八年級數(shù)學（第十二章 一次函數(shù)）12.2 一次函數(shù)（滬科版 學習、上課資料）

12.2一次函數(shù)第十二章一次函數(shù)學習目標課時講解1一次函數(shù)的定義正比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)一次函數(shù)的圖象一次函數(shù)的性質(zhì)用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達式建立一次函數(shù)模型解實際應用題一次函數(shù)與一元一次方程一次函數(shù)與一元一次不等式逐點導講練課堂小結作業(yè)提升學習目標課時流程2知1－講感悟新知知識點一次函數(shù)的定義11.定義一般地，形如y=kx+b(

k，

b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù).其中，當b=0時，一次函數(shù)y=kx+b就成為y=kx(

k

為常數(shù)，且

k≠0)，形如y=kx(

k

為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù).感悟新知知1－講特別提醒1.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的結構特征：(1)k≠0；(2)自變量x的次數(shù)是1；(3)常數(shù)項b可以是任意實數(shù).2.函數(shù)是一次函數(shù)?函數(shù)關系式為y=kx+b(k，b是常數(shù)，k≠0).感悟新知2.一次函數(shù)與正比例函數(shù)的關系(1)正比例函數(shù)

y=kx(

k≠0)是一次函數(shù)y=kx+b(

k≠0)中b=0的特例，即正比例函數(shù)都是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).(2)若已知y與x

成正比例，則可設函數(shù)關系式為y=kx(k≠0)；若已知y

是x

的一次函數(shù)，則可設函數(shù)關系式為y=kx+b(

k，b是常數(shù)，k≠0)

.知1－講知1－練感悟新知

例1知1－練感悟新知解：(1)因為x

的次數(shù)是2，所以y=－2x2

不是一次函數(shù).解題秘方：緊扣一次函數(shù)和正比例函數(shù)的結構特征進行識別.知1－練感悟新知

(3)因為y=3x2－x(3x－2)=2x，k=2，b=0，所以它是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù).知1－練感悟新知(4)因為x

的次數(shù)是2，所以y=1－x2

不是一次函數(shù).

感悟新知知1－練技巧點撥判斷函數(shù)是否為一次函數(shù)的方法：先看函數(shù)表達式是否是整式的形式，再將函數(shù)表達式進行恒等變形，然后看它是否符合一次函數(shù)表達式y(tǒng)=kx+b的結構特征：(1)

k≠0；(2)自變量x的次數(shù)為1；(3)常數(shù)項b

可以為任意實數(shù).知1－練感悟新知已知y=(

m+1)

x2－|m|+n+4.例2

解題秘方：緊扣一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義進行求解.知1－練感悟新知解：由題意知2－|m|=1，m+1≠0，解得m=1.故當m=1，n

為任意實數(shù)時，y

是x

的一次函數(shù)，函數(shù)表達式為y=2x+n+4.(1)當m，n

為何值時，y

是

x的一次函數(shù)？并寫出函數(shù)表達式；知1－練感悟新知解：由題意知2－|m|=1，m+1≠0，n+4=0，解得m=1，n=－4.故當m=1，n=－4時，y是x

的正比例函數(shù)，函數(shù)表達式為y=2x.(2)當m，n

為何值時，y

是x

的正比例函數(shù)？并寫出函數(shù)表達式.感悟新知知1－練特別提醒根據(jù)一次函數(shù)定義求待定字母的值時，要注意：1.函數(shù)表達式是自變量的一次式，若含有一次以上的項，則其系數(shù)必為0；2.注意隱含條件：一次項的系數(shù)不為0.感悟新知知2－講知識點正比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)2正比例函數(shù)y=kx(

k≠0)

的圖象及性質(zhì)如下表感悟新知知2－講

k>0k<0圖象圖象形狀?過原點，從左向右是上升的直線(↗)?過原點，從左向右是下降的直線(↘)經(jīng)過的象限第一、三象限第二、四象限增減性y

隨

x的增大而增大y

隨

x的增大而減小知2－講感悟新知特別提醒對于正比例函數(shù)y=kx(k≠0)，k的符號、圖象所經(jīng)過的象限、函數(shù)的增減性這三者，知其一則可知余下的其二，即知2－練感悟新知在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)y=5x，y=x

的圖象．例3解題秘方：按“兩點法：(0，0)和(1，k)”作圖.知2－練感悟新知解：列表：描點、連線，如圖12.2-1所示.x

01y=5x

05y=x

01

感悟新知知2－練解法提醒1.畫正比例函數(shù)圖象時，要視具體情況盡量選取“整數(shù)點”，不一定必須選取點(1，k).2.一般情況下，畫正比例函數(shù)圖象時要體現(xiàn)直線是向兩方無限延伸的，不要畫成線段或射線，若自變量有范圍限制，則要依據(jù)端點情況進行適當調(diào)整.感悟新知知2－練例4[中考·珠海]已知函數(shù)y=3x

的圖象經(jīng)過點A(－1，y1)，點B(－2，y2)，則y1_______y2(填“>”“<”或“=”)

.知2－練感悟新知解：方法一：把點A、點B

的坐標分別代入y=3x，當x=－1時，y1=3×(

－1)

=－3；當x=－2時，y2=3×(

－2)

=－6.因為－3>－6，所以y1>y2.方法二：畫出正比例函數(shù)y=3x

的圖象，在函數(shù)圖象上標出點A、點B，如圖12.2－2，因為y1在y2

的上方，所以y1>y2.知2－練感悟新知答案：＞方法三：根據(jù)正比例函數(shù)的增減性比較函數(shù)值的大小.根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)，當k>0時，y隨x的增大而增大，因為－1>－2，所以y1>y2.感悟新知知2－練方法點撥正比例函數(shù)中比較函數(shù)值大小的方法：方法一：求值比較法；方法二：數(shù)形結合思想，用“形”上的點的位置來比較“數(shù)”的大??；方法三：利用函數(shù)的增減性來比較大小.感悟新知知3－講知識點一次函數(shù)的圖象31.一次函數(shù)的圖象一次函數(shù)y=kx+b

(

k，b

是常數(shù)，k≠0

)的圖象是一條直線，我們稱它為直線y=kx+b.感悟新知知3－講2.一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象的關系一次函數(shù)y=kx+b

(

k≠0

)的圖象可以由直線y=kx

(

k≠0

)沿y軸向上(

b＞0

)或向下(

b＜0

)平移｜b｜個單位長度而得到.感悟新知知3－講

感悟新知知3－講4.截距直線y=kx+b

與y

軸相交于點(0，

b)，b

叫做直線y=kx+b在y

軸上的截距，簡稱截距，如圖12.2-3所示.知3－講感悟新知◆｜k｜的大小決定直線y=kx+b(k，b是常數(shù)，k≠0)的傾斜程度：｜k｜越大，直線與x軸相交所成的銳角越大，直線越陡；｜k｜越小，直線與x軸相交所成的銳角越小，直線越緩.◆截距不是距離，不一定是非負數(shù)，也可以是負數(shù).知3－練感悟新知例5在同一平面直角坐標系中，畫出下列函數(shù)的圖象：(1)

y1=2x

－1；

(2)

y2=2x；

(3)

y3=2x+2.然后觀察圖象，你能得到什么結論？解題秘方：按“兩點法”的作圖步驟作圖.感悟新知知3－練解法提醒畫一次函數(shù)y=kx+b(

k≠0)的圖象，若b≠0，通常選取該直線與y

軸的交點(橫坐標為0的點)和與x軸的交點(縱坐標為0的點)，由兩點確定一條直線得一次函數(shù)的圖象.知3－練感悟新知解：列表如下：描點、連線，即可得到它們的圖象，如圖12.2－4.x

0y1

－10x

01y2

02x

0－1y3

20知3－練感悟新知從圖象中我們可以看出：它們是一組互相平行的直線，原因是這組函數(shù)的表達式中k

的值都是2.結論：一次函數(shù)中的k

值相等(

b

值不相等)時，其圖象是一組互相平行的直線.它們可以通過互相平移得到.知3－練感悟新知設直線y=－2x+4與x

軸的交點為A，與y

軸的交點為B，畫出函數(shù)圖象并求S

三角形AOB.例6

解題秘方：緊扣直線與兩坐標軸的交點進行解答.感悟新知知3－練方法提醒直角坐標系中圖形面積的計算方法：計算直角坐標系中圖形面積的方法是先利用點的坐標求出線段的長，然后根據(jù)面積公式求圖形的面積.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知[模擬·陜西]在平面直角坐標系中，將直線l1：y=－3x

－2向左平移1個單位，再向上平移3個單位得到直線l2，則直線

l2

的表達式為()A.y=－3x

－9B.y=－3x

－2C.y=－3x+2D.y=－3x+9例7知3－練感悟新知答案：B解題秘方：緊扣“平移規(guī)律：上加下減、左加右減”進行求解.解：先將直線y=－3x

－2向左平移1個單位得直線y=－3

(

x+1

)－2，即y=－3x

－5，再將直線y=－3x

－5向上平移3個單位，得直線y=－3x

－5+3，即y=－3x

－2.感悟新知知3－練詳解“左加右減(只改變x

)”即向左平移1個單位，只需將x

變成(x+1

)，其余都不變.詳解“上加下減(只改變b)”即向上平移3個單位，只需將b

加3，其余都不變.知3－練感悟新知注：上述兩次平移可合寫為：y=－3(

x+1)－2+3，即

y=－3x－2.特別警示：“上加下減(只改變b)，左加右減(只改變x)”這種平移規(guī)律，是函數(shù)表達式的變化規(guī)律，不要將其與點的平移與坐標的變化規(guī)律相混淆，點的平移與坐標的變化規(guī)律是：上加下減，左減右加

.感悟新知知4－講知識點一次函數(shù)的性質(zhì)4一次函數(shù)y=kx+b(

k，b

是常數(shù)且k≠0)的性質(zhì)和k，

b的符號的關系感悟新知知4－講一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）k，b

的符號k>0k<0b>0b<0b=0b>0b<0b=0圖象的

位置增減性y

隨x

的增大而增大y

隨x的增大而減小與y

軸交點的位置正半軸負半軸原點正半軸負半軸原點知4－講感悟新知特別提醒1.由k，b的符號可以確定直線y=kx+b(k，b是常數(shù)，k≠0)所經(jīng)過的象限；反之，由直線y=kx+b(k，b是常數(shù)，k≠0)所經(jīng)過的象限也可以確定k，b

的符號.2.k決定一次函數(shù)y=kx+b(k，b是常數(shù)，k≠0)的增減性，b決定函數(shù)圖象與y軸的交點位置.感悟新知知4－練

例8

知4－練感悟新知答案：A解題秘方：緊扣函數(shù)的增減性求解.

感悟新知知3－練解法提醒對于一次函數(shù)y=kx+b

(

k≠0

)

來說：k

的符號，函數(shù)圖象的上升或下降趨勢，函數(shù)的增減性這三者有如影隨形的關系，知其一，便可知其他兩種特性.即：知3－練感悟新知例9已知一次函數(shù)y=

(6+3m

)

x+

(

m

－4

)，y

隨x

的增大而增大，函數(shù)的圖象與y

軸的交點在y

軸的負半軸上，求m

的取值范圍.知3－練感悟新知

解題秘方：緊扣“k，b

的符號與函數(shù)的增減性及圖象的位置的關系”解答.感悟新知知3－練詳解由y隨x的增大而增大可得k>0，即6+3m>0.由函數(shù)的圖象與y軸的交點在y軸的負半軸上可知b<0，即m－4<0.注意：以上情況，反之亦成立.感悟新知知5－講知識點用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達式51.定義先設出待求的函數(shù)表達式，再根據(jù)條件確定表達式中未知的系數(shù)，從而得出函數(shù)表達式的方法，叫做待定系數(shù)法.感悟新知知5－講2.一般步驟(1)設：設出含有待定系數(shù)的函數(shù)表達式；(2)代：把已知條件中的自變量與函數(shù)的對應值代入函數(shù)表達式，列出關于待定系數(shù)的方程(組)；(3)解：解方程(組)，求出待定的系數(shù)；(4)回代：將求得的待定系數(shù)的值代回所設的表達式.知5－講感悟新知特別提醒1.用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式時，要先判斷函數(shù)是哪一類函數(shù)，然后才能設出所求函數(shù)的表達式.2.在正比例函數(shù)y=kx

中，只有一個待定系數(shù)k，只需要一個除(

0，0

)外的條件即可求出k

的值；在一次函數(shù)y=kx+b

中，有兩個待定系數(shù)k，b，因而需要兩個條件才能求出k

和b的值.感悟新知知5－講上面的步驟可表示如下：感悟新知知5－練[中考·銅仁]在平面直角坐標系內(nèi)有三點A

(－1，4

)，B

(－3，2

)，C

(

0，6

)

.例10

解題秘方：緊扣待定系數(shù)法求函數(shù)表達式的步驟求解.感悟新知知5－練

(1)求過其中兩點的直線的函數(shù)表達式(選一種情形作答)；

感悟新知知5－練

(2)判斷A，B，C

三點是否在同一直線上，并說明理由.解：當x=0時，y=0+5≠6，所以點C

(0，6

)不在直線AB

上，即點A，B，C

三點不在同一條直線上．感悟新知知5－練

感悟新知知6－講知識點建立一次函數(shù)模型解實際應用題6利用一次函數(shù)解決實際問題，關鍵是找到題目中的兩個變量之間的數(shù)量關系，把實際問題抽象、升華為一次函數(shù)模型，即建模，再利用一次函數(shù)的相關性質(zhì)解決實際問題，常見類型如下：感悟新知知6－講(1)題目中已知一次函數(shù)的表達式，可直接運用一次函數(shù)的性質(zhì)求解；(2)題目中沒有給出一次函數(shù)的表達式，而是通過語言、表格或圖象給出一次函數(shù)的情境，這時需要先根據(jù)題目給出的信息求出一次函數(shù)的表達式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題.知6－講感悟新知特別提醒應用一次函數(shù)解決實際問題的關鍵是建立一次函數(shù)模型，同時注意實際問題中自變量的取值范圍要使實際問題有意義.知6－練感悟新知世界上大部分國家都使用攝氏溫度(℃)計量法，但美、英等國的天氣預報仍然使用華氏溫度(°F)計量法，兩種計量法之間有如下的對應關系：例11攝氏溫度x/℃01020304050華氏溫度y/F32506886104122

知6－練感悟新知解題秘方：緊扣一次函數(shù)的性質(zhì)及待定系數(shù)法求表達式的方法求解.感悟新知知6－練解法提醒在利用一次函數(shù)解決實際問題時，要先判斷問題中的兩個變量之間是不是一次函數(shù)關系，若是一次函數(shù)關系，再根據(jù)表格中提供的信息確定出函數(shù)表達式，并解決問題.知6－練感悟新知解：觀察表格中的對應數(shù)據(jù)的特征可知：攝氏溫度每增加10℃，華氏溫度就增加18°F，因此猜想y與x之間是一次函數(shù)關系.(1)猜想y

與x

之間的函數(shù)關系；感悟新知知6－練另解先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)特點建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?如圖12.2-6所示，以表中對應值為坐標的點分布在一條直線上，據(jù)此，可猜想y與x

之間的函數(shù)關系為一次函數(shù)關系.知6－練感悟新知

(2)確定y

與x

之間的函數(shù)表達式，并加以檢驗；知6－練感悟新知

(3)

0°F時的溫度對應多少攝氏度？知6－練感悟新知

(4)華氏溫度的值與對應的攝氏溫度的值有相等的可能嗎？如果沒有相等的可能，請說明理由，如果有相等的可能，請寫出此時的值.感悟新知知6－練在正常情況下，一個人在運動時所能承受的每分鐘心跳的最高次數(shù)s(次)是這個人年齡n(歲)的一次函數(shù).例12

解題秘方：緊扣用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式及自變量值與函數(shù)值的關系求解.知6－練感悟新知(1)根據(jù)圖12.2﹣7中所提供的信息，求在正常情況下，s

關于

n的函數(shù)表達式.知6－練感悟新知

知6－練感悟新知

(2)若一位63歲的老人在跑步，醫(yī)生在途中給他測得10秒鐘的心跳為26次，他此時是否有危險？為什么？感悟新知知6－練解法提醒1.根據(jù)圖中的信息，利用待定系數(shù)法確定函數(shù)表達式，當已知自變量的取值時，利用函數(shù)表達式便可求出相對應的函數(shù)值.2.將實際問題抽象成數(shù)學問題，用數(shù)學知識解決身邊的實際問題，體現(xiàn)了學以致用的理念.知6－練感悟新知在一條直線上依次有A，B，C

三個海島，某海巡船從A

島出發(fā)沿直線勻速經(jīng)B島駛向C

島，執(zhí)行海巡任務，最終到達C

島，設該海巡船行駛x(h)后，與B

島的距離為y(

km)，y

與x

的函數(shù)關系如圖12.2﹣8所示.例13知6－練感悟新知解題秘方：結合圖象信息用待定系數(shù)法求函數(shù)關系式.感悟新知知6－練技巧點撥對于有關一次函數(shù)圖象的應用問題，信息量比較大，因此要從圖象中提取出合理信息，過濾掉沒用的信息，從中找到求關系式所用的條件，一般采用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關系式.知6－練感悟新知解：由圖12.2-8可知，A，B

兩島間的距離為25km，B，C

兩島間的距離為60km，所以A，C

兩島間的距離為25+60=85(km)，海巡船的速度為25÷0.5=50(km/h)，所以a=85÷50=1.7.(1)

A，C

兩島間的距離為________

km，a=_______；851.7知6－練感悟新知

(2)求y

與x

的函數(shù)關系式，并解釋圖中點P

的坐標所表示的實際意義；知6－練感悟新知

感悟新知知6－練特別提醒在不同自變量取值范圍內(nèi)求出函數(shù)關系式后，不要忘了綜合在一起.知6－練感悟新知解：由－50x+25=15，解得x=0.2.由50x

－25=15，解得x=0.8.0.8－0.2=0.6

(

h

).所以該海巡船能接收到該信號的時間有0.6h.(3)在B

島有一不間斷發(fā)射信號的信號發(fā)射臺，發(fā)射的信號覆蓋半徑為15km，求該海巡船能接收到該信號的時間有多長.注意正確理解題意，所求時間應為(0.8－0.2)h，而不是0.8h.感悟新知知7－講知識點一次函數(shù)與一元一次方程71.一次函數(shù)y=kx+b(

k，b

為常數(shù)，且k≠0)與一元一次方程kx+b=0(k，b

為常數(shù)，且k≠0)的關系數(shù)：函數(shù)y=kx+b

中，函數(shù)值y=0時自變量x

的值是方程kx+b=0的解.形：函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交點的橫坐標是方程kx+b=0的解.感悟新知知7－講2.一次函數(shù)圖象法解一元一次方程的步驟(1)

轉化：將一元一次方程轉化為一次函數(shù)；(2)

畫圖象：畫出一次函數(shù)的圖象；(3)

找交點：找出一次函數(shù)圖象與x

軸的交點，交點的橫坐標即為一元一次方程的解.知7－講感悟新知特別提醒◆求一次函數(shù)圖象與x

軸交點的橫坐標的實質(zhì)就是解一元一次方程；也就是說，“數(shù)”題可用“形”解，“形”題也可用“數(shù)”解.◆對于一次函數(shù)y=kx+b(k

≠0，k，b

為常數(shù))，已知x的值求y

的值，或已知y

的值求x

的值時，就是把問題轉化為關于y或x的一元一次方程來求解.感悟新知知7－練利用函數(shù)圖象解方程2x－2=x+3.例14

解題秘方：緊扣“一次函數(shù)圖象法解一元一次方程的步驟”求解.感悟新知知7－練利用函數(shù)圖象解一元一次方程時，一般需將方程變形為kx+b=0(k，b

為常數(shù)，且k

≠0)的形式，然后令y=kx+b

并畫出其圖象，通過觀察直線y=kx+b

與x軸的交點的橫坐標確定方程的解，此種求解方法對作圖的準確性要求較高.知7－練感悟新知解：由2x－2=x+3得x－5=0，令y=x－5，畫出函數(shù)y=x－5的圖象，如圖12.2-9所示，由圖12.2-9可知，直線y=x－5與x

軸的交點坐標為(5，0)，所以x=5.知7－練感悟新知

例15知7－練感悟新知解題秘方：緊扣“一元一次方程和一次函數(shù)間的關系”求解.

知7－練感悟新知

知7－練感悟新知

感悟新知知7－練解法提醒1.一次函數(shù)的圖象與坐標軸交點的坐標求法：令y=0，解方程即得與x軸的交點的橫坐標；令x=0，解方程即得與y軸的交點的縱坐標.2.同一坐標軸上兩點間的距離即是橫坐標或者縱坐標差的絕對值.感悟新知知8－講知識點一次函數(shù)與一元一次不等式81.一次函數(shù)y=kx+b(k，b為常數(shù)，且k≠0)與一元一次不等式kx+b＞0(或kx+b＜0)(

k，b

為常數(shù)，且k≠0)的關系感悟新知知8－講數(shù)：函數(shù)y=kx+b

中，函數(shù)值y＞0時自變量x

的取值范圍是不等式kx+b

＞0的解集；函數(shù)值y

＜0時自變量x

的取值范圍是不等式kx+b

＜0的解集.形：函數(shù)y=kx+b

的圖象中，位于x

軸上方的部分對應的自變量x

的取值范圍是不等式kx+b

＞0的解集；位于x

軸下方的部分對應的自變量x

的取值范圍是不等式kx+b

＜0的解集.感悟新知知8－講2.拓展直線y1=k1x+b1

與直線y2=k2x+b2

的交點的橫坐標即為方程k1x+b1=k2x+b2

的解；不等式k1x+b1

＞k2x+b2(

或k1x+b1

＜k2x+b2)的解集就是直線y1=k1x