2024屆浙江省寧波市余姚中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末考試試題含解析

2024屆浙江省寧波市余姚中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若向量，則A． B． C． D．2．下列結(jié)論不正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則3．已知點(diǎn)均在球上，，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為A． B． C．32 D．4．高一數(shù)學(xué)興趣小組共有5人，編號為.若從中任選3人參加數(shù)學(xué)競賽，則選出的參賽選手的編號相連的概率為（）A． B． C． D．5．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則等于()A．－3 B．5 C．33 D．－316．已知圓的圓心為（-2,1），其一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)恰好在兩坐標(biāo)軸上，則這個(gè)圓的方程是（）A． B．C． D．7．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且，則的最大值為（）A． B．1 C． D．8．已知，函數(shù)的最小值是（）A．5 B．4 C．8 D．69．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則__________.12．直線x-313．若八個(gè)學(xué)生參加合唱比賽的得分為87，88，90，91，92，93，93，94，則這組數(shù)據(jù)的方差是______14．把二進(jìn)制數(shù)1111（2）化為十進(jìn)制數(shù)是______．15．若關(guān)于的不等式的解集為，則__________16．設(shè)數(shù)列滿足,,,，______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．求證：(1)AC⊥BC1；(2)AC1∥平面CDB1.18．已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，其中為的前項(xiàng)和，且（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．如圖，在三棱錐中，平面平面，，點(diǎn),,分別為線段，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）.20．已知向量，．（1）若，在集合中取值，求滿足的概率；（2）若，在區(qū)間內(nèi)取值，求滿足的概率．21．已知向量.（1）求的值；（2）若，且，求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，可直接得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)椋?故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.2、B【解題分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)，對選項(xiàng)逐一分析，由此得出正確選項(xiàng).【題目詳解】對于A選項(xiàng)，不等式兩邊乘以一個(gè)正數(shù)，不等號不改變方程，故A正確.對于B選項(xiàng)，若，則，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于C、D選項(xiàng)，不等式兩邊同時(shí)加上或者減去同一個(gè)數(shù)，不等號方向不改變，故C、D正確.綜上所述，本小題選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查不等式的性質(zhì)，考查特殊值法解選擇題，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

設(shè)是的外心，則三棱錐體積最大時(shí)，平面，球心在上．由此可計(jì)算球半徑．【題目詳解】如圖，設(shè)是的外心，則三棱錐體積最大時(shí)，平面，球心在上．∵，∴，即，∴．又，∴，．∵平面，∴，設(shè)球半徑為，則由得，解得，∴球體積為．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查球的體積，關(guān)鍵是確定球心位置求出球的半徑．4、A【解題分析】

先考慮從個(gè)人中選取個(gè)人參加數(shù)學(xué)競賽的基本事件總數(shù)，再分析選出的參賽選手的編號相連的事件數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算得到結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閺膫€(gè)人中選取個(gè)人參加數(shù)學(xué)競賽的基本事件有：，共種，又因?yàn)檫x出的參賽選手的編號相連的事件有：，共種，所以目標(biāo)事件的概率為.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型的簡單應(yīng)用，難度較易.求解古典概型問題的常規(guī)思路：先計(jì)算出基本事件的總數(shù)，然后計(jì)算出目標(biāo)事件的個(gè)數(shù)，目標(biāo)事件的個(gè)數(shù)比上基本事件的總數(shù)即可計(jì)算出對應(yīng)的概率.5、C【解題分析】

由等比數(shù)列的求和公式結(jié)合條件求出公比，再利用等比數(shù)列求和公式可求出.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為（公比顯然不為1），則，得，因此，，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列基本量計(jì)算，利用等比數(shù)列求和公式求出其公比，是解本題的關(guān)鍵，一般在求解等比數(shù)列問題時(shí)，有如下兩種方法：（1）基本量法：利用首項(xiàng)和公比列方程組解出這兩個(gè)基本量，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或求和公式來進(jìn)行計(jì)算；（2）性質(zhì)法：利用等比數(shù)列下標(biāo)有關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，能起到簡化計(jì)算的作用．6、C【解題分析】設(shè)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別A（a，2）、B（2，b），圓心C為點(diǎn)（-1，1），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得解得a=-4，b=1．∴半徑r=∴圓的方程是：（x+1）1+（y-1）1=5，即x1+y1+4x-1y=2．故選C．7、D【解題分析】

根據(jù)正弦定理將已知等式化簡得，再根據(jù)差角正切公式以及基本不等式可得結(jié)論.【題目詳解】由正弦定理以及，可得，在中，代入上式中整理得，，即，即，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】試題分析：因?yàn)樵摵瘮?shù)的單調(diào)性較難求，所以可以考慮用不等式來求最小值，，因?yàn)?，由重要不等式可知，所以，本題正確選項(xiàng)為D.考點(diǎn)：重要不等式的運(yùn)用.9、A【解題分析】

首先注意到，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，將分離常數(shù)得到，構(gòu)造函數(shù)，畫出的圖像，根據(jù)“函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)”結(jié)合圖像，求得的取值范圍.【題目詳解】解：由恰有兩個(gè)零點(diǎn)，而當(dāng)時(shí)，，即是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，必有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與函數(shù)必有一個(gè)交點(diǎn)，利用單調(diào)性，作出函數(shù)圖像如下所示，由圖可知，要使函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，只需即可.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.10、B【解題分析】

把函數(shù)的解析式利用輔助角公式化成余弦型函數(shù)解析式形式，然后求出向右平移個(gè)單位后函數(shù)的解析式，根據(jù)題意，利用余弦型函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【題目詳解】，該函數(shù)求出向右平移個(gè)單位后得到新函數(shù)的解析式為：，由題意可知：函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以有當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了余弦型函數(shù)的圖象平移，考查了余弦型函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

對已知等式的左右兩邊同時(shí)平方，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式和二倍角的正弦公式，可以求出的值，再利用二倍角的余弦公式可以求出.【題目詳解】因?yàn)?，所以，即，所?【題目點(diǎn)撥】本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.12、π【解題分析】

將直線方程化為斜截式，利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【題目詳解】因?yàn)閤-3所以y=33x-33則tanα=33，α=【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.13、1.1【解題分析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由此能求出這組數(shù)據(jù)的方差．【題目詳解】八個(gè)學(xué)生參加合唱比賽的得分為87，88，90，91，92，93，93，94，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：（87+88+90+91+92+93+93+94）＝91，∴這組數(shù)據(jù)的方差為：S2[（87﹣91）2+（88﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（92﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（94﹣91）2]＝1.1．故答案為1.1．【題目點(diǎn)撥】本題考查方差的求法，考查平均數(shù)、方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力與計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．14、.【解題分析】

由二進(jìn)制數(shù)的定義可將化為十進(jìn)制數(shù).【題目詳解】由二進(jìn)制數(shù)的定義可得，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查二進(jìn)制數(shù)化十進(jìn)制數(shù)，考查二進(jìn)制數(shù)的定義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、1【解題分析】

根據(jù)二次不等式和二次方程的關(guān)系，得到是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得到的值.【題目詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為所以是方程的兩根，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得【題目點(diǎn)撥】本題考查一元二次不等式和一元二次方程之間的關(guān)系，根與系數(shù)之間的關(guān)系，屬于簡單題.16、8073【解題分析】

對分奇偶討論求解即可【題目詳解】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，故故答案為8073【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系，考查分析推理能力，對分奇偶討論發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，是難題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解題分析】試題分析：（1）由勾股定理可證得為直角三角形即可證得，由直棱柱可知面，可證得，根據(jù)線面垂直的判定定理可證得面，從而可得．（2）設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié)，由中位線可證得，根據(jù)線面平行的判定定理可證得平面．試題解析：證明：（1）證明：，，為直角三角形且，即．又∵三棱柱為直棱柱，面，面，，，面，面，．（2）設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，．面，面，平面．考點(diǎn)：1線線垂直，線面垂直；2線面平行．18、（1）；（2）【解題分析】

（1）由題意可得，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得；由數(shù)列的遞推式，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得；（2），運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可得所求和．【題目詳解】解：（1）由，同乘以得，可知是以2為公差的等差數(shù)列，而，故；又，相減得，，可知是以為公比的等比數(shù)列，而，故；（2）因?yàn)?，，，兩式相減得．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．19、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

（1）連AF交BE于Q，連QO，推導(dǎo)出Q是△PAB的重心，從而FG∥QO，由此能證明FG∥平面EBO．（2）推導(dǎo)出BO⊥AC，從而BO⊥面PAC，進(jìn)而BO⊥PA，再求出OE⊥PA，由此能證明PA⊥平面EBO，利用線面垂直的性質(zhì)可證PA⊥BE．【題目詳解】（1）連接AF交BE于Q，連接QO，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為邊PA，PB的中點(diǎn)，所以Q為△PAB的重心，可得：2，又因?yàn)镺為線段AC的中點(diǎn)，G是線段CO的中點(diǎn)，所以2，于是，所以FG∥QO，因?yàn)镕G?平面EBO，QO?平面EBO，所以FG∥平面EBO．（2）因?yàn)镺為邊AC的中點(diǎn)，AB＝BC，所以BO⊥AC，因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO?平面ABC，所以BO⊥平面PAC，因?yàn)镻A?平面PAC，所以BO⊥PA，因?yàn)辄c(diǎn)E，O分別為線段PA，AC的中點(diǎn)，所以EO∥PC，因?yàn)镻A⊥PC，所以PA⊥EO，又BO∩OE＝O，BO，EO?平面EBO，所以PA⊥平面EBO，因?yàn)锽E?平面EBO，所以PA⊥BE．【題目點(diǎn)撥】本題考查線面垂直、線面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．20、（1）（2）【解題分析】

（1）首先求出包含的基本事件個(gè)數(shù)，由，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，列出滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式即可求解.（2）根據(jù)題意全部基本事件的結(jié)果為，滿足的基本事件的結(jié)果為，利用幾何概型概率計(jì)算公式即可求解.【題目詳解】（1），的所有取值共有個(gè)基本事件．由，得，滿足包含的基本事件為，，，，，共種情形，故．（2）若，在上取值，則全部基本事件的結(jié)果為，滿足的基本事件的結(jié)果為．畫出圖形如圖，正方形的面積為，陰影部分的面積為，故滿足的概率為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了古典概型概率計(jì)算公式、幾何概型概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)