2024屆天津市靜海區(qū)瀛海學校高一數(shù)學第二學期期末達標檢測試題含解析

2024屆天津市靜海區(qū)瀛海學校高一數(shù)學第二學期期末達標檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某市家庭煤氣的使用量和煤氣費(元)滿足關(guān)系，已知某家庭今年前三個月的煤氣費如下表：月份用氣量煤氣費一月份元二月份元三月份元若四月份該家庭使用了的煤氣，則其煤氣費為（）元A． B． C． D．2．在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．3．若函數(shù)局部圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為A． B．C． D．4．如圖，，下列等式中成立的是（）A． B．C． D．5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A． B． C． D．6．已知a，b，c為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，向量＝，＝(cosA，sinA)，若與夾角為，則acosB＋bcosA＝csinC，則角B等于()A． B． C． D．7．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，則等于（）A． B． C． D．18．已知圓：關(guān)于直線對稱的圓為圓：，則直線的方程為A． B． C． D．9．已知等差數(shù)列中，,則（）A． B．C． D．10．如果數(shù)列的前項和為，那么數(shù)列的通項公式是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若數(shù)列滿足，且對于任意的，都有，則___；數(shù)列前10項的和____．12．已知，為銳角，且，則__________．13．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則________14．已知數(shù)列滿足則的最小值為__________.15．已知向量，，且，點在圓上，則等于．16．已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式.18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.19．某企業(yè)用180萬元購買一套新設(shè)備，該套設(shè)備預(yù)計平均每年能給企業(yè)帶來100萬元的收入，為了維護設(shè)備的正常運行，第一年需要各種維護費用10萬元，且從第二年開始，每年比上一年所需的維護費用要增加10萬元（1）求該設(shè)備給企業(yè)帶來的總利潤（萬元）與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系；（2）試計算這套設(shè)備使用多少年，可使年平均利潤最大？年平均利潤最大為多少萬元？20．如圖，在四棱錐P‐ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．求證：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．21．設(shè)數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】由題意得：C=4，將（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（x﹣A），得：∴A=5，B=，故x=20時：f（20）=4+（20﹣5）=11.5.故選：C．點睛：這是函數(shù)的實際應(yīng)用題型，根據(jù)題目中的條件和已知點得到分段函數(shù)的未知量的值，首先得到函數(shù)表達式，再根據(jù)題意讓求自變量為20時的函數(shù)值，求出即可。實際應(yīng)用題型，一般是先根據(jù)題意構(gòu)建模型，列出表達式，根據(jù)條件求解問題即可。2、D【解題分析】

由題意，由于圖形中已經(jīng)出現(xiàn)了兩兩垂直的三條直線,所以可以利用空間向量的方法求解直線與平面所成的夾角．【題目詳解】解：以點為坐標原點，以所在的直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，

則,

為平面的一個法向量．

．

∴直線與平面所成角的正弦值為.故選：D．【題目點撥】此題重點考查了利用空間向量，抓住直線與平面所成的角與該直線的方向向量與平面的法向量的夾角之間的關(guān)系,利用向量方法解決立體幾何問題．3、D【解題分析】

由的部分圖象可求得A，T，從而可得，再由，結(jié)合的范圍可求得，從而可得答案．【題目詳解】，；又由圖象可得：，可得：，，，．，，又，當時，可得：，此時，可得：故選D．【題目點撥】本題考查由的部分圖象確定函數(shù)解析式，常用五點法求得的值，屬于中檔題．4、B【解題分析】

本題首先可結(jié)合向量減法的三角形法則對已知條件中的進行化簡，化簡為然后化簡并代入即可得出答案．【題目詳解】因為，所以，所以，即，故選B．【題目點撥】本題考查的知識點是平面向量的基本定理，考查向量減法的三角形法則，考查數(shù)形結(jié)合思想與化歸思想，是簡單題．5、C【解題分析】

通過三視圖可以判斷這一個是半個圓柱與半個圓錐形成的組合體，利用圓柱和圓錐的體積公式可以求出這個組合體的體積.【題目詳解】該幾何體為半個圓柱與半個圓錐形成的組合體，故，故選C.【題目點撥】本題考查了利用三視圖求組合體圖形的體積，考查了運算能力和空間想象能力.6、B【解題分析】

根據(jù)向量夾角求得角的度數(shù)，再利用正弦定理求得即得解.【題目詳解】由已知得：所以所以由正弦定理得：所以又因為所以因為所以所以故選B.【題目點撥】本題考查向量的數(shù)量積和正弦定理，屬于中檔題.7、D【解題分析】

根據(jù)題意,由正弦定理得，再把，，代入求解.【題目詳解】由正弦定理，得，所以．故選:D【題目點撥】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用,還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

根據(jù)對稱性，求得，求得圓的圓心坐標，再根據(jù)直線l為線段C1C2的垂直平分線，求得直線的斜率，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，圓的方程，可化為，根據(jù)對稱性，可得：，解得：或（舍去，此時半徑的平方小于0，不符合題意），此時C1(0，0)，C2(－1，2)，直線C1C2的斜率為：，由圓C1和圓C2關(guān)于直線l對稱可知：直線l為線段C1C2的垂直平分線，所以，解得，直線l又經(jīng)過線段C1C2的中點(，1)，所以直線l的方程為：，化簡得：，故選A【題目點撥】本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記兩圓的位置關(guān)系，合理應(yīng)用圓對稱性是解答本題的關(guān)鍵，其中著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

,.故選C.10、D【解題分析】

利用計算即可.【題目詳解】當時，當時，即，故數(shù)列為等比數(shù)列則因為，所以故選：D【題目點撥】本題主要考查了已知來求，關(guān)鍵是利用來求解，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、,【解題分析】試題分析：由得由得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，因此考點：等比數(shù)列通項與和項12、【解題分析】

由題意求得，再利用兩角和的正切公式求得的值，可得的值．【題目詳解】，為銳角，且，即，．再結(jié)合，則，故答案為．【題目點撥】本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13、5【解題分析】

由等差數(shù)列的前和公式，求得，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【題目詳解】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的前和公式，可得，解得，又由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的性質(zhì)，以及合理應(yīng)用等差數(shù)列的前和公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

先利用累加法求出an＝1+n2﹣n，所以，設(shè)f（n），由此能導出n＝5或6時f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【題目詳解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴當n≥2時，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+1＝n2﹣n+1且對n＝1也適合，所以an＝n2﹣n+1．從而設(shè)f（n），令f′（n），則f（n）在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因為n∈N+，所以當n＝5或6時f（n）有最小值．又因為，，所以的最小值為故答案為【題目點撥】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項公式，考查了累加法．還考查函數(shù)的思想，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性．15、【解題分析】試題分析：因為且在圓上，所以，解得，所以．考點：向量運算．【思路點晴】平面向量的數(shù)量積計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，可起到化繁為簡的妙用．利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問題、線段長問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決．列出方程組求解未知數(shù)．16、【解題分析】

利用三角函數(shù)的定義可求出的值.【題目詳解】由三角函數(shù)的定義可得，故答案為.【題目點撥】本題考查利用三角函數(shù)的定義求余弦值，解題的關(guān)鍵就是三角函數(shù)定義的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）利用數(shù)列的遞推公式證明出為非零常數(shù)，即可證明出數(shù)列是等比數(shù)列；（2）確定等比數(shù)列的首項和公比，求出數(shù)列的通項公式，即可求出.【題目詳解】（1），，因此，數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由于，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，，因此，.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的證明，同時也考查了數(shù)列通項的求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.18、（1）；（2），.【解題分析】

（1）利用二倍角余弦、正弦公式以及輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡，然后利用周期公式可計算出函數(shù)的最小正周期；（2）由計算出的取值范圍，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【題目詳解】（1），因此，函數(shù)的最小正周期為；（2），，當時，函數(shù)取得最小值；當時，函數(shù)取得最大值.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)周期和最值的計算，同時也考查了利用二倍角公式以及輔助角公式化簡，在求解三角函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題時，首先應(yīng)計算出對象角的取值范圍，結(jié)合同名三角函數(shù)的基本性質(zhì)來計算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.19、（1），（2）這套設(shè)備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤為35萬元【解題分析】

（1）運用等差數(shù)列前項和公式可以求出年的維護費，這樣可以由題意可以求出該設(shè)備給企業(yè)帶來的總利潤（萬元）與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利潤最大值.【題目詳解】解：（1）由題意知，年總收入為萬元年維護總費用為萬元.∴總利潤，即，（2）年平均利潤為∵，∴當且僅當，即時取“”∴答：這套設(shè)備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤為35萬元.【題目點撥】本題考查了應(yīng)用數(shù)學知識解決生活實際問題的能力，考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學建模能力，考查了數(shù)學運算能力.20、（1）詳證見解析；（2）詳證見解析.【解題分析】

（1）可通過連接交于，通過中位線證明和平行得證平面．（2）可通過正方形得證，通過平面得證，然后通過線面垂直得證面面垂直．【題目詳解】（1）證明：連交于O,因為四邊形是正方形,所以,連，則是三角形的中位線,,平面，平面所以平面.（2）因為平面,所以,因為是正方形，所以,所以平面,所以平面平面.【題目點撥】證明線面平行可通過線線平行得證，證明面面垂直可通過線面垂直得證．21、（1）；（1）.【解題分析】

（1）在中，將代得：，由兩式作商得：，問題得解．（1）利用（1）中結(jié)果求得，分組求和，再利用等差數(shù)列前項和公式及乘公比錯位相減法分別求和即可得解．【題目詳解】（1）由n＝1得，因為，當n≥1時，，由兩式作商得：（