九年級數(shù)學(xué)（第21章 二次函數(shù)與反比例函數(shù)）21.2 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（滬科版 學(xué)習(xí)、上課課件）

21.2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)21.2.1二次函數(shù)y＝ax2的圖象和性質(zhì)逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2二次函數(shù)y＝ax2的圖象的畫法二次函數(shù)y＝ax2的圖象和性質(zhì)知識點二次函數(shù)y＝ax2的圖象的畫法知1－講1用描點法畫二次函數(shù)y＝ax2的圖象的一般步驟(1)列表：列表時，自變量x的取值應(yīng)有一定的代表性，并且所對應(yīng)的函數(shù)值不能太大也不能太小，以便于描點和全面反映圖象情況.選點時，一般應(yīng)先找出對稱軸，然后在對稱軸的兩側(cè)對稱選取，以計算簡單、描點方便為原則.知1－講(2)描點：一般來說，點取得越多、越密集，畫出的圖象就越準(zhǔn)確.實際畫圖時，一般取頂點及對稱軸兩側(cè)對稱的兩對點，共5個點，用“五點法”快速準(zhǔn)確地畫出函數(shù)圖象，有時也會在對稱軸的兩側(cè)各取三個點畫圖.(3)連線：按自變量的值由小到大(或由大到小)的順序，順次用平滑的曲線連接各點.知1－講特別提醒用描點法畫出的圖象只是二次函數(shù)圖象的一部分，并且是近似的.在畫二次函數(shù)圖象時，畫的線必須平滑，頂端不能畫成尖的，一般來說，選點越多，圖象越精確，但也要具體問題具體分析.知1－練例1

解題秘方：用描點法，按列表→描點→連線這三個步驟作圖.知1－練解：列表如下：x…－4－3－2－101234……84.520.500.524.58……－8－4.5－2－0.50－0.5－2－4.5－8……42.2510.2500.2512.254…知1－練描點、連線，即可得三個函數(shù)的圖象，如圖21.2-1所示.知1－練解法提醒連線時，必須按照自變量的值由小到大(或由大到小)的順序，并且用平滑的曲線順次連接，初始點和末端點處要注意適當(dāng)“向外延伸”，切忌用線段連接或漏點、跨點連接.知1－練作圖通法在同一坐標(biāo)系中作多個函數(shù)圖象時，要在圖象旁邊標(biāo)明對應(yīng)的函數(shù)表達式.知2－講知識點二次函數(shù)y＝ax2的圖象和性質(zhì)21.

拋物線的概念觀察函數(shù)y＝x2的圖象知它是一條關(guān)于y軸對稱的曲線，我們把這條曲線叫做拋物線.二次函數(shù)y＝ax2的圖象都是拋物線，二次函數(shù)y＝ax2的圖象可以簡稱為拋物線y＝ax2.知2－講2.二次函數(shù)y＝ax2的圖象和性質(zhì)a的符號a＞0a＜0圖象開口方向開口向上開口向下頂點坐標(biāo)(0，0)對稱軸y軸(或直線x＝0)知2－講續(xù)表增減性在對稱軸的左側(cè)，即x<0時，y隨x的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右側(cè)，即x>0時，y隨x的增大而增大在對稱軸的左側(cè)，即x<0時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即x>0時，y隨x的增大而減小最值當(dāng)x＝0時，y最小值＝0當(dāng)x＝0時，y最大值＝0知2－講要點解讀1.

判斷二次函數(shù)的增減性的技巧：從拋物線的對稱軸分開，自左向右看，“上坡路”就是y隨x的增大而增大，“下坡路”就是y隨x的增大而減小.2.

在二次函數(shù)y＝ax2(a

≠0)中，a的正負性決定開口方向，|a|決定開口的大?。畖a|越大，拋物線開口越?。粅a|越小，拋物線開口越大.3.

二次函數(shù)y＝－ax2(a

≠0)與y＝ax2(a

≠0)的圖象關(guān)于x軸對稱.知2－練如圖21.2-2，四個二次函數(shù)的圖象分別對應(yīng)①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，且①與③、②與④分別關(guān)于x軸對稱.例2解題秘方：緊扣y＝ax2

中“a

的符號”及“|a|的大小”，采用數(shù)形結(jié)合思想進行解答.知2－練(1)比較a，b，c，d的大??；解：由拋物線的開口方向，知a>0，b>0，c<0，d<0，由拋物線的開口大小，知|a|>|b|，|c|>|d|，因此a>b，c<d.∴a>b>d>c.知2－練另解當(dāng)x＝1時，四個函數(shù)值分別等于二次項系數(shù).∵直線x＝1與四條拋物線的交點從上到下依次為(1，a)，(1，b)，(1，d)，(1，c).∴a>b>d>c.知2－練(2)說明a與c，b與d的數(shù)量關(guān)系.解：∵①與③，②與④分別關(guān)于x軸對稱，∴①與③，②與④的開口大小相同，方向相反.∴a＋c＝0，b＋d＝0.知2－練已知函數(shù)y＝(m＋2)xm2＋m－4是關(guān)于x的二次函數(shù).解題秘方：按對稱軸的左、右兩側(cè)，分x>0和x<0兩種情況討論二次函數(shù)的增減性.例3知2－練(1)求滿足條件的m的值.

知識儲備滿足條件即滿足二次函數(shù)的“三要素”：1.整式；2.自變量的最高次數(shù)為2；3.二次項系數(shù)不為0.知2－練(2)當(dāng)m為何值時，其圖象有最低點？求出這個最低點，這時當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而增大？解：若拋物線有最低點，則拋物線的開口向上，∴m＋2>0，即m>－2.∴

m＝2.∵這個最低點為拋物線的頂點，∴最低點的坐標(biāo)為(0，0).當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大.知2－練(3)當(dāng)m為何值時，函數(shù)有最大值？最大值是多少？這時當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而減?。拷猓喝艉瘮?shù)有最大值，則拋物線的開口向下，∴m＋2<0，即m<－2.∴m＝－3.∵函數(shù)的最大值為拋物線頂點的縱坐標(biāo)，頂點坐標(biāo)為(0，0)，∴當(dāng)m＝－3時，函數(shù)有最大值0.當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減小.知2－練解法提醒在分析二次函數(shù)的增減性時，都是以對稱軸為分界線進行討論：1.

開口向下的拋物線，在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而增大，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減??；2.

開口向上的拋物線，在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而減小，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大.二次函數(shù)y＝ax2的圖象和性質(zhì)y＝ax2圖象性質(zhì)有最低點，開口向上有最高點，開口向下最小值為0x＞0時，y隨x的增大而增大x＜0時，y隨x的增大而減小最大值為0x＞0時，y隨x的增大而減小x＜0時，y隨x的增大而增大a＞0a＜0a＞0a＜021.2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)21.2.2二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖象和性質(zhì)逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2二次函數(shù)y＝ax2＋k的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)y＝a(x＋h)2的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k之間的關(guān)系二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象特征與a，b，c的符號關(guān)系用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式知識點二次函數(shù)y＝ax2＋k的圖象和性質(zhì)知1－講11.二次函數(shù)y＝ax2＋k的圖象與二次函數(shù)y＝ax2的圖象的關(guān)系它們的形狀(開口大小、方向)相同，只是上、下位置不同，二次函數(shù)y＝ax2＋k的圖象可由二次函數(shù)y＝ax2的圖象上下平移|k|個單位得到.知1－講2.

二次函數(shù)y＝ax2＋k的圖象與性質(zhì)a的符號a＞0a＜0k的符號k＞0k＜0k＞0k＜0圖象開口方向向上向下對稱軸y軸(直線x＝0)y軸(直線x＝0)知1－講續(xù)表增減性當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減?。划?dāng)x>0時，y隨x的增大而增大當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x<0時，y隨x的增大而增大最值當(dāng)x＝0時，y取得最小值，最小值為k當(dāng)x＝0時，y取得最大值，最大值為k知1－講3.

二次函數(shù)y＝ax2＋k的圖象的畫法(1)描點法：類比作二次函數(shù)y＝ax2圖象的描點法，即按列表→描點→連線的順序作圖.(2)平移法：將二次函數(shù)y＝ax2的圖象，向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|個單位，即可得二次函數(shù)y＝ax2＋k的圖象.知1－講要點提醒a決定拋物線的開口方向和開口大小，所以y＝ax2(a

≠0)與y＝ax2+k(a

≠0)的圖象開口方向和開口大小相同，只是位置不同.知1－講平移規(guī)律口訣上加下減，縱變橫不變.“上加下減”表示拋物線上下平移的規(guī)律.“縱變橫不變”表示坐標(biāo)的平移規(guī)律，即拋物線上下平移時其對應(yīng)點的縱坐標(biāo)改變而橫坐標(biāo)不變.知1－練例1畫出函數(shù)y＝－x2＋1與y＝－x2－1的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題：解題秘方：緊扣拋物線y＝ax2＋k與拋物線y＝ax2

間的關(guān)系及圖象的平移規(guī)律解答.知1－練解：列表如下：x…－3－2－10123…y＝－x2＋1…－8－3010－3－8…y＝－x2－1…－10－5－2－1－2－5－10…知1－練描點、連線，即可得這兩個函數(shù)的圖象，如圖21.2-6所示.知1－練(1)拋物線y＝－x2＋1經(jīng)過怎樣的平移才能得到拋物線y＝－x2－1？方法1以拋物線y＝－x2作中介平移：拋物線y＝－x2+1是由拋物線y＝－x2向上平移1個單位得到的，拋物線y＝－x2－1是由拋物線y＝－x2向下平移1個單位得到的，因此拋物線y＝－x2－1是由拋物線y＝－x2+1向下平移2個單位得到的.知1－練解：由圖象可以看出，拋物線y＝－x2＋1向下平移2個單位得到拋物線y＝－x2－1.方法2以對應(yīng)點作中介平移：觀察圖21.2-6中的兩條拋物線，拋物線y＝－x2+1的頂點是(0，1)，拋物線y＝－x2－1的頂點是(0，－1)，因為頂點向下平移了2個單位，所以將拋物線y＝－x2+1向下平移2個單位可得到拋物線y＝－x2－1.知1－練(2)對于函數(shù)y＝－x2＋1，其圖象與x軸的交點坐標(biāo)是________________；對稱軸是__________；頂點坐標(biāo)是__________.(－1，0)，(1，0)y軸(0，1)知2－講知識點二次函數(shù)y＝a(x+h)2的圖象和性質(zhì)21.

二次函數(shù)y＝a(x＋h)2的圖象與二次函數(shù)y＝ax2的圖象的關(guān)系它們的形狀(開口大小、方向)相同，只是左、右位置不同，二次函數(shù)y＝a(x＋h)2的圖象可由二次函數(shù)y＝ax2的圖象左右平移|h|個單位得到.知2－講2.二次函數(shù)y＝a(x＋h)2的圖象和性質(zhì)a的符號a＞0a＜0圖象開口方向向上向下對稱軸直線x＝－h(huán)知2－講續(xù)表頂點坐標(biāo)(－h(huán)，0)增減性當(dāng)x<－h(huán)時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>－h(huán)時，y隨x的增大而增大當(dāng)x<－h(huán)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>－h(huán)時，y隨x的增大而減小最值當(dāng)x＝－h(huán)時，y最小值＝0當(dāng)x＝－h(huán)時，y最大值＝0知2－講平移規(guī)律口訣左加右減，橫變縱不變：1.“左加”表示當(dāng)h>0時，拋物線y＝ax2沿x軸向左平移h個單位得到拋物線y＝a(x＋h)2；2.“右減”表示當(dāng)h<0時，拋物線y＝ax2沿x軸向右平移|h|個單位得到拋物線y＝a(x＋h)2；3.“橫變縱不變”表示坐標(biāo)的平移規(guī)律，即拋物線左右平移時對應(yīng)點的橫坐標(biāo)改變而縱坐標(biāo)不變.知2－練[期中·杭州蕭山區(qū)]對于二次函數(shù)y＝－3(x－5)2的圖象，下列說法不正確的是(

)A.開口向下 B.對稱軸是直線x＝5C.頂點坐標(biāo)為(5，0)D.當(dāng)x<5時，y隨x的增大而減小例2解題秘方：根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可進行解答.知2－練答案：D解：A.∵

a＝－3<0，∴函數(shù)圖象開口向下，故A正確；B.對稱軸是直線x＝5，故B正確；C.頂點坐標(biāo)為(5，0)，故C正確；D.∵函數(shù)圖象開口向下，對稱軸是直線x＝5，∴當(dāng)x<5時，y隨x的增大而增大，故D不正確.知2－練解題策略解答與拋物線y＝a(x＋h)2的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、最值、增減性等有關(guān)知識的問題時，先弄清y＝a(x＋h)2中a，h與開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、最值和增減性之間的關(guān)系，再結(jié)合具體題目進行解答.知3－講知識點二次函數(shù)y=a(x+h)2+k的圖象和性質(zhì)31.

二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k的圖象與二次函數(shù)y＝ax2的圖象之間的關(guān)系

y＝a(x＋h)2＋k的圖象是由y＝ax2的圖象先向左(或向右)平移|h|個單位，再向上(或向下)平移|k|個單位得到的.具體平移規(guī)律如下：知3－講2.

二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k的圖象和性質(zhì)a的符號a＞0a＜0圖象的開口方向向上向下對稱軸直線x＝－h(huán)頂點坐標(biāo)(－h(huán)，k)知3－講續(xù)表函數(shù)的增減性當(dāng)x>－h(huán)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x<－h(huán)時，y隨x的增大而減小當(dāng)x>－h(huán)時，y隨x的增大而減?。划?dāng)x<－h(huán)時，y隨x的增大而增大最值當(dāng)x＝－h(huán)時，y最小值＝k當(dāng)x＝－h(huán)時，y最大值＝k知3－講解題策略掌握二次函數(shù)頂點式y(tǒng)＝a(x＋h)2＋k的圖象特點與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即在y＝a(x＋h)2＋k中，a決定開口方向，對稱軸為x＝－h(huán)，頂點坐標(biāo)為(－h(huán)，k)．知3－練

例3解題秘方：根據(jù)y1<y2列出關(guān)于m的不等式解答．知3－練

答案：B知3－練解題策略解答拋物線y＝a(x＋h)2＋k的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、最值、增減性規(guī)律等問題，先弄清頂點式y(tǒng)＝a(x＋h)2＋k中a，h，k與開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、最值間的關(guān)系，比較題中給出的相關(guān)數(shù)據(jù)與a，h，k間的關(guān)系，再結(jié)合相關(guān)知識按題目要求解答．知4－講知識點二次函數(shù)y=ax2+bx+c與二次函數(shù)y=a(x+h)2+k之間的關(guān)系4

知4－講2.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象的畫法方法一：描點法.(1)把二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x＋h)2＋k的形式；(2)確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)；(3)在對稱軸兩側(cè)，以頂點為中心，左右對稱描點并用平滑的曲線順次連接.知4－講方法二：平移法.(1)把二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x＋h)2＋k的形式，其圖象的頂點坐標(biāo)為(－h(huán)，k)；(2)作出二次函數(shù)y＝ax2的圖象；(3)將二次函數(shù)y＝ax2的圖象平移，使其頂點平移到(－h(huán)，k).知4－講

知4－講

知4－練[模擬·上海]關(guān)于拋物線y＝－x2＋2x－3的判斷，下列說法正確的是(

)A.拋物線的開口向上B.拋物線的對稱軸是直線x=－1C.拋物線對稱軸左側(cè)部分是下降的D.拋物線頂點到x

軸的距離是2例4知4－練解題秘方：先利用配方法把拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，進而可求得其開口方向、對稱軸、增減性以及頂點坐標(biāo)，從而可得出答案．知4－練解：∵y＝－x2＋2x－3＝－(x－1)2－2，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝1，頂點坐標(biāo)為(1，－2)，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，∴A，B，C不正確；∵拋物線頂點到x軸的距離是|－2|＝2，∴D正確.答案：D知4－練

知5－講知識點二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)5函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)a的符號a>0a<0圖象開口方向向上向下知5－講對稱軸頂點坐標(biāo)增減性知5－講開口方向知5－講活學(xué)巧記曲線名叫拋物線，線軸交點是頂點，頂點縱標(biāo)是最值.如果要畫拋物線，描點平移兩條路；提取配方定頂點，描點平移皆成圖.列表描點后連線，五點大致定全圖；若要平移也不難，先畫基礎(chǔ)拋物線，頂點移到新位置，開口大小都不變.知5－練已知拋物線y＝2x2－4x－6.(1)直接寫出拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)；例5解：開口向上，對稱軸為直線x＝1，頂點坐標(biāo)為(1，－8).知5－練(2)求拋物線與x軸、y軸的交點坐標(biāo)；解題秘方：類比一次函數(shù)的方法，求圖象與x

軸的交點坐標(biāo)，令y＝0，再解方程；求圖象與y

軸的交點坐標(biāo)，令x＝0，再代入求值.本題可以不畫圖象，利用二次函數(shù)表達式中的系數(shù)來說明函數(shù)圖象的特征.知5－練

知5－練解：令y＝0，得2x2－4x－6＝0，解得x1＝－1，x2＝3.∴與x軸的交點坐標(biāo)為(－1，0)，(3，0).令x＝0，得y＝－6，∴與y軸的交點坐標(biāo)為(0，－6).知5－練解：當(dāng)x>1時，y隨x的增大而增大.(3)當(dāng)x取何值時，y隨x的增大而增大？知6－講知識點二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象特征與a，b，c的符號關(guān)系6二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，a的符號決定拋物線的開口方向，ab的符號決定拋物線對稱軸的大致位置，c的符號決定拋物線與y軸交點的大致位置.具體如下表：知6－講字母(或式子)符號特征aa>0開口向上a<0開口向下b＝0對稱軸為y軸ab>0(a，b同號)對稱軸在y軸左側(cè)ab<0(a，b異號)對稱軸在y軸右側(cè)知6－講字母(或式子)符號特征cc＝0圖象過原點c>0圖象與y軸正半軸相交c<0圖象與y軸負半軸相交收藏夾對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c：當(dāng)x＝1時，y＝a＋b＋c，此時，若y＝0，則a＋b＋c＝0；若y>0，則a＋b＋c>0；若y<0，則a＋b＋c<0.當(dāng)x＝－1時，y＝a－b＋c，此時，若y＝0，則a－b＋c＝0；若y>0，則a－b＋c>0；若y<0，則a－b＋c<0.知6－講知6－練[中考·青島]已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，對稱軸為直線x＝－1，且經(jīng)過點(－3，0)，則下列結(jié)論正確的是()A.b>0

B.c<0

C.a＋b＋c>0

D.3a＋c=0例6解題秘方：根據(jù)二次函數(shù)的圖象特征與字母系數(shù)之間的關(guān)系判斷.知6－練答案：D解：∵圖象開口向下，∴a<0，∵對稱軸為直線x＝－1，∴b＝2a，∴b<0，故A錯誤；∵圖象經(jīng)過(－3，0)，∴圖象經(jīng)過點(1，0)，∴當(dāng)x＝1時，a＋b＋c＝0，故C錯誤；∴c＝－a－b，∴c>0，故B錯誤；將b＝2a代入a＋b＋c＝0，可得3a＋c＝0，故D正確．

知6－練知7－講知識點二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)71.

常見的二次函數(shù)表達式的適用條件(1)

一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)：當(dāng)已知拋物線上三點的坐標(biāo)時，設(shè)此二次函數(shù)的表達式為y＝ax2＋bx＋c；知7－講二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)(2)頂點式y(tǒng)＝a(x＋h)2＋k(a，h，k為常數(shù)，a

≠0)：當(dāng)已知拋物線的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最大(小)值時，可設(shè)