2024屆天津市寶坻區(qū)普通高中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆天津市寶坻區(qū)普通高中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知向量、的夾角為，，，則（）A． B． C． D．2．若在是減函數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．3．某數(shù)學(xué)競賽小組有3名男同學(xué)和2名女同學(xué)，現(xiàn)從這5名同學(xué)中隨機選出2人參加數(shù)學(xué)競賽（每人被選到的可能性相同）.則選出的2人中恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的概率為（）A． B． C． D．4．設(shè)函數(shù),，其中,.若，且的最小正周期大于，則（）A．, B．,C．, D．,5．設(shè)的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，其外接圓半徑為2，且有，則三角形的面積為（）A． B． C．或 D．或6．若,,則的終邊所在的象限為()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限7．在△ABC中，三個頂點分別為A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），點P（x，y）在△ABC的內(nèi)部及其邊界上運動，則y﹣x的最小值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．38．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，則△ABC的形狀為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則角=（）A． B． C． D．10．設(shè)，則下列不等式中正確的是()A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的反函數(shù)為__________.12．用數(shù)學(xué)歸納法證明時，從“到”，左邊需增乘的代數(shù)式是___________.13．已知，則______.14．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若，則S5=____________．15．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體的所有棱長和為_______.16．如圖是一個三角形數(shù)表，記，，…，分別表示第行從左向右數(shù)的第1個數(shù)，第2個數(shù)，…，第個數(shù)，則當(dāng)，時，______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前項和為，.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.18．在等差數(shù)列中，為其前項和()，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項為，證明：19．已知都是第二象限的角，求的值。20．在中，角，，所對的邊分別是，，，且.（1）求角；（2）若，求.21．如圖，在四棱錐中，，，，，，，分別為棱，的中點.（1）證明：平面.（2）證明：平面平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

利用平面向量數(shù)量積和定義計算出，可得出結(jié)果.【題目詳解】向量、的夾角為，，，則．故選：B．【題目點撥】本題考查利用平面向量的數(shù)量積來計算平面向量的模，在計算時，一般將模進行平方，利用平面向量數(shù)量積的定義和運算律進行計算，考查計算能力，屬于中等題.2、A【解題分析】

分析：先確定三角函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)集合包含關(guān)系確定的最大值.詳解：因為，所以由得因此，從而的最大值為，選A.點睛：函數(shù)的性質(zhì)：(1).(2)周期(3)由求對稱軸，(4)由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.3、A【解題分析】

把5名學(xué)生編號，然后寫出任取2人的所有可能，按要求計數(shù)后可得概率．【題目詳解】3名男生編號為，兩名女生編號為，任選2人的所有情形為：，，共10種，其中恰有1名男生1名女生的有共6種，所以所求概率為．【題目點撥】本題考查古典概型，方法是列舉法．4、B【解題分析】

根據(jù)周期以及最值點和平衡位置點先分析的值，然后帶入最值點計算的值.【題目詳解】因為，，所以，則，所以，即，故；則，代入可得：且，所以.故選B.【題目點撥】（1）三角函數(shù)圖象上，最值點和平衡位置的點之間相差奇數(shù)個四分之一周期的長度；（2）計算的值時，注意選用最值點或者非特殊位置點，不要選用平衡位置點（容易多解）.5、C【解題分析】

的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，可得角A、C的關(guān)系，將已知條件中角C消去，利用三角函數(shù)和差角公式展開即可求出角A的值，再由三角形面積公式即可求得三角形面積.【題目詳解】的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，則，解得，所以，所以，整理得，則或，因為，解得或.①當(dāng)時，；②當(dāng)時，，故選C.【題目點撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、等差數(shù)列性質(zhì)、三角函數(shù)和差角公式、三角函數(shù)輔助角公式，綜合性較強，屬于中檔題；解題中主要是通過消元構(gòu)造關(guān)于角A的三角方程，其中利用三角函數(shù)和差角公式和輔助角公式對式子進行化解是解題的關(guān)鍵.6、B【解題分析】由一全正二正弦三正切四余弦可得的終邊所在的象限為第二象限，故選B.考點：三角函數(shù)7、B【解題分析】

根據(jù)線性規(guī)劃的知識求解．【題目詳解】根據(jù)線性規(guī)劃知識，的最小值一定在的三頂點中的某一個處取得，分別代入的坐標(biāo)可得的最小值是．故選B．【題目點撥】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】

用正弦定理化邊為角，再由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式化簡變形可得．【題目詳解】∵a﹣b＝ccosB﹣ccosA，∴，∴,∴，∴或，∴或，故選：D.【題目點撥】本題考查正弦定理，考查三角形形狀的判斷．解題關(guān)鍵是誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．9、A【解題分析】

由正弦定理可解得，利用大邊對大角可得范圍，從而解得A的值．【題目詳解】，由正弦定理可得：，，由大邊對大角可得：，解得：．故選A．【題目點撥】本題主要考查了正弦定理，大邊對大角，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識的應(yīng)用，解題時要注意分析角的范圍．10、B【解題分析】

取，則，，只有B符合．故選B．考點：基本不等式．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由得，即，把與互換即可得出【題目詳解】由得所以把與互換，可得故答案為：【題目點撥】本題考查的是反函數(shù)的求法，較簡單.12、.【解題分析】

從到時左邊需增乘的代數(shù)式是，化簡即可得出．【題目詳解】假設(shè)時命題成立，則，當(dāng)時，從到時左邊需增乘的代數(shù)式是．故答案為：.【題目點撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．13、【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計算可得.【題目詳解】解：，故答案為：【題目點撥】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，齊次式的計算，屬于基礎(chǔ)題.14、.【解題分析】

本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計算得到．題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，所以所以．【題目點撥】準(zhǔn)確計算，是解答此類問題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運算、繁分式分式計算，部分考生易出現(xiàn)運算錯誤．15、【解題分析】

取半正多面體的截面正八邊形，設(shè)半正多面體的棱長為，過分別作于，于，可知，，可求出半正多面體的棱長及所有棱長和.【題目詳解】取半正多面體的截面正八邊形，由正方體的棱長為1，可知，易知，設(shè)半正多面體的棱長為，過分別作于，于，則，，解得，故該半正多面體的所有棱長和為.【題目點撥】本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)，考查了空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.16、【解題分析】

由圖表，利用歸納法，得出，再利用疊加法，即可求解數(shù)列的通項公式.【題目詳解】由圖表，可得，，，，，可歸納為，利用疊加法可得：，故答案為.【題目點撥】本題主要考查了歸納推理的應(yīng)用，以及數(shù)列的疊加法的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)圖表，利用歸納法，求得數(shù)列的遞推關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由遞推公式，再遞推一步，得，兩式相減化簡得，可以判斷數(shù)列是等差數(shù)列，進而可以求出等差數(shù)列的通項公式;（2）根據(jù)（1）和對數(shù)的運算性質(zhì)，用裂項相消法可以求出數(shù)列的前項和.【題目詳解】解：（1）由知所以，即，從而所以，數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列又可得，綜上所述，故.（2）由（1）可知，故，綜上所述，所以，故而所以.【題目點撥】本題考查了已知遞推公式求數(shù)列通項公式問題，考查了等差數(shù)列的判斷以及等差數(shù)列的通項公式，考查了用裂項相消法求數(shù)列前項和問題，考查了數(shù)學(xué)運算能力.18、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程組，可得首項和公差，即可得到所求通項；（2）化簡，再利用裂項相消求數(shù)列的和，化簡整理，即可證得．【題目詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差是，由，，得解得，，∴.（2）由（1）知，，∴，，因為，則成立.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項公式的求法，也考查了裂項相消求和求數(shù)列的和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．19、；【解題分析】

根據(jù)所處象限可確定的符號，利用同角三角函數(shù)關(guān)系可求得的值；代入兩角和差正弦和余弦公式可求得結(jié)果.【題目詳解】都是第二象限的角，，【題目點撥】本題考查利用兩角和差正弦和余弦公式求值的問題；關(guān)鍵是能夠根據(jù)角所處的范圍和同角三角函數(shù)關(guān)系求得三角函數(shù)值.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用正弦定理化簡即得；（2）由正弦定理得，再結(jié)合余弦定理可得.【題目詳解】解：（1）由正弦定理得：，又，，得.（2）由正弦定理得：，又由余弦定理：，代入，可得.【題目點撥】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21、（1）見解析（2）見解析【解題分析】

（1）由勾股定理得，已知，故得證；（2