小學(xué)數(shù)學(xué)業(yè)務(wù)學(xué)習(xí)

用研究的心態(tài)面對每一堂課今天的新課程改革，已越來越強調(diào)理念向?qū)嵺`轉(zhuǎn)化，課程向教學(xué)轉(zhuǎn)化，教材向教師轉(zhuǎn)化。在轉(zhuǎn)化過程中，教師的日常教學(xué)勢必會遇到形形色色的新問題，出現(xiàn)各種各樣的新矛盾。面對這些問題與矛盾，需要教師以研究者的姿態(tài)出現(xiàn)在教學(xué)實踐的情境中，通過研究分析問題、破解矛盾，使教學(xué)實踐呈現(xiàn)出新的狀態(tài)和水平。把研究作為生存的方式教師不只是教學(xué)者、學(xué)習(xí)者，同時還應(yīng)該成為一個研究者。教師要實現(xiàn)自己的專業(yè)開展，成為一個專家型的教師，僅僅靠自己原有的知識是遠遠不夠的。信息化時代的到來和教育教學(xué)改革，都要求教師不斷更新自身知識結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)變一味向?qū)W生傳授既定知識的做法，通過學(xué)習(xí)賦予教學(xué)新的元素，實現(xiàn)與學(xué)生的結(jié)伴成長、共同開展。另外，教師在教學(xué)中遇到的新問題、新矛盾，幾乎都沒有現(xiàn)成答案。專家能提供的是關(guān)于解決問題的一般認識，但很難提供解決問題的具體方法。教師只有拿起研究的武器，實現(xiàn)由實踐者向研究者的轉(zhuǎn)化，才能切實形成解決問題的新思路，找到破解矛盾的新方法。在這種情況下，學(xué)習(xí)、教學(xué)、研究已經(jīng)成了教師生活中不可或缺的局部。學(xué)習(xí)與教學(xué)并駕齊驅(qū)，教學(xué)與研究雙向互動，學(xué)習(xí)與研究相互促進，成為教師職業(yè)存在的新方式。把問題作為研究的起點教師的教學(xué)研究與專業(yè)研究有著根本性的差異。它自始至終是在教學(xué)現(xiàn)場進行的，是以教師自身為研究主體的，是以解決實際問題為指向、以改良教學(xué)實踐為衡量標(biāo)準(zhǔn)的。在日常教學(xué)中，難免會存在這樣或那樣的問題。這些問題因其新穎性、不確定性、復(fù)雜性等完全有可能成為研究的對象。比方，一位教師對二年級《數(shù)學(xué)》關(guān)于概率的初步認識——“可能、一定〞進行教學(xué)時，作了這樣的教學(xué)設(shè)計：先讓孩子們從裝有3個黃球和3個白球的盒子里摸出一個球，讓孩子們感受“可能〞——可能是黃球也可能是白球；然后再讓孩子從裝有6個黃球〔沒有白球〕的盒子里摸出一個球，讓孩子們感受“一定〞——一定是黃球，不可能是白球，并且告訴孩子們假設(shè)能摸出白球的話有獎。沒想到，在實際教學(xué)中，當(dāng)?shù)诙€孩子摸出黃球后，第三個孩子拒絕再摸，而是說出了這樣一番話：“我肯定這盒子里全部都是黃球。第一，您怕同學(xué)得到獎品在課上玩。第二，這獎品是買來的，您以后還要用。〞這番話讓教師很是意外，也引起了教師的思考：學(xué)生對教師的行為進行質(zhì)疑，甚至是倫理上的疑心了。我們總說，數(shù)學(xué)要聯(lián)系學(xué)生的生活世界，但什么樣的聯(lián)系才是自然而然的，什么樣的聯(lián)系是有可能弄巧成拙的，解決這些問題就成了教師研究的起點。把反思作為常用的方法日常教學(xué)中的研究雖然也會偶爾涉及統(tǒng)計、測量、問卷等方法，但對于教師來說，最常使用也最便于使用的方法還是教學(xué)反思。偶發(fā)的教學(xué)反思并不困難，但將反思作為一種研究方法來改良教學(xué)，那么需要教師持之以恒，直至找到解決問題的途徑。在今天來看，對教師教學(xué)幫助較大的是專題性的反思，小題大做的反思，及比照鑒別式的反思。這樣的反思集中關(guān)注教學(xué)中的某一個突出問題，經(jīng)過不懈探索，理清思路，澄清認識，從而提升教師的實踐智慧。比方，一位教師注意到，在學(xué)習(xí)“互質(zhì)數(shù)〞這局部知識時，學(xué)生有這樣的錯覺——“5和9都是互質(zhì)數(shù)〞；學(xué)習(xí)了長方形的面積計算方法后，學(xué)生經(jīng)常會用“長×寬〞來求長方形的周長等。這些錯誤屬于哪些知識類型，在什么情況下會出現(xiàn)，錯誤對于教學(xué)有哪些幫助？教師通過對這些問題的思考與分析，就為把錯誤轉(zhuǎn)化為教學(xué)資源提供了依據(jù)。把重建作為改良的途徑反思本身并不是目的，反思后的重建同樣至關(guān)重要。在教學(xué)反思中，教師需要在稍縱即逝的教學(xué)現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)問題，捕捉課堂教學(xué)中貌似沒有問題的問題，與此同時，還要著力去思考解決問題的方法，并且在后續(xù)的教學(xué)中加以探索與嘗試。這樣，反思才能真正為教學(xué)效勞，教學(xué)也才能在研究中走向新形態(tài)。前面提到教孩子關(guān)于概率初步認識的那位教師，認識到需要在課堂上防止讓孩子對教師產(chǎn)生倫理疑心，但他又不想放棄讓孩子摸出白球有獎的設(shè)計。在后續(xù)平行班的教學(xué)中，他進行了這樣的重建：他到學(xué)校后面的小商店里拍了一張像片，小商店的貨架上是琳瑯滿目的商品。開始上課時，有意不穿外套。到“有獎摸球〞前，穿上外套，投影那張像片。然后說：“我是這個商店的老板，你看我這里有吃的，有喝的，有玩的，還能摸球得獎呢！〞然后，組織學(xué)生摸球……當(dāng)孩子們說教師不讓學(xué)生摸出白球“坑人〞的時候，教師把外套脫了，說：“同學(xué)們，老師來了，你有什么話想說？〞一件外套，將教師保護了起來，復(fù)原了這類游戲的本來面目。教師備課的過程，很大程度上就是反思自身教學(xué)中存在問題，甄別問題產(chǎn)生的原因，并思考后續(xù)教學(xué)如何重建的過程；而上課的過程，就是把解決問題的設(shè)想加以實現(xiàn)的過程；說課、評課的過程，是重新思考教學(xué)中存在的新的、更高層次的問題，并致力于尋找解決問題對策的過程。教師日常教學(xué)成果的表達形式并不是撰寫學(xué)術(shù)論文，而是記敘自己教育教學(xué)經(jīng)歷的日志、敘事、案例、課例。教學(xué)日志反映教師在教育教學(xué)中的實際情況，思考了教學(xué)中需要把握的主要問題；教敘事描述了教師教學(xué)中遇到的典型事件，分析這些事件的啟示意義；教學(xué)案例表達的是教師在教育教學(xué)中真實發(fā)生的典型性的疑難事件，呈現(xiàn)教師在解決典型問題上的典型經(jīng)驗；教學(xué)課例是以某一節(jié)課為分析對象，以教學(xué)設(shè)計、教學(xué)進程、教學(xué)反思三局部為根本結(jié)構(gòu)形式，將新課程的教學(xué)理念轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W(xué)實踐的全過程展示出來?！沧髡邽槿A東師范大學(xué)教育學(xué)系教授、博導(dǎo)〕聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)系列九：積極應(yīng)對學(xué)科知識新挑戰(zhàn)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〔實驗稿〕》第一次將平移、旋轉(zhuǎn)、中位數(shù)、眾數(shù)、可能性等內(nèi)容納入小學(xué)數(shù)學(xué)課程，對小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了更高的要求。在教學(xué)實踐中，小學(xué)數(shù)學(xué)教師本體性知識欠缺的問題逐漸暴露出來?！耙o學(xué)生一杯水，教師就要有一桶水〞的觀念經(jīng)過一次又一次的實踐證明，再次成為數(shù)學(xué)教育界的共識。由于過去的師范教育中沒有設(shè)置解析幾何、概率論等課程，很多小學(xué)數(shù)學(xué)教師從來沒有接受過“圖形變換〞與“統(tǒng)計和概率〞等知識的系統(tǒng)培訓(xùn)。還有一些教師，過去雖然學(xué)習(xí)過相關(guān)課程，但由于沒有時機再次接觸，久而久之，逐漸淡忘。以下的這些教學(xué)片斷就說明仍有相當(dāng)一局部教師的數(shù)學(xué)專業(yè)知識結(jié)構(gòu)不能完全滿足新課程的要求。[片斷1]教師給學(xué)生舉出一些生活中常見的旋轉(zhuǎn)實例時，舉了房門開關(guān)的例子?！彩聦嵣?，中小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的圖形變換都是在同一平面內(nèi)討論的，教師應(yīng)該意識到兩種“旋轉(zhuǎn)〞有著本質(zhì)的區(qū)別?！砙片斷2]教師引導(dǎo)學(xué)生觀察方格紙上一個軸對稱圖形的特點時，總結(jié)出“對稱軸的兩邊共有五組對應(yīng)點，每組對應(yīng)點的連線和對稱軸垂直且到對稱軸的距離相等〞的結(jié)論?！部此茰?zhǔn)確的結(jié)論卻在不經(jīng)意中傳達給學(xué)生一個錯誤的信息：對稱軸兩邊只有五組對應(yīng)點。這僅僅是一個口誤，還是教師缺乏應(yīng)有的數(shù)學(xué)敏感？〕[片斷3]在“數(shù)據(jù)收集〞一課中，教師讓學(xué)生以小組為單位，調(diào)查聽課的幾十位教師分別喜歡什么小動物。小組成員分別找了一些教師進行調(diào)查，然后把調(diào)查結(jié)果在小組中匯總。〔熱熱鬧鬧的小組合作學(xué)習(xí)方式難掩教師統(tǒng)計知識的薄弱，因為同一小組的假設(shè)干名學(xué)生對幾位坐在前排的聽課教師進行了重復(fù)調(diào)查，匯總后的結(jié)果并不能準(zhǔn)確地反映實際情況。對此，執(zhí)教者竟渾然不覺?！硰囊陨习咐梢钥闯?，如果教師缺乏深厚的數(shù)學(xué)功底，全面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力就只能是一句空泛的口號而已。因此，需要通過多渠道的學(xué)習(xí)和培訓(xùn)讓小學(xué)數(shù)學(xué)教師盡快補上這一課。首先解決“教得對不對〞的問題，再解決“教得好不好〞的問題。一方面，教師需要不斷提高自己的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，以更高的視角來看待小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，即“高處著眼〞。另一方面，由于我們的教育對象是小學(xué)生，教師又應(yīng)以一種平易近人、通俗易懂的方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，即“低處著手〞。有了“高處著眼〞，才能高屋建瓴，統(tǒng)攬全局。但假設(shè)沒有“低處著手〞，就不能化繁為簡，寓教于樂，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)精神更無從談起。厚積方能薄發(fā)。小學(xué)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容雖然相對簡單，但同樣蘊含了豐富的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)文化。要使學(xué)生獲得適應(yīng)社會生活和進一步開展所必需的數(shù)學(xué)根底知識、根本技能、根本思想、根本活動經(jīng)驗，教師首先要具備豐厚的數(shù)學(xué)知識、扎實的數(shù)學(xué)技能和成熟的數(shù)學(xué)思想。只有這樣，才能以一種宏觀的、聯(lián)系的、開展的觀念去看待數(shù)學(xué)，而不拘泥于局部的、零散的、靜態(tài)的認識，才能從更高更廣的角度理解“數(shù)學(xué)是什么〞、“小學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)什么樣的數(shù)學(xué)〞等問題，才能在實施教學(xué)時信手拈來，游刃有余。首先，要及時補充與小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容直接相關(guān)的數(shù)學(xué)知識。要求教師對數(shù)學(xué)的每個分支都進行深入研究并不現(xiàn)實，也無必要。但對根本內(nèi)容和核心思想進行全面的了解，還是很有必要的。教師以何種高度看待小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容直接決定了能否把課上出“數(shù)學(xué)味〞來。其次，要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科的最新開展動向。數(shù)學(xué)是一個不斷開展著的學(xué)科，了解數(shù)學(xué)的開展歷史、當(dāng)前的開展?fàn)顩r以及未來的開展方向，對于教師理解數(shù)學(xué)的思想和文化至關(guān)重要。教師只有了解這些前沿信息，才能以數(shù)學(xué)自身的旺盛生命力和內(nèi)在魅力吸引學(xué)生不斷探索未知世界。深入還需淺出。由于小學(xué)教育的特殊性，教師除了具備厚實的數(shù)學(xué)功底以外，還要擁有將這些抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為生動活潑的“兒童數(shù)學(xué)〞的能力，在課堂上以最樸素、最簡潔、最直觀、最易于理解的方式來呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，化平凡為神奇，寓大道于最簡，讓學(xué)生真正體會數(shù)學(xué)的有趣，從而自發(fā)地產(chǎn)生親近數(shù)學(xué)的愿望。在素材選取、活動設(shè)計等方面，只有充分考慮學(xué)生的開展水平，才能為學(xué)生提供一種科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性與通俗性、趣味性相統(tǒng)一的數(shù)學(xué)教育?！案咛幹郏吞幹吱?，不僅是對小學(xué)數(shù)學(xué)教師的要求，更是全體數(shù)學(xué)教育工作者應(yīng)努力到達的共同目標(biāo)。所有數(shù)學(xué)教育工作者，包括理論工作者、課程設(shè)計者、教材編寫者、教研人員、教師，都需要不斷修煉內(nèi)功，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)，以適應(yīng)不斷開展的數(shù)學(xué)教育的需要。同時，又應(yīng)該以一種“低姿態(tài)〞來提出教育理論、制訂課程標(biāo)準(zhǔn)、編寫教科書、設(shè)計教學(xué)。正如武俠小說中所描述的：“練拳不練功，到老一場空。練功不練拳，猶如無舵船。〞如果各個層面的數(shù)學(xué)教育工作者都能既練好“功〞，又練好“拳〞，我們的數(shù)學(xué)教育就能少一分功利與急躁，多一分平實與和諧?！沧髡邽槿嗣窠逃霭嫔缧W(xué)數(shù)學(xué)室編輯〕聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)系列十：僅讓學(xué)生學(xué)會解題是不夠的-----追尋積極向上的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)數(shù)學(xué)是義務(wù)教育階段的根底學(xué)科。之所以是根底，一方面是因為所選內(nèi)容是每一個人在社會生活中必備的根本知識和根本技能；另一方面，還因為所學(xué)內(nèi)容是后續(xù)學(xué)習(xí)的必要根底。然而實際上，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中存在著大量的“解題〞，本該充滿根底性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往被淹沒在題海之中。我們究竟該如何辨析解題與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之間的關(guān)系？如何全面考查學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目標(biāo)價值取向呢？解題不可見題發(fā)揮“解題〞這個概念本身就值得探討研究。解題是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成局部與重要途徑。我們不必討論數(shù)學(xué)教學(xué)要不要解題，要解多少題，而是要研討解什么樣的題，如果都是“好〞題，自然非常必要。如果再追問怎樣的題才算好題，那更是需要研討的了。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解題的關(guān)系顯然不能一概而論，需要慎重分析。一味摒棄解題，可能導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)水平的降低；一味主張解題，進行題海戰(zhàn)術(shù)，無疑會加重學(xué)生的負擔(dān)?！敖忸}〞這樣的傳統(tǒng)話題值得深入細致研究，研究“解題〞是減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負擔(dān)的重要途徑。我們不能以減輕學(xué)生負擔(dān)為名義對數(shù)學(xué)題妄加指責(zé)，而使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)趨向另一個極端。記得曾有多位文化名人對數(shù)學(xué)題“有一個水池，單開進水管，注滿水池要5小時，單開出水管放完一池水要8小時，如果同時開兩個水管，幾小時能注滿水池？〞大加指責(zé)。其實這種批評是值得商榷的，因為這樣的數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實生活中比比皆是。農(nóng)田的灌溉，經(jīng)過a田灌溉b田，影院進場和出場同時進行，飛行工具能源的消耗與輸入等，都是這種情境。不可否認，適當(dāng)?shù)慕忸}是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可或缺的組成局部，尤其是那些富有現(xiàn)實性、趣味性、根底性、挑戰(zhàn)性的問題理應(yīng)成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容。但讓人遺憾的是，日常教學(xué)中可能絕大多數(shù)的“解題〞還是相當(dāng)?shù)某淌交?、機械化，難免讓學(xué)生覺得枯燥乏味。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要注重提升素養(yǎng)成認“解題〞對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用，并不是無限制地擴大它的價值，畢竟解題只是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的途徑與手段，絕不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終極目標(biāo)。在新課程背景下，許多學(xué)者呼吁從關(guān)注“雙基〞到“四基〞，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)在于掌握必需的根底知識和根本技能，積累豐富的活動經(jīng)驗，體悟數(shù)學(xué)的根本思想。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不只是解題，在學(xué)習(xí)的過程中還將學(xué)會觀察，學(xué)會思考，學(xué)會表達，學(xué)會書寫，學(xué)會合作。著名特級教師張?zhí)煨⒀芯啃W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)50年，他有一個治學(xué)心得是：“讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會學(xué)習(xí)，在思考中學(xué)會思考。〞這正是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)的精辟提升。如果以上的表述并不具有數(shù)學(xué)學(xué)科的特點的話，那么加上一個定語——讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光進行數(shù)學(xué)思考。比方，百貨店的促銷信息，人們不僅會關(guān)注哪個折扣低，還會關(guān)注標(biāo)價的上下。美國統(tǒng)計學(xué)家戴維·S·穆爾的《統(tǒng)計學(xué)的世界》一書中有幅漫畫，畫的是一個人誤以為平均水深就是每一個地方都是這樣的水深而溺水死亡，從側(cè)面反映了數(shù)學(xué)常識在現(xiàn)實生活中的作用。數(shù)學(xué)地思考，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的更高目標(biāo)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所倡導(dǎo)的思考方式是具有學(xué)科特點的。看到下面的圖1時，別的學(xué)科可能關(guān)注的是這幅圖是多么的美觀，但是對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，教師需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注這個圖形的組成與分解，引導(dǎo)學(xué)生思考的是多邊形線的條數(shù)等。這種量化、精確化的思考方式是數(shù)學(xué)教學(xué)最根本的目標(biāo)價值所在。數(shù)學(xué)要促進人的全面開展數(shù)學(xué)教學(xué)不只是為了數(shù)學(xué)。作為義務(wù)教育階段的根底學(xué)科，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時間也是學(xué)生全面開展的時間。按每天1節(jié)課的時間計算，學(xué)生接近1/6的在校時間是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中度過的。這就要求數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅限于教學(xué)數(shù)學(xué)，應(yīng)該真正為人的長遠開展效勞。怎樣與人合作，怎樣在小組內(nèi)表達自己的見解，怎樣研究問題，學(xué)會分類，學(xué)會從多個現(xiàn)象中歸納出特點，學(xué)會從一個事件類比到另一個事件。學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會思考，學(xué)會與人相處，這些都是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)所在。把德育蘊含在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，其實大有文章可做。以下面的運行圖為例。看完圖，學(xué)生一般會作出這樣的評價：阿明很貪玩，在商店買零食，到游戲機房玩游戲機，到鄰居家逗留，最后才回家；阿芳很乖，放學(xué)就回家了；阿強丟三落四，回家后發(fā)現(xiàn)作業(yè)本沒帶又回去拿了。這時，我總講八個字：仁者見仁，智者見智。學(xué)生的思維馬上發(fā)散了：阿明到商店買學(xué)習(xí)用品，發(fā)現(xiàn)游戲機房有同學(xué)在，他過去勸阻，鄰居家有小妹妹或者老奶奶要照顧，阿明很懂事；阿強回家后下雨了，想起學(xué)校的教室窗戶沒有關(guān)又回去了，是個愛集體的好學(xué)生。在同一節(jié)課上，1分鐘前后有截然不同的表達。這種表達已經(jīng)不再是對數(shù)學(xué)信息的解讀。為什么解讀不能先從好的角度開始呢？同一個現(xiàn)象，從不同的角度看，所感悟到的是不一樣的。樂觀、積極、向上的情感態(tài)度，看待事物的多元視角是教育的本性訴求，數(shù)學(xué)教學(xué)也是如此。數(shù)學(xué)教學(xué)的評價需多元化數(shù)學(xué)教學(xué)不只是解題，也不只是教學(xué)數(shù)學(xué)。因此在評價數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)的達成時，顯然不能用簡單的“會不會〞來評價。在學(xué)習(xí)的過程中，教師還要考慮是否滲透了數(shù)學(xué)的方法，是否在學(xué)習(xí)的過程營造了學(xué)生之間良好的合作氣氛，是否促成了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極情感、態(tài)度，是否為后續(xù)的學(xué)習(xí)積累了豐富的活動經(jīng)驗，是否為形成數(shù)學(xué)的根本思想積存了感悟。例如，“乘法的認識〞一節(jié)，當(dāng)面對一個情境列出很多不同的連加算式時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生把算式分為兩類，一類是算式中的數(shù)全相同，另一類是算式中的數(shù)不全相同。有了這樣的分類，再引導(dǎo)學(xué)生把算式中數(shù)全相同的一類寫成乘法的形式。在這個過程中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再只是為了學(xué)會乘法算式怎么寫、怎么讀，而是讓學(xué)生從不同的算式中通過自主分類，概括出乘法算式的意義。同時，在分類的過程中，如果把所有的算式分為兩類，一類是“數(shù)全相同〞，另一類是“數(shù)不全相同〞，可以做到不重不漏。對于這個學(xué)習(xí)過程來說，教學(xué)的價值并非僅僅為了認識乘法算式，而是學(xué)會數(shù)學(xué)的根本方法——分類，從而歸納同類算式的特點，然后用語言概括出乘法的意義。再比方“平均數(shù)〞的教學(xué)，在聯(lián)系現(xiàn)實生活情境時，面對一個公司平均工資為1000元和另一個公司工資眾數(shù)為1000元的兩個公司，作為一個剛畢業(yè)的大學(xué)生該如何擇業(yè)？一方面可以考查學(xué)生對平均數(shù)的理解，理解平均數(shù)并不是代表這個公司的每個人的工資都是這個數(shù)；同時，也可以反映學(xué)生出對自身素質(zhì)的定位和面對生活的態(tài)度。全面的、科學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評價，應(yīng)該不限于對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的評價，還應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)是否愉快，是否對內(nèi)容有興趣，是否對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了積極的情感。大而言之，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，還滲透了一種潛在的理性精神和積極的人生價值觀，這或許是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正“以人為本〞的表達?！吨袊逃龍蟆?023年2月13日第6版聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)系列十一：什么是真正“用教材教〞“用教材教〞就是用好用活活用教材在一次“同課異構(gòu)〞專題教研活動中，５位教師分別執(zhí)教了蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)“用一一列舉的策略解決問題〞這一內(nèi)容。教材安排了兩個例題，例１是“王大叔用１８根１米長的柵欄圍成一個長方形羊圈，有多少種不同的圍法？〞例２是“訂閱《科學(xué)世界》、《數(shù)學(xué)樂園》和《七彩文學(xué)》雜志，最少訂閱１種，最多訂閱３種，有多少種不同的訂閱方法？〞現(xiàn)場教學(xué)中，共有４位教師把例１和例２的素材進行了改編，把例１的素材改為王大叔“圍花圃〞，例２的素材改為王大叔“選花苗〞，只有一位教師沿用教材進行教學(xué)。聽課的老師認為后一位教師的例題素材與眾不同，是對教材進行了改編，而前4位教師如出一轍的改編卻被認為是教材的本來編排。改編的教材“反仆為主〞為難了誰？仔細研讀教材，我們不難發(fā)現(xiàn)，兩道例題注重選用有趣的、有現(xiàn)實背景的素材，旨在調(diào)動學(xué)生解決問題的積極性，同時激活學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)活動能力。以例２為例，“訂閱雜志〞與“選種花苗〞，哪個素材更貼近學(xué)生的實際生活？更容易喚起學(xué)生的興趣和經(jīng)驗？顯然是前者。４位教師在改編教材時只注重從“教〞的層面，認為用“圍花圃〞和“選花苗〞的情境，容易組織教學(xué)內(nèi)容，有利于教師進行教學(xué)，這折射出教師“以教為中心〞的教學(xué)設(shè)計價值取向。教師如此熱衷于改編教材，一方面說明新課程背景下教師對于“用教材教〞意識的提升，另一方面也說明教師對教材認識的形式化和外表化。在實踐中，教師該如何真正落實“用教材教〞呢？在我看來，“用教材教〞至少包含3個層面的含義，即用好、用活與活用教材。用好——尊重教材筆者曾經(jīng)讀過一個教師的備課反思：“雖然我每天課前都備課，但對教材挖掘得很不夠。很多時候，在講解某一個知識點時，突然想起了還有另外一個內(nèi)容應(yīng)該補充，但由于事先沒有準(zhǔn)備，只好課后查閱完再補充。該趁熱打鐵的時候老師沒詞了，這是多么為難的事??！〞這是常態(tài)課堂中局部教師呈現(xiàn)出的真實圖景。課前“吃〞不透教材，課堂上徒留遺憾與為難。因此，讀懂教材是教師必備的根本功，讀懂教材是使用教材、有效教學(xué)的根底。如何“吃〞透教材、讀懂教材？具體到一節(jié)課，教師要從以下５個方面入手研讀教材：了解教材整體結(jié)構(gòu)及前后聯(lián)系，明確例題的地位和作用，弄清習(xí)題與例題的關(guān)系，揣摩插圖的編排意圖，鉆研提示語和旁注。做到“五讀俱全〞，即讀懂問題情境，讀懂每一道習(xí)題，讀懂教材內(nèi)容的結(jié)構(gòu)，讀懂教材的呈現(xiàn)方式，讀懂教材的旁注、留白。教學(xué)離不開教材，“用教材教〞的第一層含義就是要用好教材，準(zhǔn)確把握教材的編寫意圖，在教學(xué)中力求復(fù)原教材編寫的本意，深入感悟教材資源，實現(xiàn)教材自身價值的最大化。用活——理解教材用活教材，就是以教材作為原型和范例，在依托和尊重教材的根底上，根據(jù)實際需要對教材進行適度的拓展和延伸，挖掘教材資源的深層價值，最大限度地發(fā)揮教材的功能。點亮教材細節(jié)。筆者曾經(jīng)聽過一位特級教師談自己如何“由內(nèi)而外地打磨數(shù)學(xué)課堂〞，有時僅僅是在使用教材時“讀一遍習(xí)題、加兩個數(shù)據(jù)、換三道題目〞，這些細節(jié)處理沒有張揚的技法，有的只是教師對教材的深刻理解、對學(xué)情的準(zhǔn)確把握。有的教師潛心設(shè)計“小動作〞，對課堂教學(xué)起到畫龍點睛的藝術(shù)化效果，這些“點睛之筆〞源于教師對教學(xué)本質(zhì)的深刻領(lǐng)悟。在課堂教學(xué)中，教材細節(jié)的開發(fā)往往容易被教師無視。有的教師認為教材編寫已經(jīng)給出完美的作品，教學(xué)時只需搬用就行，他們考慮的大多是用得像不像，而較少思考“有沒有更好的用法〞。其實，許多教材細節(jié)還需教師多加推敲，用心琢磨，把教材細節(jié)做“亮〞。教師備課時要在充分鉆研教材的根底上，認真對待教材的每一個細節(jié)，賦予教材細節(jié)更深的知識內(nèi)涵和更廣的思維空間，讓教材細節(jié)豐盈課堂，使之能夠生發(fā)錦上添花、以小見大的效力。填補教材“空白〞。新教材通過游戲、對話、表格和圖片等方式呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，沒有呈現(xiàn)結(jié)論，只有學(xué)生自主活動的建議和過程中的問題提示，力求為教與學(xué)留下盡可能大的探究和交流空間。教學(xué)的靈活性增加了，教師的選擇空間擴大了。這些教材空間給教師教學(xué)帶來一定的困惑和難度，同時也給主體間的有效合作帶來了良好的時機，讓教師在使用教材時有更多的聯(lián)想意境和創(chuàng)造空間。例如蘇教版五年級“小數(shù)乘整數(shù)〞一課，教材對豎式如何引出沒給出具體的方法，從而留下了教學(xué)空間。教師在使用教材時不妨在此動動腦筋，考慮如何增減教學(xué)素材更便于學(xué)生感悟到用豎式計算“小數(shù)乘整數(shù)〞的必要。教師要善于在教材的“留白〞處挖掘、拓展教材的深度和廣度，從而使新課程教材真正成為有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能、引導(dǎo)學(xué)生自主探索、鼓勵學(xué)生自我實現(xiàn)、不斷提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的“有效的信息資源〞。開發(fā)習(xí)題資源。習(xí)題在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中占很大的比重，如何充分利用課本中的習(xí)題資源，開發(fā)習(xí)題的育人價值是“用教材教〞的一個重要方面。數(shù)學(xué)習(xí)題蘊含有知識功能、教育功能和評價功能。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解答習(xí)題本身并不是目的。學(xué)生一旦開始解題，他就接受著一種思想的訓(xùn)練，從技能、思維、智力、非智力等各方面塑造自己。新教材的習(xí)題注重培養(yǎng)學(xué)生的分析、綜合、判斷、推理的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題能力和對數(shù)學(xué)積極的情感體驗，在編排上注重利用實際情景設(shè)計開放性的問題，為教師創(chuàng)造性地組織教學(xué)提供了豐富的資源。教師要有習(xí)題資源的意識，將教材中的習(xí)題拓展為一個個值得學(xué)生探究的數(shù)學(xué)問題，以利于拓展學(xué)生的探索空間，促進學(xué)生的合作交流，讓習(xí)題增值。活用——創(chuàng)生教材新課程的每個學(xué)段都要求教師“創(chuàng)造性地使用教材〞，但創(chuàng)造性地使用教材并非簡單地改變教材，它是用教材教的最高境界——超越教材、活用教材。具體表達在教師對教材有深刻和獨到的見解，對教學(xué)有獨特的思路和設(shè)計，能夠?qū)滩牡慕^對權(quán)威提出挑戰(zhàn)，作出有個性的演繹，面對復(fù)雜多變的教育情景及時增刪、延展固有觀念，創(chuàng)造出有益于師生對話的氣氛，使教學(xué)活動更加鮮活生動。它要求教師能夠站在與教材編寫者同樣的高度去審視教材，能夠讀懂學(xué)生、讀懂教材，尋求學(xué)生認知規(guī)律與教材編寫意圖之間的契合，對教材科學(xué)合理地整合、重組和超越，使加工后的教材更加豐富多彩，更具實效性、現(xiàn)實性和挑戰(zhàn)性，更好地調(diào)動學(xué)生的積極性和主動性。要創(chuàng)造性地使用教材，教師首先要成為一部書，一部非常生動、豐富和深刻的教科書。這種專業(yè)自覺不僅是外界賦予的權(quán)利，也是教師教學(xué)生活的內(nèi)在追求。小學(xué)數(shù)學(xué)要注重長遠與長效

從整體上把握小學(xué)數(shù)學(xué)，著眼點很多。要想理出頭緒、抓住重點，“放眼長遠、注重長效〞最重要。放眼長遠是核心長遠是就目標(biāo)而言。無論一個人長大以后在不在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)學(xué)習(xí)或工作，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)得的解決問題策略、思維方式、思想方法及運用工具的能力都將發(fā)揮重要作用。小學(xué)數(shù)學(xué)課程雖然與高考、就業(yè)一類的目標(biāo)相距尚遠，但卻是整個根底教育數(shù)學(xué)課程最重要的局部。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)具有立足長遠、放眼長遠的功能。然而，現(xiàn)實情況不容樂觀。應(yīng)試教育的負面作用揮之不去，以缺少節(jié)制的“又對、又快、又準(zhǔn)〞為標(biāo)志的評價體系，仍在壓抑著學(xué)生本應(yīng)生機勃勃的活力。數(shù)學(xué)多半只在考試中露崢嶸，生活里看不到，工作中用不上，一旦不用考了便會就此再見。這樣的數(shù)學(xué)談何長遠？毫無疑問，數(shù)學(xué)大有用場。但數(shù)學(xué)教育有沒有長遠眼光將取決于：我們是不是為孩子提供了培育興趣、應(yīng)用、應(yīng)變、自信、求實、責(zé)任、想象和創(chuàng)造的環(huán)境。我們是不是擺脫了題型教育、考試教育的束縛，是不是給過孩子自己足夠的空間，讓他們能夠獨立地去想一想、試一試，而不是完全按照老師的理解，或是書本上的某個模式去照抄照搬。這些都關(guān)乎學(xué)生“終身學(xué)習(xí)的愿望和能力〞。數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)的教育，離不開作為科學(xué)的數(shù)學(xué)。不少前輩一再強調(diào)，學(xué)數(shù)學(xué)就要坐得住冷板凳，就要經(jīng)得起枯燥和抽象的考驗。這對專業(yè)數(shù)學(xué)工作者毋庸置疑，但將這樣的主張貫之于小學(xué)那么根本是謬誤。板著面孔、與枯燥寂寞相伴的數(shù)學(xué)難以走進孩子的心靈。注重長效是關(guān)鍵小學(xué)數(shù)學(xué)的長遠目標(biāo)能否落實，關(guān)鍵是要為長效提供支撐。有效教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究特別熱衷的課題。有效教學(xué)指教學(xué)的結(jié)果與預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)匹配程度高。需要注意的是，“有效〞有長、短之分。簡單地說，管長遠、能一生受用的效果就是長效；管眼前、管特殊技能形成的就是短效。依時間考量，長效要長期積累，難于一蹴而就；短效可立竿見影，易在一節(jié)課內(nèi)形成。同時，眼前和長遠相互依托，缺一不可。那短效與長效之間的關(guān)系是怎樣的呢？一方面，沒有一次次短效的磨煉和積累，長效難以形成；另一方面，某些需要通過高強度、高密度訓(xùn)練才能記住并掌握的定義、定理、公式、算法，注定在人們心里留存的時間不會太久。白天學(xué)過的內(nèi)容，晚上沒帶書可能就想不起來。然而，探索、發(fā)現(xiàn)這些定義、定理、公式和算法的過程中形成的積淀，運用這些定義、定理、公式和算法解決實際問題的經(jīng)驗和體會倒可能會長遠留存。這樣的經(jīng)歷多了，積累也就多了，不經(jīng)意間，往往形成了一些相對穩(wěn)定的與數(shù)學(xué)有關(guān)的見解，或者說是思路。這些都能長久地駐留在學(xué)生心中，并能在一生的學(xué)習(xí)、生活和職業(yè)生涯中派上用場，成為個人開展的重要支撐點。因此，漠視“探索發(fā)現(xiàn)那些定義、定理、公式和算法的過程〞的數(shù)學(xué)教學(xué)，收獲的多半是短效，而得來得快、忘得也快的教學(xué)大體上是無效的。因此，短效雖然易得，但長效更是關(guān)鍵，短效要為長效效勞，要以長效為目標(biāo)。一方面把“過程與方法〞、“情感、態(tài)度與價值觀〞實實在在地納入有效教學(xué)的視野。同時，對以密集型、機械性、速率式、硬指標(biāo)為特征的教學(xué)策略要有個清醒的認識。練就注重長效的“獨門功夫〞舉“測量〞為例。當(dāng)學(xué)生認識了角之后，面對形形色色、五花八門的角，比擬大小的問題隨之浮出水面，測量成為定量認識角的主題，包括單位和實測兩層含義。一是“單位〞，也就是大家都認可的度量單位。小學(xué)階段“單位〞的重心在理解和具體感受單位的實際意義，像掂一掂500克一袋的鹽、摸一摸0.4平方米的桌面有多大，量量自己有多高，等等。這些看上去沒什么“數(shù)學(xué)味兒〞的舉動，都是感受和理解單位時不可或缺的嘗試。更重要的是，單位本身是規(guī)定的結(jié)果。公度的必要性和規(guī)定性源自人類通過不同途徑，長期摸索之后形成的共識，是人類的共同語言。對學(xué)生來說，這里有很大的討論、活動和探索空間。在教學(xué)上下點功夫，能幫助學(xué)生認識單位的標(biāo)準(zhǔn)作用和平臺作用，懂得個別和一般的關(guān)系，知道如何在估計與精確之間作出選擇，逐步認識到數(shù)學(xué)為什么需要抽象，等等，而這些都有助于學(xué)生接近和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，都與長效聯(lián)系在一起。二是“量〞，即如何實測的問題。教學(xué)的重心應(yīng)當(dāng)從學(xué)生自己的經(jīng)驗出發(fā)，從“真刀真槍〞的問題開始，通過鼓勵學(xué)生使用自創(chuàng)的工具和單位，逐步導(dǎo)向標(biāo)準(zhǔn)的工具和單位，引導(dǎo)學(xué)生多角度摸索測量的方法，逐步從不那么正規(guī)的測量單位和方法一步步接近直至能夠到達科學(xué)的測量。測量課應(yīng)當(dāng)是用一連串的“為什么〞串起來的“發(fā)現(xiàn)〞課，每個結(jié)論的得出都應(yīng)當(dāng)伴隨著學(xué)生自己的發(fā)現(xiàn)、歸納與整理。學(xué)生不僅要知道如何量，還要知道量的方法從哪里來，知道書本上的測量對象和生活中的測量對象的關(guān)系，知道測量的意義。如果小學(xué)階段僅僅把測量處理成照本宣科的技能教學(xué)，只是采取多快好省、照抄照搬、紙上談兵的方式灌輸和訓(xùn)練，就可能浪費了這一題材的教育價值。如果因為測量不是考試中的重頭戲而在教學(xué)上敷衍了事，結(jié)果就更可怕。學(xué)生對數(shù)學(xué)越來越明顯地敬而遠之，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的越來越趨于實際，多半與此有關(guān)。小學(xué)階段的測量，不是單純的技能培養(yǎng)與訓(xùn)練，而是一塊為學(xué)生探索與發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)備的沃土。它提供應(yīng)學(xué)生通過自己的眼和手去發(fā)現(xiàn)與認識世界的時機，它能自然地溝通過程與結(jié)果之間的聯(lián)系，能把學(xué)生探索的目光從書本、教室引向生活、社會，能為學(xué)生提供實實在在的動會，讓他們“真刀真槍〞地解決幾個真正的問題。不僅是測量，小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的許多技能，多半會隨著兒童的成長淡淡隱去，而伴隨著一連串“為什么〞發(fā)現(xiàn)的規(guī)律、道理和方法倒有可能長久留存，成為伴隨學(xué)生一生的本領(lǐng)。放眼長遠、注重長效能否在教學(xué)中得到表達，關(guān)系到新課程推進的質(zhì)量。當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中哪些是要改的，哪些是值得留的，哪些是該適可而止的，哪些是該著力推進的，這一切都將建基于教師的見識和視野，決定著新課程的主張能否踐行。原文載《中國教育報》2023年2月13日第5版聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)系列二：別讓數(shù)學(xué)教學(xué)淪為解題教學(xué)實際教學(xué)中，數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)常常被簡單地理解為數(shù)學(xué)知識的掌握。以知識掌握的數(shù)量和牢固程度作為唯一標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)評價，引導(dǎo)著師生對知識的單一追求。為了便于學(xué)生理解和接受，抽象、嚴(yán)謹(jǐn)且具有廣泛應(yīng)用性的數(shù)學(xué)知識經(jīng)常被教師們分解為一道道數(shù)學(xué)題，解題成了數(shù)學(xué)教學(xué)活動的重要組成局部，引導(dǎo)學(xué)生解題成了數(shù)學(xué)教學(xué)的一種重要形式和手段。理論上，所有人都知道數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)是多元的，遠不只是掌握知識和解題那么簡單。然而，具體到教學(xué)一線，教師們總希望能抓住一些有形的、易于測量的東西來操作。于是，解題成了一線教師教學(xué)評價的抓手。確實，面對一道數(shù)學(xué)題，學(xué)生能否調(diào)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識來解決，可以折射出學(xué)生相關(guān)數(shù)學(xué)知識的掌握情況。學(xué)生能靈活調(diào)用數(shù)學(xué)知識來解決相關(guān)的問題，也表現(xiàn)為數(shù)學(xué)能力。于是，解題就成了教師衡量學(xué)生學(xué)習(xí)水平的重要標(biāo)尺，學(xué)校也通過編寫試卷，讓學(xué)生解答批量的數(shù)學(xué)題來呈現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，了解、檢驗教師的教學(xué)。說到底，還是評價的導(dǎo)向在起決定作用。如果高考的影響力及其指揮棒的作用、考試評價的方式一天不改變，教師和學(xué)生們追逐成績、把解題能力當(dāng)作數(shù)學(xué)教學(xué)最高目標(biāo)的現(xiàn)狀也將很難改變。華羅庚說過：“學(xué)數(shù)學(xué)不做題目，等于入寶山而空返。〞這說明，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題，但是解題只能作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要途徑，而不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的全部。數(shù)學(xué)教學(xué)對解題的依存關(guān)系表現(xiàn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程需要解題這一重要的手段。解題作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的重要手段，其作用可以歸結(jié)為以下幾點：首先，解題過程引導(dǎo)學(xué)生邏輯思考。許多數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)系非常嚴(yán)謹(jǐn)，知識的起源、認識、理解和掌握蘊含著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?、推斷過程。這一過程往往是通過解決一個個數(shù)學(xué)問題來完成的。數(shù)學(xué)解題過程是假設(shè)干數(shù)學(xué)知識的綜合調(diào)用和一系列邏輯推理的組合，是一項重要的數(shù)學(xué)思維活動。所以數(shù)學(xué)解題過程成了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的重要組成，成了一次次邏輯推證的過程。其次，解題是引導(dǎo)學(xué)生有步驟地走進數(shù)學(xué)的過程。數(shù)學(xué)知識本身是一個邏輯鏈，數(shù)學(xué)知識被分解為一系列相關(guān)聯(lián)的問題，數(shù)學(xué)教學(xué)就是通過這些問題串，以舊引新，層層深入，引導(dǎo)學(xué)生逐漸走進數(shù)學(xué)的內(nèi)核。再其次，數(shù)學(xué)問題直接挑戰(zhàn)學(xué)生的智慧。數(shù)學(xué)知識以問題的形式呈現(xiàn)，在解題過程中學(xué)生首先要直面問題，有價值的數(shù)學(xué)問題能很好地挑戰(zhàn)學(xué)生的智慧、激活學(xué)生的思維，更大限度地激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造潛能。解題不能準(zhǔn)確地反映學(xué)生的全部學(xué)習(xí)狀況。解題的過程受各種因素的影響，學(xué)生在解題過程中的表現(xiàn)也可能是片面的，只能反映學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的局部情況。人們對知識調(diào)用的速度和思維的靈活度與心情好壞、注意力集中程度等都有密切的關(guān)系。解題也會受題目質(zhì)量的影響，如問題的呈現(xiàn)方式、表達習(xí)慣、定位的明顯程度。個人的經(jīng)驗和成長歷程以及對問題及其情境的熟悉程度，也決定個人對問題的適應(yīng)性和感受性。許多老師要求學(xué)生“多做題〞，認為多做題目就增長了見識。正是這種“一回生，二回熟〞的信念，造成了對解題結(jié)果的過分追求，對提高解題能力手段的過度研究，使得解題成了操練的工具，解題也因此失去了呈現(xiàn)學(xué)生真實學(xué)習(xí)水平的意義。準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)與價值。數(shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學(xué)模型，進而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目的是接受數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神的熏陶，提高自身的思維品質(zhì)和科學(xué)素養(yǎng)。這需要每一位教師準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)與價值，讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)成為學(xué)習(xí)者思維活動交流的過程。充分發(fā)揮解題教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的功能。要想讓數(shù)學(xué)教學(xué)不淪為解題的教學(xué)，就要幫助教師正確定位解題在數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義和作用。一是要選擇有教學(xué)價值的典型問題。二是要把問題的教學(xué)價值發(fā)揮到極致。充分挖掘問題的教學(xué)價值，適當(dāng)安排時機發(fā)揮題目資源的效用，盡可能一題多用。三是在評價解題時，把通法〔一般的普通方法〕放在第一位，不一味追求速度或技巧。四是要關(guān)注解題過程反應(yīng)的價值信息。在關(guān)注解題結(jié)果的同時，考慮給過程分，關(guān)注解題過程中的各種表現(xiàn)，收集有效信息，幫助診斷教學(xué)，發(fā)現(xiàn)、利用有價值的教學(xué)資源。一方面引導(dǎo)學(xué)生重視解題過程，另一方面提醒教師從過程中收獲信息的教學(xué)價值更甚于結(jié)果。教師應(yīng)允許學(xué)生采用不同的思路，鼓勵學(xué)生大膽發(fā)表見解，教師在理解的根底上應(yīng)尊重各種合理的解題思路，并給出中肯的評價。五是要重視解題后的反思。解題過程中的試誤過程和成功經(jīng)驗都值得反思?；貞涀约喝绾谓?jīng)歷“山窮水盡疑無路〞，又如何到達“柳暗花明又一村〞的境地，分析解題過程給帶來的認識上的得與失。這些收獲不亞于題目本身帶給我們的價值。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們既要扎扎實實地學(xué)好數(shù)學(xué)知識和技能，又要牢固地掌握數(shù)學(xué)思想和方法，而且要能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和技能解決實際問題。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要解題，但不取決于解題的多少，而在于解題前的分析、探索和解題后的反思。我們要讓學(xué)生要成為解題的主人，要從解題中吸取解題的方法、思想，鍛煉思維。《中國教育報》2023年2月13日第6版聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)系列三：什么是真正“用教材教〞“用教材教〞時下已成為教師們經(jīng)常掛在嘴邊的一句話。“教教材〞與“用教材教〞在語意上并無多大差異，但“用教材教〞反映了教材觀的轉(zhuǎn)變，即視教材為主要的課程資源、教學(xué)線索，激活了教師的專業(yè)自主性，讓教師以教材開發(fā)者的姿態(tài)，將個人特質(zhì)、教學(xué)經(jīng)驗、教學(xué)才能融入到對教材的加工、改造之中。歷史地看，過去我們也反對照本宣科，追求用活教材，現(xiàn)在提倡“用教材教〞，似乎是舊話重提，但其中的必要性卻不容小視。社會與教育的開展在為教學(xué)提供新條件的同時，也對教學(xué)提出了更高的要求。要求教學(xué)更加關(guān)注學(xué)生的個性開展，要求教材多樣化，要求教學(xué)手段不再只是一張嘴巴、一支粉筆。因此，傳統(tǒng)的話題勢必會在新的歷史條件下，尋求新的詮釋與表達。目前，有種觀點認為，“教教材〞與“用教材教〞是教師教學(xué)水平提高的兩個階段。論據(jù)一是目前尚有不少教師的教學(xué)連忠實執(zhí)行教材還沒做到，論據(jù)二是“教教材〞要作為“用教材教〞的根底。這樣的看法有一定的道理。但需要明確的是，它只是舉出了特定背景下的真實個案，不能據(jù)此認為它就概括出了教師提升教學(xué)水平的一般規(guī)律。同時，我們也確實應(yīng)領(lǐng)先深入教材，再跳出教材，否那么難免會出現(xiàn)對教材的誤讀和背離。事實上，要有效地用教材教，除了正確理解、準(zhǔn)確把握教材之外，還必須深入分析學(xué)生的學(xué)習(xí)特點，了解他們的真實情況。教材再好，通常也只能根據(jù)一般情況為教與學(xué)提供一個思路和一種設(shè)計方案，不可能完全適應(yīng)每個學(xué)校、每個班級、每個學(xué)生的具體情況。用教材教，要求教師具備解讀教材、解讀學(xué)生的智慧。解讀教材、解讀學(xué)生與加工教材，都可以在備課過程中，即在課前一次完成，實際的備課過程，也常常是將三者結(jié)合起來進行的。不能因為它們需要分別展開研究，就聽任目前的教學(xué)停留在“教教材〞的水平上。同時，對三者的鉆研應(yīng)該是教師永無止境的追求，都有待深化，需要經(jīng)驗的逐漸累積，不必人為地限定先熟悉教材、教教材，再加工教材、用教材教這樣的階段。任何時候，調(diào)整、加工教材都是教師的權(quán)利，也是教師備課的內(nèi)容之一。如何“用教材教〞？需要探討和解決的問題很多。這里筆者僅就使用新教材以來教師在課前預(yù)設(shè)環(huán)節(jié)遇到的一些問題進行討論。復(fù)習(xí)鋪墊的設(shè)計?，F(xiàn)在新編的教材，根本上不再出現(xiàn)新知識前的復(fù)習(xí)、準(zhǔn)備或過渡內(nèi)容。以致有教師問：是不是數(shù)學(xué)課堂上不要需要復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)了？教材直接以問題開始，有利于擴大思維和探索空間，有利于學(xué)生問題意識的培養(yǎng)。在這個過程中，學(xué)生在新問題的根底上聯(lián)想回憶出已學(xué)知識。當(dāng)然，如果學(xué)生自己聯(lián)想有關(guān)知識有困難，或者出現(xiàn)夾生、遺忘現(xiàn)象，教師先行組織復(fù)習(xí)也是可取的。新授前設(shè)置復(fù)習(xí)、準(zhǔn)備環(huán)節(jié)的初衷，一是為了通過再現(xiàn)激活學(xué)生頭腦中已有的相關(guān)知識；二是為探究鋪設(shè)臺階，分散新授的難點。第一點無可厚非，問題在于第二點。以往的課堂教學(xué)實踐中，教師常常鋪墊暗示過度，或者人為地設(shè)置了一條狹窄的思維通道，學(xué)生無須探究，或稍加嘗試，結(jié)論就出來了。這顯然不利于學(xué)生主動學(xué)習(xí)能力的開展。但我們也不必就此因噎廢食。應(yīng)當(dāng)成認，這類教學(xué)鋪墊有很多合理的成分。比方，教循環(huán)小數(shù)前，很多教師喜歡先以學(xué)生熟知的一年四季周而復(fù)始的實例，讓學(xué)生感知“依次不斷重復(fù)出現(xiàn)〞的周期現(xiàn)象，以此作為同化新知識的認知框架。有了這一鋪墊，原本很抽象的循環(huán)小數(shù)，通過學(xué)生自發(fā)的類比，大大降低了理解的難度。教學(xué)手段的選擇。一般認為，選擇教學(xué)手段的依據(jù)是教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生以及教師自身的特點。除此之外，還應(yīng)考慮什么？以教學(xué)長方體的認識為例?，F(xiàn)在多數(shù)教材提供的現(xiàn)實模型是城市建筑、冰箱、紙盒等圖片，人民教育出版社的教材考慮到農(nóng)村和遙遠地區(qū)，給出的素材里還有長城的圖片和其中一塊放大了的磚。教師可以選擇一個或幾個實物抽象出長方體的圖形，并進一步介紹長方體的面、棱和頂點等。目前在有條件的學(xué)校，教師大多采用多媒體課件演示長方體的形狀。此外，還能選擇什么教學(xué)手段呢？30年前筆者在江西教學(xué)時，曾用當(dāng)?shù)氐陌滋}卜作為教具。在東北，教師的創(chuàng)意是讓學(xué)生用小刀削土豆。在上海，老師們讓學(xué)生用小刀削橡皮泥。這不正是因地制宜選擇教學(xué)手段最生動的詮釋嗎？穩(wěn)固練習(xí)的補充。經(jīng)常聽到教師抱怨新教材配備的練習(xí)偏少。不可否認，教材需要修改、完善，但教材不是題庫，面對減輕學(xué)習(xí)負擔(dān)的社會訴求，教材中的習(xí)題必須嚴(yán)格精選。因此，即便改良之后，還會眾口難調(diào)。比方20以內(nèi)退位減法，可以用“破十法〞，也可以用“連減法〞。諸如此類的針對性練習(xí)，教材難以一一提供，只能由教師為學(xué)生“量身定制〞，自行補充，當(dāng)然教學(xué)參考書可以也應(yīng)該給予提示。此外，學(xué)生的學(xué)習(xí)有缺漏必須彌補，同時要滿足學(xué)有余力的學(xué)生興趣拓展和提高的需求，教師適當(dāng)?shù)脑鲅a練習(xí)，也是因材施教的內(nèi)涵之一。另外，一些鄉(xiāng)土素材、社會時事、學(xué)校正在開展的活動，等等，都可以用來編成數(shù)學(xué)的實際問題，使數(shù)學(xué)應(yīng)用練習(xí)更貼近學(xué)生的生活和時代的脈搏。《中國教育報》2023年2月20日5版聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)系列四：什么才是有效的開放新一輪課程改革提出了自主、探究、合作、生活數(shù)學(xué)、信息技術(shù)、算法多樣化等一系列新名詞，這些都表達出開放的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式和教學(xué)理念。在過去的探索中，我們既出現(xiàn)了小組圍坐其樂融融、合作交流熱熱鬧鬧、動手操作紅紅火火的景象，也出現(xiàn)了因交流擠掉學(xué)生獨立思考的時間，因空間開放未能完成當(dāng)堂練習(xí)的現(xiàn)象。于是，有人開始疑心開放的教學(xué)是否影響學(xué)習(xí)效率，甚至開始思念傳統(tǒng)教學(xué)中環(huán)環(huán)相扣的高效率、高質(zhì)量。開放的教學(xué)過程改變了傳統(tǒng)封閉式教學(xué)中“把信息從一個地方傳遞到另一個地方〞的單向過程，使教學(xué)交流更加多元、立體，更能促進學(xué)生充分、全面地開展。封閉式教學(xué)追求的是讓學(xué)生在有限的時間內(nèi)掌握更多的知識，而開放式教學(xué)的價值取向那么在于追求自主與創(chuàng)新。應(yīng)該說，開放與封閉、有效與無效是不同維度的對立面，如果我們將這兩組矛盾各為橫軸、縱軸的話，會出現(xiàn)“有效的開放〞、“無效的開放〞、“有效的封閉〞、“無效的封閉〞這四個象限，以自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)為主要方式的開放式教學(xué)和以講授式為主要方式的封閉式教學(xué)都存在著有效和無效的問題。值得思考的是：何謂有效的開放？特級教師魏潔談到她在美國聽的一節(jié)小學(xué)六年級的方程課：上課開始，教師在黑板上寫出：x＋３＝５，未作任何暗示，只給學(xué)生們提供一些方格紙、小方塊和白紙，讓孩子們解答。有的孩子左邊擺3個方塊、右邊擺5個方塊，然后從5個方塊中挪出3個，找到了答案“２〞。有的孩子借助方格紙，先畫5個方格，再圈掉其中的3個，找到了答案。有的孩子直接在等式的“5〞上寫了“3〞并做了一個刪除的記號，雖然沒有標(biāo)準(zhǔn)的格式，但是他也愉快地找到了答案。還有一類孩子，想不到任何方法，就伸長了脖子看周圍的同伴在忙什么，看看用方格的，好似不能理解，于是就選擇了一個用方塊的作為學(xué)習(xí)對象。人家怎么做，他就怎么做。等到孩子們?nèi)客瓿珊?，老師組織全班學(xué)生進行了交流。接著，沒有任何的解釋和總結(jié)，寫出第二題：５-ｘ＝２，讓孩子們自己做。有意思的是，第四類孩子這時也跟著他的學(xué)習(xí)對象改用方格來幫助解決問題了。更有意思的是，課后魏老師采訪了這個孩子，問他：“會了嗎？〞孩子快樂地答復(fù)：“會了！〞再問：“過兩天還記得嗎？〞孩子答復(fù)：“肯定忘了。〞追問：“那你怎么辦？〞孩子很爽快地指指小組的伙伴：“有他！〞這是典型的美國課堂，也許正是不少人認為低效的課堂。折騰了一節(jié)課，學(xué)生連根本的解方程格式都不會。但這類“低效〞課堂何以受到美國教師的青睞？國際相關(guān)的比擬研究提醒我們，我們的孩子在解決封閉性問題時，往往強于美國學(xué)生，而在解決開放性的實際問題時，美國學(xué)生卻表現(xiàn)出較明顯的優(yōu)勢。教育家波蘭尼有個觀點說,顯性知識只是冰山的一角，而緘默知識那么是隱藏在冰山底部的大局部。緘默知識只有通過個體的實踐與體悟才能獲得。如此說來，看似松散的學(xué)生探求解決方法的過程，也正是他們進行底部積累的過程。站在關(guān)注每一個個體學(xué)習(xí)歷程的角度看，以上案例中孩子們對不同方法的選擇與改變，讓我們看到了孩子們的思維由具體到抽象的變化過程，看到了孩子們積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗逐步形式化的過程，看到了不同的孩子在自己最近開展區(qū)的成長，看到了孩子遇到困難時尋求幫助的“智慧〞之舉……這樣看來，關(guān)注學(xué)生在教學(xué)中是否成長和開展是我們評價現(xiàn)代課堂有效性的核心。除了知識的掌握，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗的積累、數(shù)學(xué)思想方法的感悟、數(shù)學(xué)根本技能的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感的豐富，這些都應(yīng)該成為考量課堂有效性的重要維度。評價開放性的課堂除了必須保持開放的心態(tài)，還必須采用開放的評價指標(biāo)和評價方法。這方面的工作，無疑已成為擺在我們眼前的重要任務(wù)。近年來，我們的教育教學(xué)工作者在追求有效開放的探索中積累了很多珍貴經(jīng)驗。有的老師注重小組建設(shè)，從評價入手，努力營造組內(nèi)合作、組間競爭的學(xué)習(xí)氣氛，為建立有效合作提供了一種范式。有的老師注重同伴交流的實效，從“如何聽、如何說〞的指導(dǎo)入手，甚至為每個小組配備錄音筆，即時記錄交流情況，從而實現(xiàn)有針對性的指導(dǎo)工作。還有不少教師認為開放式教學(xué)要因“材〞而為，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，在適于探究、適于合作之處予以放手，把“挖掘教材、吃透教材，做一名能夠整合教材、個性化實施課程的教師〞作為自己追求的理想。有的教師背下12本教材上的所有例題和習(xí)題，以自己對小學(xué)知識的通透把握，達成課堂上充分探索、思辨練習(xí)、課外不留作業(yè)的高效教學(xué)。這些都顯示出教師們?yōu)榉e極探索有效開放教學(xué)策略所做的不懈努力。這些理論與實踐相結(jié)合的鮮活研究，為我們從模仿開放之形到把握開放之神提供了堅實的根底。我們有理由相信，隨著我們視界的敞亮、理論的完善和探索的深入，開放而有效的課堂必將越來越成熟?！吨袊逃龍蟆?023年2月20日6版聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)系列五：有過程的教學(xué)促進高水平的理解常聽一線老師訴苦說：現(xiàn)在的學(xué)生真難教，水平參差不齊。確實，在學(xué)習(xí)新知識前，學(xué)生早已不是一張“白紙〞。作為教師，該怎么辦？知道事實不等于真理解面對學(xué)生已經(jīng)知道“答案〞時，我們需要追問：有多少學(xué)生知道答案？有多少學(xué)生真正理解要學(xué)習(xí)的內(nèi)容？例如，對于“長方體的體積=長×寬×高〞，如果學(xué)生通過背誦記住這一公式，那么他獲得的知識僅僅是“事實性知識〞。如果學(xué)生通過拼擺單位小正方體而得到“大長方體〞的體積就是單位小正方體的個數(shù)，即數(shù)小正方體的個數(shù)就能求出長方體的體積，但是“數(shù)〞比擬麻煩，再進一步發(fā)現(xiàn)大長方體的體積是“長×寬×高〞，這時他對長方體體積公式的理解就到達“概念性水平〞。如果學(xué)生能進一步深入分析，就會發(fā)現(xiàn)長方體的體積與長方體的一個面的面積以及對應(yīng)這個面的高有關(guān)。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)知識，得出長方體的體積還可以通過“一個面的面積乘以這個面所對應(yīng)的高〞來求出，這時學(xué)生對該公式的理解就到達了“方法性水平〞，因為這個公式不僅僅適用于長方體而且適用于一切柱體。學(xué)生不但了解了公式產(chǎn)生的來龍去脈，并且能在所涉及的概念與概念之間，以及概念與已有的經(jīng)驗之間建立起聯(lián)系，并能根據(jù)不同的條件靈活選擇公式解決問題。在此根底上，學(xué)生還能進一步解釋“長方體的體積等于一個面的面積乘以這個面上的高〞嗎？在教學(xué)中，有個學(xué)生這樣答復(fù)：我把長方體看成是“底面〞這樣的小薄片一片一片壘起來的，那么長方體的體積不就是這個“小薄片〞的面積乘以壘的“高度〞嗎？這名學(xué)生所獲得的知識就已經(jīng)到達了“主體性水平〞，他所獲得的這一知識，是通過反思“創(chuàng)造〞出來的。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，往往停留在“事實性水平〞的理解上。在教學(xué)中，我們必須區(qū)分出學(xué)生的理解所到達的程度，設(shè)計恰當(dāng)活動促進學(xué)生對知識的高水平理解。有過程的教學(xué)促進學(xué)生高水平的理解“數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識。〞小學(xué)數(shù)學(xué)中的很多概念都蘊含了樸素的數(shù)學(xué)思想，根本上都來源于學(xué)生的生活經(jīng)驗。從理論上說，學(xué)生認識這些樸素的思想應(yīng)該很容易，但為什么學(xué)生學(xué)習(xí)“課本上的數(shù)學(xué)〞就有很多困難呢？原因主要在于數(shù)學(xué)的學(xué)科定義高度概括、抽象，教材不易呈現(xiàn)其形成與開展的過程，直接學(xué)習(xí)現(xiàn)成的結(jié)論不符合小學(xué)生的思維水平與認知特點。因此，弗羅登塔爾認為“教材是教學(xué)法的顛倒〞。如果教師的教學(xué)沒有過程，而只是簡單的模仿、記憶、背誦、訓(xùn)練，那么容易使學(xué)生的理解僅僅處于事實性水平。教師無過程教學(xué)的根源主要有兩點：一是缺少追問學(xué)科概念的本質(zhì)，二是沒有真正了解學(xué)生的思維特點與已有的知識經(jīng)驗儲藏。對于前者，我們強調(diào)教師追問為什么學(xué)習(xí)這些內(nèi)容、所學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心是什么、如何建立聯(lián)系；后者主要包括學(xué)生的生活概念、學(xué)生的思維水平與認知特點及學(xué)生已有的知識儲藏。當(dāng)教師對這兩個根源有深入的思考后就能設(shè)計出有過程的教學(xué)。設(shè)計有過程的教學(xué)，需要教師關(guān)注數(shù)學(xué)概念、思想的本質(zhì)以及開展的歷史根源，關(guān)注其形成、開展的原始動力，關(guān)注學(xué)生樸素的問題與思維過程，關(guān)注學(xué)生的生活概念、經(jīng)驗與數(shù)學(xué)概念之間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別，關(guān)注學(xué)生的思維過程，利用思維過程中的沖突、質(zhì)疑與障礙使學(xué)生獲得高水平理解力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的愿望與動機，體會到創(chuàng)造的樂趣。下面是一位教師教學(xué)“減法的初步認識〞時發(fā)生的主要事件，該課就是一節(jié)過程充分的課：教師先利用電腦動畫設(shè)計了一個停車場的情境，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)了信息并提出了問題：停車場原來有5輛小汽車，開走了2輛，問停車場還剩幾輛小汽車？學(xué)生順利地列出算式并計算。教師請學(xué)生利用手中的學(xué)具，自己動手創(chuàng)造一個用減法解決的問題，并列式解決。這一環(huán)節(jié)的設(shè)計目的是讓每個學(xué)生都親歷減法意義的感知過程，并板書出學(xué)生所出現(xiàn)的各種不同的減法算式，為后續(xù)觀察、比擬、總結(jié)減法的意義作素材準(zhǔn)備。但在交流匯報時，一個小女孩到實物展臺前，一邊演示“小水果〞學(xué)具，一邊介紹自己剛剛的操作過程：“我本來拿了5個小水果，送給同桌2個，問我還剩幾個水果？我列的算式是5-2=3。〞話音剛落，另一位男孩喊到：“怎么還是5-2=3??？重復(fù)了！不能寫到黑板上。〞展臺前的女孩不服氣地為自己辯白：“我沒重復(fù)，這次不是汽車，是水果。〞坐在下面的男孩竟站起來反駁：“反正你的算式是5-2=3，還說不重復(fù)？〞女孩一臉疑惑地看著教師。教師首先請學(xué)生發(fā)表自己的看法，大局部學(xué)生同意男孩的看法，但也覺得女孩說得有道理，辯論不出結(jié)果。這時教師問：“你還能想一件‘事情’，也用5-2=3來表示嗎？〞孩子們的思維活潑了起來，編出了很多的情境。例如：教室有5個小朋友，走了2個，還剩下3個。草地上有5朵小花，被小朋友摘走了2朵，還剩下3朵。5支鉛筆，丟了2支，還剩3支……這時剛剛發(fā)完言的一個學(xué)生不肯坐下：“我還能說這樣的好多事呢，都可以用5-2=3表示，5-2=3的本領(lǐng)真大呀！〞教師繼續(xù)捅破“窗戶紙〞：“有的事情發(fā)生在停車場里，有的事情發(fā)生在教室里。為什么完全不一樣的事，卻能用同一個算式來表示呢？〞學(xué)生們終于發(fā)現(xiàn)，雖然事件不一樣，但同一個算式所表示的意思都是一樣的。這時，教師趁熱打鐵，又問：“3+6=9可以表示的事情多不多？那就一個數(shù)‘8’都可以表示什么？〞學(xué)生脫口而出：“那太多了！〞看到孩子們意猶未盡的樣子，教師又問：“你現(xiàn)在有什么想法？〞其中一個學(xué)生說：“我覺得‘?dāng)?shù)’和‘算式’都太神奇了，能表示那么多不同的事物。〞小學(xué)生對所學(xué)知識不能都到達高水平理解由于數(shù)學(xué)的學(xué)科特點及小學(xué)生的思維特點、生活經(jīng)驗，學(xué)生對所學(xué)習(xí)的內(nèi)容不能都到達高水平的理解。我們應(yīng)該允許學(xué)生先處于事實性水平的理解，隨著經(jīng)驗的增加、思維水平的提高，逐步對所學(xué)內(nèi)容到達高水平理解。小學(xué)階段所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念有一些是“高通達力〞的概念，即不是教師能教會的，理解這些概念需要學(xué)生認知水平的提高。例如，分?jǐn)?shù)、字母表示數(shù)、正反比例關(guān)系、方程、極限、平均數(shù)等概念和思想。學(xué)習(xí)這些概念時，我們應(yīng)當(dāng)適當(dāng)允許學(xué)生在理解上的反復(fù)，因為要到達高水平的理解既需要教師設(shè)計有過程的教學(xué)，也有待學(xué)生年齡的增長。教師能做的，就是提供有價值的問題或任務(wù)，促進學(xué)生的思維投入，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生。〔作者為北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授〕聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)系列六：訓(xùn)練也是學(xué)習(xí)豎式除法是學(xué)生學(xué)習(xí)運算中的一個難點。余數(shù)問題、商的數(shù)位問題、單位問題等類似錯誤常常出現(xiàn)在學(xué)生的作業(yè)中。外表看這些錯誤各不相同，細細分析會發(fā)現(xiàn)，這些錯誤的根源在于不理解豎式算法的意義。有研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生雖然會用豎式計算，但６５％的學(xué)生不明白豎式除法為什么從高位算起，５１％的學(xué)生不清楚豎式除法的算理。這種情況下，提高學(xué)生的運算能力，就不能只是讓學(xué)生反復(fù)操練。訓(xùn)練是提高計算能力的技術(shù)手段，但并不一定是科學(xué)手段。教師應(yīng)當(dāng)改良教學(xué)，關(guān)注學(xué)生的已有經(jīng)驗，關(guān)注學(xué)生的困惑，在此根底上設(shè)計教學(xué)。尋“根〞究“理〞，讓學(xué)生真正參與到知識的探索中。情境設(shè)計，讓學(xué)生鐘情練習(xí)將學(xué)習(xí)中的模仿、訓(xùn)練轉(zhuǎn)化為學(xué)生的內(nèi)在需要，是我們教學(xué)設(shè)計的追求。有這樣一道題：“地球赤道周長４萬千米，設(shè)想用鐵絲沿赤道扎緊，然后把鐵絲接長１０米，問鐵絲和地面之間能出現(xiàn)多大空隙？〞這道題對學(xué)生來說是很有趣的。但怎樣讓學(xué)生對題目“一見鐘情〞呢？有位教師作了如下改良：地球的環(huán)境日益惡化。地球大吼：“我受不了啦，我快要爆裂啦！〞玉皇大帝聽到后很著急，心想：要是地球真的爆裂了，那全部生靈就會被消滅。于是他決定沿地球的赤道加一道鐵箍，以防地球爆裂?？墒堑厍騾s直喊：“太緊了，我喘不過氣。〞玉皇大帝只好把鐵箍松了一下，使得它處處離地球１米?？墒撬梢幌?，鐵絲不夠長了，需要再加一段，請你幫玉皇大帝算一下需要加多長的一段鐵箍？這樣的題目有故事情境，符合小學(xué)生的心理，能很好地調(diào)動學(xué)生的參與愿望。研究發(fā)現(xiàn)，進行情境問題測試的學(xué)生，其成績和個體情感的投入都優(yōu)于進行傳統(tǒng)題目測試的學(xué)生。在之后的問卷調(diào)查中，進行情境問題測試的學(xué)生有９４．７％選擇“以后還希望再做這樣的測試〞。而進行傳統(tǒng)題目測試的學(xué)生選擇該項的只有２２．５％。這就要求教師改良學(xué)習(xí)內(nèi)容和形式，盡量防止重復(fù)，多讓學(xué)生主動創(chuàng)造而減少灌輸。“但凡能傳給他人的，一定是可以重復(fù)的，而可以被他人重復(fù)的那么一定不具有創(chuàng)造性。〞這啟發(fā)我們，為了增加學(xué)生的主動性，除了教學(xué)方式、教學(xué)方法方面的改良外，還需要結(jié)合學(xué)生的現(xiàn)實背景，設(shè)計現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的情境性問題，防止訓(xùn)練中的簡單重復(fù)。適時點撥，增強練習(xí)實效性練習(xí)要讓學(xué)生明了目的，不能盲目。練習(xí)中，需要教師及時分析學(xué)生的錯誤成因，適時介入，并根據(jù)學(xué)生的不同情況安排有針對性的練習(xí)。有一道找規(guī)律題目如下：２０００，４００，８０，〔〕。有個學(xué)生說：“前面的數(shù)除以５，就得到后面的數(shù)，所以８０÷５就可以得到答案１６。〞另一個學(xué)生說：“老師，我算出的答案也是１６?？墒?，我找的規(guī)律跟他們的不一樣。我是這樣算的：２０００＋２０００＝４０００，去掉一個０，就是４００。４００＋４００＝８００，去掉一個０就是８０。８０＋８０＝１６０，去掉一個０就是１６。所以，最后一個數(shù)是１６。〞這個學(xué)生的規(guī)律，其他學(xué)生是不是聽懂了？他與別人的規(guī)律是不是真的不一樣？如果不一樣，有什么聯(lián)系和不同？教師在這兒引導(dǎo)其他學(xué)生探討這個學(xué)生的算法，是非常自然而必要的。這個學(xué)生用到的“加法〞是第一級運算，運算程度最低，也最簡易，在說到除時，用到的是動作“去掉０〞，而不是“除以１０〞，表達很通俗，且形象、生動。而其他同學(xué)運用的是第二級運算“除法〞，方法相對抽象。對這兩種思路的比照分析在這一節(jié)課中非常重要。跟上時代，不做超標(biāo)練習(xí)在計算教學(xué)的問題上，一直有人批評課改正了頭。誠然，素質(zhì)教育并不排斥計算上的高技能，但是，計算技能需要高到哪種程度，那么是需要畫個問號的。兩位數(shù)的除法在教學(xué)中是重點，而瑞典教材是不作要求的。像４４８÷３２，他們只要求學(xué)生能估算４４８÷３０就可以了，不要求筆算。２００８年，我們與瑞典教育代表團交流時，瑞典教育代表團團長多麗絲教授反問我們：“時間很珍貴，長大以后這些題目都可以用計算器去解決，你們?yōu)槭裁匆ㄙM這么多的時間用于計算？〞這個問題促使我們不得不思考：我們讓孩子花費這么多的時間，究竟有什么價值？為什么我們讓學(xué)生做超出課標(biāo)要求的大量練習(xí)？而我們的課標(biāo)本來就遠超出國際一般要求。有位教師說：“有一道題：桃樹２３棵，楊樹是它的３倍少６，桃樹、楊樹一共多少棵？我講解了好幾回，學(xué)生都是２３×３－６。你說如何講學(xué)生才會接受？他們都不知道要再加上桃樹的數(shù)目。〞原因何在？由“生活經(jīng)驗解決〞到“數(shù)學(xué)符號表征〞是一大跨越，學(xué)生不會用一個式子把“桃樹、楊樹一共多少棵〞表示出來，這不能怪學(xué)生。列綜合算式對于四年級的學(xué)生來說，還是太難了。我們的課標(biāo)和教材是不要求學(xué)生列綜合算式的，而我們平時的教學(xué)還在遠超“英美〞的高度上再次拔高。訓(xùn)練是學(xué)習(xí)的過程，而非學(xué)習(xí)中的某個環(huán)節(jié)，從這個意義上說，訓(xùn)練即學(xué)習(xí)，而不是重復(fù)。學(xué)習(xí)不是傳輸?shù)倪^程，也不是接受的過程，學(xué)習(xí)是個需要建立聯(lián)系、需要自覺建構(gòu)實踐的過程，離開學(xué)生的參與，訓(xùn)練就成為復(fù)制的過程。由此，我們需要加強教師在學(xué)生練習(xí)中的指導(dǎo)作用，使練習(xí)走向科學(xué)。〔作者為山東省茌平縣杜郎口中學(xué)教師〕《中國教育報》２００９年２月２７日聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)系列七：開啟從錯誤中學(xué)習(xí)的新視角錯誤在學(xué)習(xí)中普遍存在錯誤并不僅僅出現(xiàn)在學(xué)習(xí)活動中。一般而言，人們是在認識論的范疇中討論“錯誤〞，把它與“真理〞作為相對的概念提出的，認為“錯誤〞就是與客觀實際不相符合的認識。但是，當(dāng)人們討論學(xué)校學(xué)習(xí)活動中的“錯誤〞時，錯誤的概念發(fā)生了變化。人們認為錯誤是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中所產(chǎn)生的各種不同于“標(biāo)準(zhǔn)觀念〞或“標(biāo)準(zhǔn)答案〞的想法或做法。與認識論的“錯誤〞概念比擬，變化如下：其一，錯誤往往被教師理解為學(xué)習(xí)活動的結(jié)果不符合教學(xué)要求。如在一堂“分?jǐn)?shù)、小數(shù)加減混合運算的簡便計算〞課中，教師要求學(xué)生在算式“0.38+〔〕-7/5〞的括號中填上適宜的數(shù)，使得計算比擬簡便，并計算出算式的結(jié)果。學(xué)生提出填上1.62，使得加法運算的結(jié)果為2，但教師卻認為這一填法不正確。在這一練習(xí)中，教師簡便計算的“標(biāo)準(zhǔn)觀念〞并不只是一級運算，無論學(xué)生填寫1.62或7/5都不符合教師的“標(biāo)準(zhǔn)觀念〞。教師希望學(xué)生考慮簡便的二級運算，最正確的運算結(jié)果是0。且不管教師對簡便計算的“標(biāo)準(zhǔn)觀念〞是否真的標(biāo)準(zhǔn)，從這一教學(xué)現(xiàn)象中我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的錯誤往往是指不符合教師預(yù)設(shè)的教學(xué)要求。衡量的標(biāo)準(zhǔn)從“客觀實際〞變?yōu)椤敖虒W(xué)要求〞，被賦予了更強的人為色彩。其二，這種學(xué)習(xí)結(jié)果不僅包括認識〔觀念〕，也包括行為〔做法〕。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的“做法〞通常指的是技能，包括計算技能與解決問題的技能。因為它不會直接對現(xiàn)實生活造成傷害，因此，學(xué)習(xí)過程中的錯誤既被理解為“觀念〞，又被理解為“做法〞。這兩者在學(xué)習(xí)過程中是緊密聯(lián)系在一起的。教師可以通過學(xué)習(xí)過程中錯誤的“做法〞去折射學(xué)習(xí)者錯誤的“觀念〞。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的錯誤是普遍的。我們可以毫不夸張地說，每一位數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中都發(fā)生過錯誤。個體正是通過對抗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的錯誤，豐富了自身的認識經(jīng)驗，從而獲得開展的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的錯誤更是必然的。首先，數(shù)學(xué)活動是一種包含有猜想、錯誤與嘗試，證明與反駁，檢驗與改良的復(fù)雜過程。因此，學(xué)生在經(jīng)歷這一數(shù)學(xué)活動過程時產(chǎn)生錯誤在所難免。其次，數(shù)學(xué)研究的對象是對現(xiàn)實生活理想化的抽象，許多在現(xiàn)實生活中有原型的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生很難區(qū)分其與生活概念的差異，因為處于具體形象思維階段的學(xué)生會出現(xiàn)認知缺乏，進而產(chǎn)生錯誤觀念。例如，學(xué)生在理解三角形高的概念時，由于在日常用語中“垂線〞只指鉛垂位置，所以學(xué)生很難理解其他位置的高，更難把握三角形的外高。正是由于這些學(xué)習(xí)錯誤具有普遍性與必然性，它們的產(chǎn)生也是有理由、有規(guī)律可循的。因此，在建構(gòu)主義看來，錯誤的產(chǎn)生具有合理性。有學(xué)者認為，從學(xué)習(xí)者身上觀察到的一系列錯誤說明，錯誤不是教給的，而是學(xué)習(xí)者構(gòu)造了自己特有的概念與程式造成的。錯誤的價值與有價值的錯誤在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，正確有可能是一種模仿，而錯誤卻大但凡一種經(jīng)歷。因為許多錯誤是學(xué)習(xí)者在主動構(gòu)建知識時形成的。在教育活動中，錯誤是重要的教育資源。首先，錯誤的教育價值在于它展現(xiàn)了學(xué)生的思維歷程?！霸跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，錯誤表征著學(xué)生思想的航行，活動的展開。錯誤可能意味著學(xué)生一次觀念的冒險、體驗的豐富、超越的契機。〞有一個學(xué)生提出了這樣的疑惑：認識三角形內(nèi)角和時，我們是通過把長方形沿著對角線一分為二，長方形的內(nèi)角和是360度，一分為二得出直角三角形的內(nèi)角和就是180度。那么把一個等腰三角形沿著高一分為二，小的直角三角形的內(nèi)角和為什么不能是90度呢？盡管學(xué)生通過類比推演得出小三角形內(nèi)角和的結(jié)論是錯誤的，但是，學(xué)生在錯誤經(jīng)歷中的思考與質(zhì)疑卻是難能可貴的。其次，錯誤可以使理解和記憶更加深刻。學(xué)生經(jīng)歷錯誤后，如果教師通過展示學(xué)生的錯誤，辯論錯誤觀點，糾正錯誤過程，那么，學(xué)生會對自身的錯誤理解得更深刻、記憶得更牢固。因為在錯誤經(jīng)歷中，學(xué)生獲得了在平坦的大路上難以見到的景致，也許正是學(xué)生經(jīng)歷了一次次錯誤的探險，感受到心理的挫折、驚喜與頓悟，才從中獲得了質(zhì)疑、反思與多向思維的創(chuàng)新品質(zhì)。再其次，它折射了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點問題。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中難以理解、難以把握的內(nèi)容往往成為教學(xué)的難點。學(xué)生在學(xué)習(xí)中的錯誤正是學(xué)習(xí)難點的折射。當(dāng)然，并不是學(xué)生所有的錯誤都折射了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點，在教師的教學(xué)設(shè)計中也無法關(guān)注每一個學(xué)生的錯誤，這必然引發(fā)對有價值錯誤的思考。我們認為，那些具有規(guī)律性的、合理的錯誤具有教育價值，因為它們具有普遍性，多數(shù)學(xué)生會遭遇。那些經(jīng)過思維運演的錯誤有教育價值，因為它們可以促進學(xué)生的理解，強化學(xué)生的記憶，并能產(chǎn)生許多非認知的教育價值。教師對待錯誤的三重境界“從錯誤中學(xué)習(xí)〞并不是每一位教師都認同的教學(xué)原那么，錯誤資源在不同教師的課堂上發(fā)揮的教育價值，也因教師對待錯誤的態(tài)度不同而存在差異。我們把教師對待錯誤的態(tài)度分成三重境界。第一重境界是教師害怕、拒絕錯誤。他們認為學(xué)生的學(xué)習(xí)錯誤是自身教學(xué)缺失的標(biāo)志，尤其在公開課上，不符合標(biāo)準(zhǔn)答案的觀點會被教師們漠視，他們或?qū)W(xué)生的錯誤采取“失聰〞、“失明〞的做法，或用優(yōu)生的學(xué)習(xí)成果掩蓋其他學(xué)生的學(xué)習(xí)錯誤，因為他們對標(biāo)準(zhǔn)答案已經(jīng)產(chǎn)生了思維定式與心理期待，對課堂中生成的非預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)成果缺乏評價能力。第二重境界是教師把學(xué)生的學(xué)習(xí)錯誤作為有價值的教學(xué)資源加以利用。或通過展示錯誤過程，辯論錯誤觀點提升認識；或故布陷阱，讓學(xué)生深陷其中而得出顯而易見的錯誤，從中恍然大悟地得出正確結(jié)論。第三重境界是教師不僅讓學(xué)生經(jīng)歷糾錯的過程，形成正確的觀念與做法，更重要的是讓學(xué)生反思自身的錯誤，進而升華為錯誤觀的教育。浙江省特級教師俞正強老師就曾有一堂經(jīng)典的進行錯誤觀教育的“小數(shù)四那么運算〞練習(xí)課。整節(jié)課一氣呵成，讓學(xué)生經(jīng)歷了“感受研究錯誤的必要性——小數(shù)四那么運算的錯誤類型——小數(shù)四那么運算錯誤的歸因分析——小數(shù)四那么運算的干預(yù)策略——對錯誤觀的認識〞這一完整的反思錯誤的過程。首先，他在課前讓學(xué)生計算了20道小數(shù)四那么混合運算題，然后在課堂上讓學(xué)生們評價自己的作業(yè)，并公布了全班學(xué)生的錯誤率，從而讓學(xué)生了解小數(shù)四那么混合運算錯誤的普遍性，體會到研究學(xué)習(xí)錯誤的必要性。然后，教師展示學(xué)生的典型錯誤，讓他們依據(jù)自身的理解把錯誤分類，并讓產(chǎn)生錯誤的學(xué)生分析原因。許多學(xué)生簡單地歸因為粗心、馬虎、不認真。他就耐心地引導(dǎo)學(xué)生，提出任何數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的錯誤總有知識的缺陷或技能的缺乏，只有這樣的歸因分析才能正確認識并糾正錯誤。他讓學(xué)生對那些有錯誤的同學(xué)提出糾錯的建議，并進而拓展到對錯誤觀的認識。讓學(xué)生理解犯錯誤是難免的，學(xué)生的錯誤不等于錯誤的學(xué)生。但是，人不能兩次犯同樣的錯誤，學(xué)習(xí)如此，未來的生活也如此。學(xué)生的學(xué)習(xí)錯誤是生成性的教育資源，教師只有放寬心態(tài)，理性分析，智慧地把握，才能使錯誤資源發(fā)揮真正的教育價值?！沧髡邽檎憬逃龑W(xué)院教授〕聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)系列八：用研究的心態(tài)面對每一堂課今天的新課程改革，已越來越強調(diào)理念向?qū)嵺`轉(zhuǎn)化，課程向教學(xué)轉(zhuǎn)化，教材向教師轉(zhuǎn)化。在轉(zhuǎn)化過程中，教師的日常教學(xué)勢必會遇到形形色色的新問題，出現(xiàn)各種各樣的新矛盾。面對這些問題與矛盾，需要教師以研究者的姿態(tài)出現(xiàn)在教學(xué)實踐的情境中，通過研究分析問題、破解矛盾，使教學(xué)實踐呈現(xiàn)出新的狀態(tài)和水平。把研究作為生存的方式教師不只是教學(xué)者、學(xué)習(xí)者，同時還應(yīng)該成為一個研究者。教師要實現(xiàn)自己的專業(yè)開展，成為一個專家型的教師，僅僅靠自己原有的知識是遠遠不夠的。信息化時代的到來和教育教學(xué)改革，都要求教師不斷更新自身知識結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)變一味向?qū)W生傳授既定知識的做法，通過學(xué)習(xí)賦予教學(xué)新的元素，實現(xiàn)與學(xué)生的結(jié)伴成長、共同開展。另外，教師在教學(xué)中遇到的新問題、新矛盾，幾乎都沒有現(xiàn)成答案。專家能提供的是關(guān)于解決問題的一般認識，但很難提供解決問題的具體方法。教師只有拿起研究的武器，實現(xiàn)由實踐者向研究者的轉(zhuǎn)化，才能切實形成解決問題的新思路，找到破解矛盾的新方法。在這種情況下，學(xué)習(xí)、教學(xué)、研究已經(jīng)成了教師生活中不可或缺的局部。學(xué)習(xí)與教學(xué)并駕齊驅(qū)，教學(xué)與研究雙向互動，學(xué)習(xí)與研究相互促進，成為教師職業(yè)存在的新方式。把問題作為研究的起點教師的教學(xué)研究與專業(yè)研究有著根本性的差異。它自始至終是在教學(xué)現(xiàn)場進行的，是以教師自身為研究主體的，是以解決實際問題為指向、以改良教學(xué)實踐為衡量標(biāo)準(zhǔn)的。在日常教學(xué)中，難免會存在這樣或那樣的問題。這些問題因其新穎性、不確定性、復(fù)雜性等完全有可能成為研究的對象。比方，一位教師對二年級《數(shù)學(xué)》關(guān)于概率的初步認識——“可能、一定〞進行教學(xué)時，作了這樣的教學(xué)設(shè)計：先讓孩子們從裝有3個黃球和3個白球的盒子里摸出一個球，讓孩子們感受“可能〞——可能是黃球也可能是白球；然后再讓孩子從裝有6個黃球〔沒有白球〕的盒子里摸出一個球，讓孩子們感受“一定〞——一定是黃球，不可能是白球，并且告訴孩子們假設(shè)能摸出白球的話有獎。沒想到，在實際教學(xué)中，當(dāng)?shù)诙€孩子摸出黃球后，第三個孩子拒絕再摸，而是說出了這樣一番話：“我肯定這盒子里全部都是黃球。第一，您怕同學(xué)得到獎品在課上玩。第二，這獎品是買來的，您以后還要用。〞這番話讓教師很是意外，也引起了教師的思考：學(xué)生對教師的行為進行質(zhì)疑，甚至是倫理上的疑心了。我們總說，數(shù)學(xué)要聯(lián)系學(xué)生的生活世界，但什么樣的聯(lián)系才是自然而然的，什么樣的聯(lián)系是有可能弄巧成拙的，解決這些問題就成了教師研究的起點。把反思作為常用的方法日常教學(xué)中的研究雖然也會偶爾涉及統(tǒng)計、測量、問卷等方法，但對于教師來說，最常使用也最便于使用的方法還是教學(xué)反思。偶發(fā)的教學(xué)反思并不困難，但將反思作為一種研究方法來改良教學(xué)，那么需要教師持之以恒，直至找到解決問題的途徑。在今天來看，對教師教學(xué)幫助較大的是專題性的反思，小題大做的反思，及比照鑒別式的反思。這樣的反思集中關(guān)注教學(xué)中的某一個突出問題，經(jīng)過不懈探索，理清思路，澄清認識，從而提升教師的實踐智慧。比方，一位教師注意到，在學(xué)習(xí)“互質(zhì)數(shù)〞這局部知識時，學(xué)生有這樣的錯覺——“5和9都是互質(zhì)數(shù)〞；學(xué)習(xí)了長方形的面積計算方法后，學(xué)生經(jīng)常會用“長×寬〞來求長方形的周長等。這些錯誤屬于哪些知識類型，在什么情況下會出現(xiàn)，錯誤對于教學(xué)有哪些幫助？教師通過對這些問題的思考與分析，就為把錯誤轉(zhuǎn)化為教學(xué)資源提供了依據(jù)。把重建作為改良的途徑反思本身并不是目的，反思后的重建同樣至關(guān)重要。在教學(xué)反思中，教師需要在稍縱即逝的教學(xué)現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)問題，捕捉課堂教學(xué)中貌似沒有問題的問題，與此同時，還要著力去思考解決問題的方法，并且在后續(xù)的教學(xué)中加以探索與嘗試。這樣，反思才能真正為教學(xué)效勞，教學(xué)也才能在研究中走向新形態(tài)。前面提到教孩子關(guān)于概率初步認識的那位教師，認識到需要在課堂上防止讓孩子對教師產(chǎn)生倫理疑心，但他又不想放棄讓孩子摸出白球有獎的設(shè)計。在后續(xù)平行班的教學(xué)中，他進行了這樣的重建：他到學(xué)校后面的小商店里拍了一張像片，小商店的貨架上是琳瑯滿目的商品。開始上課時，有意不穿外套。到“有獎摸球〞前，穿上外套，投影那張像片。然后說：“我是這個商店的老板，你看我這里有吃的，有喝的，有玩的，還能摸球得獎呢！〞然后，組織學(xué)生摸球……當(dāng)孩子們說教師不讓學(xué)生摸出白球“坑人〞