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廣東省廣州鐵一中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.設(shè),為兩個平面,則能斷定∥的條件是()A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B.,平行于同一條直線C.,垂直于同一條直線 D.,垂直于同一平面2.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A. B.C. D.3.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等.問各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問五人各得多少錢?”(“錢”是古代的一種重量單位).這個問題中,甲所得為()A.錢 B.錢 C.錢 D.錢4.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.12 B.18C.24 D.305.如圖,在四邊形ABCD中,,,,,.則()A. B. C.4 D.36.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式為()A.f(x)=sin(x)﹣1 B.f(x)=2sin(x)﹣1C.f(x)=2sin(x)﹣1 D.f(x)=2sin(2x)+17.在非直角中,“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要8.函數(shù)在的圖像大致為A. B.C. D.9.設(shè)、滿足約束條件,則的最大值為()A. B.C. D.10.在三棱錐中,面,則三棱錐的外接球表面積是()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.的化簡結(jié)果是_________.12.?dāng)?shù)列的前項和,則的通項公式_____.13.已知,,且,若恒成立,則實數(shù)的取值范圍是____.14.若,則滿足的的取值范圍為______________;15.已知一圓錐的側(cè)面展開圖為半圓,且面積為S,則圓錐的底面積是_______16.已知銳角、滿足,,則的值為______.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知函數(shù),(1)求函數(shù)的最小正周期;(2)設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,且,,,求的面積.18.高一某班以小組為單位在周末進(jìn)行了一次社會實踐活動,且每小組有5名同學(xué),活動結(jié)束后,對所有參加活動的同學(xué)進(jìn)行測評,其中A,B兩個小組所得分?jǐn)?shù)如下表:A組8677809488B組9183?7593其中B組一同學(xué)的分?jǐn)?shù)已被污損,看不清楚了,但知道B組學(xué)生的平均分比A組學(xué)生的平均分高出1分.(1)若從B組學(xué)生中隨機(jī)挑選1人,求其得分超過85分的概率;(2)從A組這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名同學(xué),設(shè)其分?jǐn)?shù)分別為m,n,求的概率.19.內(nèi)角的對邊分別為,已知.(1)求;(2)若,,求的面積.20.已知向量,向量為單位向量,向量與的夾角為.(1)若向量與向量共線,求;(2)若與垂直,求.21.已知圓C:內(nèi)有一點P(2,2),過點P作直線l交圓C于A、B兩點.(1)當(dāng)弦AB被點P平分時,寫出直線l的方程;(2)當(dāng)直線l的傾斜角為45o時,求弦AB的長.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】
對四個選項逐個分析,可得出答案.【題目詳解】對于選項A,當(dāng),相交于直線時,內(nèi)有無數(shù)條直線與平行,即A錯誤;對于選項B,當(dāng),相交于直線時,存在直線滿足:既與平行又不在兩平面內(nèi),該直線平行于,,故B錯誤;對于選項C,設(shè)直線AB垂直于,平面,垂足分別為A,B,假設(shè)與不平行,設(shè)其中一個交點為C,則三角形ABC中,,顯然不可能成立,即假設(shè)不成立,故與平行,故C正確;對于選項D,,垂直于同一平面,與可能平行也可能相交,故D錯誤.【題目點撥】本題考查了面面平行的判斷,考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于中檔題.2、D【解題分析】
由函數(shù)的最值求出A,由周期求出,由五點法作圖求出的值,從而得出結(jié)論.【題目詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象求出函數(shù)的周期,然后可以求出,通過函數(shù)經(jīng)過的最大值點求出值,即可得到函數(shù)的解析式.由函數(shù)的圖象可知:,
.
當(dāng),函數(shù)取得最大值1,所以,
,
故選D.3、B【解題分析】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為,則,解得,又,則,故選B.4、C【解題分析】試題分析:由三視圖可知,幾何體是三棱柱消去一個同底的三棱錐,如圖所示,三棱柱的高為5,消去的三棱錐的高為3,三棱錐與三棱柱的底面為直角邊長分別為3和4的直角三角形,所以幾何體的體積為V=1考點:幾何體的三視圖及體積的計算.【方法點晴】本題主要考查了幾何體的三視圖的應(yīng)用及體積的計算,著重考查了推理和運算能力及空間想象能力,屬于中檔試題,解答此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖的規(guī)則“長對正、寬相等、高平齊”的原則,還原出原幾何體的形狀,本題的解答的難點在于根據(jù)幾何體的三視圖還原出原幾何體和幾何體的度量關(guān)系,屬于中檔試題.5、D【解題分析】
在中,由正弦定理得到的長,在中,先得到的值,再利用余弦定理,求出的長.【題目詳解】在中,由正弦定理,得,因為,,所以,在中,由余弦定理得所以.故選:D.【題目點撥】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形,屬于簡單題.6、D【解題分析】
由已知列式求得的值,再由周期求得的值,利用五點作圖的第二個點求得的值,即可得到答案.【題目詳解】由題意,根據(jù)三角函數(shù)的圖象,可得,解得,又由,解得,則,又由五點作圖的第二個點可得:,解得,所以函數(shù)的解析式為,故選D.【題目點撥】本題主要考查了由的部分圖象求解函數(shù)的解析式,其中解答中熟記三角函數(shù)的五點作圖法,以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題.7、C【解題分析】
由得出,利用切化弦的思想得出其等價條件,再利用充分必要性判斷出兩條件之間的關(guān)系.【題目詳解】若,則,易知,,,,,,,,,.因此,“”是“”的充要條件,故選C.【題目點撥】本題考查充分必要性的判斷,同時也考查了切化弦思想、兩角和差的正弦公式的應(yīng)用,在討論三角函數(shù)值符號時,要充分考慮角的取值范圍,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.8、C【解題分析】
由解析式研究函數(shù)的性質(zhì)奇偶性、特殊函數(shù)值的正負(fù),可選擇正確的圖象.【題目詳解】易知函數(shù)()是偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對稱,可排除BD,時,,可排除A.故選C.【題目點撥】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,解題方法是由解析式分析函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)的極值、最值、特殊值、函數(shù)的值的正負(fù)等等.9、C【解題分析】
作出不等式組所表示的可行域,平移直線,觀察直線在軸上的截距最大時對應(yīng)的最優(yōu)解,再將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)可得出結(jié)果.【題目詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖中的陰影部分區(qū)域表示:聯(lián)立,得,可得點的坐標(biāo)為.平移直線,當(dāng)該直線經(jīng)過可行域的頂點時,直線在軸上的截距最大,此時取最大值,即,故選:C.【題目點撥】本題考查簡單線性規(guī)劃問題,一般作出可行域,利用平移直線結(jié)合在坐標(biāo)軸上的截距取最值來取得,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中等題.10、D【解題分析】
首先計算BD長為2,判斷三角形BCD為直角三角形,將三棱錐還原為長方體,根據(jù)體對角線等于直徑,計算得到答案.【題目詳解】三棱錐中,面中:在中:即ABCD四點都在對應(yīng)長方體上:體對角線為AD答案選D【題目點撥】本題考查了三棱錐的外接球表面積,將三棱錐放在對應(yīng)的長方體里面是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解題分析】原式,因為,所以,且,所以原式.12、【解題分析】
根據(jù)和之間的關(guān)系,應(yīng)用公式得出結(jié)果【題目詳解】當(dāng)時,;當(dāng)時,;∴故答案為【題目點撥】本題考查了和之間的關(guān)系式,注意當(dāng)和時要分開討論,題中的數(shù)列非等差數(shù)列.本題屬于基礎(chǔ)題13、(-4,2)【解題分析】試題分析:因為當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以考點:基本不等式求最值14、【解題分析】
本題首先可確定在區(qū)間上所對應(yīng)的的值,然后可結(jié)合正弦函數(shù)圖像得出不等式的解集.【題目詳解】當(dāng)時,令,解得或,如圖,繪出正弦函數(shù)圖像,結(jié)合函數(shù)圖像可知,當(dāng)時,的解集為【題目點撥】本題考查三角函數(shù)不等式的解法,考查對正弦函數(shù)性質(zhì)的理解,考查計算能力,體現(xiàn)了基礎(chǔ)性,是簡單題.15、【解題分析】
由已知中圓錐的側(cè)面展開圖為半圓且面積為S,我們易確定圓錐的母線長l與底面半徑R之間的關(guān)系,進(jìn)而求出底面面積即可得到結(jié)論.【題目詳解】如圖:設(shè)圓錐的母線長為l,底面半徑為R若圓錐的側(cè)面展開圖為半圓則2πR=πl(wèi),即l=2R,又∵圓錐的側(cè)面展開圖為半圓且面積為S,則圓錐的底面面積是.故答案為.【題目點撥】本題考查的知識點是圓錐的表面積,根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為半圓,確定圓錐的母線長與底面的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.16、【解題分析】
計算出角的取值范圍,利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系計算出的值和的值,然后利用兩角差的余弦公式可計算出的值.【題目詳解】由題意可知,,,,則,.因此,.故答案為.【題目點撥】本題考查利用兩角差的余弦公式求值,同時也考查了同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求值,解題時要明確所求角與已知角之間的關(guān)系,合理利用公式是解題的關(guān)鍵,考查運算求解能力,屬于中等題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解題分析】
(1)利用二倍角和輔助角公式可將函數(shù)整理為,利用求得結(jié)果;(2)由,結(jié)合的范圍可求得;利用兩角和差正弦公式和二倍角公式化簡已知等式,可求得;分別在和兩種情況下求解出各邊長,從而求得三角形面積.【題目詳解】(1)的最小正周期:(2)由得:,即:,,解得:,由得:即:若,即時,則:若,則由正弦定理可得:由余弦定理得:解得:綜上所述,的面積為:【題目點撥】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期、三角形面積的求解,涉及到正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、兩角和差正弦公式、二倍角公式、輔助角公式的應(yīng)用,考查學(xué)生對于三角函數(shù)、三角恒等變換和解三角形知識的掌握.18、(1)(2)【解題分析】
(1)先設(shè)在B組中看不清的那個同學(xué)的分?jǐn)?shù)為x,分別求得兩組的平均數(shù),再由平均數(shù)間的關(guān)系求解.(2)先求出從A組這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名同學(xué)所有方法數(shù),再用列舉的方法得到滿足求的方法數(shù),再由古典概型求解.【題目詳解】(1)設(shè)在B組中看不清的那個同學(xué)的分?jǐn)?shù)為x由題意得解得x=88所以在B組5個分?jǐn)?shù)超過85的有3個所以得分超過85分的概率是(2)從A組這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名同學(xué),設(shè)其分?jǐn)?shù)分別為m,n,則所有共有共10個其中滿足求的有:共6個故|的概率為
【題目點撥】本題主要考查了平均數(shù)和古典概型概率的求法,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.19、(1);(2).【解題分析】
(1)應(yīng)用正弦的二倍角公式結(jié)合正弦定理可得,從而得.(2)用余弦定理求得,再由三角形面積公式可得三角形面積.【題目詳解】(1)因為,由正弦定理,因為,,所以.因為,所以.(2)因為,,,由余弦定理得,解得或,均適合題.當(dāng)時,的面積為.當(dāng)時,的面積為.【題目點撥】本題考查二倍角公式,正弦定理,余弦定理,考查三角形面積公式.三角形中可用公式很多,關(guān)鍵是確定先用哪個公式,再用哪個公式,象本題第(2)小題選用余弦定理求出,然后可直接求出三角形面積,解法簡捷.20、(1)(2)【解題分析】
(1)共線向量夾角為0°或180°,由此根據(jù)定義可求得兩向量數(shù)量積.(2)由向量垂直轉(zhuǎn)化為向量的當(dāng)量積為0,從而求得,也就求得,再由余弦的二倍角公式可得.【題目詳解】法一(1),故或向量,向量法二(1),設(shè)即或或(2)法一:依題意,,故法二:設(shè)即,又或【題目點撥】本題考查向量共線,向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,考查平面向量的數(shù)量積運
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