海南省2021屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試試卷

海南省2021屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試試卷

閱卷人

——、單選題（共8題；共16分）

得分

1.（2分）（2021?海南模擬）已知集合A={X|/-6%—7〉0},貝1JCRA=（）

A.{x|-1<x<7}B.{x|l<%<7}

C.{x\xV—1或1>7}D.[x\xV1或%>7}

【答案】A

【解析】【解答】因為集合A=[x\x2-6%-7>0}=（%|%<-1或%>7],

所以CRA=（x|-1<%<7}o

故答案為：A

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法，進(jìn)而求出集合A,再利用補(bǔ)集的運(yùn)算法則，進(jìn)而求出

集合

2.（2分）（2021海南模擬）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)斗曳對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】【解答】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得牛=0浮=二苧=4-21,

對應(yīng)的點（4,-2）位于第四象限。

故答案為：D.

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點的坐

標(biāo)，再利用點的坐標(biāo)確定點所在的象限，進(jìn)而判斷出復(fù)數(shù)斗史對應(yīng)的點所在的象限。

6

3.（2分）（2021?海南模擬）（2%-93）的展開式中x3的系數(shù)為（）

、3x27

A.一"B.一堞C.64D.-128

3ol

【答案】D

r

【解析】【解答】（2%-+）展開式的通項公式為Tr+1=德（2x）6-（-*）=

C—S26Tx6-3r,

令6-3r=3,貝IJr=1,

所以(2x-蔡『的展開式中x3的系數(shù)為Ci-(-|)-25=-128o

故答案為：D

Q6

【分析】利用二項式定理求出展開式中的通項公式，再利用通項公式求出(2x-A)的展開式中

好的系數(shù)。

4.(2分)(2021?海南模擬)已知向量五,方=(3,—4),且悶=1,則五7=

()

A.-4B.1C.4D.7

【答案】C

【解析】【解答】因為0=1.

所以m=0,

所以a-K=0x3+(-1)x(-4)=4。

故答案為：C

【分析】利用已知條件結(jié)合向量的模的坐標(biāo)公式，進(jìn)而求出向量的模，再利用數(shù)量積的定義，進(jìn)而

求出數(shù)量積的值。

5.(2分)(2021?海南模擬)設(shè)log23-log36-log6m=log4(2m+8)，則m=()

A.2B.4C.8D.-2或4

【答案】B

【解析】【解答】條件中的等式左邊=垮X辭|X卷=log2nl=log4m2,

所以m2=2m+8,

解得m=4或m=-2(舍去)。

故答案為：B

【分析】利用已知條件結(jié)合換底公式得出機(jī)2=2m+8,再利用一元二次方程求根公式，進(jìn)而結(jié)合

對數(shù)型函數(shù)的定義域，從而求出滿足要求的m的值。

6.(2分)(2021?海南模擬)為了豐富教職工業(yè)余文化生活，某校計劃在假期組織全體老師外出旅

游，并給出了兩個方案（方案一和方案二），每位老師均選擇且只選擇一種方案，其中有50%的男老師

選擇方案一，有75%的女老師選擇方案二，且選擇方案一的老師中女老師占40%,那么該校全體老

師中女老師的比例為（）

A.1B.C.jD.J

2784

【答案】B

【解析】【解答】設(shè)該校男老師的人數(shù)為%,女老師的人數(shù)為y,則可得如下表格：

方案一方案二

男老師0.5%0.5%

女老師0.25y0.75y

由題意，益犒=°4,可得4=1所以為=:。

故答案為：B

【分析】設(shè)該校男老師的人數(shù)為x,女老師的人數(shù)為y,再利用實際問題中的已知條件結(jié)合兩種

方案，進(jìn)而求出，的值，從而求出該校全體老師中女老師的比例。

7.（2分）（2021.海南模擬）用到球心的距離為1的平面去截球，以所得截面為底面，球心為頂點的

圓錐體積為等,則球的表面積為（）

A.16兀B.32nC.36兀D.48兀

【答案】c

【解析】【解答】設(shè)球的半徑為R,圓錐的底面半徑為r,因為球心到截面的距離為1,

所以有：r2=R2-l,

則題中圓錐體積V=4X1X（R2_劫兀=野，解得R=3,故球的表面積為4TTR2=36兀。

故答案為：C

【分析】設(shè)球的半徑為R,圓錐的底面半徑為r,因為球心到截面的距離為1,再利用勾股定理

求出圓錐的底面半徑，再利用圓錐的體積公式結(jié)合已知條件，進(jìn)而求出球的半徑長，再利用球的表

面積公式，進(jìn)而求出球的表面積。

8.（2分）（2021海南模擬）古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)

了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用2sinl8°表示.若實數(shù)n滿足4sin218°+n2=4,貝U

1-sinl8

8n2sin218

A1B1

A-4B2

【答案】A

l-sinl80_l-sinl8q_l-sinl80

【解析】【解答】根據(jù)題中的條件可得

8n2sin218o_8sin218X4-4sin2180-8sin218<X4cos2180

l-sinl80_l-sinl80_l-sinl80_1

2

8sin3608xlz￡|^4(l-cos720)4

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題中的條件結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和二倍角的正弦公式，進(jìn)而化簡求出

1—sinl80

1~2—的值。

8n2sinz18°

閱卷入

一二、多選題（共4題；共12分）

得分

9.（3分）（202L海南模擬）如圖所示的統(tǒng)計圖記錄了2015年到2019年我國發(fā)明專利授權(quán)數(shù)和基礎(chǔ)

研究經(jīng)費(fèi)支出的情況，下列敘述正確的是（）

O

基

發(fā)50O1500

48

因

明O1400

46O1300

研

專4411200

42O8

究

利40O118

陽

經(jīng)

授O10O

O90O

o賽

權(quán)36

o刈

FO80O

O支

數(shù)O70O

3□2

30O60O出

(OC

千50(

億

項2015年2016年2017年2018年2019年

)元

=發(fā)明專利授權(quán)數(shù)（千項）)

?；蜓芯拷?jīng)要支出（億元）

A.這五年發(fā)明專利授權(quán)數(shù)的年增長率保持不變

B.這五年基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)支出比發(fā)明專利授權(quán)數(shù)的漲幅更大

C.這五年的發(fā)明專利授權(quán)數(shù)與基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)支出成負(fù)相關(guān)

D.這五年基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)支出與年份線性相關(guān)

【答案】B.D

【解析】【解答】由條形圖可看出發(fā)明專利授權(quán)數(shù)每年的漲幅不一致，A不符合題意；

2019年的發(fā)明專利授權(quán)數(shù)約450千項，2015年的約為360千項，漲幅約為25%,2019年的基礎(chǔ)研

究經(jīng)費(fèi)支出約為1200億元，2015年的約為700億元，漲幅約為71%,B符合題意；

這五年的發(fā)明專利授權(quán)數(shù)與基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)支出都是逐年增加，因此兩者是正相關(guān)，C不符合題意；

由折線圖可以看出基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)支出與年份有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，D符合題意.

故答案為：BD

【分析】利用2015年到2019年我國發(fā)明專利授權(quán)數(shù)和基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)支出的情況圖結(jié)合統(tǒng)計的知

識，進(jìn)而找出敘述正確的選項。

10.(3分)(2021?海南模擬)下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是()

A.y=x2-2B.y=-C-y=|x|+畫D.y=—

【答案】A,D

【解析】【解答】A,因為f(—x)—(―%)2-2=x2—2=/(x),y=x2—2是偶函數(shù)，在區(qū)間

(0,1)上為增函數(shù)，符合題意；

B,因為/(_%)=等=V=_/(%),y=,是奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,1)上為減函數(shù)，不符合題

/

111

c,因為/(-%)=I-x|=|%|+國=f(x),y=|久|+訶(X。0)是偶函數(shù)，當(dāng)％e(0,1)

時，y=%+：單調(diào)遞就不符合題意;

D,因為/(—%)=i-^^j==f(x),y=(%0)是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)，符

合題意.

故答案為：AD

【分析】利用偶函數(shù)的定義和增函數(shù)的定義，再結(jié)合已知條件，進(jìn)而判斷出既是偶函數(shù)且在區(qū)間

(0,1)上單調(diào)遞增的函數(shù)。

11.(3分)(2021?海南模擬)已知雙曲線C：9—￡=l(b>0)的離心率為彖貝IJ()

A.C的焦點在y軸上B.C的虛軸長為2

C.直線x=遙與C相交的弦長為1D.C的漸近線方程為y=±2x

【答案】B,C

【解析】【解答】由C:。-*=l(b>0)可知雙曲線C的焦點在x軸上，A不符合題意；

雙曲線C的離心率._一在，解得b=1,C的虛軸長為2b=2,B符合題意；

由B選項知b=l,把％=的代入雙曲線的方程q_y2=i得y=±2,故弦長為1,C符合

題意；

由B選項知b=1且a=2,且焦點在x軸上，雙曲線C的漸近線方程為y=±^x=±1%,

D不符合題意.

故答案為：BC.

【分析】利用已知條件結(jié)合雙曲線離心率公式，進(jìn)而結(jié)合雙曲線中a,b,c三者的關(guān)系式，進(jìn)而求出b

的值，從而求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而確定焦點的位置；再利用虛軸長的定義求出雙曲線的虛軸

長；再聯(lián)立直線與雙曲線方程結(jié)合韋達(dá)定理和弦長公式，進(jìn)而求出直線x=V5與雙曲線C相交的

弦長；再利用雙曲線確定的焦點的位置，進(jìn)而結(jié)合漸近線方程求出雙曲線的漸近線方程。

12.(3分)(2021?海南模擬)已知函數(shù)/(%)=3sinx+sin3x，貝(|()

A.f(x)是奇函數(shù)

B.f(x)是周期函數(shù)且最小正周期為2兀

C./(%)的值域是[-4,4]

D.當(dāng)XG(0,7T)時/(X)>0

【答案】A,B,D

【解析】【解答】A./(—X)=3sin(—x)+sin(—3x)=—3sinx—sin3x=—f(x),故/(x)是奇函

數(shù)，A符合題意；B.因為y=sinx的最小正周期是2兀,y=sin3x的最小正周期為爭,二者

的“最小公倍數(shù)”是2兀，故2兀是/(x)的最小正周期，B符合題意；

C.分析/(%)的最大值，因為3sinx<3,sin3x<1,所以/(%)<4,等號成立的條件是

sinx=1和sin3x=1同時成立，而當(dāng)sinx=1即％=2kn+(fcGZ)時，3%=6kn+

竽(keZ),sin3x=-1C不符合題意；

D.展開整理可得/(%)=3sinx+sinxcos2x+cosxsin2x=sinx(4cos2x+2),易知當(dāng)xe(0,7r)

時，f(x)>0,D符合題意.

故答案為：ABD

【分析】利用奇函數(shù)的定義判斷函數(shù)為奇函數(shù)；利用周期函數(shù)的定義，進(jìn)而判斷函數(shù)為周期函數(shù)，

并求出其最小正周期；利用正弦函數(shù)和正弦型函數(shù)的圖象，進(jìn)而求出函數(shù)f(x)的值域；利用兩角和的

正弦公式結(jié)合x的取值范圍，進(jìn)而求出當(dāng)xe(o,7r)時的函數(shù)的值域，進(jìn)而選出正確的選項。

閱卷人

三、填空題(共4題；共4分)

得分

13.(1分)(202L海南模擬)已知等比數(shù)列｛an｝滿足a1a6a11=8,則a4a8=.

【答案】4

【解析】【解答】因為由￡16。11=碗=8,

所以磷=8,

解得a6=2,

戶斤以a4a8—a2=4°

故答案為：4O

【分析】利用已知條件結(jié)合等比中項公式，進(jìn)而求出等比數(shù)列第六項的值，再利用等比中項公式結(jié)

合等比數(shù)列第六項的值，進(jìn)而求出a4a8的值。

14.(1分)(2021?海南模擬)函數(shù)/(x)=(1+x2)ex-1的零點個數(shù)為.

【答案】1

【解析】【解答】因為f(%)=2xex+(1+x2)ex=(1+x)2ex>0，

所以/(x)單調(diào)遞增，又因為/(0)=0,所以/(x)有且僅有1個零點。

故答案為：1。

【分析】利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)零點的定義，進(jìn)而求出

函數(shù)零點的個數(shù)。

15.(1分)(2021海南模擬)已知拋物線C的焦點為F,點力，B在C上，滿足^

0,且AF-~BF=-16,點P是拋物線的準(zhǔn)線上任意一點，貝UXPAB的面積為.

【答案】16

【解析】【解答】不妨設(shè)拋物線C-.y2=2px(p>0),

因為都+加=6,所以衣=而，所以?是線段AB的中點，則4B與％軸垂直,

所以AF-'BF=-p2=-16,

所以p=4,\AB\=2p=8,

點P至ijAB的距離為p=4,所以S&PAB=|x8x4=16。

故答案為：16。

【分析】不妨設(shè)拋物線C-.y2=2px（p>0）,因為通+前=6,再利用相反向量的定義，所

以存=而，所以F是線段AB的中點，則4B與％軸垂直，再利用已知條件AF.BF=-16

結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進(jìn)而求出p的值，從而求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用點4,B在C

上，結(jié)合弦長公式，進(jìn)而求出線段AB的長，再利用點到直線的距離公式，進(jìn)而求出點P到AB

的距離，再結(jié)合三角形面積公式，進(jìn)而求出三角形△P4B的面積。

16.（1分）（2021?海南模擬）如圖，位于山西省朔州市應(yīng)縣佛宮寺內(nèi)的釋迦塔，俗稱應(yīng)縣木塔，是我

國現(xiàn)存最高最古老的木結(jié)構(gòu)塔式建筑，木塔頂部可以近似地看成一個正八棱錐，其側(cè)面和底面的夾

角大小為30°，則該正八棱錐的高和底面邊長之比為.（參考數(shù)據(jù)：tan22.5°=夜-1）

【答案］空起

6

【解析】【解答】如圖所示:

點P是正八棱錐的頂點，點。是底面的中心，AB是底面的一條邊，M是AB的中點,

根據(jù)題意知NBOM=22.5°,

因為tan22.5'=V2-1

BMV2+1

設(shè)AB=a貝IJOM=------；，=F-a

tan22.5

又因為二面角P-4B-。的大小為30°，即NPMO=30

所以O(shè)P=OMtan30———三——a，

O

即正八棱錐的高和底面邊長之比為迎0O

6

故答案為：岑1

6

【分析】因為點P是正八棱錐的頂點，點。是底面的中心，AB是底面的一條邊，例是4B

的中點，根據(jù)題意知NBOM=22.5°,再利用正切函數(shù)的定義求出OM的長，又因為二面角P-

AB-0的大小為30°，即NPMO=30°,再利用正切函數(shù)的定義求出OP的長，進(jìn)而求出正八

棱錐的高和底面邊長之比。

閱卷人

四、解答題（共6題；共55分）

得分_________

17.（5分）（2021?海南模擬）在①a2+/一°2=防,②asinB=b,（3）V3cos|=sinC這三個條

件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的△ABC存在，求出其面積；若不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC,它的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a+b=

4,c=2,▲?注：如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

【答案】解：選擇條件①：

由余弦定理得cost：=亙廬衛(wèi)=也=工，

C0SL2ab2ab2

因為ce（0,兀）,所以c=J.

2222

結(jié)合Q+b=4,c=a+h—aft=（a+h）—3ab,可得ab=4f

所以a=2,b=2,

因此S^ABC=^absinC=V3?

選擇條件②：

由正弦定理得sinX=3,

sinB

所以sin4=駕生=1,

b

又4€(0,兀)，所以4=],所以房+C?=Q2.

由[房+f=?,解得a=M,,

(a+b=422

所以SMBC=^bcsinA=1.

選擇條件③：

因為VScos,=sinC=2sin,cos\,

又cos?A0,所以sin§=^,因此C=^.

乙NNJ

由余弦定理可得c2=a2+b2+ab=(a+b)2—ab,得ab=12,

從而a2+b2=(a+b)2—lab=42—2x12=—8.顯然不成立，

因此，不存在滿足條件的AABC

【解析】【分析】在①+廬一c2=(1b,②asinB=b,③國cos^=sinC這三個條件中任選一

個，補(bǔ)充在問題中并回答。若選擇條件①，利用已知條件結(jié)合余弦定理結(jié)合三角形中角C的取值范

圍，進(jìn)而求出角C的值，再利用已知條件，進(jìn)而解方程組求出a,b的值，從而利用三角形面積公式

求出三角形的面積；若選擇條件②，利用已知條件結(jié)合正弦定理結(jié)合三角形中角A的取值范

圍，進(jìn)而求出角A的值，再利用已知條件結(jié)合勾股定理，進(jìn)而解方程組求出a,b的值，從而利用三

角形面積公式求出三角形的面積；若選擇條件(3),利用已知條件結(jié)合二倍角的正弦公式，進(jìn)而

求出角C的值，再利用余弦定理求出ab的值，從而a?+匕2=缶+與？_2ab=42—2x12=

-8,顯然不成立，因此，不存在滿足條件的三角形。

18.(10分)(2021?海南模擬)已知公比大于0的等比數(shù)列｛a?｝的前n項和為Sn,a2=4,

+5是S2和a3的等差中項.

⑴(5分)求數(shù)列｛〃｝的通項公式；

(2)(5分)若勾=言，求數(shù)列也｝的前n項和Tn.

【答案】⑴解:設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為q(q>0).

由題意知2(%+5)=S2+a3,

即2X6+5)=*+4+4q,化簡得2q2-3q-2=0,

因為q>0,所以q=2.

n2

所以an—。2勺"-2=4x2~-2"

⑵解：由（1）可知勾=券=與.

“"71Z

所以條+*+看+…+京，①

抗=?,+…+審+^1，②

由①一②’可得；7\=最+為+*+-+玄-^1=^71^一^1=1一^&'

所以〃=2—竽

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合等差中項公式和等比數(shù)列的通項公式，再結(jié)合等比數(shù)列前n

項和公式，進(jìn)而解方程組求出滿足要求的等比數(shù)列的公比，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)，進(jìn)而求出等比

數(shù)列｛%；｝的通項公式。

（2）利用（1）求出的等比數(shù)列｛每｝的通項公式結(jié)合0=今,進(jìn)而求出數(shù)列｛既｝的通項公

式，再利用錯位相減的方法，進(jìn)而求出數(shù)列｛bn｝的前n項和。

19.（10分）（2021海南模擬）甲、乙兩人進(jìn)行投籃比賽，要求他們站在球場上的A,B兩點處投

籃，已知甲在A,B兩點的命中率均為；，乙在4點的命中率為p,在B點的命中率為1-

2P2,且他們每次投籃互不影響.

（1）（5分）若甲投籃4次，求他至多命中3次的概率；

（2）（5分）若甲和乙每人在A,B兩點各投籃一次，且在A點命中計2分，在B點命中計

1分，未命中則計0分，設(shè)甲的得分為X,乙的得分為丫，寫出X和丫的分布列，若EX=

,求p的值.

【答案】⑴解：“甲至多命中3次，的對立事件為“甲4次全部命中”，

所以甲至多命中3次的概率為1一8）4=1|

⑵解：X,r的可能取值均為0,1,2,3.

X的分布列為

X0123

P1111

4444

所以EX=/xl+,x2+/x3=

r的分布列為

Y0123

P2P2(1-p)(1-2p2)(l-p)2p3p(l-2p2)

EY=（1—p）（l-2P2）+4P3+3P（i_2P2）=1+2p—2p2.

由1+2p—2p2=',解得P=2

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合對立事件求概率公式，進(jìn)而求出甲投籃4次，求他至多命中

3次的概率。

（2）利用已知條件求出隨機(jī)變量X,Y的分布列，再利用分布列結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式，進(jìn)而求出隨機(jī)變

量X,Y的數(shù)學(xué)期望，再利用已知條件EX=EY,進(jìn)而求出p的值。

20.（10分）（2021?海南模擬）如圖所示，四棱柱ABC。-的底面是菱形，側(cè)棱垂直于底

面，點E,F分別在棱加1,CCi上，且滿足AE=^AAr,"=,平面BEF與平

面ABC的交線為I.

⑴（5分）證明：直線U平面BDDI；

⑵（5分）已知EF=2,BDi=4,設(shè)BF與平面BD%所成的角為6,求sin。的取

值范圍.

【答案】（1）證明：如圖，連接力C,與BD交于點。.

由條件可知AE//CF,且4E=CF,所以AC//EF,

因為EPu平面BEF,所以AC//平面BEF.

因為平面BEFC平面ABC=I,所以AC//1.

因為四棱柱4BCD的底面是菱形，且側(cè)棱垂直于底面，

所以AC1BD,AC1BBi,

又BDCBBLB,所以AC1平面BDD1,

所以1J.平面BDD1

（2）解：如圖所示，以0為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B,0C的方向為xy軸的正方向建立空

間直角坐標(biāo)系.

B

設(shè)BD=2a,因為BD<BD],所以0<a<2.

22

則OB=a,DD1=yjBD1-BD=2V4-a.

所以B(a,0,0),C(0,l,0),F(0,l,1V4^H2).

由(1)可知OC=(0,1,0)是平面BDD1的一個法向量,

而(-a,l,|V4-a2),

國函=]3

所以sin。=|cos<0C,RF>|=

I。C11/|Ja2+H-1(4—a2)j25+5a2

病「33

當(dāng)0VQV2時,5j25+5a2'

即sin。e(^,1)

【解析】【分析】(1)連接AC,與BD交于點。，由條件可知AE//CF,且AE=CF,所

以AC//EF,再利用線線平行證出線面平行，即AC//平面BEF,再利用線面平行的性質(zhì)定

理，進(jìn)而證出線線平行，即4c7〃,因為四棱柱ABCO-A/CiDi的底面是菱形，且側(cè)棱垂直于

底面，所以ACA.BD,AC1BB],再利用線線垂直證出線面垂直，即AC1平面BDD」所以

直線I±平面BDD1o

(2)以0為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B,0C的方向為x,y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)

系，設(shè)BD=2a,因為BD<BD1,所以0<a<2,貝lj。8=a,再利用勾股定理求出D%

的長，進(jìn)而求出點的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示求出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式

結(jié)合誘導(dǎo)公式，進(jìn)而求出sin?='再結(jié)合在給定區(qū)間上二次函數(shù)求值域的方法，從而

求出sin0的取值范圍。

21.(10分)(2021海南模擬)已知函數(shù)/(%)=磯1一苧)，a。0.

(1)(5分)若a=l,求/(%)的極值；

(2)(5分)若對任意xG[l,e],都有/(X)-%+2<0成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴解：若a=1,貝IJ/(x)=1—苧,定義域為(0,+。)，可得/'(%)=嗎工?

令/(X)=o.解得x=e,

當(dāng)0<x<e時，/'(X)<0，當(dāng)%>e時，-㈤>0

故/（%）在（0,e）上單調(diào)遞減，在（e,+。）上單調(diào)遞增.

所以/（%）的極小值為/（e）=1-1，沒有極大值

⑵解：由/（%）-x+2<0,即a（l-^）<x-2,

因為當(dāng)xG[1,e]時，有Inx<1<x（等號不同時成立），即1—苧>0,

所以原不等式又等價于a<仁在，

要使得對任意%e[l,e],都有/（x）-x+2<0成立，即aW（乃3）min，

—Kx-lnxyiIUH

令h（X）=早,%e[l,e],則/令）=.一?（x：2/lnx）,

、）x-lnx（x-lnx）

當(dāng)％C[1,e]時，x+2-21nx>0,可得力（x）>o）

所以h（x）在[l,e]上為增函數(shù)，所以h（x）min=h（1）=-1,

故實數(shù)a的取值范圍是（-^,-1]

【解析】【分析】（1）利用a的值求出函數(shù)的解析式，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用

函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值。

（2）對任意xe[l,e],都有/（x）-x+2W0成立，即以1一苧）Wx-2,因為當(dāng)久W

[l,e]時，有InxWlWx（等號不同時成立），即1一苧〉0,所以原不等式又等價于a<

之生,要使得對任意x&[l,e],都有/（x）-x+2<0成立，再利用不等式恒成立問題求解方

法，即a<（是丑八皿，令h（%）=匕空，xe[l,e],再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)

性，進(jìn)而求出函數(shù)的最小值，從而求出實數(shù)a的取值范圍。

22.（10分）（2021?海南模擬）已知橢圓C：芻+《=l（a>b>0）的左、右焦點分別為F1,

Qb

F2,過點F2作直線I交橢圓C于M,N兩點（1與x軸不重合），AFjM/V,XF、F2M

的周長分別為12和8.

（1）（5分）求橢圓C的方程；

（2）（5分）在x軸上是否存在一點T，使得直線TM與TN的斜率之積為定值？若存在，

請求出所有滿足條件的點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

412

【答案】（1）解：設(shè)橢圓C的焦距為2c（c>0）,由題意可得L；；,

"a+2c=8Q

解得｛"一：，所以b=Va2—c2—2V2，

ic=1

因此橢圓c的方程為需+*=i

(2)解：因為直線I過點電(L0)且不與x軸重合，所以設(shè)I的方程為x=my+1,

X=my+1

聯(lián)立方程％2y2,消去x并整理得(8m2+9)y2+16my-64=0,

(百+?=1

(y+y

設(shè)M(X21),N(如、2)，則嘴+9,

、丫仍=-8降+9

所以X1+X2=m(yi+y2)+2=正總w,

—72?n24-9

m7

=(my1+i)(^y2+1)=yiy2++y2)+1=8m用一?

=

設(shè)T(t,0),則直線TM與TN的斜率分別為kTM=,I<TN,

則"M-kTN=(x二匿T)

64

=__________________=__________877l2+9_______

%i%2—+%2)+產(chǎn)—72m2+9_j18+產(chǎn)

8m2+98m2+9

_—64

一(8t2-72)?n2+9-18t+9t2'

所以當(dāng)8t2-72=0,即

當(dāng)t=-3時，Vm6/?,kTM-kTN=-^；

當(dāng)t=3時，VntGR,I(TM'kyN'——?

因此，所有滿足條件的T的坐標(biāo)為(-3,0)和(3,0)

【解析】【分析】(1)利用已知條件AFiMN,&F]F2M的周長分別為12和8,再結(jié)合三角形周

長公式，進(jìn)而解方程組求出a,c的值，再利用橢圓中a,b,c三者的關(guān)系式，進(jìn)而求出b的值，從而求

出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

(2)因為直線I過點F2(l,0)且不與x軸重合，所以設(shè)直線I的斜截式方程為x=my+1,

再利用過點F2作直線I交橢圓C于M,N兩點(I與x軸不重合)，聯(lián)立二者方程結(jié)合韋達(dá)

定理和兩點求斜率公式，再結(jié)合分類討論的方法，進(jìn)而求出使得直線TM與TN的斜率之積為定

值的x軸上的一點T的坐標(biāo)。

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：87分

客觀題（占比）31.0(35.6%)

分值分布

主觀題（占比）56,0(64.4%)

客觀題（占比）15(68.2%)

題量分布

主觀題（占比）7(31.8%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

單選題8(36.4%)16.0(18.4%)

填空題4(18.2%)4.0(4.6%)

解答題6(27.3%)55.0(63.2%)

多選題4(18.2%)12.0(13.8%)

3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號難易度占比

1普通(54.5%)

2容易(36.4%)

3困難(9.1%)

4、試卷知識點分析

序號知識點（認(rèn)知水平）分值（占比）對應(yīng)題號

1補(bǔ)集及其運(yùn)算2.0(2.3%)1

2等比數(shù)列的前n項和10.0(11.5%)18

3二項式定理的應(yīng)用2.0(2.3%)3

4利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值10.0(11.5%)21

5與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題1.0(1.1%)16

6等比數(shù)列的通項公式10.0(11.5%)18

7等差數(shù)列的性質(zhì)10.0(11.5%)18

8直線與圓錐曲線的