第一章空間向量與立體幾何知識點匯總- 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

高二上學(xué)期數(shù)學(xué)知識點匯總（共四章）第一章空間向量與立體幾何一、空間向量的有關(guān)概念高二上學(xué)期數(shù)學(xué)知識點匯總（共四章）第一章空間向量與立體幾何1．空間向量(1)定義：在空間，我們把具有的量叫做空間向量．(2)長度：空間向量的叫做空間向量的長度或模．2．空間向量的表示(1)字母表示法：用字母a，b，c，…，表示．(2)幾何表示法：用有向線段表示，其長度表示空間向量的模．即若向量a的起點是A，終點是B，則向量a也可以記作，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up7(→))|.3．幾類特殊向量特殊向量定義零向量長度為的向量叫做零向量，記為單位向量模為的向量叫做單位向量相反向量與a長度而方向的向量叫做a的相反向量，記為－a共線向量或平行向量若表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相或，那么這些向量叫做共線向量或平行向量規(guī)定：零向量與任意向量平行．即對任意向量a，都有0∥a相等向量方向且模的向量二、空間向量的線性運算及其運算律空間向量的線性運算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝減法a－b＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝數(shù)乘運算當(dāng)λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))當(dāng)λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(MN,\s\up7(→))當(dāng)λ＝0時，λa＝運算律交換律a＋b＝b＋a結(jié)合律a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μb，λ(a＋b)＝λa＋λb三、空間向量共線、共面的充要條件1．空間向量共線的充要條件(1)共線向量基本定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使.(2)三點共線：A、B、C三點共線?A、B、C三點共線?(其中x+y=1)2．直線的方向向量(1)如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上的任意一點P，由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up7(→))＝λa，把的向量稱為直線l的方向向量．(2)直線可以由其上一點和它的確定．3．空間向量共面的充要條件(1)共面向量：平行于的向量，叫做共面向量．(2)空間向量共面的充要條件：向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)四點共面：若A、B、C、P四點共面?若A、B、C、P四點共面?（其中x+y+z=1）四、空間向量的數(shù)量積運算1．空間向量的夾角圖示定義已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則叫做向量a，b的夾角，記作范圍通常規(guī)定：≤〈a，b〉≤當(dāng)〈a，b〉＝時，a與b垂直，記作a⊥b2.空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝．[微提醒]零向量與任意向量的數(shù)量積為0.(2)由數(shù)量積的定義，可以得到：a⊥b?；a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.3．投影向量(1)在空間，向量a向向量b投影：如圖(1)，先將它們平移到同一平面α內(nèi)，利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝=|a|cos〈a，b〉·eq\f(b,|b|)，稱向量c為向量a在向量b上的投影向量．(2)向量a在直線l上的投影如圖(2)．(3)向量a向平面β投影：如圖(3)，分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up7(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up7(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．4．空間向量數(shù)量積的運算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)a·b＝b·a(交換律)；(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．五、空間向量基本定理1．空間向量基本定理定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得.其中，把{a,b,c}叫做空間的一個，a，b，c都叫做，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底．2．單位正交基底與正交分解(1)單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量，且長度都為，那么這個基底叫，常用表示.(2)正交分解把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行．六、空間向量及其運算的坐標(biāo)表示1．空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}．以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做．這時就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz，O叫做原點，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它們把空間分成八個部分．2．右手直角坐標(biāo)系的定義在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸，食指指向，中指指向．則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系，如圖所示．3．空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(1)空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)：在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up7(→))對應(yīng)的，叫做點A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的，y叫做點A的，z叫做點A的．(2)空間直角坐標(biāo)系中向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，上式可簡記作．4．落在坐標(biāo)軸和坐標(biāo)平面上的點的特點、在空間直角坐標(biāo)系中，點P(x，y，z)關(guān)于坐標(biāo)軸和坐標(biāo)平面的對稱點的坐標(biāo)特點如下：(1)關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為P1；(2)關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點為P2；(3)關(guān)于縱軸(y軸)的對稱點為P3；(4)關(guān)于豎軸(z軸)的對稱點為P4；(5)關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對稱點為P5；(6)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面的對稱點為P6；(7)關(guān)于zOx坐標(biāo)平面的對稱點為P7．七、空間向量的運算坐標(biāo)表示1.空間向量的坐標(biāo)運算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a＋b＝,a－b＝；λa＝,a·b＝.2.空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a=(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a∥b?a＝λb?；a⊥b?a·b＝0?；|a|＝eq\r(a·a)＝；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝.3．空間兩點間的距離公式在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)P1(a1，b1，c1)，P2(a2，b2，c2)，則P1，P2兩點間的距離P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up7(→))|＝.八、空間中點、直線和平面的向量表示1．點的位置向量在空間中，我們?nèi)∫欢cO作為，那么空間中任意一點P就可以用向量eq\o(OP,\s\up7(→))來表示，向量eq\o(OP,\s\up7(→))稱為點P的.2．空間直線的向量表示式取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝，①取eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，代入①式，得eq\o(OP,\s\up7(→))＝，②①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．3．平面的向量表示式取定空間任意一點O，可以得到，空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x，y，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝，把上式稱為空間平面ABC的向量表示式．4．平面的法向量如圖，直線l⊥α，取直線l的方向向量a，稱向量a為平面α的．給定一個點A和一個向量a，那么過點A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合．九、空間中直線、平面的平行直線與直線平行設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2???λ∈R，使得.(l1、l2沒有公共點)直線與平面平行設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，則l∥α??.（l￠α）平面與平面平行設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β???λ∈R，使得.(α，β沒有公共點)十、空間中直線、平面的垂直1．直線與直線垂直設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2??.2．直線與平面垂直設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，則l⊥α???λ∈R，使得.3.平面與平面垂直設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β??.十一、用空間向量研究距離、夾角問題1.空間距離的向量求法分類圖示向量求法點線距u為直線l的單位方向向量，P?l，A∈l，Q∈l，eq\o(AP,\s\up7(→))＝a，eq\o(AP,\s\up7(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up7(→))＝(a·u)u，則PQ＝eq\r(|eq\o(AP,\s\up7(→))|2－|eq\o(AQ,\s\up7(→))|2)＝點面距設(shè)平面α的法向量為n，P?α，A∈α，PQ⊥α，eq\o(AP,\s\up7(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\u