江西省吉安市四校2024屆數學高一下期末考試試題含解析

江西省吉安市四校2024屆數學高一下期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．對于函數，在使成立的所有常數中，我們把的最大值稱為函數的“下確界”.若函數，的“下確界”為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．某工廠甲、乙、丙三個車間生產了同一種產品，數量分別為120件，80件，60件。為了解它們的產品質量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調查，其中從丙車間的產品中抽取了3件，則n=（）A．9 B．10 C．12 D．133．已知奇函數滿足，則的取值不可能是（）A．2 B．4 C．6 D．104．在中秋的促銷活動中，某商場對9月14日9時到14時的銷售額進行統計，其頻率分布直方圖如圖所示，已知12時到14時的銷售額為萬元，則10時到11時的銷售額為（）A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元5．在三棱錐中，面，則三棱錐的外接球表面積是（）A． B． C． D．6．已知四棱錐的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點）．設SE與BC所成的角為，SE與平面ABCD所成的角為β，二面角S-AB-C的平面角為，則（）A． B． C． D．7．已知不等式的解集是，則()A． B．1 C． D．38．若正項數列的前項和為，滿足，則（）A． B． C． D．9．已知函數，則下列說法正確的是（）A．圖像的對稱中心是B．在定義域內是增函數C．是奇函數D．圖像的對稱軸是10．在等比數列{an}中，a2＝8，a5＝64，，則公比q為（）A．2 B．3 C．4 D．8二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正實數滿足，則的最大值為_______.12．設等比數列滿足a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=___________．13．如圖所示，在正三棱柱中，是的中點，,則異面直線與所成的角為____.14．已知過兩點，的直線的傾斜角是，則______．15．在中，已知角的對邊分別為，且，，，若有兩解，則的取值范圍是__________．16．程的解為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數分別是240，160，160.現采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參加獻愛心活動。（1）應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？（2）設抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F，G表示，現從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作，求事件M“抽取的2名同學來自同一年級”發(fā)生的概率。18．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，點為中點，且.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面.19．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2+c2﹣b2＝mac，其中m∈R．（1）若m＝1，a＝1，c＝，求△ABC的面積；（2）若m＝，A＝2B，a＝，求b．20．某科研小組對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)作物種子發(fā)芽多少之間的關系進行分析，分別記錄了每天晝夜溫差和每100顆種子的發(fā)芽數，其中5天的數據如下，該小組的研究方案是：先從這5組數據中選取3組求線性回歸方程，再用方程對其余的2組數據進行檢驗.日期第1天第2天第3天第4天第5天溫度（℃）101113128發(fā)芽數（顆）2326322616（1）求余下的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率；（2）若選取的是第2、3、4天的數據，求關于的線性回歸方程；（3）若由線性回歸方程得到的估計數據與2組檢驗數據的誤差均不超過1顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，請問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？（參考公式；線性回歸方程中系數計算公式：，，其中、表示樣本的平均值）21．不等式的解集為______.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

由下確界定義，，的最小值是，由余弦函數性質可得．【題目詳解】由題意，的最小值是，又，由，得，，，時，，所以．故選：A．【題目點撥】本題考查新定義，由新定義明確本題中的下確界就是函數的最小值．可通過解不等式確定參數的范圍．2、D【解題分析】試題分析：：∵甲、乙、丙三個車間生產的產品件數分別是120，80，60，∴甲、乙、丙三個車間生產的產品數量的比依次為6：4：3，丙車間生產產品所占的比例，因為樣本中丙車間生產產品有3件，占總產品的，所以樣本容量n=3÷=1．考點：分層抽樣方法3、B【解題分析】

由三角函數的奇偶性和對稱性可求得參數的值.【題目詳解】由是奇函數得又因為得關于對稱，所以，解得所以當時，得A答案；當時，得C答案；當時，得D答案；故選B.【題目點撥】本題考查三角函數的奇偶性和對稱性，屬于基礎題.4、C【解題分析】分析：先根據12時到14時的銷售額為萬元求出總的銷售額，再求10時到11時的銷售額.詳解：設總的銷售額為x,則.10時到11時的銷售額的頻率為1-0.1-0.4-0.25-0.1=0.15.所以10時到11時的銷售額為.故答案為C.點睛：（1）本題主要考查頻率分布直方圖求概率、頻數和總數，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平.(2)在頻率分布直方圖中，所有小矩形的面積和為1，頻率=.5、D【解題分析】

首先計算BD長為2，判斷三角形BCD為直角三角形，將三棱錐還原為長方體，根據體對角線等于直徑，計算得到答案.【題目詳解】三棱錐中，面中：在中：即ABCD四點都在對應長方體上：體對角線為AD答案選D【題目點撥】本題考查了三棱錐的外接球表面積，將三棱錐放在對應的長方體里面是解題的關鍵.6、C【解題分析】

根據題意，分別求出SE與BC所成的角、SE與平面ABCD所成的角β、二面角S-AB-C的平面角的正切值，由正四棱錐的線段大小關系即可比較大小.【題目詳解】四棱錐的底面是正方形，側棱長均相等，所以四棱錐為正四棱錐，（1）過作，交于，過底面中心作交于，連接，取中點，連接，如下圖（1）所示：則；（2）連接如下圖（2）所示，則;（3）連接，則，如下圖（3）所示：因為所以，而均為銳角，所以故選：C.【題目點撥】本題考查了異面直線夾角、直線與平面夾角、平面與平面夾角的求法，屬于中檔題.7、A【解題分析】

的兩個解為-1和2.【題目詳解】【題目點撥】函數零點、一元二次等式的解、函數與x軸的交點之間的相互轉換。8、A【解題分析】

利用，化簡，即可得到，令，所以，,令，所以原式為數列的前1000項和，求和即可得到答案?！绢}目詳解】當時，解得，由于為正項數列，故，由，所以，由，可得①，所以②②—①可得，化簡可得由于，所以，即，故為首項為1，公差為2的等差數列，則，令，所以，令所以原式故答案選A【題目點撥】本題主要考查數列通項公式與前項和的關系，以及利用裂項求數列的和，解題的關鍵是利用，求出數列的通項公式，有一定的綜合性。9、A【解題分析】

根據正切函數的圖象與性質逐一判斷即可．【題目詳解】．，由得，，的對稱中心為，，故正確；．在定義域內不是增函數，故錯誤；．為非奇非偶函數，故錯誤；．的圖象不是軸對稱圖形，故錯誤．故選．【題目點撥】本題考查了正切函數的圖象與性質，考查了整體思想，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬基礎題．10、A【解題分析】，選A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

對所求式子平邊平方，再將代入，從而將問題轉化為求【題目詳解】∵∵，∴，∴，等號成立當且僅當.故答案為：.【題目點撥】本題考查條件等式下利用基本不等式求最值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意等號成立的條件.12、-8【解題分析】設等比數列的公比為，很明顯，結合等比數列的通項公式和題意可得方程組：，由可得：，代入①可得，由等比數列的通項公式可得.【名師點睛】等比數列基本量的求解是等比數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數列的前n項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程.13、【解題分析】

要求兩條異面直線所成的角，需要通過見中點找中點的方法，找出邊的中點，連接出中位線，得到平行，從而得到兩條異面直線所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角．【題目詳解】取的中點E,連AE,,易證，∴為異面直線與所成角，設等邊三角形邊長為，易算得∴在∴故答案為【題目點撥】本題考查異面直線所成的角，本題是一個典型的異面直線所成的角的問題，解答時也是應用典型的見中點找中點的方法，注意求角的三個環(huán)節(jié)，一畫，二證，三求．14、【解題分析】

由兩點求斜率公式及斜率等于傾斜角的正切值列式求解．【題目詳解】解：由已知可得：，即，則．故答案為．【題目點撥】本題考查直線的斜率，考查直線傾斜角與斜率的關系，是基礎題．15、【解題分析】

利用正弦定理得到，再根據有兩解得到，計算得到答案.【題目詳解】由正弦定理得：若有兩解：故答案為【題目點撥】本題考查了正弦定理，有兩解，意在考查學生的計算能力.16、【解題分析】

設，即求二次方程的正實數根，即可解決問題.【題目詳解】設,即轉化為求方程的正實數根由得或(舍)所以，則故答案為：【題目點撥】本題考查指數型二次方程，考查換元法，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)應分別從甲、乙、丙三個年級分別抽取3人，2人，2人(2)P【解題分析】

（1）由分層抽樣的性質可得甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數之比為3：2：2，可得抽取7名同學，應分別從甲、乙、丙三個年級分別抽取3人，2人，2人；(2)從抽出的7名同學中隨機抽取2名的所有可能結果為21種，其中2名同學來自同一年級的所有可能結果為5種，可得答案.【題目詳解】解：（1）由已知，甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數之比為3：2：2因為采取分層抽樣的方法抽取7名同學，所以應分別從甲、乙、丙三個年級分別抽取3人，2人，2人（2）從抽出的7名同學中隨機抽取2名的所有可能結果為：ABACADAEAFAGBCBDBEBFBGCDCECF共21種CGDEDFDGEFEGFG不妨設抽出的7名同學中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則2名同學來自同一年級的所有可能結果為：AB，AC，BC，DE，FG共5種P【題目點撥】本題主要考查分層抽樣及利用列舉法求時間發(fā)生的概率，相對簡單.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析【解題分析】

(1)連接交于點，連接，可證，從而可證平面.(2)可證平面，從而得到平面平面.【題目詳解】(1)連接交于點，連接，因為底面為平行四邊形，所以為中點.在中,又為中點，所以.又平面，平面，所以平面.(2)因為底面為平行四邊形，所以.又即，所以.又即.又平面，平面，，所以平面.又平面，所以平面平面.【題目點撥】線面平行的證明的關鍵是在面中找到一條與已知直線平行的直線，找線的方法是平行投影或中心投影，我們也可以通過面面平行證線面平行，這個方法的關鍵是構造過已知直線的平面，證明該平面與已知平面平行.線面垂直的判定可由線線垂直得到，注意線線是相交的，也可由面面垂直得到，注意線在面內且線垂直于兩個平面的交線.而面面垂直的證明可以通過線面垂直得到，也可以通過證明二面角是直二面角.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）當時，由余弦定理可求，利用同角三角函數基本關系式可求的值，根據三角形的面積公式即可求解．（2）當時，由余弦定理可求，利用同角三角函數基本關系式可求的值，根據二倍角的正弦函數公式可求的值，利用正弦定理可求的值．【題目詳解】（1）當時，，，,,．（2）當時，，,，由正弦定理得：,．【題目點撥】本題主要考查了余弦定理，同角三角函數基本關系式，三角形的面積公式，二倍角的正弦函數公式，正弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．20、（1）；（2）；（3）線性回歸方程是可靠的.【解題分析】

（1）用列舉法求出基本事件數，計算所求的概率值；（2）由已知數據求得與，則線性回歸方程可求；（3）利用回歸方程計算與8時的值，再由已知數據作差取絕對值，與1比較大小得結論．【題