高中數(shù)學(xué)必修4三角函數(shù)?？碱}型：弧度制

弧度制【知識梳理】1．角度制與弧度制(1)角度制．①定義：用度作為單位來度量角的單位制．②1度的角：周角的eq\f(1,360)作為一個(gè)單位．(2)弧度制．①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．②1弧度的角：長度等于半徑長的弧所對的圓心角．2．任意角的弧度數(shù)與實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.3．角的弧度數(shù)的計(jì)算如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝eq\f(l,r).4．弧度與角度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°5.一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)π6．扇形的弧長及面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α為其圓心角，則α為度數(shù)α為弧度數(shù)扇形的弧長l＝eq\f(παR,180)l＝αR扇形的面積S＝eq\f(παR2,360)S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2【?？碱}型】題型一、角度與弧度的換算【例1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－eq\f(2π,9).[解](1)72°＝72×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,5)；(2)－300°＝－300×eq\f(π,180)＝－eq\f(5π,3)；(3)2＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(360,π)))°；(4)－eq\f(2π,9)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,9)×\f(180,π)))°＝－40°.【類題通法】角度與弧度互化技巧在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，抓住關(guān)系式πrad＝180°是關(guān)鍵，由它可以得到：度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)，弧度數(shù)×eq\f(180,π)＝度數(shù)．【對點(diǎn)訓(xùn)練】已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝eq\f(3π,5)，β2＝－eq\f(π,3).(1)將α1，α2用弧度表示出來，并指出它們是第幾象限角；(2)將β1，β2用角度表示出來，并在－720°～0°范圍內(nèi)，找出與它們有相同終邊的所有角．解：(1)α1＝－570°＝－eq\f(570π,180)＝－eq\f(19π,6)，α2＝750°＝eq\f(750π,180)＝eq\f(25π,6).∵α1＝－eq\f(19π,6)＝－2×2π＋eq\f(5π,6)，α2＝eq\f(25π,6)＝2×2π＋eq\f(π,6)，∴α1是第二象限角，α2是第一象限角．(2)β1＝eq\f(3π,5)＝eq\f(3,5)×180°＝108°，設(shè)θ＝k·360°＋108°(k∈Z)，則由－720°≤θ<0°，得－720°≤k·360°＋108°<0°(k∈Z)，解得k＝－2或k＝－1，∴在－720°～0°范圍內(nèi)，【對點(diǎn)訓(xùn)練】以弧度為單位，寫出終邊落在直線y＝－x上的角的集合．解：在0到2π范圍內(nèi)，終邊落在直線y＝－x上的角有兩個(gè)，即eq\f(3,4)π和eq\f(7,4)π，所有與eq\f(3,4)π終邊相同的角構(gòu)成的集合為S1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(3,4)π＋2kπ，k∈Z))))，所有與eq\f(7,4)π終邊相同的角構(gòu)成的集合為S2＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(7,4)π＋2kπ，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(3,4)π＋2k＋1π，k∈Z))))，∴終邊落在直線y＝－x上的角的集合為S＝S1∪S2＝αα＝eq\f(3,4)π＋nπ，n∈Z.【練習(xí)反饋】1．下列命題中，錯(cuò)誤的是()A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)C．1rad的角比1°的角要大D．用弧度制度量角時(shí)，角的大小與圓的半徑有關(guān)解析：選D根據(jù)角度制和弧度制的定義可以知道，A、B是正確的；1rad的角是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°，故C也是正確的；無論是用角度制還是用弧度制度量角，角的大小都與圓的半徑無關(guān)，故D錯(cuò)誤．2．角α的終邊落在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3π，－\f(5π,2)))內(nèi)，則角α所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選C－3π的終邊在x軸的非正半軸上，－eq\f(5,2)π的終邊在y軸的非正半軸上，故角α為第三象限角．3．－135°化為弧度為________，eq\f(11π,3)化為角度為________．解析：－135°＝－135×eq\f(π,180)＝－eq\f(3,4)π；eq\f(11,3)π＝eq\f(11,3)×180°＝660°.答案：－eq\f(3,4)π660°4．把角－690°化為2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式為________．解析：法一：－690°＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(690×\f(π,180)))＝－eq\f(23,6)π.∵－eq\f(23,6)π＝－4π＋eq\f(π,6)，∴－690°＝－4π＋eq\f(π,6).法二：－690°＝－2×360°＋30°，則－690°＝－4π＋eq\f(π,6).答案：－4π＋eq\f(π,6)5．一個(gè)扇形的面積為1，周長為4，求圓心角的弧度數(shù)．解：設(shè)扇形的半徑為R，弧