2024屆上海市寶山區(qū)羅店中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆上海市寶山區(qū)羅店中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若關(guān)于x的一元二次不等式ax2+2ax+1>0A．(-∞,0)∪(1,+∞) B．(0,1) C．(-∞,0]∪(1,+∞)2．樣本中共有個(gè)個(gè)體，其值分別為、、、、.若該樣本的平均值為，則樣本的方差為（）A． B． C． D．3．若對任意的正數(shù)a，b滿足，則的最小值為A．6 B．8 C．12 D．244．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．5．若三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，，且三棱錐的體積為，則球的體積為()A． B． C． D．6．函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象大致為（）A． B． C． D．7．已知，所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．9．函數(shù)的最小值和最大值分別為()A． B． C． D．10．一個(gè)圓柱的軸截面是正方形，其側(cè)面積與一個(gè)球的表面積相等，那么這個(gè)圓柱的體積與這個(gè)球的體積之比為（）A．1：3 B．3：1 C．2：3 D．3：2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在軸上有一點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)坐標(biāo)為____________.12．在△中，三個(gè)內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，，則________13．如圖所示，梯形中，，于，，分別是，的中點(diǎn)，將四邊形沿折起（不與平面重合），以下結(jié)論①面；②；③．則不論折至何位置都有_______．14．若無窮數(shù)列的所有項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足，則______．15．若數(shù)列滿足，且，則___________.16．過點(diǎn)作直線與圓相交，則在弦長為整數(shù)的所有直線中，等可能的任取一條直線，則弦長長度不超過14的概率為______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列為遞增數(shù)列，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（3）在條件（2）下，若不等式對任意正整數(shù)n都成立，求的取值范圍.18．已知數(shù)列滿足若數(shù)列滿足：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：是等差數(shù)列.19．如圖，有一直徑為8米的半圓形空地，現(xiàn)計(jì)劃種植甲、乙兩種水果，已知單位面積種植甲水果的經(jīng)濟(jì)價(jià)值是種植乙水果經(jīng)濟(jì)價(jià)值的5倍，但種植甲水果需要有輔助光照．半圓周上的處恰有一可旋轉(zhuǎn)光源滿足甲水果生長的需要，該光源照射范圍是,點(diǎn)在直徑上，且．（1）若，求的長；（2）設(shè),求該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟(jì)價(jià)值時(shí)種植甲種水果的面積．20．已知（1）求的值；（2）求的值.21．高二數(shù)學(xué)期中測試中，為了了解學(xué)生的考試情況，從中抽取了個(gè)學(xué)生的成績（滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì).按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖（圖中僅列出得分在[50,60),[90,100]的數(shù)據(jù)）.(1)求樣本容量和頻率分布直方圖中的值；(2)在選取的樣本中，從成績是80分以上（含80分）的同學(xué)中隨機(jī)抽取3名參加志愿者活動(dòng)，所抽取的3名同學(xué)中至少有一名成績在[90,100]內(nèi)的概率．.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

由題意，得出a≠0，再分析不等式開口和判別式，可得結(jié)果.【題目詳解】由題，因?yàn)闉橐辉尾坏仁剑詀≠0又因?yàn)閍x所以a>0Δ=故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了一元二次不等式解法，利用二次函數(shù)圖形解題是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

根據(jù)樣本的平均數(shù)計(jì)算出的值，再利用方差公式計(jì)算出樣本的方差.【題目詳解】由題意可知，，解得，因此，該樣本的方差為，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查方差與平均數(shù)的計(jì)算，靈活利用平均數(shù)與方差公式進(jìn)行求解是解本題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

利用“1”的代換結(jié)合基本不等式求最值即可【題目詳解】∵兩個(gè)正數(shù)a，b滿足即a+3b=1則=當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了基本不等式求最值，巧用“1”的代換是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

補(bǔ)集：【題目詳解】因?yàn)?，所?選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了集合的運(yùn)算，需要掌握交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算。屬于基礎(chǔ)題。5、A【解題分析】

由的體積計(jì)算得高，已知將三棱錐的外接球，轉(zhuǎn)化為長2，寬2，高的長方體的外接球，求出半徑，可得答案．【題目詳解】∵，，故三棱錐的底面面積為，由平面，得，又三棱錐的體積為，得，所以三棱錐的外接球，相當(dāng)于長2，寬2，高的長方體的外接球，故球半徑，得，故外接球的體積.故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐外接球的體積，三棱錐體積公式的應(yīng)用，根據(jù)已知計(jì)算出球的半徑是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題．6、C【解題分析】

由題意，可知，即為奇函數(shù)，排除，，又時(shí)，，可排除D，即可選出正確答案.【題目詳解】由題意，函數(shù)定義域?yàn)?，且，即為奇函?shù)，排除，，當(dāng)時(shí)，，，即時(shí)，，可排除D，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，考查了函數(shù)奇偶性的運(yùn)用，屬于中檔題.7、D【解題分析】

由平面向量基本定理及單位向量可得點(diǎn)在的外角平分線上，且點(diǎn)在的外角平分線上，，，在中，由正弦定理得得解．【題目詳解】因?yàn)樗?，因?yàn)榉较驗(yàn)橥饨瞧椒志€方向，所以點(diǎn)在的外角平分線上，同理，點(diǎn)在的外角平分線上，，，在中，由正弦定理得，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量基本定理及單位向量，考查向量的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平．8、D【解題分析】

直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形為正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用恒成立問題的應(yīng)用求出結(jié)果.【題目詳解】函數(shù),由因?yàn)?，所以，即，?dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，由于在區(qū)間上恒成立，故，實(shí)數(shù)的最小值是.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了兩角和的余弦公式、輔助角公式以及三角函數(shù)的最值，需熟記公式與三角函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了不等式恒成立問題，屬于基出題9、C【解題分析】2.∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選C.10、D【解題分析】

設(shè)圓柱的底面半徑為，利用圓柱側(cè)面積公式與球的表面積公式建立關(guān)系式，算出球的半徑，再利用圓柱與球的體積公式加以計(jì)算，可得所求體積之比．【題目詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，軸截面正方形邊長，則，可得圓柱的側(cè)面積，再設(shè)與圓柱表面積相等的球半徑為，則球的表面積，解得，因此圓柱的體積為，球的體積為，因此圓柱的體積與球的體積之比為．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓柱的側(cè)面積和體積公式，以及球的表面積和體積公式的應(yīng)用，其中解答中熟記公式，合理計(jì)算半徑之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)空間兩點(diǎn)距離公式列方程求解.【題目詳解】由題：設(shè)，點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等，所以，，，解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】此題考查空間之間坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式，根據(jù)公式列方程求解點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確辨析正確計(jì)算.12、【解題分析】

利用正弦定理求解角,再利用面積公式求解即可.【題目詳解】由,因?yàn)?故,.故.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了解三角形的運(yùn)用,根據(jù)題中所給的邊角關(guān)系選擇正弦定理與面積公式等.屬于基礎(chǔ)題型.13、①②【解題分析】

根據(jù)題意作出折起后的幾何圖形，再根據(jù)線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，異面直線的判定定理等知識(shí)即可判斷各選項(xiàng)的真假．【題目詳解】作出折起后的幾何圖形，如圖所示：．因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以．而面，所以面，①正確；無論怎樣折起，始終有，所以面，即有，而，所以，②正確；折起后，面，面，且，故與是異面直線，③錯(cuò)誤．故答案為：①②．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，異面直線的判定定理等知識(shí)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

先由作差法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式為，即可計(jì)算出，然后利用常用數(shù)列的極限即可計(jì)算出的值.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，由，可得，上式下式得，得，也適合，則，.所以，.因此，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用作差法求數(shù)列通項(xiàng)，同時(shí)也考查了數(shù)列極限的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15、【解題分析】

對已知等式左右取倒數(shù)可整理得到，進(jìn)而得到為等差數(shù)列；利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式，從而求得結(jié)果.【題目詳解】，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用遞推公式求解數(shù)列通項(xiàng)公式的問題，關(guān)鍵是明確對于形式的遞推關(guān)系式，采用倒數(shù)法來進(jìn)行推導(dǎo).16、【解題分析】

根據(jù)圓的性質(zhì)可求得最長弦和最短弦的長度，從而得到所有弦長為整數(shù)的直線條數(shù)，從中找到長度不超過的直線條數(shù)，根據(jù)古典概型求得結(jié)果.【題目詳解】由題意可知，最長弦為圓的直徑：在圓內(nèi)部且圓心到的距離為最短弦長為：弦長為整數(shù)的直線的條數(shù)有：條其中長度不超過的條數(shù)有：條所求概率：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型概率問題的求解，涉及到過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦和最短弦的長度的求解；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略圓的對稱性，造成在求解弦長為整數(shù)的直線的條數(shù)時(shí)出現(xiàn)丟根的情況.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當(dāng)時(shí)：；當(dāng)時(shí)：（2）（3）【解題分析】

（1）直接利用等比數(shù)列公式得到答案.（2）利用錯(cuò)位相減法得到答案.（3）將不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)雙勾函數(shù)求數(shù)列的最大值得到答案.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：（2）數(shù)列為遞增數(shù)列，，兩式相加，化簡得到（3）設(shè)原式（為奇數(shù)）根據(jù)雙勾函數(shù)知：或時(shí)有最大值.時(shí)，原式時(shí)，原式故【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求前N項(xiàng)和，恒成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為利用雙勾函數(shù)求數(shù)列的最大值是解題的關(guān)鍵，此題綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.18、(1)(1)證明見解析【解題分析】

數(shù)列滿足，變形為，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出數(shù)列滿足：，時(shí)，，可得，化為：，可得：，相減化簡即可證明．【題目詳解】（1）數(shù)列滿足，，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為1．，．證明：數(shù)列滿足：，時(shí)，，解得．時(shí)，，可得，化為：，可得：，相減可得：，化為：，是等差數(shù)列．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1）1或3（2）【解題分析】

試題分析：（1）在中,因?yàn)?，，，所以由余弦定理，且，，所以，解得或?）該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟(jì)價(jià)值等價(jià)于種植甲種水果的面積最大，所以用表示出，再利用三角函數(shù)求最值得試題解析：（1）連結(jié)，已知點(diǎn)在以為直徑的半圓周上，所以為直角三角形，因?yàn)?，，所以，，在中由余弦定理，且，所以，解得或，?）因?yàn)?，，所以，所以，在中由正弦定理得：所以，在中，由正弦定理得：所以，若產(chǎn)生最大經(jīng)濟(jì)效益，則的面積最大，，因?yàn)椋运援?dāng)時(shí)，取最大值為，此時(shí)該地塊產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)價(jià)值最大考點(diǎn)：①解三角形及正弦定理的應(yīng)用②三角函數(shù)求最值20、(1)20，（2）【解題分析】

（1）先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos和tan的值，進(jìn)而利用二倍角公式把sin2展開，把sin和cos的值代入即可．（2）先利用誘導(dǎo)公式使=tan（﹣），再利用正切的兩角和公式展開后，把tanα的值代入即可求得答案．【題目詳解】(1)由，得，所以＝（2）∵，∴【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值的問題．要求學(xué)生能靈活運(yùn)用三角函數(shù)的基本公式．2