四川省綿陽(yáng)市三臺(tái)縣2021-2022學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

四川省綿陽(yáng)市三臺(tái)縣2021-2022學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）一、選擇題（共12小題，每小題3分，共36分）1．下列標(biāo)志既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，0）．現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（2，1） B．（1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣2）3．關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一個(gè)根是0，則a的值為（）A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．4．將拋物線y＝﹣2（x+3）2+1向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后所得到的拋物線的解析式為（）A．y＝2（x+1）2 B．y＝﹣2（x+5）2+2 C．y＝﹣2（x+5）2+3 D．y＝﹣2（x﹣5）2﹣15．已知關(guān)于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)k＝0時(shí)，方程無(wú)解 B．當(dāng)k＝1時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解 C．當(dāng)k＝﹣1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解 D．當(dāng)k≠0時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解6．一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化為（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝57．如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來(lái)的海上日出時(shí)的畫面，“圖上”太陽(yáng)與海平線交于A，B兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，AB＝16厘米．若從目前太陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，則“圖上”太陽(yáng)升起的速度為（）A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分8．賓館有50間房供游客居住，當(dāng)每間房每天定價(jià)為180元時(shí)，賓館會(huì)住滿；當(dāng)每間房每天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)空閑一間房．如果有游客居住，賓館需對(duì)居住的每間房每天支出20元的費(fèi)用．設(shè)房?jī)r(jià)定為x元，賓館當(dāng)天利潤(rùn)為8640元．則可列方程（）A．（180+x﹣20）（50﹣）＝8640 B．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝8640 C．x（50﹣）﹣50×20＝8640 D．（x﹣20）（50﹣）＝86409．已知一次函數(shù)y＝x+c的圖象如圖，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c在平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B． C． D．10．如圖，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，將△APC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△AEF．則AE+PB+PC的最小值為（）A． B．8 C． D．11．如圖，利用一個(gè)直角墻角修建一個(gè)梯形儲(chǔ)料場(chǎng)ABCD，其中∠C＝120°．若新建墻BC與CD總長(zhǎng)為12m，則該梯形儲(chǔ)料場(chǎng)ABCD的最大面積是（）A．18m2 B．18m2 C．24m2 D．m212．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝2，下列結(jié)論：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④若點(diǎn)A（﹣3，y1）、點(diǎn)B（﹣，y2）、點(diǎn)C（，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；⑤若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根為x1和x2，且x1＜x2，則x1＜﹣1＜5＜x2，其中正確的結(jié)論是（）A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②④ D．①⑤二、填空題（每小題4分，共24分）13．（4分）方程3（x﹣5）2＝2（5﹣x）的解是．14．（4分）設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程x2﹣3x+k＝0的兩個(gè)根，且x1＝2x2，則k＝．15．（4分）如圖，⊙O的直徑BA的延長(zhǎng)線與弦DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，則∠E等于．16．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，則BD的長(zhǎng)為．17．（4分）已知函數(shù)y＝的圖象如圖所示，若直線y＝kx﹣3與該圖象有公共點(diǎn)，則k的最大值與最小值的和為．18．（4分）如圖，已知直線y＝x+1與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線y＝x2+bx+c與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使|AM﹣MC|的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)三、解答題：（共7個(gè)題，共90分）19．（16分）（1）解方程：（x﹣5）（x+2）＝8．（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+1﹣）÷，其中x滿足方程：x2+x﹣6＝0．20．（12分）已知關(guān)于x的兩個(gè)一元二次方程：方程①：（1+）x2+（k+2）x﹣1＝0；方程②：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3＝0．（1）若方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求：k的值；（2）若方程①和②只有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，請(qǐng)說(shuō)明此時(shí)哪個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；（3）在（2）中若一定有實(shí)數(shù)根的那個(gè)方程的兩根分別為x1、x2，且兩根的平方和為3（即x12+x22＝3）中，求k的值．21．（12分）如圖①是一條拋物線形狀的拱橋，水面寬AB為6米，拱頂C離水面的距離為4米．（1）建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求出拋物線的解析式；（2）一艘貨船的截面如圖②所示，它是由一個(gè)正方形MNEF和一個(gè)梯形KLGH組成的軸對(duì)稱圖形，貨船的寬度KH為5米，貨物高度MN為3米．若船弦離水面的安全距離為0.25米，請(qǐng)問(wèn)貨船能否安全通過(guò)橋洞？說(shuō)明理由．22．（12分）如圖，在半徑為2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D，E．（1）當(dāng)BC＝2時(shí)，求線段OD的長(zhǎng)和∠BOD的度數(shù)；（2）在△DOE中，是否存在長(zhǎng)度保持不變的邊？如果存在，請(qǐng)指出并求其長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在△DOE中，是否存在度數(shù)保持不變的角？如果存在，請(qǐng)指出并求其度數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．23．（12分）在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC邊上的兩點(diǎn)，且滿足∠DBE＝∠ABC．（1）如圖1，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△EBC按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△E′BA（點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E′處），連接DE′．求證：DE′＝DE；（2）如圖2，若∠ABC＝90°，AD＝4，EC＝2，求DE的長(zhǎng)．24．（12分）九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，整理出某種商品在第x（1≤x≤90）天的售價(jià)與銷量的相關(guān)信息如表：時(shí)間x（天）1≤x＜5050≤x≤90售價(jià)（元/天）x+4090每天銷量（件）200﹣2x已知該商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，設(shè)銷售該商品的每天利潤(rùn)為y元．（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）問(wèn)銷售該商品第幾天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？（3）該商品在銷售過(guò)程中，共有多少天每天銷售利潤(rùn)不低于4800元？25．（14分）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，OA＝1，對(duì)稱軸為直線x＝2，點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上C、D兩點(diǎn)之間的距離是；（3）點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE和CE，求△BCE面積的最大值；（4）點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題3分，共36分）1．下列標(biāo)志既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．2．如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，0）．現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（2，1） B．（1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣2）【分析】利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形，然后寫出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的坐標(biāo)．【解答】解：如圖，△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB′C′，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形變換﹣旋轉(zhuǎn)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來(lái)求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．3．關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一個(gè)根是0，則a的值為（）A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．【分析】把x＝0代入已知方程列出關(guān)于a的新方程，通過(guò)解新方程來(lái)求a的值；注意根據(jù)一元二次方程的定義得到：a﹣1≠0．【解答】解：∵一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一個(gè)根是0，∴a2﹣1＝0且a﹣1≠0解得：a＝1或﹣1，且a≠1．∴a＝﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了方程的解的定義和一元二次方程的解，把求未知系數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程求解和不等式的問(wèn)題來(lái)解決．4．將拋物線y＝﹣2（x+3）2+1向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后所得到的拋物線的解析式為（）A．y＝2（x+1）2 B．y＝﹣2（x+5）2+2 C．y＝﹣2（x+5）2+3 D．y＝﹣2（x﹣5）2﹣1【分析】先利用頂點(diǎn)式得到拋物線y＝﹣2（x+3）2+1頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，1），再根據(jù)點(diǎn)平移的坐標(biāo)特征得到點(diǎn)（﹣3，1）平移后所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5，2），然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出平移后的拋物線的解析式即可．【解答】解：拋物線y＝﹣2（x+3）2+1頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，1），點(diǎn)（﹣3，1）先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5，2），所以平移后的拋物線的解析式為y＝﹣2（x+5）2+2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．5．已知關(guān)于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)k＝0時(shí)，方程無(wú)解 B．當(dāng)k＝1時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解 C．當(dāng)k＝﹣1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解 D．當(dāng)k≠0時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解【分析】利用k的值，分別代入求出方程的根的情況即可．【解答】解：關(guān)于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，A、當(dāng)k＝0時(shí)，x﹣1＝0，則x＝1，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、當(dāng)k＝1時(shí)，x2﹣1＝0方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、當(dāng)k＝﹣1時(shí)，﹣x2+2x﹣1＝0，則（x﹣1）2＝0，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，故此選項(xiàng)正確；D、由C得此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的解，代入k的值判斷方程根的情況是解題關(guān)鍵．6．一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化為（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5【分析】移項(xiàng)，配方，即可得出選項(xiàng)．【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能正確配方是解此題的關(guān)鍵．7．如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來(lái)的海上日出時(shí)的畫面，“圖上”太陽(yáng)與海平線交于A，B兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，AB＝16厘米．若從目前太陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，則“圖上”太陽(yáng)升起的速度為（）A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分【分析】連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，由垂徑定理求出AD的長(zhǎng)，再由勾股定理求出OD的長(zhǎng)，然后計(jì)算出太陽(yáng)在海平線以下部分的高度，即可求解．【解答】解：設(shè)“圖上”圓的圓心為O，連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，如圖所示：∵AB＝16厘米，∴AD＝AB＝8（厘米），∵OA＝10厘米，∴OD＝＝＝6（厘米），∴海平線以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），∵太陽(yáng)從所處位置到完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，∴“圖上”太陽(yáng)升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/分），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理的運(yùn)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．8．賓館有50間房供游客居住，當(dāng)每間房每天定價(jià)為180元時(shí)，賓館會(huì)住滿；當(dāng)每間房每天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)空閑一間房．如果有游客居住，賓館需對(duì)居住的每間房每天支出20元的費(fèi)用．設(shè)房?jī)r(jià)定為x元，賓館當(dāng)天利潤(rùn)為8640元．則可列方程（）A．（180+x﹣20）（50﹣）＝8640 B．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝8640 C．x（50﹣）﹣50×20＝8640 D．（x﹣20）（50﹣）＝8640【分析】直接利用（房間定價(jià)﹣180）÷10＝減少的房間數(shù)，進(jìn)而利用每間房間利潤(rùn)×住的房間數(shù)＝8640，進(jìn)而得出答案．【解答】解：設(shè)房?jī)r(jià)定為x元，由題意得：（x﹣20）（50﹣）＝8640．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，正確表示出減少的居住房間數(shù)是解題關(guān)鍵．9．已知一次函數(shù)y＝x+c的圖象如圖，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c在平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限，即可得出＞0、c＞0，由此即可得出：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象對(duì)稱軸x＝﹣＜0，與y軸的交點(diǎn)在y軸正正半軸，再對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)中的圖象即可得出結(jié)論．【解答】解：觀察函數(shù)圖象可知：＞0、c＞0，∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象對(duì)稱軸x＝﹣＜0，與y軸的交點(diǎn)在y軸正正半軸．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，根據(jù)一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限，找出＞0、c＞0是解題的關(guān)鍵．10．如圖，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，將△APC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△AEF．則AE+PB+PC的最小值為（）A． B．8 C． D．【分析】連接PE，BF，過(guò)B作AF垂線交FA延長(zhǎng)線于G，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得AP＝AE，∠PAE＝∠CAF＝60°，PC＝EF，再證明△APE為等邊三角形，將AE+PB+PC轉(zhuǎn)化為PB+PE+EF≥BF，再在直角△BGF中由勾股定理求出BF即可．【解答】解：如圖，連接PE，BF，過(guò)B作AF垂線交FA延長(zhǎng)線于G，∵△APC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△AEF，∴AP＝AE，∠PAE＝∠CAF＝60°，PC＝EF，∴△APE為等邊三角形，即AE＝PE，∴AE+PB+PC＝PB+PE+EF≥BF，∵∠BAC＝60°，∴∠BAF＝120°，∴∠BAG＝60°，∴AG＝AB＝2，GF＝2+6＝8，∴BG＝＝＝2，∴BF＝＝＝2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，將AE+PB+PC轉(zhuǎn)化為PB+PE+EF≥BF是解決本題的關(guān)鍵．11．如圖，利用一個(gè)直角墻角修建一個(gè)梯形儲(chǔ)料場(chǎng)ABCD，其中∠C＝120°．若新建墻BC與CD總長(zhǎng)為12m，則該梯形儲(chǔ)料場(chǎng)ABCD的最大面積是（）A．18m2 B．18m2 C．24m2 D．m2【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，則四邊形ADCE為矩形，CD＝AE，∠DCE＝∠CEB＝90°，設(shè)CD＝AE＝xm，則∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝（12﹣x）m，由直角三角形的，性質(zhì)得出BE＝BC＝（6﹣x）m，得出AD＝CE＝BE＝（6﹣x）m，AB＝AE+BE＝x+6﹣x＝（x+6）m，由梯形面積公式得出梯形ABCD的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)直接求解．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，則四邊形ADCE為矩形，∴CD＝AE，∠DCE＝∠CEB＝90°，設(shè)CD＝AE＝xm，則∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝（12﹣x）m，在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∴BE＝BC＝（6﹣x）m，∴AD＝CE＝BE＝（6﹣x）m，AB＝AE+BE＝x+6﹣x＝（x+6）m，∴梯形ABCD面積S＝（CD+AB）?CE＝（x+x+6）?（6﹣x）＝﹣x2+3x+18＝﹣（x﹣4）2+24，∴當(dāng)x＝4時(shí)，S最大＝24．即CD長(zhǎng)為4m時(shí)，使梯形儲(chǔ)料場(chǎng)ABCD的面積最大為24m2；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了梯形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的運(yùn)用，利用梯形的面積建立二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．12．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝2，下列結(jié)論：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④若點(diǎn)A（﹣3，y1）、點(diǎn)B（﹣，y2）、點(diǎn)C（，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；⑤若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根為x1和x2，且x1＜x2，則x1＜﹣1＜5＜x2，其中正確的結(jié)論是（）A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②④ D．①⑤【分析】根據(jù)拋物線對(duì)稱軸為直線x＝2可得a與b的關(guān)系，從而判斷①，由x＝﹣3時(shí)y＜0可判斷②，由拋物線經(jīng)過(guò)（﹣1，0）及拋物線對(duì)稱軸可求出b與a，c與a的關(guān)系，從而判斷③，由A，B，C三點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離大小判斷④，將方程的解轉(zhuǎn)化為拋物線與直線y＝﹣3的交點(diǎn)問(wèn)題，從而判斷⑤．【解答】解：∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，①正確．由圖象可得x＝﹣3時(shí)，y＜0，∴9a+c＜3b，②錯(cuò)誤．∵拋物線經(jīng)過(guò)（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∵b＝﹣4a，∴c＝﹣5a，∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，∵拋物線開口向下，∴a＜0，﹣30a＞0，③正確．∵點(diǎn)C，點(diǎn)B，點(diǎn)A到拋物線對(duì)稱軸距離依次增大，∴y3＞y2＞y1，④錯(cuò)誤．∵拋物線經(jīng)過(guò)（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝2，∴拋物線經(jīng)過(guò)（5，0），∴拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣5），∴a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根為拋物線與直線y＝﹣3的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象可得x1＜﹣1＜5＜x2，⑤正確．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．二、填空題（每小題4分，共24分）13．（4分）方程3（x﹣5）2＝2（5﹣x）的解是5或．【分析】觀察知，可用換元法把5﹣x看作一個(gè)整體，求解方程即可．【解答】解：根據(jù)題意，令y＝5﹣x，代入原方程得：3y2＝2y，解得y1＝0，y2＝，∴x1＝5，x2＝；【點(diǎn)評(píng)】本題考查換元法解一元二次方程，是基礎(chǔ)題型．14．（4分）設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程x2﹣3x+k＝0的兩個(gè)根，且x1＝2x2，則k＝2．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x2＝1，將其代入已知方程，列出關(guān)于k的方程，解方程即可．【解答】解：根據(jù)題意，知x1+x2＝3x2＝3，則x2＝1，將其代入關(guān)于x的方程x2﹣3x+k＝0，得12﹣3×1+k＝0．解得k＝2．故答案是：2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．15．（4分）如圖，⊙O的直徑BA的延長(zhǎng)線與弦DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，則∠E等于24°．【分析】根據(jù)圓的半徑相等，可得等腰三角形；根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，可得關(guān)于∠E的方程，根據(jù)解方程，可得答案．【解答】解：如圖：CE＝OB＝CO，得∠E＝∠1．由∠2是△EOC的外角，得∠2＝∠E+∠1＝2∠E．由OC＝OD，得∠D＝∠2＝2∠E．由∠3是三角形△ODE的外角，得∠3＝E+∠D＝∠E+2∠E＝3∠E．由∠3＝72°，得3∠E＝72°．解得∠E＝24°．故答案為：24°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，利用圓的半徑相等得出等腰三角形是解題關(guān)鍵，又利用了三角形外角的性質(zhì)．16．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，則BD的長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠BAD與∠CAD′的關(guān)系，根據(jù)SAS，可得△BAD與△CAD′的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得BD與CD′的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得答案．【解答】解：在AD的上方過(guò)點(diǎn)A作AD′⊥AD，使得AD′＝AD，連接CD′，DD′，如圖：∵∠BAC+∠CAD＝∠DAD′+∠CAD，即∠BAD＝∠CAD′，在△BAD與△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD＝CD′．∠DAD′＝90°由勾股定理得DD′＝，∠D′DA+∠ADC＝90°由勾股定理得CD′＝，∴BD＝CD′＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，作出全等圖形是解題關(guān)鍵．17．（4分）已知函數(shù)y＝的圖象如圖所示，若直線y＝kx﹣3與該圖象有公共點(diǎn)，則k的最大值與最小值的和為17．【分析】根據(jù)題意可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，12）時(shí)，直線y＝kx﹣3與該圖象有公共點(diǎn)；當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，（x﹣5）2+8＝kx﹣3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它們的和為17．【解答】解：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，12）時(shí)，12＝k﹣3，解得k＝15；當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，（x﹣5）2+8＝kx﹣3，整理得x2﹣（10+k）x+36＝0，∴10+k＝±12，解得k＝2或k＝﹣22（舍去），∴k的最大值是15，最小值是2，∴k的最大值與最小值的和為15+2＝17．故答案為：17．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，結(jié)合圖象求出k的最大值和最小值是解題的關(guān)鍵．18．（4分）如圖，已知直線y＝x+1與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線y＝x2+bx+c與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使|AM﹣MC|的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)（，﹣）【分析】根據(jù)直線的解析式求得點(diǎn)A（0，1），那么把A，B坐標(biāo)代入y＝x2+bx+c即可求得函數(shù)解析式，據(jù)此知拋物線的對(duì)稱軸．易得|AM﹣MC|的值最大，應(yīng)找到C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB交對(duì)稱軸的一點(diǎn)就是M．應(yīng)讓過(guò)AB的直線解析式和對(duì)稱軸的解析式聯(lián)立即可求得點(diǎn)M坐標(biāo)．【解答】解：∵直線y＝x+1與y軸交于點(diǎn)A，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），將A（0，1）、B（1，0）坐標(biāo)代入y＝x2+bx+c得，解得：．∴物線的解析式為y＝x2﹣x+1＝（x﹣）2﹣；則拋物線的對(duì)稱軸為x＝，B、C關(guān)于直線x＝對(duì)稱，∴MC＝MB，要使|AM﹣MC|最大，即是使|AM﹣MB|最大，由三角形兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)A、B、M在同一直線上時(shí)|AM﹣MB|的值最大．知直線AB的解析式為y＝﹣x+1∴，解得：．則M（，﹣），故答案為：（，﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，直線和拋物線的交點(diǎn)等；求兩條線段和或差的最值，都要考慮做其中一點(diǎn)關(guān)于所求的點(diǎn)在的直線的對(duì)稱點(diǎn)．三、解答題：（共7個(gè)題，共90分）19．（16分）（1）解方程：（x﹣5）（x+2）＝8．（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+1﹣）÷，其中x滿足方程：x2+x﹣6＝0．【分析】（1）先把方程化為一般式，然后利用因式分解法解方程；（2）先把括號(hào)內(nèi)通分和除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，再進(jìn)行約分得到原式＝，接著利用因式分解法解方程x2+x﹣6＝0，然后把符合題意的x的值代入計(jì)算即可．【解答】解：（1）x2﹣3x﹣10＝8，x2﹣3x﹣18＝0，（x﹣6）（x+3）＝0，x﹣6＝0或x+3＝0，所以x1＝6，x2＝﹣3；（2）原式＝?＝?＝，解方程x2+x﹣6＝0得：x1＝2，x2＝﹣3，當(dāng)x＝2時(shí)，原式的分母為0，故舍去，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，原式＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法和分式的化簡(jiǎn)計(jì)算．20．（12分）已知關(guān)于x的兩個(gè)一元二次方程：方程①：（1+）x2+（k+2）x﹣1＝0；方程②：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3＝0．（1）若方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求：k的值；（2）若方程①和②只有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，請(qǐng)說(shuō)明此時(shí)哪個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；（3）在（2）中若一定有實(shí)數(shù)根的那個(gè)方程的兩根分別為x1、x2，且兩根的平方和為3（即x12+x22＝3）中，求k的值．【分析】（1）由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，由根的判別式可得到關(guān)于k的方程則可求得k的值；（2）由方程②的判別式可求得該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則可知方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根；（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之積和兩根之和的關(guān)于k的表達(dá)式，再將x12+x22＝3變形，將表達(dá)式代入變形后的等式，解方程即可．【解答】解：（1）∵方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，則k≠﹣2，＝k2+4k+4+4+2k＝k2+6k+8，則（k+2）（k+4）＝0，∴k＝﹣2，k＝﹣4，∵k≠﹣2，∴k＝﹣4；（2）∵＝4k2+12k+13＝（2k+3）2+4＞0，∴無(wú)論k為何值時(shí)，方程②總有實(shí)數(shù)根，∵方程①、②只有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，∴此時(shí)方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根．（3）由根與系數(shù)的關(guān)系知：x1+x2＝﹣2k﹣1，x1x2＝﹣2k﹣3，∵x12+x22＝（x1+x2）﹣2x1x2＝（﹣2k﹣1）2﹣2（﹣2k﹣3）＝4（k+1）2+3，x12+x22＝3，∴4（k+1）2+3＝3，解得k＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的個(gè)數(shù)與根的判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．21．（12分）如圖①是一條拋物線形狀的拱橋，水面寬AB為6米，拱頂C離水面的距離為4米．（1）建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求出拋物線的解析式；（2）一艘貨船的截面如圖②所示，它是由一個(gè)正方形MNEF和一個(gè)梯形KLGH組成的軸對(duì)稱圖形，貨船的寬度KH為5米，貨物高度MN為3米．若船弦離水面的安全距離為0.25米，請(qǐng)問(wèn)貨船能否安全通過(guò)橋洞？說(shuō)明理由．【分析】（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可得二次函數(shù)的解析式；（2）假設(shè)點(diǎn)K點(diǎn)H剛剛與拋物線相交，求M點(diǎn)的縱坐標(biāo)，如果點(diǎn)M到x軸的距離大于3.25就能通過(guò)否則就不能通過(guò)．【解答】解：（1）以AB所在的直線為x軸，AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系；由題意可知：A（﹣3，0），C（0，4）；設(shè)拋物線的關(guān)系式：y＝ax2+k，．∴k＝4，a＝﹣，∴此拋物線解析式為：y＝﹣x2+4．（2）貨船不能通過(guò)，理由如下：貨船是由一個(gè)正方形MNEF和一個(gè)梯形KLGH組成的軸對(duì)稱圖形，把它加入坐標(biāo)軸中，當(dāng)點(diǎn)K、點(diǎn)H在拋物線上，設(shè)F（1.5，m），把x＝1.5，y＝m代入得m＝3，∵3＜3.25，∴此船不能通過(guò)．【點(diǎn)評(píng)】考查二次函數(shù)解析式的求法，數(shù)形結(jié)合思想，二次函數(shù)在實(shí)際生活中的運(yùn)用，掌握如何建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出關(guān)系式，把對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入是解題關(guān)鍵．22．（12分）如圖，在半徑為2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D，E．（1）當(dāng)BC＝2時(shí)，求線段OD的長(zhǎng)和∠BOD的度數(shù)；（2）在△DOE中，是否存在長(zhǎng)度保持不變的邊？如果存在，請(qǐng)指出并求其長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在△DOE中，是否存在度數(shù)保持不變的角？如果存在，請(qǐng)指出并求其度數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理及勾股定理即可解決問(wèn)題；（2）利用三角形的中位線定理即可解決問(wèn)題；（3）利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖，∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝，∴，∴∠BOD＝30°；由勾股定理得：OD2＝22﹣12＝3，∴OD＝；即線段OD的長(zhǎng)和∠BOD的度數(shù)分別為、30°．（2）存在，DE＝；如圖，連接AB；∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴AB2＝OB2+OA2＝8，∴AB＝；∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴BD＝CD，AE＝EC，∴DE是△ABC的中位線，DE＝＝．（3）存在，∠DOE＝45°；∵OD⊥BC，OE⊥AC，且OA＝OB＝OC，∴∠BOD＝∠COD，∠AOE＝∠COE，∴∠DOE＝，即∠DOE＝45°．【點(diǎn)評(píng)】該命題以圓為載體，在考查垂徑定理、三角形中位線定理、勾股定理的同時(shí)，還滲透了對(duì)動(dòng)態(tài)觀念、直覺(jué)思維等能力的考查；對(duì)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求．23．（12分）在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC邊上的兩點(diǎn)，且滿足∠DBE＝∠ABC．（1）如圖1，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△EBC按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△E′BA（點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E′處），連接DE′．求證：DE′＝DE；（2）如圖2，若∠ABC＝90°，AD＝4，EC＝2，求DE的長(zhǎng)．【分析】（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE′＝BE，∠E′BA＝∠EBC，則∠E′BE＝∠ABC，再利用∠DBE＝∠ABC易得∠DBE′＝∠DBE，根據(jù)“SAS”判斷△BDE′≌△BDE，所以DE′＝DE；（2）以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△EBC按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△E′BA（點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E′處），如圖2，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得∠BCE＝∠BAD＝45°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAE′＝∠BCE＝45°，AE′＝CE＝2，則∠DAE′＝90°，在Rt△DAE′中利用勾股定理可計(jì)算出DE′＝2，然后就根據(jù)（1）的結(jié)論即可得到DE＝DE′＝2．【解答】（1）證明：∵以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△EBC按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△E′BA（點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E′處），∴BE′＝BE，∠E′BA＝∠EBC，∴∠E′BE＝∠ABC，∵∠DBE＝∠ABC，∴∠DBE＝∠E′BE，即∠DBE′＝∠DBE，在△BDE′和△BDE中，，∴△BDE′≌△BDE（SAS），∴DE′＝DE；（2）解：以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△EBC按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△E′BA（點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E′處），如圖2，∵∠ABC＝90°，BA＝BC，∴∠BCE＝∠BAD＝45°，∵△EBC按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△E′BA，∴∠BAE′＝∠BCE＝45°，AE′＝CE＝2，∴∠DAE′＝∠BAD+∠BAE′＝90°，在Rt△DAE′中，∵DE′2＝AD2+AE′2＝42+22＝20，∴DE′＝2，由（1）的結(jié)論得DE＝DE′＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理．24．（12分）九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，整理出某種商品在第x（1≤x≤90）天的售價(jià)與銷量的相關(guān)信息如表：時(shí)間x（天）1≤x＜5050≤x≤90售價(jià)（元/天）x+4090每天銷量（件）200﹣2x已知該商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，設(shè)銷售該商品的每天利潤(rùn)為y元．（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）問(wèn)銷售該商品第幾天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？（3）該商品在銷售過(guò)程中，共有多少天每天銷售利潤(rùn)不低于4800元？【分析】（1）根據(jù)題意可以分別求得1≤x＜50和50≤x≤90時(shí)的y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)題意可以分別求得兩段的函數(shù)的最大值，從而可以解答本題；（3）根據(jù)題意分兩種情況列出相應(yīng)的不等式，從而可以解答本題．