章解三角形復習提升

章末復習提升網絡構建

要點聚焦內容索引網絡構建形成體系1要點聚焦

類型突破2要點一利用正弦、余弦定理解三角形1.已知三角形的任意兩個角和一邊，可結合三角形內角和定理及正弦定理解此三角形.2.已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，這個三角形解的情況是不確定的.如已知△ABC的邊長a，b和角A，根據(jù)正弦定理求角B時，可能出現(xiàn)一解、兩解、無解的情況，這時應借助已知條件進行檢驗，務必做到不漏解、不多解.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.解在△ABC中，由正弦定理得，代入數(shù)據(jù)化簡得：b2－9b＋20＝0，∴b＝4或b＝5.若b＝4，而在△ABC中，a＝4，∴△ABC為等腰三角形，且A＝B，又C＝2A，且A＋B＋C＝180°，這與已求出的c＝6相矛盾，故要舍去.經檢驗b＝5滿足題意.綜上，b的值為5.要點二利用正弦、余弦定理解決三角形面積問題求三角形的面積需知道三角形的邊及角，因此求三角形的面積與正、余弦定理的應用密切相關，常見的三角形面積公式有以下幾種：辨析，判斷正誤所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，(1)求B；又0°<B<180°，所以B＝60°.(2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍.又由(1)知A＋C＝120°，由于△ABC為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.要點三正弦、余弦定理在實際問題中的應用正、余弦定理在實際生活中，有著非常廣泛的應用，常見的問題涉及距離、高度、角度以及平面圖形的面積等很多方面.解決這類問題，關鍵是根據(jù)題意畫出示意圖，將問題抽象為三角形的模型，然后利用正、余弦定理求解.注意隱含條件和最后將結果還原為實際問題進行檢驗.【例3】

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v

海里/時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇.(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？解設相遇時小艇航行的距離為s海里，(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/時，試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由.解設小艇與輪船在B處相遇.則v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，∵0<v≤30，此時，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20.故可設計航行方案如下：航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/時.【訓練3】

為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量.A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(如圖).飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離.請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標出)；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟.解①需要測量的數(shù)據(jù)有：從A點觀測M，N點的俯角α1，β1，從B點觀測M，N點的俯角α2，β2；A，B間的距離d(如圖所示).第二步：計算AN.在△ABN中，由正弦定理得第三步：計算MN.在△AMN中，由余弦定理得法二第一步：計算BM.在△ABM中，由正弦定理得第二步：計算BN.在△ABN中，由正弦定理得第三步：計算MN.在△BMN中，由余弦定理得要點四利用正、余弦定理判斷三角形形狀根據(jù)已知條件(通常是含有三角形的邊和角的等式或不等式)判斷三角形的形狀時，一般有以下兩種途徑：將已知條件統(tǒng)一化成邊的關系，用代數(shù)方法求解；將已知條件統(tǒng)一化成角的關系，用三角知識求解.【例4】

在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，試判斷△ABC的形狀.解

法一由正弦定理及已知得2sinB＝sinA＋sinC，∵B＝60°，∴A＋C＝120°，∴2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC，∴sin(C＋30°)＝1.∵0<C<120°，∴C＋30°＝90°，∴C＝60°，∴A＝60°，∴△ABC為等邊三角形.∴(a－c)2＝0，∴a＝c，又B＝60°，∴△ABC為等邊三角形.∴sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B，∵B，C均為△ABC內角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°，即B＝C或B＋C＝90°，∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.要點五正、余弦定理與其它知識的綜合對于正、余弦定理的綜合問題，首先要熟練使用正、余弦定理，其次要根據(jù)條件，合理選用三角函數(shù)公式，達到簡化問題的目的.利用正、余弦定理解三角形問題時，常與平面向量、三角恒等變換等知識結合給出問題的條件，這些知識的加入，一般只起“點綴”作用.設角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則a