁場的粒子，恰能從磁場最右側(cè)的4點(diǎn)離開磁場，不計粒子重力及

其相互作用，求：

(1)沿y軸正方向射入磁場的粒子進(jìn)入電場時的速度大小和粒子在磁場中的運(yùn)動時

間；

(2)速度方向與y軸正方向成6=30。角(如圖中所示)射入磁場的粒子，離開磁場時的

速度方向；

(3)按照(2)中條件運(yùn)動的粒子最后打到熒光屏上的位置坐標(biāo)。

【參考答案】(1)1X106m/saxioms(2)與無軸平行向右(3)(3m,3m)

【詳細(xì)解析】(1)由題意可知，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡半徑R=r=0.5m,

nw~

由Bqu=K，可得粒子進(jìn)入電場時的速度為

A

。=喈=1XUX2X10-3X0.5m/s=1X106上

在磁場中運(yùn)動的時間為

__________n_______jr

h=4r=2B^=2X109X2X10-3S=4XIO"s。

(2)由粒子的軌跡半徑R=r及幾何關(guān)系可知，粒子的運(yùn)動圓軌跡和磁場圓的交點(diǎn)0、

C以及兩圓的圓心0卜。2組成菱形，CO2和y軸平行，所以粒子離開磁場時的速度。

的方向和x軸平行向右，如圖甲所示。

(3)粒子在磁場中轉(zhuǎn)過120。后從C點(diǎn)離開磁場，速度方向和x軸平行，做直線運(yùn)動,

再垂直電場線進(jìn)入電場，如圖乙所示。

2

k呼=L5X1X1091nzs2=1.5X1012m/s,

粒子穿出電場時有

l26

vy=at2=a--=1,5X10Xj^^6m/s=1.5xl0m/s,

0V1.5X106

tan。=,=]X1()6=L5,

在磁場中yi=Ml+sin0=0.5X1.5m=0.75m,

在電場中側(cè)移為

y2=2G?22=2XL5Xl0i2x(|x\ojm=0.75m,

飛出電場后粒子做勻速直線運(yùn)動

j3—Axtana=lX1.5m=1.5m,

y=yi+y2+)3=0.75m+0.75m+1.5m=3m,

則粒子打到熒光屏上的位置坐標(biāo)為(3m,3m)o

【名師點(diǎn)睛】當(dāng)帶電粒子平行射入圓形有界勻強(qiáng)磁場時，如果軌跡半徑與磁場半徑相等,

則粒子從磁場邊界上同一點(diǎn)射出，該點(diǎn)切線與入射方向平行

1.(2019年紹興市高三聯(lián)考)電子質(zhì)量為小、電荷量為e,從坐標(biāo)原點(diǎn)。處沿xQy

平面射入第一象限，射入時速度方向不同，速度大小均為⑺，如圖所示?，F(xiàn)在某一區(qū)域

加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為8,若這些電子穿過磁場后

都能垂直射到熒光屏MN上，熒光屏與y軸平行，求:

(1)熒光屏上光斑的長度；

(2)所加磁場范圍的最小面積。

mvn7t+2m喻

【答案】(1)函

【解析】(1)如圖所示，初速度沿x軸正方向的電子，沿弧。8運(yùn)動到P點(diǎn)，為熒光屏上

光斑的最高點(diǎn)，初速度沿y軸正方向的電子，沿弧OC運(yùn)動到。點(diǎn)，為熒光屏上光斑的

最低點(diǎn)，電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律得

加

e&B=

解得氏=翳

光斑長度P0=R=翳。

(2)所加磁場的最小面積是以0'為圓心、R為半徑的斜線部分，其面積大小為

3!兀+2〃??臉

S=4nR2+R?-疝/?2=2\eK)2o

2.如圖所示，長方形Hcd的長od=0.6m,寬H=0.3m,0、e分別是ad、6c的中點(diǎn)，

以e為圓心、劭為半徑的四分之一圓弧和以。為圓心、0”為半徑的四分之一圓弧組成

的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(邊界上無磁場)，磁感應(yīng)強(qiáng)度8=0.25T。一群不計

重力、質(zhì)量為"i=3X10一，kg、電荷量為q=+2X103C的帶正電粒子，以速度0=5X102

m/s沿垂直ad方向垂直射入磁場區(qū)域，則下列判斷正確的是()

A.從Od之間射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在0〃邊

B.從之間射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在加邊

C.從Od之間射入的粒子，出射點(diǎn)分布在曲邊

D.從ad之間射入的粒子，出射點(diǎn)一定是b點(diǎn)

【答案】D

nw

【解析】粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，得：r=^B=

3X1O-7X5X1Q2

2X10-3X0.25m=0.3m；因〃。=0.3m=r，從。點(diǎn)射入的粒子從2點(diǎn)射出，如圖所

示；從04之間射入的粒子，因邊界上無磁場，粒子經(jīng)圓周運(yùn)動到達(dá)be后做直線運(yùn)動，

即全部通過方點(diǎn)；從之間射入的粒子先做一段時間的直線運(yùn)動，設(shè)某一個粒子在M

點(diǎn)進(jìn)入磁場，其運(yùn)動軌跡圓圓心為0',如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系可得，四邊形O'Meb

是菱形，則粒子的出射點(diǎn)一定