云南省建水縣四校2024屆數(shù)學高三第一學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

云南省建水縣四校2024屆數(shù)學高三第一學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知將函數(shù)（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若和的圖象都關于對稱，則下述四個結論：①②③④點為函數(shù)的一個對稱中心其中所有正確結論的編號是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④2．某學校組織學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為，若低于60分的人數(shù)是18人，則該班的學生人數(shù)是（）A．45 B．50 C．55 D．603．若直線與圓相交所得弦長為，則（）A．1 B．2 C． D．34．，則與位置關系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交5．如圖，雙曲線的左，右焦點分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點.若則雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．6．已知為等腰直角三角形，，，為所在平面內(nèi)一點，且，則（）A． B． C． D．7．設平面與平面相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，且則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分不必要條件8．如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積為（）A． B． C． D．9．三棱柱中，底面邊長和側棱長都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．10．已知復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A． B． C．1 D．11．已知曲線，動點在直線上，過點作曲線的兩條切線，切點分別為，則直線截圓所得弦長為（）A． B．2 C．4 D．12．設命題：，，則為A．， B．，C．， D．，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項和為,,,,則滿足的正整數(shù)的所有取值為__________．14．雙曲線的焦點坐標是_______________，漸近線方程是_______________.15．在數(shù)列中，，，曲線在點處的切線經(jīng)過點，下列四個結論：①；②；③；④數(shù)列是等比數(shù)列；其中所有正確結論的編號是______.16．在編號為1，2，3，4，5且大小和形狀均相同的五張卡片中，一次隨機抽取其中的三張，則抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)的概率為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，平面平面，側面為平行四邊形，側面為正方形，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的大小.18．（12分）已知.（1）當時，求不等式的解集；（2）若時不等式成立，求的取值范圍.19．（12分）P是圓上的動點，P點在x軸上的射影是D，點M滿足．（1）求動點M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；（2）過點的直線l與動點M的軌跡C交于不同的兩點A，B，求以OA，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點E的軌跡方程．20．（12分）已知函數(shù)（）的圖象在處的切線為（為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求的值；（2）若，且對任意恒成立，求的最大值.21．（12分）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，，，平面，，，是的中點.（Ⅰ）求證：平面平面；（ⅠⅠ）求直線與平面所成的角的正弦值.22．（10分）在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，設與交于、兩點，中點為，的垂直平分線交于、.以為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立直角坐標系.（1）求的直角坐標方程與點的直角坐標；（2）求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

首先根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則表示出，再根據(jù)對稱性求出、，即可求出的解析式，從而驗證可得；【詳解】解：由題意可得，又∵和的圖象都關于對稱，∴，∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，，∴①③④正確，②錯誤.故選：B【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質的應用，三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎題.2、D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率＝小矩形的高×組距計算成績低于60分的頻率，再根據(jù)樣本容量求出班級人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴樣本容量（即該班的學生人數(shù)）是60（人）.故選：D.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，也考查了頻率的應用問題，屬于基礎題3、A【解析】

將圓的方程化簡成標準方程,再根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標準方程,圓心坐標為,半徑為,因為直線與圓相交所得弦長為,所以直線過圓心,得,即.故選：A【點睛】本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法,屬于基礎題.4、D【解析】結合圖(1)，(2)，(3)所示的情況，可得a與b的關系分別是平行、異面或相交．選D．5、A【解析】

易得，過B作x軸的垂線，垂足為T，在中，利用即可得到的方程.【詳解】由已知，得，過B作x軸的垂線，垂足為T，故，又所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率問題，在作雙曲線離心率問題時，最關鍵的是找到的方程或不等式，本題屬于容易題.6、D【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標系，結合向量的坐標運算，可求得點的坐標，進而求得，由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系，則，，，由，易得，則.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的運用、數(shù)量積的運算，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.7、A【解析】

試題分析：α⊥β，b⊥m又直線a在平面α內(nèi)，所以a⊥b，但直線不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件，故選A.考點：充分條件、必要條件.8、A【解析】

由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1．再由球與圓柱體積公式求解．【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1．則幾何體的體積為．故選：．【點睛】本題主要考查由三視圖求面積、體積，關鍵是由三視圖還原原幾何體，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．9、B【解析】

設，，，根據(jù)向量線性運算法則可表示出和；分別求解出和，，根據(jù)向量夾角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值.【詳解】設棱長為1，，，由題意得：，，，又即異面直線與所成角的余弦值為：本題正確選項：【點睛】本題考查異面直線所成角的求解，關鍵是能夠通過向量的線性運算、數(shù)量積運算將問題轉化為向量夾角的求解問題.10、D【解析】

根據(jù)復數(shù)z滿足，利用復數(shù)的除法求得，再根據(jù)復數(shù)的概念求解.【詳解】因為復數(shù)z滿足，所以，所以z的虛部為.故選：D.【點睛】本題主要考查復數(shù)的概念及運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.11、C【解析】

設，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，進而得到切線方程，將點坐標代入切線方程，抽象出直線方程，且過定點為已知圓的圓心，即可求解.【詳解】圓可化為.設，則的斜率分別為，所以的方程為，即，，即，由于都過點，所以，即都在直線上，所以直線的方程為，恒過定點，即直線過圓心，則直線截圓所得弦長為4.故選:C.【點睛】本題考查直線與圓位置關系、直線與拋物線位置關系，拋物線兩切點所在直線求解是解題的關鍵，屬于中檔題.12、D【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結果即可.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題：，，則為：，.故本題答案為D.【點睛】本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關系，是基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、20,21【解析】

由題意知數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,則根據(jù)為奇數(shù)和為偶數(shù)分別算出求和公式,代入數(shù)值檢驗即可.【詳解】解:由題意知數(shù)列的奇數(shù)項構成公差為的等差數(shù)列,偶數(shù)項構成公比為的等比數(shù)列,則;.當時,,.當時,,.由此可知,滿足的正整數(shù)的所有取值為20,21.故答案為:20,21【點睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項與求和公式,是綜合題,分清奇數(shù)項和偶數(shù)項是解題的關鍵.14、【解析】

通過雙曲線的標準方程，求解，，即可得到所求的結果．【詳解】由雙曲線，可得，，則，所以雙曲線的焦點坐標是，漸近線方程為：．故答案為：；．【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單性質的應用，考查了運算能力，屬于容易題．15、①③④【解析】

先利用導數(shù)求得曲線在點處的切線方程，由此求得與的遞推關系式，進而證得數(shù)列是等比數(shù)列，由此判斷出四個結論中正確的結論編號.【詳解】∵，∴曲線在點處的切線方程為，則.∵，∴，則是首項為1，公比為的等比數(shù)列，從而，，.故所有正確結論的編號是①③④.故答案為：①③④【點睛】本小題主要考查曲線的切線方程的求法，考查根據(jù)遞推關系式證明等比數(shù)列，考查等比數(shù)列通項公式和前項和公式，屬于基礎題.16、【解析】

先求出所有的基本事件個數(shù)，再求出“抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)”這一事件包含的基本事件個數(shù)，利用古典概型的概率計算公式即可算出結果.【詳解】一次隨機抽取其中的三張，所有基本事件為：1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；共有10個，其中“抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)”包含6個基本事件，因此“抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)”的概率為：.故答案為：.【點睛】本題考查了古典概型及其概率計算公式，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）連接，交與，連接，由，得出結論；（2）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用夾角公式求出即可.【詳解】（1）連接，交與，連接，在中，，又平面，平面，所以平面；（2）由平面平面，，為平面與平面的交線，故平面，故，又，所以平面，以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，，，，，，，設平面的法向量為，，，由，得，平面的法向量為，由，故二面角的大小為.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）【解析】分析：(1)將代入函數(shù)解析式，求得，利用零點分段將解析式化為，然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式的解集為；(2)根據(jù)題中所給的，其中一個絕對值符號可以去掉，不等式可以化為時，分情況討論即可求得結果.詳解：（1）當時，，即故不等式的解集為．（2）當時成立等價于當時成立．若，則當時；若，的解集為，所以，故．綜上，的取值范圍為．點睛：該題考查的是有關絕對值不等式的解法，以及含參的絕對值的式子在某個區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，需要會用零點分段法將其化為分段函數(shù)，從而將不等式轉化為多個不等式組來解決，關于第二問求參數(shù)的取值范圍時，可以應用題中所給的自變量的范圍，去掉一個絕對值符號，之后進行分類討論，求得結果.19、（1）點M的軌跡C的方程為，軌跡C是以，為焦點，長軸長為4的橢圓（2）【解析】

（1）設，根據(jù)可求得，代入圓的方程可得所求軌跡方程；根據(jù)軌跡方程可知軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓；（2）設，與橢圓方程聯(lián)立，利用求得；利用韋達定理表示出與，根據(jù)平行四邊形和向量的坐標運算求得，消去后得到軌跡方程；根據(jù)求得的取值范圍，進而得到最終結果.【詳解】（1）設，則由知：點在圓上點的軌跡的方程為：軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓（2）設，由題意知的斜率存在設，代入得：則，解得：設，，則四邊形為平行四邊形又∴，消去得：頂點的軌跡方程為【點睛】本題考查圓錐曲線中的軌跡方程的求解問題，關鍵是能夠利用已知中所給的等量關系建立起動點橫縱坐標滿足的關系式，進而通過化簡整理得到結果；易錯點是求得軌跡方程后，忽略的取值范圍.20、(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】（1）對求導得，根據(jù)函數(shù)的圖象在處的切線為，列出方程組，即可求出的值；（2）由（1）可得，根據(jù)對任意恒成立，等價于對任意恒成立，構造，求出的單調性，由，，，，可得存在唯一的零點，使得，利用單調性可求出，即可求出的最大值.（1），.由題意知.（2）由（1）知：，∴對任意恒成立對任意恒成立對任意恒成立.令，則.由于，所以在上單調遞增.又，，，，所以存在唯一的，使得，且當時，，時，.即在單調遞減，在上單調遞增.所以.又，即，∴.∴.∵，∴.又因為對任意恒成立，又，∴.點睛：利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構造函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題.21、(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)．【解析】試題分析：（Ⅰ）連接交于，得，所以面，又，得面，即可利用面面平行的判定定理，證得結論