函數(shù)模型的應(yīng)用+第2課時 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用第2課時1.能選擇合適的函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實際問題例1

假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番.請問，你會選擇哪種投資方案？分析：我們可以先建立三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據(jù).知識點：選擇合適的函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實際問題解：設(shè)第x天所得回報是y元，則方案一可以用函數(shù)y=40(x∈N*)進(jìn)行描述；三個模型中，第一個是常數(shù)函數(shù)，后兩個都是增函數(shù).要對三個方案作出選擇，就要對它們的増長情況進(jìn)行分析.方案三可以用函數(shù)y=0.4×2x-1(x∈N*)進(jìn)行描述.方案二可以用函數(shù)y=10x(x∈N*)進(jìn)行描述；三種方案所得回報的增長情況x方案一方案二方案三y增加量/元y增加量/元y增加量/元140

10

0.4

240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4…………………3040030010214748365107374182.4畫出三個函數(shù)的圖象xy2040608010012014042681012O累計回報表方案

天數(shù)1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三012.86122550.8102204409819投資1~6天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8~10天，應(yīng)選擇方案二；投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇方案三.選擇函數(shù)模型解釋實際問題的基本步驟：歸納總結(jié)例2

某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個模型能符合公司的要求？分析:由于公司總的利潤目標(biāo)為1000萬元,所以銷售人員的銷售利潤一般不會超過公司總的利潤.于是,只需在區(qū)間[10,1000]上,尋找并驗證所選函數(shù)是否滿足兩條要求：第一,獎金總數(shù)不超過5萬元,即最大值不大于5;第二,獎金不超過利潤的25％,即y≤0.25x.不妨先畫出函數(shù)圖象,通過觀察函數(shù)圖象,得到初步的結(jié)論,再通過具體計算,確認(rèn)結(jié)果.解:借助信息技術(shù)畫出函數(shù)y＝5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的圖象.在區(qū)間[10,1000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的圖象都有一部分在直線y＝5的上方,只有模型y=log7x+1的圖象始終在y＝5的下方,這說明只有按模型y=log7x+1進(jìn)行獎勵時才符合公司的要求.對于模型y=0.25x,它在區(qū)間[10,1000]上單調(diào)遞增，而且當(dāng)x=20時，y=5因此，當(dāng)x>20時，y>5,所以該模型不符合要求;對于模型，y=1.002x,由函數(shù)圖象,可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個點xo滿足,由于它在區(qū)間[10,1000]上單調(diào)遞增因此當(dāng)x>xo時，y>5,所以該模型也不符合要求；先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬元.對于模型y=log7x+1，它在區(qū)間[10,1000]上單調(diào)遞增,而且當(dāng)x＝1000時，y=log71000+1≈4.55＜5，所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求．再計算按模型y=log7x+1獎勵時,獎金是否不超過利潤的25％,

令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10,1000],利用信息技術(shù)畫出它的圖象.即當(dāng)x∈[10,1000]時,是否有y≤0.25x，即log7x+1≤0.25x成立．由圖象可知函數(shù)f(x)在區(qū)間[10,1000]上單調(diào)遞減,因此f(x)≤f(10)≈－0.3167＜0,即y=log7x+1＜0.25x．所以,當(dāng)x∈[10,1000]時,y≤0.25x,說明按模型y=log7x+1獎勵,獎金不會超過利潤的25％．綜上所述,模型y=log7x+1確實能符合公司要求.用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的基本過程:歸納總結(jié)選擇函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將實際問題化歸為數(shù)學(xué)問題分析和理解實際問題的增長情況(是“對數(shù)增長”“直線上升”還是“指數(shù)爆炸”)用得到的函數(shù)模型描述實際問題的變化規(guī)律，解決有關(guān)問題通過運算、推理求解函數(shù)模型實際問題實際問題的解函數(shù)模型函數(shù)模型的解解釋說明化歸運算推理練一練某地今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數(shù)分別為52,61,68.為了預(yù)測以后各月的患病人數(shù),甲選擇了模型,乙選擇了模型其中y為患病人數(shù)，x為月份數(shù)，a,b,c,p,q,r都是常數(shù).結(jié)果4月，5月，6月份的患病人數(shù)分別為74,78,83.你認(rèn)為誰選擇的模型更符合實際？解：由1~3月的患病人數(shù)，可得甲選擇的模型為y=-x2+12x+4