函數(shù)的應用（一）（備作業(yè)）2021-2022學年高一數(shù)學系列（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

3.4函數(shù)的應用（一）

一、單選題

1.（2021?全國高一課前預習）下面是一幅統(tǒng)計圖，根據(jù)此圖得到的以下說法中，正確的個數(shù)是（）

①這幾年生活水平逐年得到提高；

②生活費收入指數(shù)增長最快的一年是2014年；

③生活價格指數(shù)上漲速度最快的一年是2015年；

④雖然2016年生活費收入增長緩慢，但生活價格指數(shù)也略有降低，因而生活水平有較大的改善.

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【分析】

認真觀察圖形就可以判斷.

【詳解】

由圖知，"生活費收入指數(shù)"減去"生活價格指數(shù)”的差是逐年增大的，故①正確；

"生活費收入指數(shù)”在2014~2015年最陡：故②正確；

"生活價格指數(shù)”在2015~2016年最平緩，故③不正確；

"生活價格指數(shù)"略呈下降，而"生活費收入指數(shù)"呈上升趨勢，故④正確.

故選：C.

2.（2021?全國高一課時練習）某公司今年銷售一種產(chǎn)品，一月份獲得利潤10萬元，由于產(chǎn)品暢銷，

利潤逐月增加，第一季度共獲利42萬元，已知二月份和三月份利潤的月增長率相同.設(shè)二、三月份利潤

的月增長率為X,貝口滿足的方程為。

A.10(1+x)2=42

B.10+10(l+x)2=42

C.10+10(l+x)+10(l+2x)=42

D.10+10(1+x)+10(1+x)2=42

【答案】D

【分析】

分別求出二、三份的利潤再求和即可.

【詳解】

二、三月份利潤的月增長率為x,

則二月份獲得利潤為10<l+x)萬元，三月份獲得利潤為10<+幻2萬元，

依題意得：10+10(1+X)+10(1+X)2=42.

故選：D.

3.(2021?全國高一課前預習)某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系,

如圖所示，由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量時的收入是。

A.310元B.300元

C.390元D.280元

【答案】B

【分析】

利用已知條件列方程，化簡求得正確選項.

【詳解】

5—8001300—800⑺/口2八八

依題意，=———,解得y=3oo.

0—12—1

故選：B

4.（2021?全國高一課前預習）已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內(nèi)的價格走勢如圖所示.假設(shè)某商

人持有資金120萬元，他可以在h至t4的任意時刻買賣這兩種商品，且買賣能夠立即成交（其他費用忽

略不計）.如果他在口時刻賣出所有商品，那么他將獲得的最大利潤是。

A.40萬元B.60萬元

C.80萬元D.120萬元

【答案】D

【分析】

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，分析可得ti時刻買入甲，t2時刻賣出，可獲得40（萬元），此時全部買入乙，并在時

刻全部賣出，即可求得獲得最大利潤，即可得答案.

【詳解】

甲6元時，該商人全部買入甲商品，可以買120+6=20（萬份），在t2時刻全部賣出，此時獲利20x2=40（萬

元），

乙4元時，該商人買入乙商品，可以買（120+40）+4=40（萬份），在t4時刻全部賣出，此時獲利40x2=80（萬

元），共獲利40+80=120（萬元）.

故選：D

5.（2021?全國高一專題練習）某公司在甲、乙兩地同時銷售一種品牌車，銷售K輛該品牌車的利潤（單

位：萬元）分別為。=-丁+2卜和心=2x.若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤為（）

A.90萬元B.60萬元C.120萬元D.120.25萬元

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意建立相應的函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題求解即可.

【詳解】

設(shè)公司在中地銷售X輛，則在乙地銷售（15-x）輛，公司獲利為

L=-x2+21x+2（15-x）=-x2+19x+30=-fx-y^|+30+*,.,.當x=9或10時，L最大,為120萬元.

故選C.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)模型的實際應用，利用數(shù)學知識建立相應的函數(shù)模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，

注意實際問題背景下的自變量取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2020?江蘇省宜興中學高三月考）某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，

據(jù)監(jiān)測，服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間，（小時）之間近似滿足如圖所示的曲線.據(jù)

進一步測定，每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療疾病有效，則服藥一次治療該疾病有效的

時間為（）

7

A.4小時B.4d小時

O

C.4”?小時D.5小時

16

【答案】C

【分析】

根據(jù)圖像求出函數(shù)的解析式，再將函數(shù)值0.25代入函數(shù)解析式，構(gòu)造不等式/（。20.25,可以求出每

毫升血液中含藥量不少于0.25微克的起止時刻，它們之間的差值為服藥一次治療疾病的有效時間.

【詳解】

由題意，當0341時，函數(shù)圖象是一個線段，由于過原點與點（1,4）,故其解析式為y=4f,0</<1;

當d1時，函數(shù)的解析式為y=（g「，此時M（l,4）在曲線上，將此點的坐標代入函數(shù)解析式得4=（g「

解得。=3,故函數(shù)的解析式為y=,

4r(0</<l)4/>0.25

所以y=〃f)=,,r(-)，令/⑺N0.25,即(1丫3

一NU.ZJ

t>—1115

解得一16,二774r45二服藥一次治療疾病有效的時間為5-二=4啟個小時.

1<5161616

故選：C.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查了函數(shù)模型的選擇與應用，以及分段函數(shù)求解析式及解指數(shù)不等式，利用函數(shù)

圖像求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，考查學生的計算能力，屬于一般題.

7.（2021?全國高一課前預習）新冠肺炎疫情防控中，核酸檢測是新冠肺炎確診的有效快捷手段.某

醫(yī)院在成為新冠肺炎核酸檢測定點醫(yī)院并開展檢測工作的第"天，每個檢測對象從接受檢測到檢測報

告生成平均耗時《〃）（單位：小時）大致服從的關(guān)系為［〃）=；?、M為常數(shù)）.已知第16

—/旦=，〃2N。

天檢測過程平均耗時為16小時，第64天和第67天檢測過程平均耗時均為8小時，那么可得到第49天檢

測過程平均耗時大致為。

A.16小時B.11小時C.9小時D.8小時

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意求得和的值，然后計算出《49）的值即可得解.

【詳解】

由第64天和第67天檢測過程平均耗時均為8小時知，16<乂，

所以%=16,得r°=64.

ylo

646464

又由西^=8知，N°=64,所以當〃=49時，，(49)=痛=亍=9,

故選：C.

【點睛】

本題考查分段函數(shù)模型的應用，求出為和乂的值是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.

8.(2020?全國高一課時練習)如圖,將一張邊長為1的正方形紙A8CO折疊,使得點8始終落在邊上,

則折起的部分的面積最小值為

A—B-C—D—

4852

【答案】B

【分析】

設(shè)AB'=x,可證明Rt^MRN=Rt^B'AB,從而可求=；(l+x)、C'N=；(x-l),從

而可得所求梯形MN”的面積表達式為$=m，從而可求其最小值.

【詳解】

如圖，

過N作與R,則/W=8C=1,連BB',交MN于。，

則由折疊知，VMBQ與MQ關(guān)于直線MN對稱，即AMBQ=^MB'Q,

有BQ=B'Q,MB=MB',MQ^BB',

■;ZA=ZMQB,NABQ=NABB',：,aMQB"AB,

ABfABBB1

設(shè)AS'=x,則BB'=71+X2，BQ=gjl+f,

代入上式得：BM=B'M=^(l+x2),

■：NMNR+NBMQ=90°,ZABB'+ZBMQ=90°,

AMNR=ZABB',在RaMRN和RhB'AB中，

ZMNR=NABB'

:<RN=AB,/.Rt^MRN^Rt^B'AB,：.MR=AB'=x,

NA=ZNRM=90°

?C'N=CN=BR=MB-MR=^[\+X2)-X=-(X-1)2,

???梯形MNCE的面積為

S=3*-1)2+*”X1=*2-Z)TD+r

13

得當X=:時，梯形面積最小，其最小值I

28

故選：B.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定、二次函數(shù)的最值、全等三角形的判定和性質(zhì)及翻轉(zhuǎn)變換，是一道綜合

題，有一定的難度，先證明AMQ8~A8A8,再利用相似三角形的性質(zhì)得出C7V的長，再表示出求出梯

形MNCB'面積，進而求出最小值.

二、多選題

9.(2021?全國高一課時練習)已知每生產(chǎn)100克餅干的原材料加工費為1.8元，某食品加工廠對餅干

采用兩種包裝，其包裝費用、銷售價格如表所示：

型號小包裝大包裝

質(zhì)量100克300克

包裝費0.5元0.7元

銷售價格3.00元8.4元

則下列說法正確的是。

A.買小包裝實惠

B.買大包裝實惠

C.賣3小包比賣1大包盈利多

D.賣1大包比賣3小包盈利多

【答案】BD

【分析】

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可換算出每100克的售價，比較即可判斷A、B的正誤；分別算出賣1大包的盈利和賣

3小包的盈利，比較即可判斷C、D的正誤，即可得答案.

【詳解】

大包裝300克8.4元，則等價為100克2.8元，小包裝100克3元，則買大包裝實惠，故B正確，

賣1大包的盈利8.407-1.8x3=2.3（元）,賣1小包盈利305-1.8=0.7（元），則賣3小包盈利0.7x3=2.1（元），

則賣1大包比賣3小包盈利多，故D正確.

故選：BD

10.（2020?全國高三專題練習）某單位準備印制一批證書，現(xiàn)有兩個印刷廠可供選擇，甲廠費用分為

制版費和印刷費兩部分，先收取固定的制版費，再按印刷數(shù)量收取印刷費，乙廠直接按印刷數(shù)量收取

印刷費，甲廠的總費用必（千元）乙廠的總費用丫2（千元）與印制證書數(shù)量X（千個）的函數(shù)關(guān)系圖

分別如圖中甲、乙所示，則。

A.甲廠的制版費為1千元，印刷費平均每個為0.5元

B.甲廠的費用H與證書數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為乂=0.5x+l

C.當印制證書數(shù)量不超過2千個時，乙廠的印刷費平均每個為1.5元

D.當印制證書數(shù)量超過2千個時，乙廠的總費用力與證書數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為%=；》+1

E.若該單位需印制證書數(shù)量為8千個，則該單位選擇甲廠更節(jié)省費用

【答案】ABCD

【分析】

對于A、B結(jié)合圖像便可看出》是關(guān)于x的一次函數(shù)，從圖中可以觀察出甲廠的制版費為1「元，一次

函數(shù)的斜率為0.5即為證書的單價；

對于C,用2到6千個的費用除以證件個數(shù)計算即可得解；

對于D,設(shè)函數(shù)解析式后用待定系數(shù)法解答即可：

對于E,分別求出甲乙兩車的費用N關(guān)于證書個數(shù)x的函數(shù)，將x=8分別代入兩個函數(shù)，可得出選項乙

廠可省500元；

【詳解】

由題圖知甲廠制版費為1千元，印刷費平均每個為0.5元，故A正確；

甲廠的費用M與證書數(shù)量x滿足的函數(shù)關(guān)系為％=0.5x+l,故B正確；

當印制證書數(shù)量不超過2千個時，乙廠的印刷費平均每個為3+2=1.5元，故C正確；

易知當x>2時，力與x之間的函數(shù)關(guān)系式為%=；x+|,故D正確

159

當x=8時，yi=0.5x8+l=5,y2=^-x8+j=|,因為所以當印制8千個證書時，選擇乙廠更節(jié)

省費用，故E不正確.

故選ABCD

【點睛】

本題考查圖像辨析題，需分別求出兩個函數(shù)表達式，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題

11.(2021?全國高一課時練習)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情

況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時)是關(guān)于車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù).當橋上的車

流密度達到200輛/千米，造成阻塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過2()輛/千米時，車流速度為

60千米/時，研究表明，當20VxM200時，車流速度v是車流密度X的一次函數(shù).

(1)當0VXV200時,求函數(shù)v(x)的表達式；

(2)當車流密度尤為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/時)

/(x)=x-n(x)可以達到最大？并求出最大值.(結(jié)果精確到1輛/時)

60,0<x<20

【答案】(1)v(x)=]i；(2)x-100,最大值為3333.

-(200-x),20<x<200

【分析】

(1)分兩段進行討論，當04xW20時，容易得到答案，當20<x4200時，設(shè)出函數(shù)解析式，再將點(200,0)

和(20,60)代入解出即可;

(2)由(1)寫出函數(shù)解析式，分兩段分別求出函數(shù)的最大值，進而得到答案.

【詳解】

(1)由題意得，當04xM20時，v(x)=60,

[200a+/?=0

當20<xW200時，設(shè)v(x)=or+6,由已知得”,加，

20。+。=60

1

a=—60,0<x<20

3

解得,故函數(shù)v(x)=<^1(200-x),20<x<200

f200

3

60x,0<x<20

（2）依題意得,?。?卜（2。。-02。</2。。,

當xc[0,20]時，/（x）為增函數(shù)，此時，047（x）41200,

111nnnn

當xe(20,200］時，/(x)=y(200-幻=-爐-100)2+,

最大值為/(100)=外9>1200,

.?.當x=100時?，/(X)的最大值為岑也=3333.

12.（2020?江蘇）黨中央、國務院對節(jié)能減排高度重視，各地區(qū)、各部門認真貫徹黨中央、國務院關(guān)

于"十三五”節(jié)能減排的決策部署，把節(jié)能減排作為轉(zhuǎn)換發(fā)展方式，經(jīng)濟提質(zhì)增效，建設(shè)生態(tài)文明的重

要抓手，取得重要進展.新能源汽車環(huán)保、節(jié)能、以電代油，減少排放，既符合我國國情，也代表了汽

車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向.為了響應國家節(jié)能減排的號召，2020年常州某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備,

通過市場分析：全年需投入固定成本2500萬元.每生產(chǎn)x（百輛）新能源汽車，需另投入成本C（x）萬

I0X2+500A:,0<X<40

元，且C（x）=10000心.由市場調(diào)研知，每輛車售價9萬元，且生產(chǎn)的車輛當年能全部

901x+------4300,%>40

.x

銷售完.

（1）請寫出2020年的利潤“X）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量、（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤=銷售一成本）

（2）當2020年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.

-10x2+400x-2500,0<x<40

【答案】（1）如）=1。。++等）,x“。：⑵當2。20年生產(chǎn)1。0百輛時,該企業(yè)獲得利

潤最大利潤為1600萬元.

【分析】

（1）由投入成本為分段函數(shù)，可得以利潤“X）也分0<x<40、x240兩種情況進行討論即可；（2）

當0<x<40時，Z（X）=-10（X-20）2+1500,利用二次函數(shù)求最值的思路即可，當x240時，利用基本不

等式即可.

【詳解】

（1）當0<x<40時，￡（X）=9X100X-10X2-500X-2500=-102+400X-2500；

當玲10時，"x）=9xl00x-901x-如也+4300-2500=1800-1+幽斗

-10f+400%-2500,0<x<40

所以“%）=?一

1800.x+,x>40

（2）當0<x<40時，L（X）=-I0（X-20）2+I500,

當x=20時，￡（%）_=15（X）；

10000<1800-2jx-^^=1800-200=1600.

當x240時,L（x）nm=1500%>40L（x）=1800-x+--------

X

（當且僅當尤=色”即x=100時，"="成立）

X

因為1600>1500

所以,當x=100時,即2020年生產(chǎn)100百輛時,該企業(yè)獲得利潤最大，且最大利潤為1600萬元.

答：（1）2020年的利潤L"）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式為

-10x2+400x-2500,0<x<40

L（x）=\（10000、

''1800-1x+--------l,x>40

（2）當x=100時，即2020年生產(chǎn)100百輛時，該企業(yè)獲得利潤最大，且最大利潤為1600萬元.

【點睛】

本題關(guān)鍵點在能夠讀懂題意，明確利潤也分0<x<40、x，40兩種情況進行討論.

13.(2020?全國高一課時練習)用清水洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥，用水越多，洗掉的農(nóng)藥量也越多，

但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上現(xiàn)作如下假定：用了單位的水清洗次后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗

前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù)Ax)=Jr.

2+x

(1)(i)試解釋/⑼與f。)的實際意義；

(ii)寫出函數(shù)/(x)應該滿足的條件和具有的性質(zhì)；

(2)現(xiàn)有4(“>0)單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次.哪種方案清洗后

蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少？請說明理由.

【答案】(1)(i)詳見解析(ii)詳見解析(2)答案不唯一，具體見解析

【分析】

(1)(i)結(jié)合題意理解即可說出具體意義；

(ii)可結(jié)合生活實際和函數(shù)表達式特征加以理解農(nóng)藥殘留肯定越來越少，第二個特點是農(nóng)藥始終會

有殘留；

2U/64

(2)需根據(jù)題意表示出一次清洗的農(nóng)藥殘留量叫,和分兩次清洗的農(nóng)藥殘留量嗎==(8+*2，

通過作差法，再結(jié)合分類討論思想，可進一步確定農(nóng)藥殘留的多少

【詳解】

解：(1)(i)/(0)=1,表示沒有用水清洗時，蔬菜上的農(nóng)藥量為1.

.八1)=；2，表示用1個單位的水清洗時，可清除蔬菜上殘留的農(nóng)藥的;2.

(ii)函數(shù)fa)在［0,+8)上單調(diào)遞減,并且有0</(x)4L

（2）設(shè)清洗前蔬菜上的農(nóng)藥量為1,用〃單位量的水清洗1次后，殘留的農(nóng)藥量為”,則

叱=1x/（a）=—.

2+。

如果用7單位的水清洗1次，則殘留的農(nóng)藥量為1x/傳］=士，

2\2/o+Cl

然后再用］單位的水清1次后，殘留的農(nóng)藥量為叱=/21］）=滯干.

2642a2（a2-16）

由于叱-嗎=丁三-7—中=;一為一（，所以，叱一嗎的符號由“2-16決定.

2+“（8+叫（2+叫（8+吟

當。＞4時，叱）嗎.此時，把。單位的水平均分成2份后，清洗兩次，殘留的農(nóng)藥量較少；

當“=4時，叱=叱.此時，兩種清洗方法效果相同；

當。＜4時，叱〈嗎.此時，用。單位的水清洗一次，殘留的農(nóng)藥量較少.

【點睛】

本題考查函數(shù)模型在生活中的實際應用，作差法在比大小中的應用，分類討論思想的具體應用，屬于

中檔題

14.（2020?全國高一課時練習）李莊村電費收取有以下兩種方案供農(nóng)戶選擇：

方案一：每戶每月收管理費2元，月用電不超過30度每度0.5元，超過30度時，超過部分按每度0.6

元.

方案二：不收管理費，每度0.58元.

（1）求方案一收費元與用電量、（度）間的函數(shù)關(guān)系

（2）李剛家月用電量在什么范圍時，選擇方案一比選擇方案二更好?

3O：（2）

【答案】（1）〃x）=O,6^U＞3O'25度到50度范圍內(nèi)（不含25、50度）時，選擇方案

一比方案二更好.

【分析】

(1)分0(x430,x>30兩種情況討論即可求收費L(x)元與用電量x(度)間的函數(shù)關(guān)系；

(2)通過分另IJ令04x430和x>30Hj￡(x)<0.58x計算即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)當04x430時，A(x)=2+0.5x.

當x>30時，L(x)=2+30x0.5+(x-30)x0.6=0.6x-l.

(、j2+0.5x,0<x<30

"⑴一1o.6x—Lx>3O

(2)設(shè)按第二方案收費為尸(x)元,則>(x)=0.58x.

當04x430時.，由L(x)〈尸(x),得2+0.5x<0.58x」.x>25

25<x<30.

當x>