用空間向量研究距離、夾角問題++第2課時(shí) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第2課時(shí)1.能用向量方法得到兩條直線所成的角、直線和平面所成的角、兩個(gè)平面的夾角的向量表達(dá)式，解決立體幾何中有關(guān)角度的度量問題思考：如何用空間向量求兩條直線的夾角？知識(shí)點(diǎn)1：兩條異面直線所成的角兩條直線夾角的定義兩條直線夾角的取值范圍兩條直線夾角的向量求法兩條直線夾角問題的研究路徑：過空間任意一點(diǎn)引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）就是異面直線所成的角.θ∈（0°,90°]追問：兩條直線的夾角θ與它們方向向量的夾角有什么關(guān)系？

設(shè)直線l1的方向向量為u，直線l2的方向向量為vθ=<u，v>或θ=π-<u，v>例1:在棱長(zhǎng)為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）ABCD中，M,N分別為BC,AD的中點(diǎn)，求直線AM和CN夾角的余弦值.分析：直線AM和CN夾角向量與的夾角①

選擇空間的一個(gè)基底②

建立空間直角坐標(biāo)系選擇適當(dāng)?shù)幕妆硎窘猓阂宰鳛榛祝瑒t設(shè)向量

與

的夾角為θ，則直線AM與CN夾角的余弦值等于|cosθ|.例1:在棱長(zhǎng)為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）ABCD中，M,N分別為BC,AD的中點(diǎn)，求直線AM和CN夾角的余弦值.又△ABC和△ACD均為等邊三角形，所以所以所以直線AM與CN夾角的余弦值等于例1:在棱長(zhǎng)為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）ABCD中，M,N分別為BC,AD的中點(diǎn)，求直線AM和CN夾角的余弦值.歸納總結(jié)用空間向量求兩條直線l1,l2夾角θ的步驟與方法：化為向量問題進(jìn)行向量運(yùn)算回到圖形問題兩條直線l1,l2夾角θ的余弦值cosθ=|cos<u，v>|轉(zhuǎn)化為求兩直線l1,l2的方向向量u,v的夾角計(jì)算

的值思考2：如何用向量法求直線與平面所成的角？設(shè)直線AB的方向向量為u,平面α的法向量為n,把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角知識(shí)點(diǎn)2：直線與平面所成的角A

BCnuθ思考3：類比已有的直線、平面所成角的定義，你認(rèn)為應(yīng)如何合理定義兩個(gè)平面所成的角？平面

α與平面

β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面

α與平面

β的夾角.知識(shí)點(diǎn)3：平面與平面所成的角αβ平面α,β的法向量分別是n1和n2,則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角設(shè)平面α與平面β的夾角為O,追問：進(jìn)一步地，如何求平面和平面的夾角？αβn1n2則想一想：平面與平面的夾角與二面角的區(qū)別和聯(lián)系是什么？二面角的大小是指其兩個(gè)半平面的張開程度，可以用其平面角θ的大小來定義，它的取值范圍是0≤θ≤π;平面α與平面β的夾角是指平面α與平面β相交，形成的四個(gè)二面角中不大于90°的二面角.例2:在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°，P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q，R分別在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值.分析：平面PQR與平面A1B1C1夾角平面PQR與平面A1B1C1法向量的夾角解：以C1為原點(diǎn)，C1A1，C1B1，C1C所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面A1B1C1的法向量為n1，平面PQR的法向量為n2，則平面PQR與平面A1B1C1的夾角就是n1與n2的夾角或其補(bǔ)角.因?yàn)镃1C⊥平面A1B1C1，所以平面A1B1C1的一個(gè)法向量為n1=(0,0,1).因?yàn)镻(0,1,3),Q(2,0,2),R(0,2,1)，所以設(shè)n2=(x,y,z),則所以所以例2:在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°，P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q，R分別在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值.取n2=(3,4,2),則平面PQR與平面A1B1C1的夾角為θ，則平面PQR與平面A1B1C1的夾角的余弦值為例2:在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°，P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q，R分別在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值.歸納總結(jié)用空間向量求平面與平面夾角θ的步驟與方法：化為向量問題進(jìn)行向量運(yùn)算回到圖形問題兩個(gè)平面夾角θ的余弦值cosθ=|cos<n1,n2>|轉(zhuǎn)化